專題02勾股定理的應(yīng)用（十一大題型）

題型歸納________________________________________

【題型1：求梯子滑落高度】

【題型2：求旗桿高度】

【題型3：求小鳥飛行距離】

【題型4：求大樹折斷前的高度】

【題型5：解決水杯中筷子問題】

【題型6：解決航海問題】

【題型7：求臺階上地毯長度】

【題型8：判斷汽車是否超速】

【題型9：判斷是否受臺風(fēng)影響】

【題型10：選址使到兩地距離相等】

【題型11：求最短路徑】

流題型專練

【題型1：求梯子滑落高度】

（24-25七年級上?山東泰安?期中）

1.某小區(qū)兩面直立的墻壁之間為安全通道，一架梯子斜靠在左墻DE時，梯子底端/到左

墻的距離/E為0.7m,梯子頂端。到地面的距離DE為2.4m,若梯子底端/保持不動，將

梯子斜靠在右墻8c上，梯子頂端C到地面的距離C2為2m,則這兩面直立墻壁之間的安全

C.1.5mD.2.5m

試卷第1頁，共18頁

（24-25八年級上?全國?期末）

2.如圖，在一寬度EC為2米的電梯井里，一架2.5米長的梯子斜靠在豎直的墻/C上,

頂端/被固定在墻上，這時8到墻底端C的距離為0.7米.程師傅為了方便修理，將梯子

的底端舉到對面。的位置，問此時梯子底端離地高度長為（）

B.0.9米C.1.2米D.1.5米

（24-25七年級上?山東淄博?期中）

3.在某市“非遺市集”活動現(xiàn)場，諸多非遺項目集中亮相.小明買了一個年畫風(fēng)箏，并進行

了試放，為了驗證某些數(shù)學(xué)問題，他設(shè)計了如下的方案：先測得放飛點與風(fēng)箏的水平距離8。

為15m；根據(jù)手中余線長度，計算出NC的長度為17m；牽線放風(fēng)箏的手到地面的距離N3

為1.5m.已知點48,C,。在同一平面內(nèi).

卜

（1）求風(fēng)箏離地面的垂直高度CD；

（2）在余線僅剩7.5m的情況下，若想要風(fēng)箏沿射線DC方向再上升12m,請問能否成功？請

說明理由.

（24-25八年級上?江蘇鹽城?期中）

4.小麗在物理課上學(xué)習(xí)了發(fā)聲物體的振動實驗后，對其做了進一步的探究：在一個支架的

橫桿點。處用根細繩懸掛一個小球A,小球A可以自由擺動，如圖，表示小球靜止時的

位置.當小麗用發(fā)聲物體靠近小球時，小球從擺到08位置，此時過點8作8cl.cM于

點C,（圖中的A、B、。、C在同一平面上），測得4C=2ctn,BC=8cm.求08的長.

試卷第2頁，共18頁

（23-24八年級下?山西朔州?期末）

5.《國務(wù)院關(guān)于印發(fā)全民健身計劃（2021—2025年）的通知》文件提出，加大全民健身場

地設(shè)施供給，進一步增加全民健身的熱情.我市某健身廣場為方便群眾夜間健身活動，在廣

場部分位置加裝照明燈，向陽興趣小組利用課余時間測量照明燈燈板的長，因不方便直

接測量，設(shè)計方案如下：

課題測量照明燈燈板的長

工具竹竿、米尺

方案及圖示■K

方案及說明竹竿長度為10m,燈板垂直地面于點。，線段

AM,8N表示同一根竹竿.第一次將竹竿的一個端點

相關(guān)數(shù)據(jù)及說明與點M重合，另一個端點落在地面的點A處，第二次

將竹竿的一個端點與點N重合，另一個端點落在地面的

點B處已知AO=6m,BO=8m

計算過程...

請根據(jù)上述方案中的內(nèi)容，計算的長.

【題型2：求旗桿高度】

（24-25八年級上?山東青島?階段練習(xí)）

6.如圖，小穎和她的同學(xué)蕩秋千，秋千在靜止位置時，下端8離地面0.6m,蕩秋千到

的位置時，下端3距靜止位置的水平距離仍等于2.4m,距地面1.4m,則秋千N3的長為—

試卷第3頁，共18頁

m

A

（24-25八年級上?陜西咸陽?期末）

7.2024年11月4日，神舟十八號載人飛船返回艙在東風(fēng)著陸場成功著陸，神舟十八號載

人飛行任務(wù)取得圓滿成功！為此，某校組織了一次以“指尖上的航模?藍天下的夢想”為主題

的航模飛行表演.如圖，小煒控制的無人機在距離地面18米高的點。處（。=18米），空中

點A處有一只風(fēng)箏，無人機上的測距儀測得=17米，點A與點。之間的水平距離AE=15

米，已知/E1CD于點E,AB=CE,請你求出風(fēng)箏離地面的高度48.

（24-25八年級上?河南周口?期末）

8.某校八年級數(shù)學(xué)興趣小組開展了測量學(xué)校旗桿高度的實踐活動.他們制訂了測量方案,

并利用課余時間完成了實地測量.測量結(jié)果如下表.

