微重點06子數(shù)列與增減項問題（3大考點+強化訓(xùn)練）

子數(shù)列問題（包括數(shù)列中的奇偶項、公共數(shù)列以及分段數(shù)列）與數(shù)列的增減項問題是近幾年高考的重點和熱點,

一般方法是構(gòu)造新數(shù)列，利用新數(shù)列的特征（等差、等比或其他特征）求解原數(shù)列.

知識導(dǎo)圖

?考點一：奇數(shù)項、偶數(shù)項

★子數(shù)列與增減項問題------?考點二：兩數(shù)列的公共項

考點三：數(shù)列有關(guān)增減項問題

考點分類講解

考點一：奇數(shù)項、偶數(shù)項

規(guī)律方法（1）數(shù)列中的奇、偶項問題的常見題型

①數(shù)列中連續(xù)兩項和或積的問題（斯+詼+1=火〃）或an-a?+i=fin）'）;

②含有（一1）〃的類型；

③含有｛儂｝,｛儂-i｝的類型；

④已知條件明確的奇偶項問題.

（2）對于通項公式分奇、偶不同的數(shù)列｛.“｝求S”時，我們可以分別求出奇數(shù)項的和與偶數(shù)項的和，也可以把

42%-1+。2欠看作一項，求出$2后再求S2）t-1=S2A：—。2后

【例1】（2024?莆田模擬）已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，公差d片0,且。2，他，成等比數(shù)列，$5=15.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項公式；

⑵若2=需'求數(shù)列電｝的前2n項和T2n.

【變式1】(2024?晉中一模)已知數(shù)列｛為｝的首項q=2,且%+|=外±1

n+1

(I)求數(shù)列｛2｝的通項公式；

〃名,〃為奇數(shù)，

(II)令4=旦,“為偶數(shù),求數(shù)列電｝的前2n項和S2n.

,22

(an—6,w為奇數(shù)，

【變式2】(2023?新高考全國II)已知｛斯｝為等差數(shù)列，d=4/用知記S”T”分別為數(shù)列｛斯｝,

[2an,〃為偶數(shù).

｛6“｝的前〃項和,&=32,A=16.

(1)求｛%｝的通項公式；

⑵證明:當(dāng)〃>5時，Tn>Sn.

【變式3](2023?鄭州模擬)已知數(shù)列｛0”｝滿足m=3,斯=斯—1+2"一1(〃?2,”GN*).

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項公式；

⑵令b?=a?-1+(-l)"log2(a?-1),求數(shù)列｛d｝的前"項和Tn.

考點二：兩數(shù)列的公共項

規(guī)律方法兩個等差數(shù)列的公共項是等差數(shù)列，且公差是兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù)；兩個等比數(shù)列的公

共項是等比數(shù)列，公比是兩個等比數(shù)列公比的最小公倍數(shù).

【例2】（2024高三?全國,專題練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝,但｝的前〃項和分別為S“，Tn,且S“=2/+3W,

2T,=3bn-3,若兩個數(shù)列的公共項按原順序構(gòu)成數(shù)列匕｝,則6++。3=.

【變式1】（2024?全國?模擬預(yù)測）已知〃N*,匕，2=5+"，若將數(shù)列｛%｝與數(shù)列也｝的

公共項按從小到大的順序排列組成一個新數(shù)列｛g｝,則數(shù)列｛%｝的前99項和為.

【變式2】（2024?福建漳州?模擬預(yù)測）將數(shù)列｛3〃-1｝與｛2"｝的公共項從小到大排列得到數(shù)列｛%｝,則％。=

（）

A.237B.238C.239D.240

【變式3】已知數(shù)列｛%｝的前〃項和%=%—,｛仇｝為等比數(shù)列,公比為3且8,歷+1,優(yōu)為等差數(shù)列.

（1）求｛詼｝與｛仇｝的通項公式；

（2）把數(shù)列｛斯｝和｛小｝的公共項由小到大排成的數(shù)列記為｛c“｝,求數(shù)列｛c.｝的前n項和Tn.

考點三：數(shù)列有關(guān)增減項問題

規(guī)律方法解決此類問題的關(guān)鍵是通過閱讀、理解題意，要弄清楚增加了（減少了）多少項，增加（減少）的項

有什么特征，在求新數(shù)列的和時，一般采用分組求和法，即把原數(shù)列部分和增加（減少）部分分別求和，再相

加（相減）即可.

【例3】(2023?無錫模擬)設(shè)等比數(shù)列｛斯｝的首項為ai=2,公比為q(q為正整數(shù))，且滿足3a3是8al與怒的

3

等差中項；數(shù)歹滿足2層—(3+b")n+]b"=0(fGR,nEN*).

⑴求數(shù)列｛如｝,｛仇｝的通項公式;

(2)當(dāng)｛"｝為等差數(shù)列時，對每個正整數(shù)左，在公與四+i之間插入從個2,得到一個新數(shù)列｛，“｝.設(shè)T”是數(shù)列

｛金｝的前〃項和,試求Tioo.

