微重點04平面向量數量積的最值與范圍問題

平面向量中的最值與范圍問題，是高考的熱點與難點問題，主要考查求向量的模、數量積、夾角及向量的系

數等的最值、范圍.解決這類問題的一般思路是建立求解目標的函數關系，通過函數的值域解決問題，同時，

平面向量兼具“數”與“形”的雙重身份，數形結合也是解決平面向量中的最值與范圍問題的重要方法.

知識導圖

?考點一：求參數的最值（范圍）

★平面向弓四空管最值與-----?考點二求向量模、夾角的最值（范圍）

范圍問題

考點三：求向量數量積的最值（范圍）

考點分類講解

考點一：求參數的最值（范圍）

規律方法利用共線向量定理及推論

（1）a//b0a=幾人（Z?W0）.

⑵應=兒應+〃龍（4,〃為實數），則4B,C三點共線o4+〃=L

[例1]（2023?漳州模擬）已知△48G點2滿足反'=|礪，點￡為線段切上異于C,，的動點，若瀛=AAB

+n~AC,則〃+的取值范圍是.

【變式1】設非零向量a"的夾角為心若㈤=2|引=2,且不等式|2a+引2|a+才引對任意的。恒成立，

則實數A的取值范圍為（）

A.[-1,3]B.[-1,5]

C.[—7,3]D.[5,7]

【變式2】（23-24高三上?黑龍江佳木斯?階段練習）在“1BC中，點。在線段AC上，且滿足

蒞=g正，點Q為線段8。上任意一點，若實數滿足通=x1g+y/，則2*+4〉的最小值

為

【變式2】.（2023高三?全國?專題練習）已知向量方,5滿足|萬|=1,方=（2友,1）,且而+5=C（2eR）,則函

數/0）=3》+必-0>-1）的最小值為______.

1+X

【變式4】（2023?深圳模擬）過△被7的重心G的直線/分別交線段46,2。于點￡,F,若亞=［葩，AF=

PAC,貝!J1+〃的最小值為（）

A"B—

4

C-D.1

O

考點二：求向量模、夾角的最值（范圍）

易錯提醒找兩向量的夾角時，要注意“共起點”以及向量夾角的取值范圍是［0,n］.若向量a,6的夾角

為銳角，包括a?6〉0和a,b不共線；若向量a,的夾角為鈍角，包括a?6〈0和a,Z）不共線.

1

【例1】（2024?吉林長春?模擬預測）己知向量。，區為單位向量，且。r為r=-金1，向量與5r+36共線，

則I方+*的最小值為.

【例2】（1）己知e為單位向量，向量a滿足（a—e）?（a-5e）=0,則|a+e|的最大值為（）

A.4B.5C.6D.7

⑵平面向量a,6滿足|a|=3|6|,且Ia—3=4,則a與a—6夾角的余弦值的最小值為.

4

【變式1】（2023?安慶模擬）已知非零向量46的夾角為夕，|a+b|=2,且|司||引》可，則夾角J的最小

O

值為（）

JIJIJIJI

A-TB-Tc-上萬

【變式2］（2023?杭州模擬）已知a=（1,2）”6=（1,1）,且a與a+且6的夾角為銳角,則實數4的取值范

圍為.

【變式3】（2024?吉林長春?模擬預測）已知向量a5為單位向量，且。為=-萬，向量^與5+36共

線，則|5+*的最小值為.

考點三：求向量數量積的最值（范圍）

規律方法向量數量積最值（范圍）問題的解題策略

⑴形化：利用平面向量的幾何意義將問題轉化為平面幾何中的最值或范圍問題，然后根據平面圖形的特征

直接進行判斷.

⑵數化：利用平面向量的坐標運算，把問題轉化為代數中的函數最值與值域、不等式的解集或方程有解等

問題，然后利用函數、不等式或方程的有關知識來解決.

【例3】（1）（2023?開封模擬）等腰直角三角形/6C的直角頂點力在x軸的正半軸上，點8在y軸的正半

軸上，點。在第一象限，且43=1,。為坐標原點，貝煙的取值范圍是（）

B.I0,

（2）（2023?全國乙卷）已知。。的半徑為1,直線以與。。相切于點4直線陽與。。交于8,C兩點，D為

況的中點，若刃|=4，則行?麗勺最大值為（）

A.1+^B.I+；也C.1+72D.2+72

【變式1】（2023?臺州模擬）已知戶是邊長為2的正六邊形/況嬌內（含邊界）一點，〃為邊6c的中點，則

筋?初取值范圍是（）

A.[—2,6]B.[-1,9]

C.[-2,4]D.[-1,6]

【變式2]（2023?邵陽模擬）已知四邊形/靦是邊長為1的正方形，尸為對角線上一點，則潮?（PB+

的的最小值是（）

11

O----

A.B.4C.2D.12

【變式3】（2024高三?江蘇?專題練習）己知點〃為直角AABC外接圓。上的任意一點,

ZABC=90°,AB=1,BC=y[3,貝1|（次一礪）?兩的最大值為.