測41;實物圖：

項

■

假如圖1,某校八年級數(shù)學(xué)興趣小組自主開展

目

測量學(xué)校旗桿高度的項目研究.他們制訂了

背

測量方案，并進行實地測量.

景

1顫

項測量過程：

目步驟一：如圖2,線段"N表示旗桿高度，

測量示意圖：

方九W垂直地面于點N.將系在旗桿頂端的繩

案子垂直到地面，并多出了一段地，用皮尺

試卷第4頁，共18頁

31測出AE的長度.

步驟二：如圖3,小麗同學(xué)將繩子末端放置

c

L子頭頂，向正東方向水平移動，直到繩子拉

■1〕1B

圖2圖3直為止，此時小麗同學(xué)直立于地面點8

處.用皮尺測出點A與點8之間的距離.

測量項目數(shù)據(jù)

各繩子垂到地面多出的部分0.5m

項

小麗直立位置距旗桿底端的水平距

數(shù)

7m

離

據(jù)

小麗身IWJ1.5m

請根據(jù)表格所給信息，完成下列問題.

（1）直接寫出線段"N與之間的數(shù)量關(guān)系：.

（2）根據(jù)該數(shù)學(xué)興趣小組的測量方案和數(shù)據(jù)，求出學(xué)校旗桿的高.

【題型3：求小鳥飛行距離】

（23-24八年級下?河北邯鄲?期末）

9.如圖，一段斜坡上有兩棵樹，兩棵樹之間的水平距離為12m,豎直距離為5m,樹的高度

都是2m.一只小鳥從一棵樹的頂端飛到另一棵樹的頂端，至少要飛（）

A.12mB.13mC.14mD.15m

（24-25八年級上?浙江?期中）

10.如圖，一■條路的兩邊有兩棵樹，一"棵樹圖4s為11米，另一■棵樹iWiCD為6米，兩樹的

距離8。為12米.若一只小鳥從一棵樹的樹梢A飛到另一棵樹的樹梢C,則小鳥至少要飛

行米.

試卷第5頁，共18頁

（23-24八年級上?全國,單元測試）

11.飛機在空中水平飛行，某一時刻剛好飛到一個站著不動的女孩頭頂正上方4000m處，

過了20秒，飛機距離這個女孩頭頂5000m,則飛機每秒飛行了—m.

（2024八年級下?全國?專題練習(xí)）

12.有一只喜鵲在一棵3m高的小樹上覓食，它的巢筑在距離該樹24m的一棵大樹上，大樹

高11m,且巢離樹頂部1m.當它聽到巢中幼鳥的叫聲，立即趕過去，如果它飛行的速度為

5m/s,那它至少需要時間_s才能趕回巢中.

（2024八年級下?全國?專題練習(xí)）

13.如圖，一只小鳥旋停在空中/點，N點到地面的高度/8=20米，/點到地面C點（B,

C兩點處于同一水平面）的距離/C=25米.

⑴求出5c的長度；

（2）若小鳥豎直下降到達。點（。點在線段上），此時小鳥到地面C點的距離與下降的距

離相同，求小鳥下降的距離.

【題型4：求大樹折斷前的高度】

（23-24八年級下?廣東中山?期中）

14.《九章算術(shù)》中有一道“折竹抵地”問題：“今有竹高十丈，末折抵地，去根九尺，問折者

試卷第6頁，共18頁

高幾何？”題意是：如圖，一根竹子原高十丈（1丈=10尺），中部有一處折斷，竹梢觸地面

處離竹根9尺.若設(shè)折斷處離地面的高度為X尺，則可以列出關(guān)于X的方程為（）

A.x2+92=（10-x）2B.x2+（10-x）2=92

C.x2+92=（100-x）2D.x2+（100-x）2=92

（24-25八年級上?全國,期中）

15.如圖，臺風(fēng)過后，一旗桿在8處斷裂，旗桿頂部/點落在離旗桿底部C點10m處，已

知旗桿原長20m,則旗桿在離底部米的位置斷裂.

（23-24八年級?全國?假期作業(yè)）

16.如圖所示，一棵大樹在離地面9米處斷裂，斷裂后樹的頂部落在離底部12米處.這棵大

樹在折斷之前是米.

12米

（24-25八年級上?吉林長春?期末）

17.請解決我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個問題：一根竹子原來高9尺，從A處折

斷，折斷后竹子頂端8點落在離竹子底端。點3尺處，求折斷處離地面（即/。）的高度是

多少尺？

試卷第7頁，共18頁

A

【題型5:解決水杯中筷子問題】

（2024?四川巴中?中考真題）

18.“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊.問：水深幾何？”這是

我國數(shù)學(xué)史上的“葭生池中''問題.即/C=5,DC=1,BD=BA,則BC=（）

A.8B.10C.12D.13

（23-24八年級下?云南昆明?期末）

19.我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》記載了一道有趣的問題，原文是：今有池方一丈，葭生

其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊.問水深、葭長各幾何.譯為：有一個水池，水面

是一個邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺.如果把這根蘆

葦拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好到達池邊的水面.水的深度與這根蘆葦?shù)拈L度分別是

