第07講函數與方程

目錄

模擬基礎練.....................................................................2

題型一：求函數的零點或零點所在區間............................................................2

題型二：利用函數的零點確定參數的取值范圍.....................................................2

題型三：方程根的個數與函數零點的存在性問題...................................................3

題型四：嵌套函數的零點問題....................................................................3

題型五：函數的對稱問題........................................................................4

題型六：函數的零點問題之分段分析法模型.......................................................5

題型七：唯一零點求值問題......................................................................5

題型八：分段函數的零點問題....................................................................6

題型九：零點嵌套問題..........................................................................7

題型十：等高線問題.............................................................................7

題型十一：二分法...............................................................................8

重難創新練.....................................................................9

真題實戰練....................................................................11

題型一：求函數的零點或零點所在區間

丫2?丫_2丫<

?‘二’則函數Ax）的零點為_____

｛-1+lnx,x>0,

2.（2024?高三.浙江寧波?期末）函數〃力=2，+丁一9的零點所在區間為（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

3.函數/（x）=liu-工的零點所在的大致區間是（）

X

A.B.（1,2）C.（2,e）D.（2,3）

log3x,x>0

4.（2024?高三?江蘇常州?開學考試）已知函數/（尤）=「八則函數取尤）=/（/（元））-1的所有零點構成

的集合為.

題型二：利用函數的零點確定參數的取值危圍

5.（2024?高三.廣東深圳?期末）已知函數〃x）=V+4x+a在內有零點，則。的取值范圍是（）

A.（-5,5）B.（-<x>,—5）。（5,+co）C.[—5,5]D.（―e,—5]u[5,+??）

6.（2024.寧夏銀川.三模）函數“力=廄2%+尤2+機在區間（2,4）上存在零點，則實數，”的取值范圍是（）

A.（-oo,-18）B.（5,+<?）

C.（5,18）D.（-18,-5）

7.（2024.高三.內蒙古呼和浩特.開學考試）若函數/（力=2—。存在1個零點位于（1,2）內，則〃的取值

范圍是（）

A.（0,3）B.（—3,3）C.[—3,3]D.（—3,0）

2

8.函數/（%）=2、-〃的一個零點在區間（1,2）內，則實數〃的取值范圍是（）

A.0<?<3B.l<a<3

C.1<?<2D.a>2

9.已知函數〃x)=811nx--80的零點位于區間化人+1)內，則整數人()

A.1B.2C.3D.4

題型三：方程根的個數與函數零點的存在性問題

10.函數y=lg|x|-sinx的零點個數為

2x,0<x<—

2

11.已知函數/（%）=<則方程/（〃力）=%的解的個數是.

2(1-%),^<x<1

12.（2024.青海西寧?二模）記武可是不小于x的最小整數，例如硝.2）=2,42）=2/（-1.3）=-1,則函數

/(x)=r(x)-x-2-+1的零點個數為.

O

13.函數〃x）=2alog2X+a-4*+3在區間6J］上有零點，則實數。的取值范圍是（）

1_3

A.a<—B.a<

2~2

313

C.——<a<—D.a<—

224

題型四：嵌套函數的零點問題

4sinTLX,0<X<1

14.己知函數/（》）=，若關于X的方程"（尤）］2-（2-㈤/（x）+1-m=0恰有5個不同的實數解,

2x~1+x,x>l

則實數，”的取值集合為（）

A.(3,5)B.[3,5]C.(-3,-1)D.[-3,-1]

2*+l,x<0

15.已知函數/（x）=,方程產（%）-力■（力-。+3=0有6個不同的實數解，則實數a的取

-X2-2X+1,x>0

2

值范圍是（）

A.（1,2）B.（2,3）

2cos2X,-TI<x<0

16.（2024,高三?天津濱海新?開學考試）已知函數/（%）=16八，關于x的方程

x+-----8o,x>0

x

2/2（%）+（5-2〃）/（工）一5。=0在[一兀,+8）上有四個不同的解尤1，%2，兀3，%4，且七＜兀2＜兀3＜兀4，若

%+x112

六二+。一丁20恒成立，則實數上的取值范圍是（）

/v4（344

A.[-71,+co)B.-^-,0

C.(-oo,0)|J[7i,+oo)

17.定義域為R的函數〃力=[?以一0""2

，若關于x的方程/2（幻+好（工）+,=0恰有5個不同的實數解看,

巧，W，x4,%，則7(芯+%+W+X4+X5)等于()

