機密★啟用前

河南省鄭州市2025屆高三第一次質量預測卷

數學試題

注意事項:

1.本試卷共6頁.時間120分鐘，滿分150分.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫

在試卷指定位置，并將姓名、考場號、座位號、準考證號填寫在答題卡上，然后認真核對條

形碼上的信息，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.作答非選擇題時，將答案寫在答題卡上對應的

答題區域內.寫在本試卷上無效.

3.考試結束后，將試卷和答題卡一并收回.

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合

題目要求的.

1.設集合"=—2〉°},，={1,2,3,4},則的子集的個數為()

A.8B.7C.4D.3

2.若復數z滿足(l+i)(z+i)=2,其中i為虛數單位，則z的虛部為()

A.-1B.1C.-2D.2

3.設向量5=(2,0),3=(1,1),下列結論正確的是()

A同=岡B.a-b=\C.(a-b^VbD.a//b

4.將一枚質地均勻的正八面體骰子連續拋擲2次，其八個面上分別標有1?8八個數字，記錄骰子與地面接

觸的面上的點數，用表示第一次和第二次拋擲的點數，則尸(max(X,y)=8|min(X,y)=4)=()

5.若X1=；,是函數/(x)=sin0x(0>O)兩個相鄰的最值點，則。等于()

31

A.2B.-C.1D.-

22

6.關于函數/(x)=2c°sx+(fcw,下列結論錯誤的是()

A.函數/(x)的圖象關于y軸對稱B.函數/(x)的圖象關于直線x=］對稱

C.函數/(X)的最小正周期為2irD.函數/(X)的最小值為2

7.如圖，直四棱柱4BC。—451cl2,點N,P分別為44，8c和2。的中點，底面4SCQ為菱

形，/。48=60°且48=&441?記”乂與所成的角為"N與平面4BC。所成的角為廣，二面

)

C.y>a>/3D.a>y>/3

8.已知函數/(x)=eX-ln(x+l)-l,g(x)=lnx-ax,對\/國e，3x2e(0,+oo),使得

/(xj2g(X2)成立.下列結論正確的是()

A.3x0e(O,2),使得/'(%)=0

B.函數y=/(x)的最大值為0

C.a的取值范圍為-,+°o

e

D.過(0,0)作y=/(x)的切線，有且只有一條

二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選

對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.下列結論正確的是()

A若隨機變量X?g

,則￡>(3X+1)=18

B.將總體劃分為2層，通過分層隨機抽樣，得到兩層的樣本平均數和樣本方差分別為片，耳和s：,s；

若吊=元2，則總體方差52=+S2）

C.某物理量的測量結果服從正態分布N（10,a2）,。越大，該物理量在一次測量中在（9.8,10.2）的概率

越大

D.已知某4個數據的平均數為5,方差為3,現又加入一個數據5,此時這5個數據的方差為2.4

10.已知數列｛%｝,q=1,a“+i=2%+l（〃eN*）,數列｛"｝滿足a=21og2（l+%）—l.若在數列｛"｝

中去掉｛4｝的項，余下的項組成數列｛4｝,則（）

A,q+%+/+%=26B,b5=10

C.a4<bi5<a5D,cx+c2-\----Fc10=170

11.如圖，經過坐標原點。且互相垂直的兩條直線NC和5D與圓（x—1）2+3—1）2=4相交于/,C,B,D

四點，M為弦的中點，下列結論正確的是（）

A./。長度的最大值為2亞B.線段5。長度的最小值為20

C.點M的軌跡是一個圓D.四邊形/BCD面積的取值范圍為[4/6]

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

22

12.已知雙曲線C：土—21=1,雙曲線C上一點P到一個焦點的距離為4,則尸到另一個焦點的距離為

169

13.已知正方形48co的邊長為2,E,尸分別為4D,48上的點，當△/￡戶的周長為4時，△4￡產面積

的最大值為.

14.甲、乙兩人各有4張卡片，每張卡片上分別標有1,2,3,4四個數字之一.兩人進行四輪比賽，在每輪

比賽中，甲、乙各自從自己持有的卡片中隨機選一張，并比較卡片上數字的大小，數字大者勝，然后各自

舍棄此輪所選卡片(舍棄的卡片在此后的輪次中不能使用).則四輪比賽中，甲、乙每輪所出數字大小均不相

同的情況共有種.