多少？設(shè)水深為x尺，根據(jù)題意，可列方程為（）

A.x2+52=(x+l)2B.x2+102=(x+l)2

C.(x-l)2+52=x2D.(x-l)2+102=x2

（23-24八年級下?安徽阜陽?期末）

20.如圖，圓柱形筆筒的內(nèi)部底面直徑是9cm,內(nèi)壁高為12cm.將一根長18cm的鉛筆放置

試卷第8頁，共18頁

于筆筒中（鉛筆的直徑忽略不計），鉛筆露在筆筒外的長度為"cm,貝的取值范圍是

/口

A.9<?<12B.6<tz<12C.3<。<9D.3<a<6

（23-24八年級上?安徽宿州?階段練習(xí)）

21.如圖是一個飲料罐，下底面直徑是10,上底面半徑是10,高是12,上底面蓋子的中心

有一個小圓孔.若一條到達底部的直吸管如圖放置，則在罐內(nèi)部分。的長度（罐壁的厚度和

小圓孔的大小忽略不計）是.

1/

【題型6：解決航海問題】

（24-25八年級上?廣東梅州?期中）

22.如圖，甲乙兩船同時從/港出發(fā)，甲船沿北偏東35。的方向，航速是12海里/時，2小

時后，兩船同時到達了目的地.若C、8兩島的距離為30海里，問乙船的航速是多少？

（24-25八年級上?遼寧本溪?期中）

23.某海島海域爭端持續(xù)，我國海監(jiān)船加大該島附近海域的巡航維權(quán)力度.如圖，

。/，。2,。4=72海里，08=12海里，海島位于。點，我國海監(jiān)船在點2處發(fā)現(xiàn)有一不明

國籍的漁船，自/點出發(fā)沿著/。方向勻速駛向海島所在地點。，我國海監(jiān)船立即從8處出

發(fā)以相同的速度沿某直線去攔截這艘漁船，結(jié)果在點C處截住了漁船.

試卷第9頁，共18頁

B

OA

⑴請用直尺和圓規(guī)作出c處的位置；

（2）求我國海監(jiān)船行駛的航程2c的長.

（23-24八年級下?全國?期末）

24.如圖，在離水面高度為5m的岸上，有人用繩子拉船靠岸，開始時拉緊的繩子8c的長

為13m,此人把繩子收緊4m后船移動到點。的位置（即繩子的長為9米），問船向岸邊

移動了多少米?（結(jié)果保留根號）

（23-24八年級下?重慶銅梁?階段練習(xí)）

25.如圖，一艘輪船以每小時35海里的速度向東航行，在/處觀測到在它的東北方向（北

偏東45。）點C處有一艘捕漁船，2小時后輪船到達點3處，突然收到漁船的求救信號，此

時觀測到漁C位于點B的北偏東15。方向上.

⑴求的度數(shù)；

（2）輪船收到求救信號后，立即沿以每小時500海里的速度趕往C處救援，那么輪船需

多少小時趕到C處？

【題型7：求臺階上地毯長度】

（24-25八年級上?山西?階段練習(xí)）

26.如圖是一段樓梯，高是8米，斜邊4C是10米，如果在樓梯上鋪地毯，那么至少需

要地毯______米.

試卷第10頁，共18頁

c

（22-23八年級上?廣東深圳?期末）

27.某賓館在重新裝修后，準備在大廳的主樓梯上鋪上紅色地毯.已知樓梯總高度5米，樓

梯長13米，主樓道寬2米；這種紅色地毯的售價為每平方米30元，其側(cè)面如圖所示，則購

買地毯至少需要一元.

（23-24八年級下?全國?單元測試）

28.如圖，在高2米，坡角為30。的樓梯表面鋪地毯，地毯的長至少需米.

（23-24八年級下?全國?單元測試）

29.某賓館裝修，需在臺階上鋪上地毯.已知臺階寬2.8m,其剖面圖如圖，需要購買多少

平方米的地毯才能鋪滿所有臺階？

【題型8：判斷汽車是否超速】

（24-25八年級上?河北邯鄲?期末）

30.“中華人民共和國道路交通管理條例”規(guī)定：小汽車在城市街路上行駛速度不得超過

70km/h.如圖，一輛小汽車在一條城市街路上直線行駛，某一時刻剛好行駛到路對面車速

檢測儀A處的正前方60m的C處，過了4s后，測得小汽車與車速檢測儀間距離48為100m,

這輛小汽車超速了嗎？（參考數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換：lm/s=3.6km/h）

試卷第11頁，共18頁

小汽廣車三一小子汽車

____________-

觀測點

（24-25八年級上?河南鄭州?階段練習(xí)）

31.《中華人民共和國道路交通安全法》規(guī)定：小汽車在高速道路上行駛速度不得超過

120km/h.高速路邊也會安裝車速檢測儀對過往車輛進行限速檢測，如圖所示，A點裝有一

車速檢測儀，它到公路邊的距離/N=90米，小汽車行駛過檢測儀監(jiān)控區(qū)域，到達N點時開

始計時，離開M點時停止計時，依此計算車速，已知NM=150米.

