熱點題型?選填題攻略

高考選填題解題技巧全攻略

O----------------選填即?解法大全-----------O

方法一直接法..........................................................1

方法二排除法..........................................................4

方法三特例法..........................................................7

方法四構造法..........................................................9

方法五數形結合法......................................................12

方法六建系法..........................................................16

多選題方法攻略..........................................................21

選填題高考通關..........................................................30

O----------------選填題?解法探究-----------?>

方法一直接法

――直接法礴奔更可的真林應再就莫直接反顧浚豕徉由發「可而巨如家伴「濕關掘怒廣衽屆丁公民「公一

理、定理、法則等基礎知識，通過嚴謹推理、準確運算、合理驗證，從而直接得出正確結論，然后對照題

目所給出的選項“對號入座”，從而確定正確的選擇支.這類選擇題往往是由計算題、應用題或證明題改編而

來，其基本求解策略是由因導果，直接求解.

由于填空題和選擇題相比，缺少選擇支的信息，所以常用到直接法進行求解.直接法是解決選擇、填空

題最基本的方法，適用范圍廣，只要運算正確必能得到正確答案，解題時要多角度思考問題，善于簡化運

算過程，快速準確得到結果.

彳如碉訶練］

一、單選題

1.（24-25高三上?北京?階段練習）設等比數列｛%｝的各項均為正數，s“為其前〃項和，若

ax—2,a2a3a4-a9,貝!JS3=（）

A.6B.8C.12D.14

【答案】D

【分析】結合等比數列的性質可計算出公比4,由等比數列前項和的定義即可求得風.

【詳解】設等比數列｛%｝的公比為4,則/%%=%=＞利6=%/，

又因為％=2,貝！|8/=2q8,所以/=4

又等比數列｛0“｝的各項均為正數，故4=2,

貝（］S3=。［+%+/=%（1+g+q1）=2（1+2+4）—14.

故選：D.

2.（24-25高三上?河北滄州?期中）溶液的酸堿度是用來衡量溶液酸堿性強弱程度的一個指標，在化學中，

常用pH值來表示溶液的酸堿度.pH的計算公式為pH=Tgc（H+）,其中c（H+）表示溶液中氫離子的濃度,

單位是摩爾/升.已知/溶液中氫離子的濃度是0.135摩爾/升，則4溶液的pH值約為（參考數據：

lg2?0.301,lg3?0.477）

A.0.268B.0.87C.1.13D.1.87

【答案】B

【分析】由pH的計算公式及對數的基本運算求解即可.

【詳解】解：由題意得

pH=-lg0.135

=-lg（135xl0-3）

=-lgl35+3

=-lg（33x5）+3.

=-31g3-lg5+3

=-31g3-（l-lg2）+3

=-31g3+lg2+2

a0.87.

故選：B

3.（2024高三?全國?專題練習）每年的5月25日是全國大中學生心理健康日.某高校計劃在這一天開展有

關心理健康的宣傳活動，現計劃將6位老師平均分成三組分別到三個不同的班級進行宣講，則不同的排法

總數為（）

A.540B.120C.90D.60

【答案】C

【分析】先將6位老師平均分成三組，再將三組分配即可.

「2r2r2

【詳解】將6位老師平均分成三組，共有12種可能，

三組老師分別到三個不同的班級進行宣講，每個班級都有老師宣講，

則有笑21.90種排法.

故選：c.

。尤+福［。>）在（兀）有且僅有個極小值點,

4.（24-25高三上?天津?階段練習）己知函數〃無）=2cos00,2

7171

且在上單調遞增，則。的取值范圍為（）

5295n17291711

A.2f~6B.25TC.~6，-6D.

【答案】D

TT

【分析】求出（DX+—的范圍，對應極小值點時,區間的右端點在（3兀,5兀］上，》嗎,今對應單調

O

遞增，包含在區間［兀,2捫上，分別得出。的范圍后取交集可得.

【詳解】X￡（0,兀）時，O）X-\---G（一,①71H----）,

666

7r177Q

/（X）在（0,兀）有且僅有2個極小值點，則3兀<加+1<5兀，—<6y<—,

00O

龍若百,則s+++勺，又“X）在「,上單調遞增,

3263626V31）

,。兀71

71<-------1■一,

36511

則,-<CD<—

con兀，3239

——+—<Z71

I26

所以0工：，

63

故選：D.