A.1B.21g2C.31g2D.0

題型五：函數的對稱問題

18.（2024.河南洛陽?一模）已知函數丫=。-2111工,24%46）的圖象上存在點/,函數y=f+l的圖象上存

e

在點N,且/,N關于x軸對稱，則。的取值范圍是（）

19.（2024?內蒙古赤峰?二模）已知函數，=1+2山丈卜：€的圖象上存在點函數,=-/+。的圖象上

存在點N,且點N關于原點對稱，則實數。的取值范圍是（）

A.0,1+5B.[0,e2-3]C.l+^,e2-3D.l+J，+j

20.（2024?高三.湖北鄂州.期末）若不同兩點P、。均在函數y=/（x）的圖象上，且點尸、。關于原點對稱，

則稱（尸,。）是函數y=/（x）的一個“匹配點對”（點對（尸,。）與x=o視為同一個“匹配點對”）.已知

區x＞0

〃X）=e、’一恰有兩個“匹配點對”，則。的取值范圍是（）

2ax2,x＜0

21.（2024?江西?一模）己知函數=與函數g（x）=pj,若〃x）與g（x）的圖象上分別存

在點M,N,使得MN關于直線y=x對稱，則實數％的取值范圍是

2(2、「3

A.—,eB.,2eC.—,2eD.—,3e

ee\e)e

22.(2024?江西?模擬預測)函數/(%)=h，g(x)=21nx+6(l<x<4),若〃尤)與g(x)的圖象上分別

存在點M,N關于直線y=3對稱，則實數％的取值范圍是()

<21「2一

A.——,-ln2B.一一,0

Ie」Le」

C.[—In2,0]D.—,-ln2

題型六：函數的零點問題之分段分析法模型

23.(2024?浙江寧波?高三統考期末)若函數"%)=1-2e'+如-Inx至少存在一個零點,則用的取值范

x

圍為()

(11「21'(1]「1)

A.1-8,62+-B.e+-,+ooIc.I-oo,e+-D.e+-,+叼

24.已知函數〃x)=2x-4+±的圖象上存在三個不同點，且這三個點關于原點的對稱點在函數

e

g(x)=(-x2_2x+a)e*的圖象上，其中e為自然對數的底數，則實數。的取值范圍為()

A.y,3)B.(3,2e-2)C.(2e-2,+oo)D.(3,+oo)

25.(2024?全國?高三假期作業)若存在兩個正實數工、兒使得等式3%+〃(2y-4夕)(lny-ln%)=。成立，

其中e為自然對數的底數，則實數〃的取值范圍是().

A.(-oo,O)

3

B.(—co,0)o[—，+oo)

2e

3

C.(0,—]

2e

3

D.[—,+°o)

2e

題型七：唯一零點求值問題

/_1

X_X+L、

26.已知函數〃x)=〃2+d-x有唯一零點，則加的值為()

\7

AB

-4-1c-ID-i

27.（2024?全國模擬預測）若函數/（x）=|x-3|+eA3+e3T+〃有唯一零點，則實數機的值為（）

A.0B.-2C.2D.-1

28.已知函數/。）=爐一2x+a（ei+er+i）+cos（無一1）一1有唯一零點，貝！]。=（）

A.1B.—C.—D.—

332

29.（2024廣東茂名.二模）已知函數8（“，〃（%）分別是定義在口上的偶函數和奇函數,且8（%）+/2（力=^+%,

若函數〃"=產"+'（*-1）-2分有唯一零點，則正實數4的值為（）

A.-B.gC.1D.2

32

30.已知關于x的函數/（》）=加一2bx+|x—l|+/?2+b—4有唯一零點x=a,貝!|。+6=（）

A.-1B.3C.-1或3D.4

題型八：分段函數的零點問題

無3+3x2—2,x<0,

31.（2024.河南開封.模擬預測）已知〃x）=m尤若函數g（x）="耳-小有兩個零點，則機的

-----,x>0,

、x

取值范圍為（）

A.[JB.（-2,0）C.（一雙一2）ug,2]D.[d]

2

z、ax+lax+1,x<0

32.（2024.全國.模擬預測）若函數=1/八、八恰有2個零點，則實數。的取值范圍為（）

'ln（x+l）+d:,x>0

A.(-oo,0)u(l,+oo)B.(0,1)C.(-oo,l)D.(0,+co)

33,函數=的零點個數為()

12'—3,

A.1B.2C.3D.4

(QXx>0

34.(2024.高三?陜西西安.期末)已知函數〃x)=：一八,若函數g(x)=〃-x)-“力,則函數g(x)