【變式1】已知等比數(shù)列｛斯｝的前“項和S“=2"+r,其中r為常數(shù).

⑴求r的值；

(2)設(shè)b“=2(l+log2a“)，若數(shù)列｛d｝中去掉數(shù)列｛〃“｝的項后余下的項按原來的順序組成數(shù)列｛ca｝,求ci+c2+

c3H------Hcioo的值.

【變式2】.(2023?天津模擬)設(shè)數(shù)列｛詼｝的前"項和為5,=("-1)2"+1+2,"?N*.

(1)求｛詼｝的通項公式；

⑵若b,尸累,抽去數(shù)列｛d｝中的第1項，第4項，第7項，…，第3w—2項，余下的項順序不變，組成一個

新數(shù)列｛Q｝，求｛c“｝的前2023項和7^023.

【變式3】（2024?天津模擬）已知｛q｝是等差數(shù)列，｛2｝是公比不為1的等比數(shù)列，出=6，%+。5=22,

3%=44，且28是34與仇的等差中項.

(1)求：數(shù)列｛乙｝和｛〃,｝的通項公式.

（-1）"卓，〃為奇數(shù)

2”

(2)設(shè)4.=，求之4.

—8〃？+36〃—364,/田涮r

-------------/為偶數(shù)1=1

bn

若對于數(shù)列｛%｝、｛用｝,在七和4華之間插入4個2（左eN*）,組成一個新的數(shù)列｛%｝,記數(shù)列｛g｝的

前〃項和為7；,求寫024?

I強化訓(xùn)練

一、單選題

1.（2023-江西南昌,三模）已知〃eN*,將數(shù)列｛2〃-1｝與數(shù)列｛/-1｝的公共項從小到大排列得到新數(shù)列

9101112

A.—B.—C.—D.—

19212325

2.（2023?四川德陽?一模）德陽某高校為迎接2023年世界新能源大會，決定選派一批志愿者參與志愿服

務(wù)，計劃首批次先選派1名志愿者，然后每批次增加1人，后因?qū)W生報名積極，學(xué)校決定改變派遣計劃,

若將原計劃派遣的各批次人數(shù)看成數(shù)列｛4｝，保持數(shù)列｛4｝中各項先后順序不變的情況下，在處與

%】化=1,2,…）之間插入2匚使它們和原數(shù)列的項依次構(gòu)成一個新的數(shù)列也｝,若按照新數(shù)列｛bn｝的各項

依次派遣學(xué)生，則前20批次共派遣學(xué)生的人數(shù)為（）

A.2091B.2101C.2110D.2112

3.（23-24高三上?江西?期中）在等差數(shù)列｛%｝中，%,%,生成公比不為1的等比數(shù)列，S“是｛q｝的

1011]

前〃項和，將數(shù)列｛%｝與數(shù)列｛5-1｝的公共項從小到大排列得到新數(shù)列｛〃｝,則（）

i=l

101010111

A.1B.----C.----D.----

101120232023

4.（23-24高三上?湖南長沙?階段練習(xí)）在數(shù)列｛%｝中的相鄰兩項見與%MN*）之間插入一個首項為

11o

公差為的等差數(shù)列的前〃項，記構(gòu)成的新數(shù)列為也｝,若則也｝前65項的和為

（）

2527

A.---B.-13C.---D.-14

22

5.（2023?全國?模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛%｝滿足/=（-!）",在4，/MpeN*）之間插入首項為七+〈，公差

為;的等差數(shù)列的前左項，構(gòu)成數(shù)列也｝,記數(shù)列也｝的前幾項和為S“，則%。=（）

K

A.105B.125C.220D.240

6.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知〃eN*,4='，2=7一"，數(shù)列&｝與數(shù)列也｝的公共項按從大

到小的順序排列組成一個新數(shù)列｛5｝,則數(shù)列｛5｝的前99項和為（）

1961989899

△---R---r---D---

?197?199?197?199

二、多選題

7.（23-24高三上?江西南昌?期中）已知數(shù)列｛%｝的通項公式是°“=2”,在4和電之間插入1個數(shù)如，使

%,X“，出成等差數(shù)列；在。2和03之間插入2個數(shù)如,,使。2，>為22，。3成等差數(shù)列；；在

。.和"0+1之間插入“個數(shù)%,Xn2,■■■,xnn,使a,,xnl,xn2,…x““，a”+i成等差數(shù)列.這樣得到新數(shù)列

｛〃,｝：%,網(wǎng)],出,*21'-^22>"3'*31,工32'尤33''….記數(shù)列｛d｝的刖“項和為S”，有下列選擇支

中，判斷正確的是（）

A.xnl+xll2+---+xnn=3n-2"-'B.al0=b66

C.%=3072D,$55=14337

8.（23-24高三上?黑龍江哈爾濱?期末）已知數(shù)列｛q｝,2=%+1+（-1）%“，則（）

A.當(dāng)4=〃時，數(shù)列他/是公差為2的等差數(shù)列

B.當(dāng)%=〃時，數(shù)列加,｝的前16項和為160

C.當(dāng)勿=〃時，數(shù)列｛（｝前16項和等于72

D.當(dāng)么=”時，數(shù)列｛4｝的項數(shù)為偶數(shù)時，偶數(shù)項的和大于奇數(shù)項的和

9.（23-24高二下?河北承德?開學(xué)考試）已知等差數(shù)列｛4｝的首項q=2,公差d=8,在｛%｝中每相鄰兩項

之間都插入左個數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個新的等差數(shù)列｛仇｝,以下說法正確的是（）