二、填空題

5.（24-25高三上?江西南昌?階段練習）已知向量癡的夾角為牛昌=（后1）,問=1,則卜叫=.

【答案】V7

【分析】利用向量的數量積的定義，求得小行=-1,再根據歸一可=后一2小B+戶,即可求解.

【詳解】因為W=l,B|=J（6）"2=2,伍％與,

所以=|a|-|^|cos（a,b^=2xlxcos-^=-1,

所以|萬-司=他叫2=yla2-2a-b+b2=^4-（-2）+1=近.

故答案為：布.

6.(24-25高三上?天津?階段練習)已知拋物線/=2.(0>0),經過拋物線上一點(1,2)的切線截圓C：

(x-a)2+/=4(a>0)的弦長為20，則。的值為.

【答案】1

【分析】由題意可得：y2=4x,設切線方程x=/?(y-2)+l,結合相切可得機=1,根據垂徑定理結合弦長

關系列式求解即可.

【詳解】因為拋物線y2=2px(p>0)過點。,2),貝12P=4,得至!］p=2,所以必=必，

顯然切線斜率不為0,設切線方程為》=加(了-2)+1=吵+1-2加，

\x=my+\-2m、/、

聯立方程J/：以，消去x得丁-4加7+4(2加-1)=0,

貝！］公=1652-16(2加-1)=0,整理得到蘇-2加+1=0,解得用=1,

所以切線方程為》=〉-1,BPx-j+l=0,

又因為圓C:(x-°y+j?=4(a>0)的圓心C(a,0),半徑r=2,

貝！|圓心C(a,0)至!］直線x_y+l=0的距離d=胃,a>0,

由題意可得+(&『=2?,整理得至!|/+2。-3=0,解得。=1或。=一3(舍).

故答案為：1.

方法二排除法

一―吊F窿法是二拜而接而法「市府息我桁膏蕭的端連法「布入酩癥法「箕莢屆就莫香流不存i函百荽茄皈一

選項，找到符合題意的正確結論.也即通過觀察、分析或推理運算各項提供的信息，對于錯誤的選項，逐

一剔除，從而獲得正確的結論.具體操作起來，我們可以靈活應用，合理選取相應選項進行快速排除，比

如，可以把一些簡單的數代入，符合條件的話就排除不含這個數的范圍選項，不符合條件的話就排除含這

個數的范圍選項，即：如果有兩個選項A(a>l)>B你就可以選取1這個數看是否符合題意，

如果1符合題意，你就排除B,如果1不符合題意，你就排除A,這樣就能快速找到正確選項，當然，選取

數據時要考慮選項的特征，而不能選取所有選項都含有或都不含有的數；也可以根據各個選項對熟悉的知

識點進行論證再排除，比如，四個選項當中有四個知識點，你就可以把熟悉掌握的知識點進行論證，看是

否符合題意即可快速而且正確找到選項，而不會因為某個知識點不會或模棱兩可得到錯誤選項.

而歷年高考的選擇題都采用的是“四選一”型，即選擇項中只有一個是正確的，所以排除法是快速解決部

分高考選擇試題從而節省時間的有效方法.那對于填空題呢，其實也是可以的，比如有些填空題如果你已經

求出了結果，但并不確定這個結果中的某個端點值是否要取，你就可以代入驗證進行排除.所以，我們要熟

練掌握這種能幫助你快速找到正確結論的方法，從而提高解題效率，為后面的試題解答留有更充足的時間！

1.下面四個命題：

P1：命題〉2〃”的否定是F%eN,〃o2V2"。”；

p2晌量〃=（加,1）/=（1,一〃）,則加=〃是a_L〃的充分且必要條件；

Y2V2L

p：已知雙曲線4=1（〃>0,6>0）的一條漸近線經過點（L2）,則該雙曲線的離心率為行；

3ab

p4：在等比數列也｝中，若&=2,4=8,則&=±4.