（1）若一輛汽車以108km/h時速勻速通過監(jiān)控區(qū)域，共用時幾秒？

（2）若另一輛車通過監(jiān)控區(qū)域共用時3秒，該車是否超速？請說明理由.

（23-24八年級下?安徽阜陽?期中）

32.超速行駛是引發(fā)交通事故的原因之一.上周末，小聰?shù)热煌瑢W(xué)在某路段嘗試用自己所

學(xué)的知識檢測車速，觀測點設(shè)在到公路/的距離為100m的點尸處.這時，一輛轎車由西向

東勻速駛來，測得此車從A處行駛到B處所用的時間為3秒，并測得ZAPO=60°,

NBPO=45°.

⑴求48的距離，（百取1.73）

（2）試判斷此車是否超過了80km/h的限制速度？

（23-24八年級下?河北廊坊?階段練習(xí)）

33.“為了安全，請勿超速”.如圖，一條公路建成通車，在某路段上限速60千米小時,

為了檢測車輛是否超速，在公路"N旁設(shè)立了觀測點C,從觀測點C測得一小車從點N到

達點2行駛了5秒，已知/CBN=60。，8c=200米，/C=100幾米.

試卷第12頁，共18頁

⑴請求出觀測點C到公路的距離；

(2)此車超速了嗎？請說明理由.(參考數(shù)據(jù)：V2?1.41,73^1.73)

【題型9：判斷是否受臺風(fēng)影響】

(23-24八年級下?重慶大足?期末)

34.如圖，在一條筆直的東西方向的公路上有/、8兩地，相距1000米，且離公路不遠處

有一塊山地C需要開發(fā)，已知C與/地的距離為600米，與2地的距離為800米，在施工

過程中需要實施爆破，為了安全起見，爆破點C周圍半徑520米范圍內(nèi)不得進入.

(1)山地C距離公路的垂直距離為多少米？

(2)在進行爆破時，A,8兩地之間的公路是否有危險需要暫時封鎖?若需要封鎖，請求出需

要封鎖的公路長.

(23-24八年級下?重慶開州?期中)

35.如圖，/市氣象站測得臺風(fēng)中心在4市正東方向300km的2處，以80km/h的速度向北

偏西60。的B尸方向移動，距臺風(fēng)中心250km范圍內(nèi)是受臺風(fēng)影響的區(qū)域.

(1)請通過計算說明4市是否會受到臺風(fēng)的影響？

(2)如果N市受這次臺風(fēng)影響，那么受臺風(fēng)影響的時間有多長?

(23-24八年級下?湖北荊州?期中)

試卷第13頁，共18頁

36.如圖，某沿海城市N接到臺風(fēng)預(yù)警，在該市正南方向340km的B處有一臺風(fēng)中心，沿8c

方向以20km/h的速度移動，已知城市A到2c的距離40為160km.

B

（1）臺風(fēng)中心經(jīng)過多長時間從B點移到D點？

⑵如果在距臺風(fēng)中心200km的圓形區(qū)域內(nèi)都將受到臺風(fēng)的影響，那么/市受到臺風(fēng)影響的

時間持續(xù)多少小時？

【題型10：選址使到兩地距離相等】

（22-23八年級上?遼寧朝陽?期末）

37.如圖，鐵路上“、。兩點相距25千米，B,C為兩村莊，ABIAD^A,COL4D于

D,已知48=15km,C￡>=10km,現(xiàn)在要在鐵路ND上建一個土特產(chǎn)品收購站P,使得2、

C兩村到P站的距離相等，則P站應(yīng)建在距點A千米.

（22-23八年級下?山西朔州?期末）

38.根據(jù)山西省教育廳“2023年度基礎(chǔ)教育領(lǐng)域重點工作推進會”要求，扎實推進建設(shè)100

所公辦幼兒園任務(wù)落實，某地計劃要在如圖所示的直線上，新建一所幼兒園，該區(qū)域有

兩個小區(qū)所在的位置在點C和點。處，C4_L48于DBL4B于B.已知/2=2.5km,

C4=1.5km,D8=1.0km求該幼兒園E應(yīng)該建在距點/為多少km處，可以使兩個小區(qū)到幼

兒園的距離相等.

試卷第14頁，共18頁

（2024八年級上?全國?專題練習(xí)）

39.小渝和小川是一對好朋友，如圖，小渝家住/，小川家住瓦兩家相距10公里，小渝

家N在一條筆直的公路NC邊上，小川家到這條公路的距離為6公里，兩人相約在公路

D處見面，且兩家到見面地點D的距離相等，求小渝家/到見面地點D的距離.

（2024八年級上?江蘇?專題練習(xí)）

40.為了加快我市經(jīng)濟社會發(fā)展，實現(xiàn)十九大報告提出的到2020年全面建成小康社會的目

標，我市準備在鐵路N2上修建一個火車站E,以方便鐵路同旁的C、。兩城的居民出

行，如圖，。城到鐵路N8的距離/C=20km，。城到鐵路的距離D8=60km,48=100km,

經(jīng)市政府與鐵路部門協(xié)商最后確定在與C、。兩城距離相等的E處修建火車站.求/￡、BE

各是多少.