四、解答題：本題共5小題，共60分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15.記V45c的內角B,C的對邊為a,b,c,已知/+°2=血灰;，2sin(C-Z)=siaS.

(1)求sinC;

(2)設8C=10,求5c邊上的高.

16.已知兩定點￡(-1，0),F2(1,0),動點尸滿足|尸片|+|尸月卜四片片.

(1)求點尸的軌跡方程；

(2)過乙。，0)的直線/與動點尸的軌跡交于兩點4,B,與直線乂=2交于點C,設。為坐標原點，若

，O4C：，0BC=3：1，求直線/的方程.

17.如圖，在斜三棱柱4BC-451G中，〃為Bq的中點，底面A48C為等腰直角三角形，且

(1)若4在底面4BC內的射影為點-求點/到平面48。的距離;

(2)若4在底面4BC內的射影為BC的中點，求平面與平面8。。1片夾角的余弦值.

18.已知函數/(x)=logaX(a>0且a/1),y=/(x)關于歹=》對稱的函數記為y=g(x).

(1)若a〉l,方程/(x)-g(x)=0有且只有一個實數解，求a的值；

(2)討論方程g(x)-=0在(0,+。)上實數解的個數；

(3)若。=0,設函數/(X)=2五一/(力，若尸(xj=尸(%2)(刀戶工2)，求尸(七)+/(》2)的取值范

圍.

19.如果數列｛4｝滿足％=0,1%—M2為常數，n>2,〃eN）,則稱數列｛4｝為a數列，已知

項數為n的數列｛4｝的所有項的和為Tn,且｛%｝為a數列.

（1）若"=4,p=l,&=1,寫出所有可能的7；的值；

⑵若“=101,p=5,證明：“須1=500”是啜列｛4｝為遞增數列”的充要條件；

（3）若“22,p=5,證明：若（,=0,則72=4左或〃=4左+1,（左eN*｝

參考答案

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合

題目要求的.

2

A=lx\x-2\0）8=（1234）彳n

1.設集合L'>,則NcB的子集的個數為（）

A.8B.7C.4D.3

【答案】A

【解析】

【分析】化簡集合A,求出/C8,進而判斷其子集個數.

［詳解］:集合幺=卜卜2_2〉0｝=｛》|》<一行或；（；〉正｝,B=｛1,2,3,4）,

.?.Zc8=｛2,3,4｝,

.??/nB中元素的個數為3,子集個數為23=8.

故選：A.

2.若復數z滿足（l+i）（z+i）=2,其中i為虛數單位，則z的虛部為（）

A.-1B.1C.-2D.2

【答案】C

【解析】

【分析】根據復數的運算化簡判斷.

【詳解】由（l+i）（z+i）=2,

22（l-i）

得2='—r-i=T；―TH一工-1=1-21,其虛部為-2.

1+1+—1）

故選：C.

3.設向量1=(2,0),B=下列結論正確的是()

A.同=同B.a-b=lC.(a-b^A-bD.a//b

【答案】C

【解析】

【分析】對A,由向量坐標求出模判斷；對B,由數量積坐標運算求解；對C,由兩向量垂直的坐標運算

求解判斷；對D,由兩向量平行的坐標關系判斷.

【詳解】對于A,*??2=(2,0),3=(1,1),

.?.同=2,|可=后，故同=忖不正確，即A錯誤；

對于B,?.?展3=2，故B錯誤；

r「「

對于C,由(萬―3)石=展3-店=2—2=0,所以(a—故C正確；

對于D,?.2=(2,0)3=(1,1),2xlw0x1,1//B不成立，故D錯誤.

故選：C.

4.將一枚質地均勻的正八面體骰子連續拋擲2次，其八個面上分別標有1?8八個數字，記錄骰子與地面接

觸的面上的點數，用X,y表示第一次和第二次拋擲的點數，則尸(max(X,y)=8|min(X,y)=4)=()

【答案】B

【解析】

【分析】設事件/為：min(X,7)=4,事件2為：max(X,7)=8,用列舉法寫出事件事件4B和事件

A的各種情況，計數后由條件概率公式計算.