其中為真命題的是

A.pgB.p2,p3

小他

C.p2,p4D.3

【答案】B

【解析】方法一：

對于Pi：命題“V〃eN,/〉2"”的否定是“加。右電點42"。"，所以“是假命題，排除A,D；

22U

對于23：雙曲線=1（。>0,6>0）的一條漸近線經過點。,2）,則有一=2,則離心率

aba

C

e=—1+斗=石，所以23是真命題，排除C,故選B.

aa

2.已知S”為數列｛%｝的前〃項和，且log2（S〃+l）="+l,則數列｛4｝的通項公式為

3,77=1

A.%=2"B.a=<

[2\n>2

C.an=2"-'D.a,=2"+i

【答案】B

【解析】由log2（S,,+l）=〃+l,得S“+l=2"i,

當〃=1時，%=Si=3；（解題時，到這一步就可以進行排除，得出正確選項，因為q=岳=3,A、C、

D中的%均不為3,故可排除，選B.)

當〃22時，an=Sn-Sn_x=T.

所以數列｛4｝的通項公式為4=不2"〃〉2.故選以

高三上?天津?階段練習)函數2sm2的大致圖象為(

3.(24-25/(x)=)

【答案】A

【分析】結合函數的定義域，零點，尤>0時函數值的符號，對各個選項進行分析判斷，即可求解.

【詳解】由〃x)=(x+l廣$出2知,/(_1)=0,所以選項C不合題意；

又x=0時，2X-2-x=2°-2°=0,所以xwO,故選項B不合題意，

因為x>0時，%>-%,根據指數函數的單調性可知，2,>2，

又2弧度是第二象限角，故sin2>0,于是x>0時，/(x)>0,所以選項D不合題意,

故選：A.

4.若不等式ax?+24》-4<2/+4%對任意實數》均成立，則實數。的取值范圍是

A.(-2,2)B.(—00,-2)U(2,+8)

C.(—2,2]D.(—co,2]

【答案】C

【解析】當a=2時，不等式為-4<0,恒成立，符合題意，排除A、B；

當a=—2時，不等式為f+2》+1=(》+1)220,不恒成立，不符合題意，排除D,故選C.

02

5.(2024高三?全國?專題練習)設a=3e《2,b=2e',c=2,4,則()

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<h<a

【答案】D

【分析】設/(x)=e=x-l,利用導數求得函數單調性，得到/(x)>〃0)=0,得出e，>無+1,進而求得

b>c,再利用作商法，將的商的結果與1進行比較，從而可求得2<1,得到b<a,即可求解.

\b)a

【詳解】由題意，得］=e%|=1.2=0.2+l.

令/(x)=e*-x-1,x>0,則/''(x)=e*-l>0,

所以/(x)在(0,+8)上單調遞增，

所以〃力>/(0)=0,即e*>x+l(x>0),

bc

所以;>］，則6>c，故排除A,B.

因為《Ye"，但丫=空”7.59,2M7.39,

b2(2)321，

所以屋署>1,所以4,

所以a".

故選：D.

方法三特例法

……磨麗法也就臭我行命說的唇灰值監癥法「吊面花再痔痛殖丁痔臻囪菽一唇理瓦亶代替顧浚幣普通奈

件，得出特殊結論，再對各選項進行檢驗，從而做出正確的選擇.特別是對于一些比較棘手的高考選擇題

或填空題，若能注意到其特殊情況，從特殊性入手，也許就可以簡捷快速地解決問題.

常用的特例有特殊數值、特殊點、特殊數列、特殊函數、特殊圖形、特殊角、特殊位置等.特例法是

解答選擇題的最佳方法之一，具體是通過特例的方式提高解題速度，題中的一般情況必須滿足我們取值的

特殊情況，從而我們選取適當的特值幫助我們得到正確的結論.比如，某個數列，可以考慮等差數列或等比

數列的情形；某個三角形，可以考慮直角三角形或等邊三角形；橢圓上某點，可以考慮長軸或短軸的端點

等，但考慮的前提是一定要滿足這種情況適合題中所有條件.

近年來高考選擇、填空題中可用或結合用特例法解答的試題能占到30%左右，所以要想快速準確地贏

得時間獲取高分，一定要學會、會用并且靈活使用特例法！

「項麗雨

2v-1

1.若/(x)=(x+a)ln--------為偶函數，則。=().