A.an=8?-6

B.當(dāng)左=3時，bn=2n

C.當(dāng)k=3時，49不是數(shù)列｛%｝中的項

D.若凡是數(shù)列｛%｝中的項，則％的值可能為7

三、填空題

10.（2023,全國?模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛%｝的前〃項和S“滿足2s"一W“=",?eN*,且％=5,若數(shù)列｛"｝

的通項公式為4=3〃-2,將數(shù)列｛為｝與抄“｝的公共項按從小到大的順序排列得到數(shù)列｛cj,則匕,｝的前n

項和為.

11.（2024高三?江蘇?專題練習(xí)）已知等差數(shù)列｛A｝的首項4為%公差為6,在｛4｝中每相鄰兩項之間都

插入兩個數(shù)，使它們和原數(shù)列的項一起構(gòu)成一個新的等差數(shù)列｛4｝,則數(shù)列｛4｝的通項公式為

??=;若4,，他，…,”，…是從｛q｝中抽取的部分項按原來的順序排列組成的一個等比數(shù)列，

左=1,&=5,令b“=2nk“+2n,則數(shù)列也｝的前"項和T”=.

四、解答題

12.（2023高三?全國?專題練習(xí)）一個等差數(shù)列的首項是8,公差是3,另一個等差數(shù)列的首項是12,公差

是4,這兩個數(shù)列有公共項嗎？如果有，求出最小的公共項，并指出它分別是原等差數(shù)列的第幾項？求出

由公共項組成的數(shù)列的通項公式及前100項的和.

13.（23-24高三上?山東青島?期中）數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，數(shù)列也｝是等比數(shù)列，滿足:

4+4=8,%+b2=18,4+4=30,62+1=勿+2+9bn.

⑴求數(shù)列｛g｝和也｝的通項公式；

（2）數(shù)列｛%,｝和｛〃｝的公共項組成的數(shù)列記為｛。“｝,求｛%｝的通項公式;

⑶記數(shù)歹U的前"項和為S“，證明：5“＜苫

匕-8J8

14.（2024高三?江蘇?專題練習(xí)）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列｛4｝中，4=1且滿足氏+；-4=24+2”向，數(shù)

列也｝的前”項和為S,,滿足2Sn+1=3”.

⑴求數(shù)列｛4｝,也｝的通項公式；

⑵若在外與4+1之間依次插入數(shù)列｛%｝中的％項構(gòu)成新數(shù)列｛%｝：4，％,b2,a2,“3，%，/，%，

?61卻……，求數(shù)列｛%｝中前50項的和臬.

15.(2024?全國?模擬預(yù)測)已知數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，q=1,3%-0=10,且數(shù)列｛%｝是公比為2的等比

數(shù)列,4=2.

⑴求｛4｝,｛2｝的通項公式；

曰兼r

｛""'"72便將，將匕｝中的項按原有順序依次插入到數(shù)列｛2｝中,使4與心之間

插入2項，形成新數(shù)列，求此新數(shù)列前面20項的和心。.

16.(2023,山東泰安?二模)已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，4=2,a“w0,a?a?+1=4S?.

⑴求冊;

(2)設(shè)2=(-1)“3"-1),數(shù)列也｝的前幾項和為1,若WteN*,都有陽成立，求實數(shù)彳的范圍.

微重點06子數(shù)列與增減項問題（3大考點+強化訓(xùn)練）

子數(shù)列問題（包括數(shù)列中的奇偶項、公共數(shù)列以及分段數(shù)列）與數(shù)列的增減項問題是近幾年高考的重點和熱點,

一般方法是構(gòu)造新數(shù)列，利用新數(shù)列的特征（等差、等比或其他特征）求解原數(shù)列.

知識導(dǎo)圖

?考點一：奇數(shù)項、偶數(shù)項

*子數(shù)列與增減項問題------?考點二：兩數(shù)列的公共項

考點三：數(shù)列有關(guān)增減項問題

考點分類講解

考點一：奇數(shù)項、偶數(shù)項

規(guī)律方法（1）數(shù)列中的奇、偶項問題的常見題型

①數(shù)列中連續(xù)兩項和或積的問題（即+<7"+1=*〃）或a“s+i=/（"））;

②含有（一1）"的類型；

③含有｛。2“｝,的類型；

④已知條件明確的奇偶項問題.