【詳解】設事件/為：min(X,y)=4.

當min(X,y)=4時，

分兩種情況：

第一次擲出4,第二次擲出大于等于4的數，即第二次可以是4,5,6,7,8,共5種情況;

第二次擲出4,第一次擲出大于等于4的數，即第一次可以是4,5,6,7,8,共5種情況,

兩種情況都有第一次和第二次都擲出4,共1種情況，

所以事件A包含的基本事件數為5+5-1=9.

設事件8為：max(X,n=8,

則事件48為:max(X,7)=8且min(X,7)=4,

有X=4,丫=8和萬=8,y=4兩種情況.

由條件概率公式:

2

9

故選：B.

5.若西=；,Z=?是函數/(》)=5M。武0>0)兩個相鄰的最值點，則。等于()

31

A.2B.-C.1D.-

22

【答案】A

【解析】

【分析】根據題意得到函數/(x)的最小正周期，再用最小正周期公式可解.

【詳解】由玉=；，迎=｝是函數/(力=5由。武0〉0)兩個相鄰的最值點，

T_3兀71_71

?,,一丁H，

2兀

所以丁二兀，即——=2.

71

故選：A.

6.關于函數/(x)=2c°"+(；)a,下列結論錯誤的是()

A,函數/(X)的圖象關于y軸對稱B.函數/(x)的圖象關于直線x=］對稱

C.函數/(x)的最小正周期為2nD.函數/(x)的最小值為2

【答案】C

【解析】

【分析】對A,利用偶函數定義判斷；對B,利用函數對稱性的定義判斷；對C,根據周期函數的定義判

斷；對D,令t=2EG1,2,則/(7)=/+；,利用基本不等式求出最小值.

【詳解】對于A,/("的定義域為R,

Z[Xcos(-x)Z[XcosX

因為/(-X)=28S(T)+&J=2C°"+[￡|=/(X)，

所以/(x)是R上的偶函數，所以函數/(X)的圖象關于V軸對稱，故A正確；

對于B,對于任意的XER,

Z[XCOS(7U-X)Z[X-COSXZ[XCOSX

/(兀-x)=2c°s(n)+QJ=2一劍+、)=QJ+2-=/(X)-

所以函數/(x)的圖象關于直線x=3對稱，故B正確；

Z[XCOS(7T+X)Z[X-COSXZ[XCOSX

對于C,因為/(兀+力=22(。)+g=2-cosx+|=g+2C0SX=/(x),

所以兀為函數/(x)的一個周期，故2兀不是函數/(X)的最小正周期，故C錯誤；

對于D,因為一IWCOSXWI,設/=—,2,

1_

111

則/(7)=/+；,因為7+?22,當且僅當/=7,即/=1時等號成立，

所以函數/(x)的最小值為2,故D正確.

故選：C.

7.如圖，直四棱柱4BC。—451G2,點、M,N,P分別為44，5c和的中點，底面48CD為菱

形，ND45=60°且48=血幺4.記〃乂與幺4所成的角為1，"N與平面45C。所成的角為廣，二面

角M—PN—8的平面角為7,則()

/3>y>aC.y>a>(3D.a>y>/3

【答案】C

【解析】

【分析】證明理，平面48C。，然后以以P為原點，分別以直線尸4尸叢理為x,外z軸，建立如圖所

示的空間直角坐標系，利用空間向量法求出//后可比較大小

【詳解】解：連接PB,DB,由底面ABCD為菱形,NDAB=60°>

所以△Z5Q為等邊三角形，故尸

取49中點8，連接尸耳，

因為4BC。—481GA是直四棱柱，所以小，平面45CD,

又AD,尸8u平面48CD,所以必_LN￡>,PP11PB.