2x+1

A.-1B.0D.1

【答案】B

【詳解】/(x)為偶函數，則/(I)=/(-I),(1+a)=(-1+a)In3,得。=0

2.已知曲線C：x2+/=16(J>0),從C上任意一點尸向X軸作垂線段pp,P為垂足，則線段尸尸'

的中點〃的軌跡方程為()

2222

A.土+「1(J>0)B.—+^=1(歹＞0)

164168

2222

C.匕+土=1(J>0)D.匕+土=1(J>0)

164168

【答案】A

【詳解】曲線C上取一點(0,4),向x軸作垂線段，中點坐標為(0,2),代入ABCD知，只有A符合

3.(2024?河南?模擬預測)若。>0力>0,則使a+6V4成立的一個充分不必要條件為()

A.—1--1B.—+—>4C.a1+b2<8D.-+^->4

ababab

【答案】c

【分析】利用特殊值法代入可知A、B、D均錯誤，再利用基本不等式計算可得C正確.

【詳解】對于A,易知當。=4,6=4時滿足工+Jvl,但此時a+6V4不成立，可知A錯誤;

ab

A2/

對于B,當。=41=4,可知竺+幺上4成立，但a+6V4不成立，可知B錯誤；

ab

對于C,由/+/V8可得("+嘰/+心8,即可得a+6W4,即充分性成立；

2-

當。=3,6=1時，滿足a+6V4,但此時/+/V8不成立，即必要性不成立，可得C正確;

對于D,當。=4,6=1時，易知2+成立，此時a+6W4不成立，可得D錯誤.

ab

故選：C

4.(24-25高三上?云南昆明?階段練習)下列函數，滿足“對于定義域內任意兩個實數為，x2(x^x2),都有

/(%)+/(工2)42±+2%”的是()

A./(x)=x+sinxB.f(x)=4x-x3

C./(x)=21n(x+l)D./(x)=x|x|

【答案】C

【分析】利用賦值法可判斷ABD,令g(x)=21n(x+l)-2x,利用導數可得/(x)=21n(x+l)W2x,可判斷

[詳解】對于A,令玉=-兀，々=一2兀，則/(演)+/(乙)=_3兀，2玉+2/=-6兀，不滿足條件，故A錯誤;

對于B,令再=0,遍=1,貝！|/(%)+/(%)=3,2X|+2x?=2,不滿足條件，故B錯誤；對于C,因為

7_OY

g(x)=21n(x+l)-2x(x>-l),求導得g<x)=，一一2=—,

當T<x<0時,g,(x)>0,函數g(x)在(TO)單調遞增,

當x>0時，g'(x)<。，函數g(x)在(0,內)單調遞減，

所以g(x)(g(O),Bp21n(x+l)-2x<21n(0+l)-2x0=0,所以21n(x+1)V2x

即〃x)=21n(x+l)V2x,所以/(占)+/(%)W2再+2%,滿足條件，故C正確;

對于D,令％=0,無2=3,則/(再)+/(%2)=9,2*+2_￥2=6,不滿足條件，故D錯誤.

故選：C.

6.(24-25高三上?四川?期中)已知(國,必)、(/，%)是函數了=1。82》圖象上不同的兩點，貝!]()

A.號(log?晝B,曾>1。%受

1X+x,1M+X

L、

C.^+J^2<log2-y-D.%+%>k)g2^y^

【答案】A

【分析】設0<占<尤2,利用對數的運算、對數函數的單調性以及基本不等式，特殊值法逐項判斷即可.

【詳解】由題意不妨設0<玉<X2，因為了=bg2X是增函數，所以log?%](log?%，即弘<%.

log2X,+log2x2=log2(x,x2)<log2，

則%+%<21082土產，即匹〈log?”1，A正確，B錯誤；

取尤1=1,x2=2,貝！J%=0,y2=1,必+%=1=log[2>log?=log?再；聲,C錯誤.

取X]=；,X2=\,則％=-2,y2=-l,yl+y2=-2,=log21<log2j=log2,D錯誤.

42oo2

故選：A.

方法四構造法

構造法是一種創造性思維，是綜合運用各種知識和方法，依據問題給出的條件和結論給出的信息，把

問題作適當的加工處理，構造與問題相關的數學模型，揭示問題的本質，從而找到解題的方法

一、單選題

1.(2024?廣東?二模)函數f(x)的定義域為RJ⑵=3,若VxeR/(x)>l,貝U〃x)>x+1的解集為

()

A.(-2,2)B.(2,+00)C.(-℃,2)D.(-oo,+co)

【答案】B

【分析】構造函數/(x)=2x-l,解不等式即可得出答案.

【詳解】構造函數〃x)=2x-l,滿足"2)=3,r(x)=2>l>

則由〃x)>x+l可得2x-l>x+l,解得：x>2.

故選：B.