（22-23八年級下?河南南陽?期中）

41.為加快新農(nóng)村建設(shè)，提高人居環(huán)境，計劃要在道路％上修建一個天然氣站E,同時向

DC兩個居民區(qū)提供優(yōu)質(zhì)天然氣，供居民取暖，做飯.已知如圖:。到道路用的距離D/=2km,

C到道路m的距離CB=1km,A,B兩地距離AB=5km.氣站E應(yīng)建在道路m的什么位置，

使得C,。兩居民區(qū)到氣站￡的距離相等？

Df

（1）請你設(shè)計出氣站E的位置（在圖中用尺規(guī)作圖作出符合條件的點E,不寫作法，保留作

圖痕跡）；

⑵計算出氣站E到N處的距離.

試卷第15頁，共18頁

【題型11:求最短路徑】

（24-25八年級上?重慶大渡口?期末）

42.如圖，有一個圓柱形玻璃杯，高為10cm,底面周長為12cm,在圓柱的下底面的內(nèi)壁A

處有一只螞蟻，它想吃到在杯內(nèi)離杯上沿2cm的點￡處的一滴蜂蜜，則螞蟻到達蜂蜜的最

短距離（）

E

A.2兩'emB.12cmC.4A值cmD.10cm

（24-25八年級上?甘肅蘭州?期末）

43.如圖：長方體的長、寬、高分別是12,8,30,在中點C處有一滴蜜糖，一只小蟲

從￡處爬到C處去吃，有無數(shù)種走法，則最短路程是（）

（24-25八年級上?云南昭通?期末）

44.足球是世界上最受歡迎的運動項目之一，如圖，球員N向邊線傳球，傳球落點在邊

線C?上任何位置都能被邊線球員接住球，而邊線球員不運球直接傳給球員2,圖中四邊形

48CD為直角梯形，AD=5,AB=BC=IQ,ZB=60°,則兩次傳球中皮球飛過的最短路

徑為（）

試卷第16頁，共18頁

A.15B.10A/3C.20D.20A/3

（24-25八年級上?四川成都?期末）

45.如圖，透明的圓柱形玻璃容器（容器厚度忽略不計）的高15cm,在容器內(nèi)壁離容器底部

4cm的點B處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在容器外壁，位于離容器上沿3cm的點A處,

若螞蟻吃到蜂蜜需爬行的最短路徑為21cm,則該圓柱底面周長為—cm.

（24-25八年級上?江西吉安?期末）

46.如圖，圓柱形容器的高為120cm,底面周長為100cm,在容器內(nèi)壁離容器底部40cm的

點B處有一蚊子，此時一只壁虎正好在容器外壁，離容器上沿40cm與蚊子相對的點A處,

則壁虎捕捉蚊子的最短距離為.

（24-25八年級上?河南鄭州?期末）

47.如圖所示，地面上鋪了一塊長方形地毯/8CD,因使用時間長而變形，中間形成一個半

Q

圓柱的凸起，半圓柱的底面直徑為—m,已知/E+BFuZOm,5C=10m,一只螞蟻從A點

兀

爬到。點，且必須翻過半圓柱凸起，則它至少要走m的路程.

試卷第17頁，共18頁

（23-24八年級上?陜西咸陽?期末）

48.如圖，長方體的長、寬、高分別為6,4,4,點/是長方體的頂點，點2是棱CD的中

點，一只螞蟻由/處沿長方體表面爬到8處，最短路程為.

試卷第18頁，共18頁

1.A

【分析】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，領(lǐng)會

數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.先根據(jù)勾股定理求出的長，同理可得出N2的長，進而可得出結(jié)

論.

【詳解】解：在RbNDE中，NAED=90°,AE=0.7m,DE=2.4m,

?1?AD=^AE2+DE2=2.5>

在Rt/X/BC中，ZABC=90°,BC=2m,AC=AD=1.5,

???AB=yjAC2-BC2=J6.25-4=1.5，

BE=AE+AB=0.7+1.5=2.2m,

故選：A.

2.B

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

過。作。于根據(jù)平行線的性質(zhì)得到D"=CE=2米，DE=CH,根據(jù)勾股定理即

可得到結(jié)論.

【詳解】解：過。作。于//,

:.DH=CE=2米,

同理可得：DE=CH,

在RtZ\"8C中，AC=^AB2-BC2=72.52-0.72=2.4（米），

在RM4D"中，AH=4AD--DH2=72.52-22=1.5（米）,

DE=CH=AC-AH=0.9（米），

答：梯子底端離地高度。E長為0.9米，

故選：B.

3.（l）9.5m

答案第1頁，共26頁

⑵不能成功，理由見解析

【分析】本題主要考查勾股定理的運用，解答本題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造直角三角形解

決問題.

（1）過點A作/ELCD于點E,在Rta/EC中，根據(jù)勾股定理即可求解；

（2）假設(shè)能上升12m,作圖Rt“瓦"根據(jù)勾股定理可得/尸=25m,再根據(jù)題意，

17+7.5=24.5<25即可求解.