（2）對于通項公式分奇、偶不同的數(shù)列｛%｝求斗時，我們可以分別求出奇數(shù)項的和與偶數(shù)項的和，也可以把

“2%-1+。2欠看作一項，求出$2左，再求S2）t-1=S2A：—a2后

【例1】（2024?莆田模擬）已知等差數(shù)列｛%]的前n項和為S,，公差d入0,且。2，%，4成等比數(shù)列，&=匯.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項公式；

（2）若勿上叱注求數(shù)列電｝的前2〃項和耳.

[2，〃為偶數(shù)，

【分析】（1）根據(jù)等比中項的概念及等差數(shù)列的通項公式及前〃項和公式，列方程即可求解；

（2）由題意知，數(shù)列｛句｝的奇數(shù)項構(gòu)成等差數(shù)列，偶數(shù)項構(gòu)成等比數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列及等比數(shù)列的求和

公式即可求得心“.

【解答】解：(1)因為出，。4,七成等比數(shù)列，所以。;二的小，

即(q+3d)2—(q+d)(q+7d)，即a；+6%d+9d°=a；+8a/+7d~,

所以42=巧〃，因為dwO,所以q=”,

5x4

又$5=15,所以％+三一/=15,

即?,+2d=3,所以q=d=l,

所以數(shù)列｛%｝的通項公式為：

an=ai+(n—Y)d=1+(〃一l)xl=〃；

九，九為奇數(shù)

(2)由(1)可得么=

2f為偶數(shù)

因為砥+1-Vi=Qk+1)-(2/:-1)=2(%wN*),

所以｛"j｝是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，

因為%罩=22=4(%eN*),

所以｛怎｝是以4為首項，4為公比的等比數(shù)列，

所以或=4+4+…+處

=(4+Z?3H--Fb2n7)+(Z?2+Z?4H----bZ?2n)

=[1+3+...+(2H-1)]+(223+24+...+22M)

n(l+2n-l)4(1—4〃)

=---------1------

21-4

24〃+i—4

=n+------，

3

所以數(shù)列｛句｝的前2〃項和為&=〃2+土14.

【點評】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列及數(shù)列求和等知識，屬中檔題.

【變式1】(2024?晉中一模)已知數(shù)列｛%｝的首項q=2,且見包=叫上

n+1

(I)求數(shù)列｛〃"｝的通項公式；

為奇數(shù)，

(II)令％=，/，〃為偶數(shù),求數(shù)列電｝的前2n項和S2n.

【分析】(I)由已知結(jié)合數(shù)列的遞推關(guān)系看，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式即可求解;

(II)先求么，然后利用分組求和及錯位相減求和即可求解.

【解答】解：(I)?.?4+[="山，

n+1

/.(n+l)a〃+i=nan+1，

令c,=naj則有c,+i—c,=L

于是數(shù)列｛%｝是首項為2,公差為1的等差數(shù)列,

故q=2+〃-1=〃+1,

于是4=%=但；

nn

〃+1,〃為奇數(shù)，

(H)由(I)可知或?=為偶數(shù),，

、2萬

則在前2〃項中，S奇=4+4+&+—Fb2n_Y=2+4+6+—卜2n=(2+｝)-=〃(〃+1),

1jj73572〃+1

Sc偶=b2+2+4+…+如=牙+疊_+無+…+三丁，

1c3572n+l

2偶》23242n+1

/七至汨1c32222n+l

1h22彳、JSm=~rHHr+*—I----------

2偶212223T2n+1

22"，]2〃+1.52〃+5

-2.12"+1-22"+1，

1------

2

.《2〃+5

,,D偶一’了一'

則數(shù)列電｝的前2〃項和S2“=/+〃+5-卷°.

【點評】本題考查了等差數(shù)列的通項公式，還考查了錯位相減求和，屬于中檔題.

(a,,-6,〃為奇數(shù)，

【變式2】(2023?新高考全國H)已知｛斯｝為等差數(shù)列，d=4/田好記S”。分別為數(shù)列｛詼｝,

[2an,”為偶數(shù).

｛為｝的前"項和,$4=32,后=16.

(1)求｛斯｝的通項公式；

(2)證明：當(dāng)〃>5時，Tn>Sn.

【解析】(1)解設(shè)等差數(shù)列｛所｝的公差為d,

一6,〃為奇數(shù),

而"〃[2an,〃為偶數(shù)，

則b\=a\-6,岳=2。2=2防+2",。3=〃3—6=〃i+2d—6,

fS4=4〃i+6d=32,

于是

[八=4〃1+4d—12=16,

解得。i=5,d=2,〃〃=〃i+（〃一l）d=2〃+3,

所以數(shù)列｛斯｝的通項公式是詼=2〃+3.

yn口、、_u.,〃(5+2〃+3),.

2

⑵證明方法一由(1)知，Sn—2—n+4n,

f2n—3,〃為奇數(shù),

"〃L4n+6,〃為偶數(shù),

當(dāng)〃為偶數(shù)時，為—1+為=2(〃-1)—3+4〃+6=6〃+1,

13+(6〃+1)』37

Tn~2'2~2n2+呼，

(31、1

當(dāng)n>5時，A—S〃=52+列—(〃2+4〃)=/幾一1)>0,

因此Tn>Sn.