2.(2024?廣東廣州?模擬預測)已知定義在R上的函數“X)的導函數為了'(X),且〃x)+/(-x)=0.對于任

意的實數x,均有/(耳<彳乎成立，若〃一3)=-16,則不等式/(x)>2i的解集為()

A.(-00,-3)B.(一°°，3)C.(-3,+oo)D.(3,+8)

【答案】D

【分析】構造函數g(x)=4a，然后由已知可得g(%)=券的單調性，最后將不等式轉化為

g(x)>g⑶,即可得到答案.

【詳解】/(x)<^^r(x)-/(x)ln2>0,令g(x)=零,

,,、f'(x]-2x-2xf(x}\n2f'(x}-f{x]\n2

貝!Jg(x)=丫=I，2:>。，貝Ug(X)在(一8,+s)上單調遞增.

I2;

由/(—3)=T6,/(x)為奇函數,得/⑶=16,貝！Jg(3)=』^=2,

8

從而原不等式可化為工區>2,即A?>坐，此即為g(x)>g⑶.

222

由于g(x)在(-8,+向上單調遞增，故這等價于X>3,所以不等式的解集為(3,+8).

故選：D.

【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵點在于構造新的函數并利用已知條件.

3.(2024?遼寧?模擬預測)已知a,b&R,若2Va<6,ah=ba,則6的可能值為()

A.2.5B.3.5C.4.5D.6

【答案】B

【分析】構造函數/(》)=乎，求導確定其單調性，結合〃2)=/(4)可得答案.

【詳解】由得皿=半，設〃x)=皿，則/⑷=〃6),

abx

又廣。)=匕”，

X

當0<x<e時，f'(x)>0,/(x)單調遞增,

當X>e時，f'(x)<0,/(x)單調遞減.

因為/(2)=*=羋=學=/(4),所以2?a<e<b<4.

244

結合選項可知B正確，ACD錯誤.

故選：B.

4.(2023?河北?三模)已知函數/5)=/+》一/—。111》在區間(14)上恰有2個零點，則實數。的取值范

圍是()

A.(e,y)B.(0,y)C.1力D.(0,e)

【答案】A

【分析】根據題意，令式⑼=1+*,轉化為g(x)=g(aInx)在區間(1,/)上恰有2個實根,進而轉化為x=aInx

即a=4在區間(1,e2)上恰有2個實根，得到/尤)=1匚與了=。的圖象在區間(1,e?)上恰有2個交點，利用

mxInx

導數求得函數h(x)的單調區間和極值，進而得到答案.

【詳解】由函數/(x)=e*+尤—x"—alnx在區間(1,不)上恰有2個零點，

令/'(無)=°,可得e*+x=x"+alnx=e"-"+alnx,

令*)=1+/,則g(x)=g(alnx)在區間(1?)上恰有2個實根，

因為g(x)在R上單調遞增，所以x=olnx即。=戶在區間ad)上恰有2個實根,

Inx

所以函數名》)=戶與夕=。的圖象在區間(132)上恰有2個交點,

Inx

lnx-1

又由〃'(x)=當xe(l,e)時,h'(x)<0；當xe(e,e?)時，h'(x)>0,

所以函數h(x)在區間(1,e)上單調遞減，在區間(e,e?)上單調遞增,

當x-1+時，—+8,且〃(e)=e,〃(e2)=—,所以

22

所以實數a的取值范圍是(e,[).

故選：A.

5.(23-24高三上?山西運城?階段練習)已知〃=l+sinO.l,6=l+lnl.l,c=1.0110,則()

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<a<bD.b<c<a

【答案】B

【分析】根據二項式展開式，得到設g(x)=x-sinx,利用導數得到g(x)在(0,+8)上單調遞增,

根據g(x)>g(O)=O,得到"％令〃x)=sinx-ln(l+x),xe(O,l),得到a>6,即可求解.

【詳解】由0=1.0'=(1+。1)'°=1+。,0.01+或。.012+?一+00.0嚴>1+。?0.01+——=1.1,

設g(x)=x-sinx,可得g'(x)=l-cosx20恒成立，函數g(x)在(0,+oo)上單調遞增，

所以g(x)>g(O)=O,所以x>sinx在在(0,+co)上恒成立,

所以a=l+sin0.1<l+0]=l.l,所以a<c,

設夕(x)=cosx-l+；x\xe(0,1),可得"'(x)=-sinx+x>0,

所以夕(x)>e(O)=O,所以COSXAI-；/

設/(x)=sinx-ln(l+x),xe(0,1),

所以/(X)在(0,1)上單調遞增，所以〃0.1)>〃0)=0,可得sin0.1>lnl.l,即。>6,

所以6<Q<C.