-3x,x<0

的零點個數為（）

A.1B.3C.4D.5

/、[Inx-2x,x>0

35.若函數小）=-2…,x4。有且只有2個零點'則實數。的取值范圍為（）

A.0<?<1B.0<a<lC.0<a<\D.0<a<l

題型九：零點嵌套問題

36.（2024?遼寧?二模）已知函數〃x）=9（ln%）2+（a-3）xln%+3（3-a*有三個不同的零點為，巧，x3,

38.（2024?高三?浙江紹興?期中）已知函數/（x）=（%/）2+（〃-1）（土）+1-。有三個不同的零點再，入2，泡淇中

石<%2<%3，則（1一%①）（1一/6巧）（1一）3/3）2的值為（）

A.1B.（〃一I）?C.—1D.1—a

題型十：等高線問題

|log3x|,0<x<3

39.h21

已知函數/(%)=。c若「函數g（x）=/（x）-m有四個不同的零點，記作

----x+8,%>3

1—3x3

xl,x2,x3,x4(xl<x2<x3<x4),則5__4)+.的取值范圍是()

x{x2x3

A.(-1,0)B.(0,1)C.(-4,2)D.(-2,0]

—+4x,xW4,

40.設函數=h,'八1')若關于無的方程“x)=t有四個實根占,工2，玉，乂(占<*2<*4)，則

|log2(x—4)卜％〉4,

玉+/+4%3+；%4的最小值為（）

?45

A.—B.23C.—D.24

52

llnx

J----,0<x<e

X且〃“）=/伍）=〃c）,則T.c的取值范圍為（

41.已知函數/（力=?若Q<Z?<C,)

12'alnb

——xH—,x>e

、ee

A.(e,2e)B.(―2e,—e)

C.(l,2e)D.(-2e,-l)

logxxx*0

42.（2024?貴州貴陽?一模）設函數〃尤）=,則下列判斷錯誤的是（）

x2+2x+1,x＜0

A.方程〃x）=l的實數根為-2,0,?2

B.若方程/（x）=上有3個互不相等的實數根，則上的取值范圍為。,也）

87

C.若方程〃X）=左有4個互不相等的實數根貝卜+2X3/4的取

值范圍為卜7,-2）

D.若方程/（力=%有3個互不相等的實數根石,馬,三（當＜當＜巧），則卬/的取值范圍為（T°，T）

題型十一：二分法

43.某同學用二分法求函數/（x）=2，+3x-7的零點時，計算出如下結果：/（1.5）=0.33,/（1.25）=-0.87,

/（1.375）=-0.26,/（1.4375）=0.02,/（1.4065）=-0.13,/（1.422）=-0.05,下列說法正確的有（）

A.1.4065是滿足精度為0.01的近似值.

B.1.375是滿足精度為0.1的近似值

C.1.4375是滿足精度為0.01的近似值

D.1.25是滿足精度為0.1的近似值

44.若函數”力=*3+無2-2%-2的一個正數零點附近的函數值用二分法計算，其參考數據如下：

川)=-2/(1,5)=0.625/(1.25)=-0.984

“1.375)=-0.260f(1.4375)=0.162/(1.40625)=-0.054

那么方程爐+*2-2彳-2=0的一個近似根（精確度為0.05）可以是（）

A.1.25B.1.375

C.1.42D.1.5

45.用二分法求函數/（2=2，-3的零點時，初始區間可選為（）

A.[-1,0]B.[0,1]

C.[1,2]D.[2,3]

46.函數在（1,2）內有一個零點，要使零點的近似值滿足精確度為0.01,則對區間（L2）至少二等分（）

A.5次B.6次C.7次D.8次

47.下列圖像表示的函數中能用二分法求零點的是（）

yy

48.函數/a)的一個正數零點附近的函數值用二分法逐次計算，參考數據如下:

/(I)=-2/(1.5)=0.625/(1.25)=-0.984

41.375)=-0.260f(1.438)=0.165/(1.4065)=-0.052

那么方程的一個近似解(精確度為0.1)為()

A.1.5B.1.25C.1.41D.1.44

1.(2024.全國?模擬預測)已知函數"x)=2sin(2x+0(|d<j,若關于x的方程/(力=1在(0,兀)上恰有

一個實數根機，則/(2㈤()

A.-2B.-石C.6D.2

2.(2024?甘肅張掖?模擬預測)函數/(x)=e'(x-l)-x-1的所有零點之和為()

A.0B.-1C.73D.2

3.(2024.內蒙古?三模)已知奇函數的定義域為R,/(x+3)=-/(-x),且/⑵=0,則〃x)在[0,6]

上的零點個數的最小值為()