3735

=

當(dāng)〃為奇數(shù)時，TnTn+i—。八+1=/(〃+1)2+](〃+1)—[4(〃+1)+6]=]/+]〃-5,

當(dāng)n>5時，7“一5“=(|/+|〃一5)一(層+4〃)=；(〃+2)(〃-5)>0,

因此Tn>Sn.

綜上，當(dāng)n>5時，T?>Sn.

、7_,,幾(5+2〃+3)..

萬法二由(1)知，Sn=-一2---^=層+4〃，

f2n—3,n為奇數(shù),

"〃14〃+6,〃為偶數(shù),

_]+2(〃-1)一3n14+4〃+6n3.7

當(dāng)〃為偶數(shù)時,T—(b\+b3-\兒—。仇)=+—2—0小

n-----H1)+32+4H-----F2'2

22

當(dāng)n>5時，Tn—Sn=^T+^n^—(ri+4n)=^n(n—1)>0,

因此Tn>Sn9

當(dāng)n為奇數(shù)時，若〃三3,

小.........................—l+2n-3n+1t14+4(n—1)+6n-l3o.5

貝！]Tn—(b\-\-b^Fb〃)+32+〃4d\~bn-\)—5~~=5"+5〃-5,

乙乙乙乙乙乙

顯然Ti=bi=-1滿足上式，

35

因此當(dāng)〃為奇數(shù)時，4=]/+]〃-5,

22

當(dāng)n>5時，Tn—Sn=(jn+1n—5^—(zz+4n)=^(n+2)(/?—5)>0,

因此Tn>Sn,

所以當(dāng)〃>5時，7>S“.

【變式3](2023?鄭州模擬)已知數(shù)列｛為｝滿足m=3,斯=詼-|+2"一1(〃》2,nGN*).

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項公式；

(2)令bn=an-1+(-l)"log2(a,-1),求數(shù)列/”｝的前“項和T?.

【解析】(1)；。"一a"T=2'-i("A2),

當(dāng)時，+—。1)+(。3-C12)------H(a?-1-。"-2)+3”一<Z?-1)

1—2"

=3+2+22H-----H2"-2+2"r=2+-j~~=2n+l,

1—2

檢驗知當(dāng)n=l時上式也成立，

故a“=2"+l(wdN*).

(2)由題意知，均=2"+(-1)"加

2

當(dāng)〃為偶數(shù)時，Tn=2+2-\------l-2"+(-l)+2+(-3)+4H------1-(-1)"?

2(1-2"),n

=-

=2"+i—2+與

〃—1Yl~1

當(dāng)n為奇數(shù)時，。=。-1+2"+(—1)，=2"—2+—7-+2"—〃=2"+1—2一—y-且

又當(dāng)”=1時，Ti=6i=2—l=l滿足上式，

此時7〃=2.1一2一空』，

12"+i—2—審，〃為奇數(shù)，

綜上，〃=彳

12"+i—2+會及為偶數(shù).

考點二：兩數(shù)列的公共項

規(guī)律方法兩個等差數(shù)列的公共項是等差數(shù)列，且公差是兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù)；兩個等比數(shù)列的公

共項是等比數(shù)列，公比是兩個等比數(shù)列公比的最小公倍數(shù).

【例2】(2024高三,全國?專題練習(xí))已知數(shù)列｛4｝,｛年｝的前〃項和分別為S,,T?,且S“=2/+3〃，

2T.=3bn-3,若兩個數(shù)列的公共項按原順序構(gòu)成數(shù)列｛g｝,則q++。3=.

【答案】819

【分析】由題中S”=2/+3〃可得q=S“-S“T=4〃+1(〃N2),再驗證%后可得4=4〃+1；然后由

24=3〃,-3,、

27>32-3可得二：式心2,從而可得2=3。1，可求得仇=3",從而可求得

[221=3以]-3

Cj=9,C2=81,C3=729,即可求解.

2

【詳解】由題，Sn=2n+3n.

22

當(dāng)〃=1時，4=5,當(dāng)心2時，an=S?-S?_1=(2n+3/Z)-|^2(H-1)+3(n-l)J=4n+l(zz>2).

當(dāng)〃=1時也滿足a“=4"+l.故%=4w+l,

又由2]=3ba-3,當(dāng)〃=1時24=34一3=>4=3,

[IT=36”-3

當(dāng)心2時，""n2"=3么-3%nb“=3%,

[2射=3%-3

故也J是以伉=3為首項，3為公比的等比數(shù)列，故勿=3",

故數(shù)歹!j｛c“｝為%=47?+1與2=3"的公共項，

又偽=3,a=9=4x2+1=a2，4=27,b4=81=4x20+1=a20,

b5=243,b6=729=4x182+1=陽2，

故q=9,c2=81,c3=729,故q+。2+G=9+81+729=819.

故答案為：819.

【變式1】(2024?全國?模擬預(yù)測)已知〃eN*,%='，bn=-~若將數(shù)列｛〃“｝與數(shù)列他｝的

公共項按從小到大的順序排列組成一個新數(shù)列｛g｝,則數(shù)列｛&｝的前99項和為.