不妨設44]=&，所以48=2,故尸4=1,PB=6

由尸耳，AD,尸8三線兩兩互相垂直，故以尸為原點，

尸4尸民坨所在方向建立x,y,z軸，如下圖所示:

[/Q

貝1」尸(0,0,0),2(1,0,0)同0,百,0),4(1,0,正),河,N(—I,G,O),

MN=,P?V=(-1,V3,0)，M=(0,0,A/2),

\7

由Z4，平面/BCD,所以平面4BCD可取加=(0,0,1)，

設平面PAW的法向量為〃2=(x2,J2,z2),

_,3-

%?MN——%2-----%-^2^2—0

所以22

n2-PN=-x2+V3y2=0

取》2=26，則％=2,z?=-戊，故〃2=(2G,2,-

由MN與44所成的角為。，"N與平面45c。所成的角為分,

二面角M—尸N—5的平面角為7,

其中

,_,_..\MN-AAX

所以cose=cosA/M/4?HI_Vio

11\MNV\AA.V5xV25

sin/?=\cosMNnI麗可上西—加

9x麗卜同V5xl5

所以cos￡二

cos/

11

因為了=co少在0,］上遞減,a，A/e(0,^

七岳回底

乂---->---->-----

5511

所以/〉0>，.

故選：C

8.已知函數/(x)=e"-ln(x+l)-l,g(x)=lnx—辦，對\/西e(―1,+e),3x2e(0,+oo),使得

/(xj2g(x2)成立.下列結論正確的是()

A.3x0e(O,2),使得/'(%)=0

B.函數y=/(久)的最大值為0

C.。的取值范圍為一,+(?]

D.過(0,0)作y=/(>)的切線，有且只有一條

【答案】D

【解析】

【分析】利用單調性說明/'(x)=0的解判斷A,由導數求最值判斷B,由a26(0,+"),使得

g(X2)〈/(X)mm求解判斷C,設切點坐標為(%,%)),代入所過點坐標求與，引入新函數，由導數確定方

程只有一個解演，從而判斷D.

【詳解】對于A,/'(x)=e「擊，

因為y=e*在(―1,+力)上單調遞增，j=——匚在(―1,+。)上單調遞增，

X+1

所以/"(X)=二—一匚在(—1,+“)上單調遞增，

又r(o)=e°-=0,

所以當0<久<2時，/，(x)>/，(0)=0,故A錯誤；

對于B,由A的分析可知，當—l<x<0時，/'(“</'(0)=0,

當x>0時，/,(x)>/,(0)=0,

所以/(x)在(-1,0)上單調遞減，在(0,+。)上單調遞增，

所以/(x)在x=0處取得最小值：/(0)=e°-ln(0+l)-l=0,無最大值，故B錯誤；

對于C,由前面分析知/(x)min=0,

由題可知：加e(0,+e),使得g(X2)W0.

對于函數g(x)=lnx—ax,%>0,

當x.0時，g(x)f-8,

故無論a取什么值，均*e(O,+。),使得g(x)VO,

則。的取值范圍為R,故C錯誤；

x

對于D,不妨設切點為(xo，e'o—ln(xo+l)-l),/(x0)=e?,

%0+1

(x1

rX

切線方程為J-[e"-ln(x0+l)-l]=p0__________(X-%),

、Xo+1

把(0,0)代入可得：o(0-%),

即：—l)e"°+ln(x0+1)H------=0.

%0+1

令/z(x)=(x-l)e"+ln(x+l)H——,x>-1,

11

//(X)=xe"+X1_

7-xex+萬—Xe+

x+1(X+1)(x+1)-可‘

因為e、+~>°對x〉—1恒成立，

(x+1)

所以當一1<%<0時，h'{x)<0,當％>0時，

故無(無)在(-1,0)上單調遞減，在(0,+e)上單調遞增，

又丸(0)=0,

所以似X)只有一個零點0，

1

即只有X。=0時，(X。-1)砂。+In(x0+1)+―—=0成立，

%0+1

故過(0,0)作y=f(x)的切線，有且只有一條，故D正確.

故選：D.

【點睛】結論點睛：本題考查不等式的恒成立與有解問題，可按如下規則轉化:

一般地，已知函數>=/(x),可，j=g(x),xe[c,<7]

⑴若Vxe[a,可，V/e[c,d],總有/(xjvg?)成立,故/(明二<g6)1n；

⑵若Vxe[a,可，3x2e[c,d],有/(xj<g(%)成立，故/(力叱<g^Lx；

(3)若*1e[a,b],3x2e[c,6?],有/(%)<g(%)成立，故/(x)mm<g(%)min；

(4)若若Vxila,可,3x2e[c,J],有/(xj=g(3)，則/(x)的值域是g(x)值域的子集.