A.7B.9C.10D.12

InVx

4.（2024?四川內江?三模）若函數/（、）=」-土有兩個零點，則實數加的取值范圍為（）

xm

A.（0,e）B.（e,+8）C.（0,2e）D.（2e,+oo）

f2x+2,x<0

5.（2024?陜西商洛?模擬預測）已知函數〃x）=ex-er+2sinx,g（zxx）=工、八，若關于x的方程

Ie—1,%之U

f（g（尤））-加=0有兩個不等實根辦,x2,且大<々，則%-%的最大值是（）

A.In2B.In2H—C.3-ln2D.In2+1

2

6.（2024.黑龍江哈爾濱.三模）已知2"=1。8y,=10gl。，則下面正確的是（）

2

1

A.a>bB.4<——

4

C.b>—

2

7.（2024.北京通州?二模）己知函數〃元）=/「；一，，g（x）=xlnx,若關于x的方程

log2x+l,x>l

（〃制-2乂8（司-利）=0恰有3個不同的實數根，則實數機的取值范圍是（）

A,[“JB.?C.（0,+s）D.（1,+口）

8.（2024?全國.模擬預測）已知兩函數，=-1-。與y=4x-o-l的圖象有兩個交點，則不滿足條件的。的

x-1

值是（）

17

A.—1B.—C.—D.4

22

9.（多選題）已知與為方程_?+%-1=0的根，巧為方程爐+%-1=0的根，則（）

C11)

〈%十工B2<一+—<4

A.1+%%2,七超

C.玉</D.々e為

r

10.（多選題）（2024.福建福州?三模）已知實數x，y，z滿足：2=-^=log2z,則下列不等式中可能成立

的是（）

A.y<x<zB.X<y<z

C.y<z<xD.x<z<y

pinVx

11.（多選題）（2024?河北?三模）已知/（%）=——+----------%￡R）有三個不相等的零點國,私退且

xelwc+x

x[<x2<x3f則下列命題正確的是（）

A.存在實數左，使得王=1

B.x3>e

+4丫3+1］為定值

e人工3ej

—x>o

12.（多選題）（2024?全國?模擬預測）已知f（x）=『’則方程尸（x）-（左+3）/（x）+3k=O可

_x2—4x—1,x<0,

能有（）個解.

A.3B.4C.5D.6

4

13.（2024.江西景德鎮?三模）不經過第四象限的直線/與函數/（x）=---的圖象從左往右依次交于三個不

同的點3（毛,，2），C（%,%）,且4，巧，與成等差數列，則的最小值為.

14.（2024?河北秦皇島?三模）已知奇函數的定義域為R,f（x+3）=-f（-x）,且/>⑵=0,則在

［0,6］上的零點個數的最小值為.

pvpx

15.（2024?重慶?模擬預測）若函數=a+=的圖象與函數g（x）=——的圖象有三個不同的公共點，則

ex+e

實數。的取值范圍為.

,.x2+2x,x<0,,、

16.（2024.山東泰安.三模）已知函數人?若曲線y=/（x）與直線>=◎恰有2個公共

點，則。的取值范圍是.

1

17.（2024.天津?二模）設acR,函數=。+1.若/（x）在區間［0,+8）內恰

X2-2（q+l）x+2q2-a+l,x>a

有2個零點，則。的取值范圍是.

1.（2。21年天津高考數學試題）設“eR,函數小）力c_os加（2%%+-12）%ia2）.+x5<a,若,『⑺在,區間0+8）

內恰有6個零點，則。的取值范圍是（）

511

A.2,"

C.uT3

2.（2017年全國普通高等學校招生統一考試理科數學（山東卷精編版））已知當xe[0,1]時，函數y=（m.x-1）2

的圖象與y=?+的圖象有且只有一個交點，則正實數m的取值范圍是

A.（0,1]口[2石,+℃）B.（0,1]33,+8）

C.（0,u[2石,+oo）D.（0,V2]o[3,+oo）

e"JC<0

3.（2018年全國普通高等學校招生統一考試理科數學（新課標I卷））已知函數/（尤）=,'一二

mx,x>0,

g（尤）=/（尤）+x+a.若g（尤）存在2個零點，則a的取值范圍是

A.[-1,0）B.[0,+oo）C.[-1,+oo）D.[1,+oo）

4.（2019年全國統一高考數學試卷（文科）（新課標ffi））函數/（尤）=2sinx-sin2x在[0,2句的零點個數

為

A.2B.3C.4D.5

x,x<0

5.（2019年浙江省高考數學試卷）己知a,6eA,函數/(x)=<京-