【答案噌

【分析】分類討論”奇偶性，可知[==；，利用裂項相消法分析求解.

4n-1

【詳解】因為數(shù)列｛2〃-1｝是正奇數(shù)組成的數(shù)列，

所以數(shù)列卜〃+1)2-1｝中所有的奇數(shù)是數(shù)列｛2附-1｝和數(shù)列｛(〃+1)2-1｝的公共項，

當(dāng)"為奇數(shù)時，設(shè)"=2左則(”+1)2_1=4左2-1,為奇數(shù)；

當(dāng)”為偶數(shù)時，設(shè)〃=2M%WN),則(“+1)2—1=(2左+1產(chǎn)—1=4左(左+1),為偶數(shù);

綜上所述：C,.=T4—.

4H2-1

_1_1_￥1______]

川,〃―4n2-l—(2n-1)(277+1)-512n-l~2n+lJ，

會1^11111)1八1、99

12992I335197199J2t199J199

故答案_為：含99

【點睛】關(guān)鍵點睛：解決本題的關(guān)鍵是觀察數(shù)列｛%｝的通項公式，發(fā)現(xiàn)數(shù)列｛2〃-1｝是正奇數(shù)組成的數(shù)列，

故可以通過判斷數(shù)列卜〃+1)2-1｝各項的奇偶，得到％=7占，再利用裂項相消法求和即可.

【變式2】(2024?福建漳州?模擬預(yù)測)將數(shù)列｛3〃-1｝與｛2"｝的公共項從小到大排列得到數(shù)列｛%｝,則%,=

()

A.237B.238C.239D.240

【答案】C

【分析】經(jīng)檢驗，數(shù)列｛2"｝中的奇數(shù)項都是數(shù)列｛3〃-1｝中的項，觀察歸納可得.

【詳解】數(shù)列｛2"｝中的項為：2,4,8,16,32,64,128,256,

經(jīng)檢驗，數(shù)列｛2"｝中的奇數(shù)項都是數(shù)列中的項,

即2,8,32,128,…可以寫成3〃-1的形式，觀察歸納可得%=Z?"」,

所以%。=22*22=239,

故選：C.

【變式3】已知數(shù)列｛四的前〃項和S"=-y-,｛6.｝為等比數(shù)列,公比為2,且即歷+1，優(yōu)為等差數(shù)列.

(1)求｛詼｝與｛6“｝的通項公式；

(2)把數(shù)列｛斯｝和｛小｝的公共項由小到大排成的數(shù)列記為｛c“｝,求數(shù)列｛c.｝的前n項和Tn.

3幾2+F)

【解析】解(1)由工=衛(wèi)產(chǎn)，

當(dāng)n—\時，〃i=Si=2,

當(dāng)時，an=Sn-Sn-i=3n-l,

當(dāng)〃=1時，上式也成立，

所以an=3n—l.

依題意，%+〃3=2(萬2+1),

"十"22=2（即2+1）,解得仇=2,所以兒=2".

（2）數(shù)列｛為｝和｛兒｝的公共項從小到大依次為2123,25,27,…,

2（1-4"F）

所以2123,25,27,…構(gòu)成首項為2,公比為4的等比數(shù)列，所以c,=2X4"-i,則Tn=Cl+c2+-+c?=--1^4~

=|（4^i-l）.

考點三：數(shù)列有關(guān)增減項問題

規(guī)律方法解決此類問題的關(guān)鍵是通過閱讀、理解題意，要弄清楚增加了（減少了）多少項，增加（減少）的項

有什么特征，在求新數(shù)列的和時，一般采用分組求和法，即把原數(shù)列部分和增加（減少）部分分別求和，再相

加（相減）即可.

【例3】（2023?無錫模擬）設(shè)等比數(shù)列｛斯｝的首項為的=2,公比為q（q為正整數(shù)），且滿足3方是8的與〃5的

3

等差中項；數(shù)列｛3｝滿足2層—（3+A〃）〃+10〃=0?￡R,〃￡N*）.

（1）求數(shù)列｛斯｝,｛々｝的通項公式;

⑵當(dāng)｛為｝為等差數(shù)列時，對每個正整數(shù)上在這與四+i之間插入6個2,得到一個新數(shù)列｛金｝.設(shè)4是數(shù)列

｛。〃｝的前〃項和，試求-00.

解（1）由題意，可得6。3=8。1+。5,

所以6q2=8+q4,

解得鄉(xiāng)2=4或42=2（舍）則4=2,

又的=2,所以斯=2".

3

由2/一（3+瓦）〃+笠土=0,

得bn—2n.

（2）因為6=2,所以0與42之間插入2個2,

歷=4,所以〃2與的之間插入4個2,

。3=6,所以的與〃4之間插入6個2,

則｛金｝的前1。0項，由90個2,ai,。2,〃3，…，〃9,aio構(gòu)成，所以7100=（的+。2+…+〃IO）+2X9O

2（1—21。）

卜180=2226.