二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選

對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.下列結論正確的是()

A.若隨機變量X?519,g],則D(3X+1)=18

B.將總體劃分為2層，通過分層隨機抽樣，得到兩層的樣本平均數和樣本方差分別為虧，方和s；,s；,

若用=元2，則總體方差/=1■1；+s2)

C.某物理量的測量結果服從正態分布N(10,<r2),b越大，該物理量在一次測量中在(9.8,10.2)的概率

越大

D.已知某4個數據的平均數為5,方差為3,現又加入一個數據5,此時這5個數據的方差為2.4

【答案】AD

【解析】

【分析】利用二項分布的方差公式計算出方差。(X),再由方差的性質計算判斷A,根據方差的定義求解

判斷BD,根據正態分布的性質判斷C.

【詳解】解：對于A,由X?得0(幻=9、$]1_：]=2,則。(3'+1)=32。(工)=18,

故A正確；

對于B,由題意，總體均值為元=吊=元2，若兩層樣本容量依次為"?，"，

22

則§2=———+(x-Xj)H——--s\+(x-%2)1=———.S：H——S；,

m+nJm+n\_~vJm+nm+n

當且僅當切="時s2=g(s；+s；),故B錯誤；

對于c,。越大，該物理量在一次測量中在(9.8,10.2)的概率越小，故C錯誤；

對于D,加入數據5后，平均數為一二"=5,則這5個數據的方差為一4x3+(5-5)'=2.4,故D

55--

正確.

故選：AD.

10.已知數列｛叫，q=1,。“+1=2%,+l（〃eN*）,數列｛4｝滿足a=2唾2（1+%）-1.若在數列｛4｝

中去掉｛%,｝的項，余下的項組成數列｛c.｝,則（）

A.%+?+/+4=26B,b5=10

C.%＜九＜。5D.c（+c2H—+c10=170

【答案】ACD

【解析】

【分析】對A,由遞推關系4+1=2%+1求出通項公式4,運算判斷；對B,將區,代入求出通項〃，求

解判斷；對C,根據％,"的通項公式計算判斷；對D,根據｛%｝與｛4｝的通項公式，找出它們相同的

項，從而可求｛4｝的前10項的和.

【詳解】對于A,因為%+i=2a,+l,即4+|+1=2（%+1）,

故數列｛。“+1｝為等比數列，又4+1=2,所以%=2"-1,

貝I]%+%+/+%=1+3+7+15=26,故A正確；

對于B,〃=21og2（l+2"-1）-1=2〃-1,貝世=2x5—1=9,故B錯誤;

對于C,因為%=15,九=29,＜a5=31,所以為＜生＜。5，故C正確；

對于D,因為白=1,bn+l-bn=2,

所以數列也“｝是以1為首項，2為公差的等差數列，

乙=%=1,44=27,b[5=29,Z?i6=31,

又％=15,%=31,4=63,

因為乙6=。5=31，

也｝為正奇數組成，｛%｝的項也是奇數，

由上面推理可得，。1+。2+-+。10是由抄"｝的前14項去掉｛%｝的前4項余下的項組成,

所以+。2-----l-^io

—(4+Z>2+,,,b14)-(+〃2++Q4)

=生丁―(1+3+7+15)

=170.故D正確

故選：ACD.

11.如圖，經過坐標原點。且互相垂直的兩條直線/C和3。與圓（x—l）2+（y—Ip=4相交于N,C,B,D

四點，M為弦的中點，下列結論正確的是（

A.NO長度的最大值為B.線段8。長度的最小值為2A/5

D.四邊形/BCD面積的取值范圍為[4后,6]

C.點M的軌跡是一個圓

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據圓的一般方程寫出已知圓的圓心和半徑，由圓的性質判斷B；由/。長度表示圓上點到原點的