【詳解】（1）解：如圖1所示，過點A作/E1C。于點

則NE=3O=15m,AB=DE=1.5m,AAEC=90°,

在RtA^￡C中，由勾股定理得CE=^AC2-AE2=7172-152=8（m）,

二.CD=CE+CD=8+1.5=9.5（m）.

（2）解：不能成功，理由如下：

假設(shè)能上升12m,如圖所示，延長。。至點尸，連接/尸，

則C尸=12m,

.,.M=CE+CF=8+12=20(m).

在RtdEF中，由勾股定理得AF=ylAE2+EF2=7152+202=25(m).

:AC=\ln\,余線僅剩7.5m,

.-.17+7.5=24.5<25,

???不能上升12m,即不能成功.

答案第2頁，共26頁

4.17cm

【分析】本題考查勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意，結(jié)合勾股定理建立方程是正確解決本題的關(guān)

鍵.

設(shè)05的長為xcm,由。爐=BC2+OC?建立方程即可求解.

【詳解】解:設(shè)08的長為xcm,則O/=xcm,

?/AC=2cm,

0C=x-2,

vBCVOA,BC=8cm,

.?.RtZ\08C中，OB2^BC2+OC2,即/=8?+(x-2)2,

解得x=17,

答：08的長為17cm.

5.MN=2m

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理，在Rt/XO/M中，根據(jù)

勾股定理求出OM,在RtZ\O3N中，根據(jù)勾股定理求出ON,即可求解.

【詳解】解：由題意可知，ZNOB=90°,

在Rt/\OAM中,AM=10m,OA=6m,

則OM=y]AM2-OA2=8m，

在RtZ\OBN中，3N=10m,08=8m,

則ON=^BN2-OB-=6m-

:.MN=OM-ON=2m.

6.4

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，涉及到解一元一次方程，解題關(guān)鍵是理解題意，正確

得到其中的三邊關(guān)系并準確計算，本題根據(jù)在Rt^ABE中，AE-+BE2=AB2，得到關(guān)于AB

的方程，求解即可.

【詳解】解：???秋千A8在靜止位置時，下端3離地面0.6m,蕩秋千到A8的位置時，距地

面1.4m,

.?.3'E=1.4-0.6=0.8,

；.4E=AB-0.8,

在用A/BE中，AE2+BE2=AB2,

答案第3頁，共26頁

.■.(AS-0.8)2+2.42=AB2,

??.AB=4,

故答案為：4.

7.風(fēng)箏離地面的高度48為10米

【分析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，先根據(jù)勾股定理求出

DE=^AD2-AE2=V172-152=8(米)，再求出CE=CD-OE=10米，即可得出答案.

【詳解】解：。于點￡，

ZAED=90°,

米，/E=15米，

DE=^AD2-AE2=7172-152=8(米).

?.?CD=18米，

:.CE=CD-DE=\Q^,

N8=C￡=10米，

即風(fēng)箏離地面的高度N3為10米.

8.(l)W=^M-0.5

51

⑵丁

【分析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正確理解題意，弄清數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵.

(1)根據(jù)=+結(jié)合題意即可獲得答案；

(2)結(jié)合題題確定NC=/8=1.5m,AC=NB=1m,ACLMN,^AM=xm,貝l]

MC=(x-2)m,在RM/CN中，利用勾股定理解得x的值，然后求解即可.

【詳解】(1)解：根據(jù)題意，可知NE=0.5m,4B=1.5m,BN=Im,

貝ijMV=-NE=4W-0.5.

故答案為：MN=AM-0.5；

答案第4頁，共26頁

根據(jù)題意，可知NC=23=1.5m,AC=NB=1m,AC1MN,

AM=xm,貝!|MC=7W_NC=4W_0.5-1.5=(x_2)m,

在RM/CN中，可有AC2+MC2=AM2,

753

即72+(X-2)-=X2,解得x=jn,

53

所以AM=^m,

4

所以MN=AM-Q.5=^-m,

4

答：學(xué)校旗桿兒W的高為:m.

4

9.B

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用.如圖，根據(jù)題意得：

N4BC=90°,AB=]2m,BC=5m,利用勾股定理即可求出結(jié)果.

12m

根據(jù)題意得：^ABC=90°,AB=\2m,BC=5m,

，/C=y]AB2+BC2=13m，

，一只小鳥從一棵樹的頂端飛到另一棵樹的頂端，至少要飛13m,

故選：B.

10.13

【分析】本題考查了勾股定理，過C作CE平行地面，連接NC,由題意得CE=12米,

NE=ll-6米，由勾股定理可得/C的長，即小鳥至少要飛行的距離.

【詳解】解：過C作CE平行地面，連接NC,

答案第5頁，共26頁

由題意得，/2=11米，/￡=11-6=5米，CE=BD=12米，

由勾股定理得，AC=ylAE2+CE2=V52+122=13

故答案為：13.

11.15

【分析】本題考查正確運用勾股定理，善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵.解

題時注意運用數(shù)形結(jié)合的思想方法使問題直觀化.先畫出圖形，構(gòu)造出直角三角形，利用勾

股定理解答即可.

【詳解】解：設(shè)8點為女孩頭頂，/為正上方時飛機的位置，C為20秒后飛機的位置，如

圖所示，AB=4000m,BC=5000m,

C

則AC=A/50002-40002=3000m

.?./C=3000米，

.?.3000+20=15米/秒

故答案為：15.