故選：B.

方法五數形結合法

數形結合法：對于一些含有幾何背景的題，若能根據題目中的條件，作出符合題意的圖形，并通過對

圖形的直觀分析、判斷，即可快速得出正確結果.這類問題的幾何意義一般較為明顯，如一次函數的斜率

和截距、向量的夾角、解析幾何中兩點間距離等.

彳麗訶練j

一、單選題

1.(24-25高三上?北京?期中)已知定點火3,0),2(0,4),若點C在圓O:V+必=4上運動，則2|C/|+|C同

的最小值為()

A.2A/H)B.6

C.2+2石D.2+2而

【答案】A

【分析】設點。（0，，），且|CD|=Jc2|,由此可求得。（0,1）,利用三角形兩邊之和大于第三邊的性質可確定

當4G。三點共線時取得最小值.

【詳解】設點C（xj）,貝「。同=也2+5-4）2=27^7,

設點0（0，。，且|CD|=；|C2|,:.舊+（y_fj=,+*_2勿=7^7,

解得」=1,.?.存在點。（0,1）,使得皿=；儂,

2|C^|+|C5|=2\\CA\+^\CB\\=2(Q+|CD|"2Ml(當且僅當A,C,D

故選：A.

【點睛】關鍵點點睛：本題考查圓的問題中的線段長度和最值的求解問題，解題關鍵是能夠根據阿波羅尼

斯圓的性質，將所求線段進行長度轉化，進而利用幾何關系來進行求解.

2.（23-24高三上?江西南昌?開學考試）已知函數>=/和y=lnx的圖象與直線y=2-x交點的橫坐標分別為

。，6,貝!1（）

A.a>bB.a+b<2C.ab>lD.a2+b2>2

【答案】D

【分析】作出函數了=砂和>=lnx的圖象以及直線了=2-x的圖象，即可判斷。/大小沒判斷A；利用反函

數的性質可判斷B；利用基本不等式可判斷C,D.

【詳解】作出函數了=砂和了=曲的圖象以及直線y=2-x的圖象，如圖，

由函數y=e，和y=lnx的圖象與直線>=2-x交點的橫坐標分別為a,b,

結合圖象可知0<a<6,A錯誤;

由題意知A(a,e“),3(6,Inb),也即A(a,2-由B(b,2-6),

由于函數y=e*和y=lnx互為反函數,

二者圖象關于直線V=x對稱，而42為>=/和>=lnx的圖象與直線y=2-x的交點,

故48關于尸x對稱，故。=2-4.“+6=2,B錯誤;

由0<a<6,a+6=2,故"<（《5=1,c錯誤；

因為0va<6,故/+〃>lab.2（tz2+Z）2）>（6Z+b）2,

結合Q+b=2,即得/+62>2,D正確，

故選：D

3.（24-25高三上?湖南?階段練習）已知2是單位向量，向量B滿足歸-可=3,則忖的最大值為（）

A.2B.4C.3D.1

【答案】B

【分析】設厲=扇礪=不，由歸-同=3,可得點B在以A為圓心，3為半徑的圓上，利用向量的模的幾何

意義，可得|可的最大值.

【詳解】

設。4=譏。8=B，因為歸―可=3,

即必-詞=網=3,即畫=3,

所以點5在以A為圓心，3為半徑的圓上,

又方是單位向量，則網=1,

故畫最大值為網+網=1+3=4,即欠的最大值為4.

故選：B.

4.（2024?廣東?模擬預測）已知/（x）=2sin（ox+v）（。＞0,|夕|＜3,其中相鄰的兩條對稱軸的距離為（，且/@）

經過點（O,T）,則關于龍的方程〃x）=siiu在［0,2可上的不同解的個數為（）

A.6B.5C.4D.3

【答案】A

【分析】把方程解的個數問題轉化為兩函數圖象的交點個數問題，從而利用數形結合可找到答案.