距離，即可判斷A；若M,H,G,尸分別是BC,CD,4D的中點，圓心（1,1）到直線/C,8。的距離

4，&且d；+d；=2,易證四邊形尸為矩形且其中心、對角線長度恒定，即可確定點M

的軌跡判斷C；根據邑Be。得到四邊形/BCD的面積關于血%的表達式，結合二次函數

性質求范圍，判斷D

【詳解】由已知可得圓心為（U）,半徑r=2,

由圓的性質知：圓心與直線距離最大為近，

線段/。長度最大，則圓心與4。共線且在它們中間，

此時|ZO|=r+拒=2+也，故A錯誤；

由圓的性質知：當圓心與直線8。距離最大為隹時弦8。的長度最小,

此時\BD\=2<4-2=2V2，故B正確；

若“，H,G,尸分別是BC,CD,ND的中點，

則板////G//8D且pWF|=|8G|=^\BD\,MH//FG//AC>\MH\=|FG|=||^C|,

22222

又AC_LBD,易知：四邊形MHG尸為矩形，而=\MF\+\MH\=!（|5￡>|+\AC\）,

若圓心（1,1）到直線NC,2。的距離4區6[°，&]且片+段=2,

2+%+2=

所以;忸口d2+2x4=8，

則;（忸￡）|2+\AC\2）=6,^\FH\=4e,

所以點M在以PM=遙為直徑，HF,MG的交點為圓心的圓上，故C正確；

由以上分析：以。=2也-片,\BD\=2JI；,

而邑即，

所以S刖8=2,16_4（片+成）+&42）2=258+（44）2，

令％=d；=2—dye[0,2],則sABCD=2j8+t（2-t）,

當/=1,即&=4=1時，（S”CQ）max=6,

當，=0或2,即4=。，出=也或d[=A/2,6?2=0時，（S45cz））min=4^2,

所以邑[4后,6],故D正確.

故選：BCD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知雙曲線C：工—匕=1,雙曲線C上一點尸到一個焦點的距離為4,則P到另一個焦點的距離為

169

【答案】12

【解析】

【分析】根據雙曲線定義求解.

【詳解】由雙曲線上—2^=1,得a=4,b=3,c=J/+/=5,

169

設其左右焦點為片，片，

則由雙曲線的定義，得忸雙卜|「的||=2。=8,

可設|尸耳|=4,則有|尸閭=-4(舍去)或12,

故尸在左支上，尸到另一個焦點的距離為12.

故答案為：12.

13.已知正方形/BCD的邊長為2,E,尸分別為ND,N8上的點，當尸的周長為4時，/面積

的最大值為.

【答案】12-80

【解析】

【分析】設ZE=x,=(0<x<2,0Wy<2),根據已知有x+y+JTT7=4,再應用基本不

等式求犯的最大值，即可求面積的最大值.

【詳解】設ZE=x,AF^y,(0<x<2,0<j<2),則跖=&+『,

因為△ZER的周長為4,所以《++=4,

因為x+y+G+V=422而+戶天，當且僅當了=>時取等號,

故一=4-2^2,貝U町<24-16后，則△4E77面積滿足^孫<12-8挺.

故/XAEF面積的最大值為12-872.

故答案為：12-872.

14.甲、乙兩人各有4張卡片，每張卡片上分別標有1,2,3,4四個數字之一.兩人進行四輪比賽，在每輪

比賽中，甲、乙各自從自己持有的卡片中隨機選一張，并比較卡片上數字的大小，數字大者勝，然后各自

舍棄此輪所選卡片（舍棄的卡片在此后的輪次中不能使用）.則四輪比賽中，甲、乙每輪所出數字大小均不相

同的情況共有種.

【答案】216

【解析】

【分析】甲，乙出卡片的種數均有A：=24種，不妨設甲出牌的數字依次為1,2,3,4,先求出甲、乙每

輪所出數字大小有相同的情況，分三種情況：甲、乙每輪所出數字大小有一張、有兩張、有三張卡片數字

相同討論，進而求出甲、乙每輪所出數字大小均不相同的情況有：24—15=9種，則24x9=216,得

解.

【詳解】甲出卡片的種數一共有A：=24種，同理，乙出卡片的種數也一共有A：=24種.