12.5

【分析】本題主要考查了勾股定理的實際應(yīng)用，過/作/E1CD于E.則

C￡=10-3=7m,AE=24m,利用勾股定理求出/C的長即可得到答案.

【詳解】解：如圖，由題意知/3=3m,CD=11-1=10m,5D=24m.

過/作/E1CZ）于E.貝i]C￡=10-3=7m,AE=24m,

在中，由勾股定理得，C=，4￡2+以2=25m，

???25+5=5s,

答案第6頁，共26頁

;它至少需要5s才能趕回巢中.

故答案為：5.

13.(1)15米；

哈米

【分析】本題主要考查了勾股定理得實際應(yīng)用，熟練地掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

(1)在直角三角形中運用勾股定理即可解答；

(2)在RMADC中，根據(jù)勾股定理即可解答.

【詳解】(1)由題意知(1=90。,

???/2=20米，NC=25米.

在中

AB2+BC2=AC2

BC=」25?-20。=15米,

(2)設(shè)=x,

??,到達。點(。點在線段A8上)，此時小鳥到地面。點的距離與下降的距離相同，

AB=20

.,.則CD=/Z)=x,BD=2Q-x,

在RtABOC中，

DC1=BD-+BC1,

x2=(20-X)2+152,

解得x=竽，

o

，小鳥下降的距離為1一25米.

O

14.C

【分析】本題主要考查了勾股定理的實際應(yīng)用，設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，根據(jù)勾股定

理列出方程即可.

【詳解】解：設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，

答案第7頁，共26頁

由題意得，x2+92=(100-x)2,

故選：C.

15.7.5

【分析】本題考查勾股定理實際應(yīng)用.根據(jù)題意設(shè)3C=x,則/8=20-x,利用勾股定理

列式計算即可得到本題答案.

【詳解】解：???旗桿頂部/點落在離旗桿底部C點10m處，

???AC-10m,

,?,旗桿原長20m,

AB+BC—20m,

???設(shè)=貝！J/B=20-x,

.-.x2+102=(20-x)2,解得：x=7.5,

???旗桿在離底部7.5m的位置斷裂，

故答案為：7.5.

16.24

【分析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)勾股定理求出斜邊長，最后相加得出答案即

可.

【詳解】解：如圖所示：根據(jù)題意可知4c=9米，8c=12米，

根據(jù)勾股定理得AB=y]AC2+BC2=A/92+122=15.

所以樹折斷前有9+15=24(米).

故答案為：24.

17.4

【分析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，

先設(shè)=可得/8=9-x,再根據(jù)勾股定理得無2+32=(9-X)2,求出解即可.

【詳解】解：根據(jù)題意可知3。=3,

設(shè)=則48=9-x,根據(jù)勾股定理得

答案第8頁，共26頁

222

X+3=(9-X),

解得x=4.

所以折斷處離地面的高度是4尺.

18.C

【分析】本題考查勾股定理的實際應(yīng)用.設(shè)8C=x,則8O=A4=(x+l),由勾股定理列出

方程進行求解即可.

【詳解】解：設(shè)8C=x,則2O=A4=(x+l),

由題意，得：(x+1)2=52+X2,

解得：x=12,即BC=12,

故選：C.

19.A

【分析】本題考查勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意，這根蘆葦?shù)拈L度為(x+1)尺，利用勾股定理

列方程即可.

【詳解】解：設(shè)水深為X尺，則這根蘆葦?shù)拈L度為(X+1)尺，

根據(jù)題意，得/+52=(X+1)2,

故答案為：A.

20.D

【分析】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)杯子內(nèi)筷子的長度取值范圍得出杯子外面長

度的取值范圍，即可得出答案.

【詳解】解：.??將一根長為18cm的筷子，置于底面直徑為9cm,高為12cm的圓柱形水杯中，

???在杯子中筷子最短是等于杯子的高，最長是等于杯子斜邊長度，

???當杯子中筷子最短是等于杯子的高時，。=18-12=6(cm),

最長時等于杯子斜邊長度是：V122+92=15(cm),

此時a=18-15=3(cm),

的取值范圍是：3<?<6,

故選：D.

答案第9頁，共26頁

21.13

【分析】作于C,則/C=12,BC=5,根據(jù)勾股定理，即可求解.

【詳解】解：如圖所示，

依題意，AC=U,BC=5,

在RtAABC中，AB=^AC2+BC2=VF+1F=13>

即。=13,

故答案為：13.

【點睛】本題考查正確運用勾股定理.善于觀察題目的信息，正確理解題意是解題的關(guān)鍵.

22.9海里/時

【分析】本題主要考查勾股定理的實際應(yīng)用，掌握勾股定理，列出算式是關(guān)鍵.

先用勾股定理求出NC的長，進而即可求解.

【詳解】解：由題意得：43=12x2=24（海里），BC=30海里，

ZB/C=180°-35°-55°=90°,

在RSB/C中

■■AC=^BC2-AB2=A/302-242=18（海里），

乙船的航速是18+2=9（海里/時），

答：乙船的航速是9海里/時.