兀兀T2兀

【詳解】由已知相鄰兩條對稱軸的距離為三，可得5=5=麗，又。＞0,可得。=3,

由函數/（X）經過點（0,-1）,貝！J2sine=-1,Bpsw=-1,

又時苦，可得夕=-,所以〃x）=2sin（3xq］,

因為函數〉=sinx的最小正周期為T=2兀，

所以函數/（x）=2sin13x-3的最小正周期為7=g,

所以在［0,2兀］函數/（x）=2sin有三個周期的圖象，

在坐標系中結合五點法畫出兩函數圖象，如圖所示，由圖可知，兩函數圖象有6個交點，

5.（24-25高三上?遼寧沈陽?期中）已知。＞0,beR,若關于x的不等式（ax-2乂/+加一8”0在（0,+s）

上恒成立，則6+9的最小值是（）

a

A.4B.472C.8D.8亞

【答案】C

【分析】結合一次函數與二次函數的圖象性質，由不等式可得兩函數有共同零點42,由此得24是方程

aa

x2+6x-8=0的根，可得凡6的關系，消b再利用基本不等式求解最值可得.

【詳解】設/(x)=ox-2,g(x)=x2+6x-8,

又。>0,所以/(x)在(0,+8)單調遞增，

o0

當0<x<—時，/(x)<0；當x〉一時，/(%)>0,

aa

由g(x)圖象開口向上，g(0)=-8,可知方程g(x)=0有一正根一負根，

即函數g(x)在(0,+8)有且僅有一個零點，且為異號零點；

22

由題意知/(x)g(x”0,貝！|當0<x</時，g(x)<0；當時，g(x)>0,

2

所以4是方程，+裊_8=0的根，

a

貝！l4?+”一8=0,即6=4。一2,且。>0,

aaa

6?64I4

所以b+—=4〃——+—=4a+—>2j4a--=8,

aaaa\a

4[a=\

當且僅當4a=3,即時，等號成立，

a[b=2

則6+9的最小值是8,

a

故選：C

方法六建系法

建立平面直角或空間直角坐標系，這樣相對直觀，易把題中條件轉化，把代數與幾何有機結合.

一、單選題

1.(2024?廣東梅州?模擬預測)直三棱柱48C-43G中，ZBAC=120°,AB=AC=AA1,則異面直線網

與/￡所成角的余弦值為（）

【答案】A

【分析】由題意，以A為原點，建立空間直角坐標系，求出異面直線34與NG所在直線的方向向量，由空

間向量夾角的余弦值的坐標公式求解即可.

【詳解】以A為原點，在平面/3C中過A作NC的垂線交8c于。，

以所在直線為X軸，NC所在直線為了軸，所在直線為Z軸，建立空間直角坐標系，

因為直三棱柱ABC-4耳C］中，ABAC=120°,

^AB=AC=AAX=\,

所以8^,--,0,4（0,0,1）,4（000）,G（0,1,1）,

B4=-三亍1，=（0,1,1）,

k227

設異面直線BA1與4G所成角為e，

V2,y/2,4

所以異面直線BA,與/￡所成角的余弦值為:3.

2.（24-25高二上?貴州貴陽?期中）圖，已知圓柱QU的軸截面是邊長為2的正方形，E為下底面圓

周上一點，滿足前=2筋，則異面直線NE與2Q所成角的正弦值為（）

【答案】A

【分析】建立空間直角坐標系，利用向量的夾角公式求解即可.

【詳解】

因為防=2石，所以乙4。度=60。，所以/。2/￡=60。，

如圖所示，以A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，

則/（O,O,O）,8（O,2,O）,Q（O,1,2）,E^,-,0,

（22）

所以『慘，川，西=（O，T2）,

1

所以異面直線AE與BOX所成角的余弦值為卜os荏,BO\一，亞

1x7510'

y/95

則異面直線AE與30所成角的正弦值為

1記

2兀

3.（23-24高一下?湖北武漢?期末）在平行四邊形A8CD中，ZBAD=—,AB=1,3=2,P是以C為圓

心，G為半徑的圓上一動點，且N=x方+〃而，則％+〃的最大值為（）

A.2+V3B.V7+V3C.2+V7D.2+—

7

【答案】C

【分析】先利用余弦定理求出/C,易得以C為坐標原點建立平面直角坐標系，設

P(6cosaGsin。)，根據平面向量線性運算的坐標表示結合三角函數即可得解.