1-2

【變式1］已知等比數(shù)列｛斯｝的前〃項和與=2"+/，其中〃為常數(shù).

（1）求廠的值；

（2）設(shè)為=2（l+log2斯），若數(shù)列｛。〃｝中去掉數(shù)列｛念｝的項后余下的項按原來的順序組成數(shù)列｛金｝,求?+◎+

&+…+coo的值.

解(1)因為S“=2"+r,

所以。i=Si=2+r,。1+。2=$2=4+r，即④=2,

。1+。2+。3=53=8+「，即。3=4,

由｛斯｝是等比數(shù)列可知，扇=。1俏,

所以4=(2+r)X4,即廠=—1.

此時a=2"—1,ai=2+r=l,

當(dāng)〃22時，

a?=S?-S?-i=(2n-l)-(2^1-l)=2^1,

且41=1也適合該式，

故斯=2"一1是等比數(shù)列，即r=—1滿足題意.

所以r=-1.

(2)均=2(1+log?。,)=2(1+log22廠1)=In,

因為。1=1,(22=2=bl,6Z3=4=Z72,。4=8=仇，。5=16=/，"6=32=516,。7=64=匕32,48=128=/?64,。9=

256=如8.

所以CI+Q+C3T---Hcioo

=(bi+b2H---HBK)7)—(a2H----has)

107X(2+214)2(1-27)

=21-2=U302-

【變式2】.(2023?天津模擬)設(shè)數(shù)列｛a”｝的前n項和為%=(〃—1)2—+2,“GN*.

(1)求｛小｝的通項公式；

(2)若d=管，抽去數(shù)列｛瓦,｝中的第1項，第4項，第7項，…，第3w—2項，余下的項順序不變，組成一個

新數(shù)列｛金｝，求｛金｝的前2023項和72023.

解(1)由S.=(“一1)2"+】+2,得m=2,

ST=(〃-2)2葉2(42),

兩式相減得斯=〃,2〃，

當(dāng)〃=1時，代入上式，求得0=2,

所以

⑵由題知，bn=*=2",

所以數(shù)列｛c,｝為22,23,25,26,28,29,…,

它的奇數(shù)項組成以4為首項，8為公比的等比數(shù)列；

偶數(shù)項組成以8為首項，8為公比的等比數(shù)列，

22(］一81012)23(1—gioii)

所以4023=(。1+。3+C5HFC2023)+(。2+。4+C6HF。2022)=

4X81012—481012—8

=7+-7-

5X81012~12

=7-

【變式3](2024?天津模擬)已知｛q｝是等差數(shù)列，｛2｝是公比不為1的等比數(shù)列，a2=6,a,+a5=22,

3巧=物，且24是物與2的等差中項.

(1)求：數(shù)列｛%｝和屹“｝的通項公式.

(-1)〃弩》為奇數(shù)

2n

2求￡4.

(2)設(shè)4_gn+36n-36斗J/垣粕

-,"為偶數(shù)￡=1

Ib,

(3)若對于數(shù)列｛%｝、也,｝,在《和ax之間插入以個2伏eN*),組成一個新的數(shù)列｛%｝,記數(shù)列｛4｝的

前〃項和為7；,求1024.

【分析】(D根據(jù)等差等比數(shù)列的通項公式，計算可得；

(2)結(jié)合兩個數(shù)列的通項公式，可判斷｛"“｝的前2〃項中兩個數(shù)列的項數(shù)，然后分組和錯位相減求和可得；

(3)求出｛%｝的前2024項中總共有多少個2,利用分組求和可得.

【解答】解：(1)設(shè)等差數(shù)列伍“｝的公差為d,等比數(shù)列他,｝的公比為q,qxl,

由％=6，%+%=22,則/+2d+/+3d=22,故d=2,

所以%=的+(〃—2)d=6+2(〃—2)=2〃+2,

則4=4,由3aI=44，貝1|4=3,

又由2%是34與b3的等差中項，所以2x2偽=+4，

即12q=9+3q2,解得g=3或q=l(舍去)，

故6“=刖力=3.31=3"；

(一1)"號為奇數(shù)(_37+為奇數(shù)

(2)由4=_前+36見一36'則4=一8力2+36〃一36%伸熱，

.+3M為偶數(shù)-------------，”為偶數(shù)

b“，1

2n

Z[=&+4+…++^2n=(4+13+…+^2n-i)+("2+4+…+%〃)=5+2，

i=l

則￡=2?(-3)+4(-3)3+…+(2")(-3嚴,

9匕=2?(-3)3+4(-3)5+…+(2”)(-3產(chǎn)田，

兩式相減得，-8R=2?(一3)+2(-3)3+..?+2(-3產(chǎn)|一(2〃)(一3嚴?,

2+1

-8Pn=2■旬：(；)3-(2H)(-3)",

則尸=(3-24〃)9“-3,

"32

八-8x22-8x42-8(2M)\

o—r----------1-----------1—?—--i

“L323432"