23.（1）見解析

（2）37海里

【分析】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握

相關(guān)基礎(chǔ)性質(zhì).

（1）根據(jù)題意，作出線段的垂直平分線，交02于點C,即可；

（2）連接8C,利用第（1）題中作圖，可得BC=/C,設(shè)2C為x海里，則C4也為x海里,

則OC=（72-x）海里，利用勾股定理列方程求解即可.

答案第10頁，共26頁

【詳解】(1)解：如圖所示，點。即為所求：連接作線段N5的垂直平分線，交。/于

點C,

(2)解：連接8C,設(shè)3C=x海里，則C/=x海里

?1?ZO=90°

.?.在RtAOSC中，OB2+OC2=BC2

即：122+(72-X)2=X2

解得：x=37

答：我國海監(jiān)船行駛的航程8C的長為37海里.

24.(12-2V14)m

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理.在中，利用

勾股定理計算出長，再根據(jù)題意可得C。長，然后再次利用勾股定理計算出/。長，再

利用2。=/2-/。可得8。長.

【詳解】解：在中：

VZCAB=90°,8c=13m,AC=5m,

■■AB=ylBC2-AC2=V132-52=12m?

CD=9m,

?1?AD=siCD2-AC2=A/92-52=2Vsm，

.-,BD=AB-AD^(\2-2yJ14^m,

答：船向岸邊移動了(12-2&W)米.

25.(1)30°

7

⑵輪船需W小時趕到。處

答案第11頁，共26頁

【分析】本題考查三角形的內(nèi)角和定理，含30。的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用.作

垂線構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵.

(1)利用三角形的內(nèi)角和定理即可求解；

(2)在Rt小職中由勾股定理求得/b=8尸=35/，在Rtz\C3尸中，利用含30。的直角三

角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】(1)解：由題意可知，/D4c=45。，NDAB=90°,ZCAB=45°

NEBC=15°,NABE=90°,

.-.ZJBC=105°,

在公ABC中，NACB=180°-/ABC-ZCAB=180。-105。-45。=30°；

(2)解：作8尸1/C于尸，

NFAB=ZFBA=45°,

AF=BF,

在RM/3尸中，48=35x2=70,由勾股定理得力笈=/尸2+呂尸2,

???AF=BF=3572，

在Rt^CB尸中，ZACB=30°,

???BC=2BF=7072，

...700+500=(,

輪船需(小時趕到C處.

26.14

【分析】本題考查的是勾股定理，先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出的長，再根據(jù)樓梯高為

8C的高=6m,樓梯的寬即為的長，再把23、8C的長相加即可.

【詳解】解：8C=5痣一/笈=JU一8,=6米,

在樓梯上鋪地毯，那么至少需要地毯為+8+6=14米.

答案第12頁，共26頁

故答案為：14.

27.1020

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，先把樓梯的橫豎向上向左平移，構(gòu)成一個矩形，再求得其面

積，則購買地毯的錢數(shù)可求.

【詳解】解：如圖，利用平移線段，把樓梯的橫豎向上向左平移，構(gòu)成一個矩形，

則長為：V132-52=12（米），寬為5米，

二地毯的長度為12+5=17（米），地毯的面積為17x2=34（平方米），

，購買這種地毯至少需要30x34=1020（元）.

故答案為：1020.

【點睛】本題考查了勾股定理的運用，解決此題的關(guān)鍵是要注意利用平移的知識，把要求的

所有線段平移到一條直線上進行計算.

28.2+2百

【分析】地毯的豎直的線段加起來等于BC,水平的線段相加正好等于AC,即地毯的總長

度至少為（AC+BC）.

【詳解】

A

在RtaABC中，zA=30°,BC=2m,zC=90°,

；.AB=2BC=4m,

??AC=NAB°-BC?=2gm,

；.AC+BC=2+2右（m）.

故答案為2+2VL

【點睛】本題主要考查勾股定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵在于準確理解題中地毯的長度為水平

與豎直的線段的和.

29.需要購買19.6平方米的地毯才能鋪滿所有臺階.

答案第13頁，共26頁

【分析】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意，結(jié)合圖形，把樓梯臺階的橫豎分別向上向

左平移，得到一個長方形，進一步求出面積即可.

【詳解】解：如圖，由題意可得，==7=4，

利用平移可知，把樓梯臺階的橫豎分別向上向左平移，得到一個長方形，地毯的長為

3+4=7(m),

二地毯面積為2.8x7=19.6向),

答：需要購買19.6平方米的地毯才能鋪滿所有臺階.

30.這輛小汽車超速了

【分析】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，利用勾股定理求出2c的長是解題關(guān)鍵.

求小汽車是否超速，其實就是求2C的距離，直角三角形/8C中，有斜邊的長，有直角

邊/C的長，那么2c的長就很容易求得，根據(jù)小汽車用4s行駛的路程為BC,那么可求出

小汽車的速度，然后再判斷是否超速了.

【詳解】解：在瓦中，/C=60m,/3=100m；

根據(jù)勾股定理可得：BC=ylAB2-AC2=80(m),

??.小汽車的速度為曠=一