不妨設甲出牌的數字依次為1,2,3,4,

若甲、乙每輪所出數字大小有相同的情況，

則乙每輪所出數字有以下三種情況：

①甲、乙每輪所出數字大小有一張卡片數字相同，

不妨設乙第一輪所出數字為1,那么后面三輪所出卡片數字均不能相同，

有1,3,4,2和1,4,2,3兩種情況，

則甲、乙每輪所出數字大小有一張卡片數字相同共有C*x2=8種情況；

②甲、乙每輪所出數字大小有兩張卡片數字相同，

不妨設乙第一、二輪所出數字為1,2,那么后面兩輪所出卡片數字均不能相同，

有1,2,4,3一種情況，

則甲、乙每輪所出數字大小有兩張卡片數字相同共有C：xl=6種情況；

③甲、乙每輪所出數字大小有三張卡片數字相同，那么第四張卡片也會相同,

則乙每輪所出數字只有1，2,3,4一種情況.

故甲、乙每輪所出數字大小有相同的情況共有8+6+1=15種，

所以當甲出牌的數字依次為1,2,3,4,

甲、乙每輪所出數字大小均不相同的情況有：24-15=9種.

故甲、乙每輪所出數字大小均不相同的情況有：24x9=216種.

故答案為：216.

【點睛】關鍵點點睛：本題解題的關鍵是不妨設甲出牌的數字依次為1,2,3,4,求出甲、乙每輪所出數

字大小有相同的情況，得到甲、乙每輪所出數字大小均不相同的情況.

四、解答題：本題共5小題，共60分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15.記V/8C的內角/,B,C的對邊為a,b,c,已知/+c?=血加，2sin(C-Z)=siaS.

(1)求sinC;

(2)設8C=10,求5c邊上的高.

【答案】(1)亞

10

(2)12

【解析】

【分析】(1)先利用余弦定理求出幺=￡,再由2sin(C—N)=sin5,結合平方關系可求sinC的值;

(2)結合(1)可得siaB=sin(Z+C)==2,再利用三角形面積相等可求得8c邊上的高.

【小問1詳解】

在V48C中，

?be

???/+。2一/=加，...cosZ=?+￡；—a?

2bc2bc2

JT

而/為三角形內角，，2=二.

4

2sin(C-4)=sinB,

2sin^C-^=sin^y-C

整理得\/^(sinC-cosC)=飛-(cosC+sinC)得sinC=3cosC,

又sii?C+cos2c=1,且sinC>0,sinC=

10

【小問2詳解】

由正弦定理得生=坦

SIIL4sinC

BC.「103V104r-

,AB-----xsinC=x-----=675

Z得Fsim4V210

由（1）得，sinC=3y,tanC〉0，cosC=

1010

/.sinB=sin（4+C）=sitUcosC+cosZsinC=—

5

9R

設8c邊上的高為〃，則力=NBxsiiiS=66x飛一=12，

邊上的高為12.

16.己知兩定點￡(—1,0),北(1,0),動點尸滿足，片|+|尸可=四片鳥.

(1)求點尸的軌跡方程；

(2)過乙(1,0)的直線/與動點尸的軌跡交于兩點/,B,與直線x=2交于點C,設O為坐標原點，若

4c:邑。蛇=3：1,求直線/的方程.

V2

【答案】（1）—+v2=l

2.

(2)y=x-l或y=-x+l.

【解析】

【分析】(1)根據橢圓的定義求解；

(2)設直線/的方程為y=左(％-1),設2(與必)，8(孫歹2)，直線方程代入橢圓方程后應用韋達定

理得X]+》2，孫超，再由面積比得出西,》2關系，兩者結合起來求得左得直線方程.

【小問1詳解】

依題意知比￡|=2,|尸用+|尸聞=后山聞=2血〉2=|公閭，

.??點P的軌跡是以《、月為焦點的橢圓，且焦點在X軸上,

設橢圓方程為=+與=1（。〉b〉0）,

ab

由2。=2A/2，2c=2,得。=-y/2，c=1rb—1f

故所求點P的軌跡方程為y+/=l.

【小問2詳解】

依題意，設直線/的斜率為左（左。0）,則直線/的方程為^=左（》—1）,

設4（再，%），B（X2,%）,

聯立＜，，消＞得（1+2左I]?—4左?x+（2左2—2）=0,A=8左2+8,

kxk

一，曰4k2小2k2—2

可得：X+x=------------7①，XX=------

12712?