【詳解】由題意=

在4CD中，由余弦定理得=DA2+DC2_2da.DCcosNADC=3,

所以/C=VL

貝!,故/CJ.CD,

如圖，以C為坐標原點建立平面直角坐標系，

則。(-1,0),71(0,73),5(1,73),設P(6cose,6sin。)，

故/尸=(0《?。,JJsind-JJ),刀=(1,0),25=(-1,-73).

又萬=MB+/1AD=2(1,0)+〃(-1,-回,

艮|](acos0,6sin(9-6)=(4，

出cose=彳-〃2=1+V3cos0—sin0

所以＜所以《

6sin8-道=-y/3/j〃=1-sin0

其中cos°=理,sin°=平

所以X+〃=2+A/3COS0-2sin0=2+V7cos(9+。)<2+V7,

當且僅當cos(e+°)=l時，幾+〃取最大值，且它的最大值為2+4.

【點睛】關鍵點點睛：建立平面直角坐標系，利用平面向量運算的坐標表示公式是解題的關鍵.

二、填空題

4.(24-25高三上?北京?階段練習)已知正方形4BC。的邊長為2,以8為圓心的圓與直線4c相切.若點P

是圓B上的動點，則麗.后的最大值是.

【答案】8

【分析】建立如圖所示的平面直角坐標系，設P(x,y),用坐標表示向量的數量積，由P在圓上可求得最大

值.

【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標系，則4-2,0),。(-2,2),2(0,0),

易知圓5的半徑為近，圓方程為/+r=2,

設尸(x,y),則麗=(2,-2),萬=(x+2,y),

貝!］麗/=2(x+2)-2y=4+2(x-y),

設x-N=/,貝!IN—,代入圓方程并整理得2/_2笈+〃-2=0,

此方程有實數解，所以A=4*—8(產—2)20,解得-24Y2,

所以x-V的最大值是2,

所以瓦?后=4+2(x-y)的最大值是8.

故答案為：8.

——————>0'TT

5.(24-25高三上?上海?期中)已知平面向量.也”滿足⑷=4,|e|=l,M-a|=l,<a,e>=每~,且對任意的實

數〃均有歸-回去-2或則。工|的最小值為

【答案】3

【分析】利用向量的坐標運算，再用數形結合思想求出最小值.

【詳解】

如圖，建立直角坐標系，記槨=￡,礪=",

——ffyTT/\

因為⑷=4,|e|=l,<a,e>=一,所以點N（4,0）,E

作無=g，設其坐標為3=（XJ）,因為==歸_目=1,

所以點B在以點A為圓心，1為半徑的圓上，即（工-4丫+療=1,

因為對任意的實數t,均有|；-?；|>|；-2：|,

ntH|c—Ze|2>|c-2e|2=>Z2-2/c-e+4c-e-4>0，

由于上式對任意的實數t的一元二次不等式恒成立，

貝!］△=（-2機可2-16機3+164On伍福一2）240,BPc-Z-2=0>

<i1同

設反=［又設/=（￡,，），則［N=（x',y'>，-、萬=--x'+—y'=2,

整理得：x'-y/3y'+4=0,所以可知點C在直線x-6y'+4=0上，

又因為點B在以點A為圓心，1為半徑的圓上，且歸叫=國-詞=|網,

所以可以把|小看成兩動點8和C的距離,

顯然距離最小值為圓心A到直線X-+4=0的距離減去半徑1,

|4-0+4|

而點A到直線x,-V3/+4=0的距離d==4,

V1+3

所以回卜4-1=4-1=3,即「二|的最小值為3,

故答案為：3.

【點睛】關鍵點點睛：確定B,C點軌跡解決問題的關鍵.

多選題方法攻略

1）宜而

在多項選擇題中，有很多時候只能將題干直接轉化以達到求解問題。

2）先易后難法

在多個正確選項當中，經過仔細分析，可以找到一個非常好選的選項，先選上這個選項，可以保證拿

到2分，如果其他選項沒有把握的話，就趕緊去做下一個題，等把其他的題都做完了，再回來看沒有把握

的多選題。一定要根據自己的真實水平從多選題中拿分，切忌不可貪心。

3）排除法

在多項選擇題中，尤其是當你確定其中兩個選項為錯誤時，則另外兩個肯定是正確答案。特別是從近

年的高考試題中發現一個規律：四道多選題至少兩道是只有兩個選項對的。

4）對立法

對立的選項中必定有一個是錯誤的。例如選項中，A