36x2-3636x4-3636x2M-36,……，

+[r—+——+…+]=-8此+36M

甘山M_2242(2n)2_2242(2n)22132n-l13

具中心=3+?■+…+于-=亍+3+…①，N“=3+下+…+萬§+3+…

9n

9n92939*1

①-②相減可得,

2

(8?-4)(2〃)2132n-l(2n)

(9V)—9〃+]

99929n9〃

132n—l4H24/

則8K=36(—+-7+…+=36N“F

〃9929n9n

4加2

所以Q=掌，

2n

則￡4=(3-24九)9"-3?4/

9〃

Z=132

(3)左=1時，q與4之間插入4即3個2,

左=2時，/與。3之間插入a即9個2,…，左=6時，在％與%之間插入3‘個2,

止匕時共有7+(3+9+…+36)=7+^|^=1099項,

在內(nèi)的后面再插入2024-1099=925個2即可.

貝4數(shù)歹(]{%}的前2024項的和5024=(4+6+―+16)+(3+9+27+―+36+925)乂2

3-37

=gx7x(4+16)+(.+925)x2=4104.

1-3

【點評】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式和求和公式、數(shù)列的錯位相減法求和與分組求和，考查轉(zhuǎn)

化思想和運算能力，屬于中檔題..

強化訓(xùn)練

一、單選題

1.(2023?江西南昌?三模)已知〃eN*,將數(shù)列｛2〃-1｝與數(shù)列｛*-1｝的公共項從小到大排列得到新數(shù)列

111

{q}，貝"一+—+.??+——=()

%a2

【答案】B

【分析】由題意分析出數(shù)列｛2〃-1｝與數(shù)列｛/-1｝的公共項，找出他們公共項的通向公式，再利用裂項相

消法解決問題.

【詳解】若數(shù)列｛2附-1｝與數(shù)歹!）｛/-1｝的公共項，

則設(shè)2〃-1=療—1（帆,"N*）,即

因為2〃（〃eN*）為偶數(shù)，所以7MmeN*）也為偶數(shù),

所以令數(shù)列｛2〃-1｝與數(shù)列｛1-I｝的公共項為:

12

an=(2〃)--1=4?-1(〃eN*)

所以￡-4n2-l-(2?-1).(2/7+1)-2

所以一+—+???+—=—1--+???+

1921

1（x112010

2121J22121

故選：B.

2.（2023?四川德陽?一模）德陽某高校為迎接2023年世界新能源大會，決定選派一批志愿者參與志愿服

務(wù)，計劃首批次先選派1名志愿者，然后每批次增加1人，后因?qū)W生報名積極，學(xué)校決定改變派遣計劃，

若將原計劃派遣的各批次人數(shù)看成數(shù)列｛4｝，保持數(shù)列｛q｝中各項先后順序不變的情況下，在應(yīng)與

以十］（左=1,2,…）之間插入于，使它們和原數(shù)列的項依次構(gòu)成一個新的數(shù)列也｝,若按照新數(shù)列出｝的各項

依次派遣學(xué)生，則前20批次共派遣學(xué)生的人數(shù)為（）

A.2091B.2101C.2110D.2112

【答案】B

【分析】先得到抄“｝的通項公式，再分組求和即可.

【詳解】由題意得,當(dāng)〃=2左-1時，生_|=1+（左一l）xl=A,

k

當(dāng)〃=2左時，b2k=2,

故4+4+…+%=]+2+…+]0=10＞（；+10）=55,

2—211

b+b+---+b=2+22+---+2w=-----=2046,

24201—2

故前20批次共派遣學(xué)生的人數(shù)為55+2046=2101.

故選：B

3.（23-24高三上?江西?期中）在等差數(shù)列｛4｝中，%=1,01M2，生成公比不為1的等比數(shù)列，$“是｛4｝的

1011]

前〃項和，將數(shù)列｛%｝與數(shù)列｛s“-i｝的公共項從小到大排列得到新數(shù)列｛〃｝,則（）

i=l

101010111

A.1B.----C.----D.----

101120232023

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，求得巴=2〃-1,5?-l=n2-l,進而得到數(shù)列｛4｝與｛5,-1｝的公共項從小到大排列得

到數(shù)列抄“｝的通項公式為a=4/-i,得出!=:（二二一」r），結(jié)合裂項法求和，即可求解.

bn22n-i2〃+1

【詳解】因為等差數(shù)列｛4｝中，%=1,6,%,生成公比不為1的等比數(shù)列，

所以耐=%?%,可得（l+d）2=l+4d,（d。0）,解得d=2,

所以%=1+（〃-l）x2=2〃-1,則s“=”（q；4，）=”2,可得=

由數(shù)列｛2〃-1｝為正奇數(shù)列，

對于數(shù)列｛"-I｝,設(shè)〃=2k-l伏eN*）時，可得/一1=（2左一1）2-1=4左（左一1）為偶數(shù)；

當(dāng)〃=2左（ZEN*）時，可得〃2一1=4左2一1為奇數(shù)，

所以數(shù)列｛q｝與｛邑-1｝的公共項從小到大排列得到數(shù)列圾｝的通項公式為￡=4川-1,

_￡_]_]