1+2左21+2左2

由S^OAC:S&OBC~3：1,.-.|^C|:|5C|=3:1,AC=3BC，

2—X]=3（2—X。），整理得3%-玉=4③，

左2-13左2+1

由①③得再=金』代入②，解得左=±1,

2k~+1

直線I的方程為y=x-l^y=-x+l.

17.如圖，在斜三棱柱45C-4與。中，M為8￡的中點，底面A4BC為等腰直角三角形，且

（1）若4在底面48c內的射影為點8,求點/到平面48c的距離;

(2)若4在底面4BC內的射影為BC的中點，求平面與平面8。。避1夾角的余弦值.

【答案】⑴隹；

(2)—.

8

【解析】

【分析】(1)取5c的中點。，可得NOLBC,證明面48C，幺。即點/到平面48c的距

離，得解；

(2)取8c的中點。，易得4。,Z。,8c兩兩互相垂直，建立空間直角坐標系，求出平面"34和平面

5。。田1的一個法向量，利用向量夾角公式運算求解.

【小問1詳解】

如圖，取8c的中點O,連接/0.

B、

?.?△Z5C為等腰三角形，AB=AC,:.AOLBC,

又；4在底面ABC內的射影為點B,

...48，面A8C,又ZOu面Z8C,\48AAO,

又?；4BcBC=B,且48,8Cu面48C,

.?.2。_1面幺四，

AO即為點A到平面4BC的距離.

又?.?△4BC為等腰直角三角形，且48=NC=2

:.AO=j2.

???點A到平面AXBC的距離為低.

【小問2詳解】

如圖,

???4在底面ABC內的射影為BC的中點,

.?.4。，面45c.

???△48C為等腰三角形，AB=AC,:.AOLBC.

建立如圖所示的空間直角坐標系，易知4。=舊，

:.M(0,-42,414),5(-V2,0,0),4(0,0,V14),B卜也「也，呵,

:.加=1-幾幾-呵,A4；=(V2,0,V14),畫=10,一幾呵,

設平面的一個法向量為7TJ=(比1，月*1),

設平面5。。1片的一個法向量為〃2=(x2,y2,z2),

J-V2X2+y/ly2-yl\Az,=0人_]-_/p.\

由＜LI——，令z,—1,胃〃2—(),

-V2J2+V14Z2=0''

I——I"1."211

,〃2=I—III=~]=

則1COS1一7=—~，

\n^n2\V8xV88

所以平面A[MB與平面BCC&i夾角的余弦值為L

8

18.已知函數/(》)=1。8/：(口＞0且4/1),y=/(X)關于歹=X對稱的函數記為y=g(x).

(1)若a〉l,方程/(x)—g(x)=0有且只有一個實數解，求a的值;

(2)討論方程g(x)-X”=0在(0,+。)上實數解的個數;

(3)若。=6,設函數/(X)=2五一/(力，若尸(xj=尸(%2)(刀戶工2)，求尸(七)+/(》2)的取值范

圍.

【答案】(1)LL-v

(2)答案見解析(3)(8-4ta2,+w)

【解析】

【分析】(1)求出g(x)，設y=/(x)與歹=g(x)有公共點(X0，%)，解由/'(%)=8'(%)及

/(%o)=g(x0)組成的方程組求出與可得答案；

InvIn//Inv

(2)由優=x“(a〉O,awl),兩邊同取對數得一=—.令>=——，利用導數判斷出其單調性，分

xax

0<a<l、。〉1、。=0討論方程8(》)-/=0在(0,+。)上實數解的個數可得的答案；

(3)由77'(%1)=尸'(兀2)得少(%])+77(》2)=2'^京'—111^^2，設J%%=〉4)，貝！I

〃(7)=2t-2lnt,利用導數判斷出〃(/)在(4,+動上的單調性可得答案.

【小問1詳解】

=關于>=X對稱的函數為y=優，，g(x)=a工，

設y=f。)與>=g(x)有公共點(不，%)，

由對稱性可知，(玉),％)在^=》上，

???"熹,g'（x）=a工Ina,

1

------=aX01]na=I1\i

，解得飛=「，得〃.康;

uc

xIna~

[%=a。=logax0

【小問2詳解】

由（1）知，g（x）=av,由/=x"（a〉O,awl）,xe（0,+oo）.

兩邊同取對數，xlna=ahu,即^^