強化訓練

單選題

1.（2023?陜西咸陽?模擬預測）已知向量Z,b,且同明=5,|￡+4=6,貝川扇+而一）的最小值為

（）

A24n,「16「12

A.—B.4C.—D.—

555

—.3—>

2.（23-24高三上?江西吉安?期中）AABC中，。為AC上一點且滿足C￡>=：C4,若P為BD上一點,

且滿足衣=2而+〃記，九〃為正實數，則下列結論正確的是（）

A.M的最小值為]

B.加的最大值為1

lo

c.J+；的最大值為16D.J+的最小值為4

X4〃X4/j

3.（2024?內蒙古呼和浩特?一模）在"IBC中，O為線段AC的一個三等分點，|AD|=2|DC|.連接8。，

在線段8。上任取一點E,連接AE,若通=“恁+6而，則的最小值為（）

,13”5八4八2

A.—B.—C.—D.一

42135

4.（2023?安徽安慶?二模）已知非零向量Z,B的夾角為巴麻@=2,且同雁；則夾角。的最小值

為（）

7Cc兀c兀r兀

A.—B.-C.-D.一

6432

5.（2024?全國?模擬預測）已知非零且不垂直的平面向量滿足|闔+|5|=6,若d在B方向上的投影

與5在日方向上的投影之和等于（無5），則百石夾角的余弦值的最小值為（）

A.2B,C,1D.2

272733

6.（23-24高三下?北京海淀?開學考試）已知A3是圓。：爐+,=1的直徑，C、。是圓。上兩點，且

/COD=60。，則（碇+而）,礪的最小值為（）

A.0B.C.—3D.—2\/3

7.在AABC中，點。為AC邊上的中點，點E滿足反=3而，點P是直線80，AE的交點，過點尸做一條

直線交線段AC于點M,交線段BC于點N（其中點M,N均不與端點重合）設由'=機而，CN=,iCB,

貝的最/］、值為（）

A.B.廿至C.-D.-

5555

8.（23-24高三上?陜西安康?階段練習）已知。是AABC所在平面內一點，若

函+礪+云=6,麗7=%順,標=以花,該均為正數，則W的最小值為（）

144

A.—B.—C.1D.一

293

二、多選題

1.（2024?河南?模擬預測）已知。是坐標原點，平面向量￡=西，b^OB，c=OC，且Z是單位向量，

—1

a-b=2,a-c=-,則下列結論正確的是（）

A.

-2-1-

B.若4B,。三點共線，則。=彳力+彳。

33

C.若向量54與工_￡垂直，則B+"-24的最小值為1

D.向量與弓的夾角正切值的最大值為史

4

—.2—?

2.（2024?廣東?模擬預測）如圖所示，在邊長為3的等邊三角形A3c中，AD=-AC,且點尸在以AD

的中點。為圓心，Q4為半徑的半圓上，若麗=%麗+丁元，則下列說法正確的有（）

—.—.13

B.BDBO=—

2

C.麗?瓦存在最大值

D.x+y的最小值為氈+1

9

3.（2023?全國?模擬預測）如圖，在直四棱柱ABCD-4與CQ］中，底面/題?為菱形，ZR4D=60°,

AB=AD=AAi=2,戶為cc,的中點，點O滿足雙=2成+〃西（幾《0』，〃??！唬?，則下列結論中正確

的是（

A.若X+〃=g,則四面體A0P。的體積為定值

B.若△ABQ的外心為。，則4原即為定值2

c.若石，則點。的軌跡長度為叵

D.若4=1且〃=g,則存在點EeA3,使得AE+EQ的最小值為也+2回

三、填空題

1.（2024?湖北?模擬預測）已知向量萬，B滿足向=2,何=1,且日，B的夾角為2，則歸-悶（/leR）

的最小值是.

2.（23-24高三上?山西太原?期末）已知非零向量Z，B夾角為",則莊網的最小值為.

3\b\------

3.（2024高三?全國?專題練習）在四邊形A3CD中，AB=AC=AD=，ABLAD,則赤?也的最小

值為.

四、解答題

1.如圖，在△/回中，AB=2,AC=y/n,cosZBAC=^~,2為歐的中點，￡為"邊上的動點（不

22

含端點），與方交于點。，AE^xAB.

⑵求前?豆的最小值，并指出取到最小值時x的值.

2.（22-23高三?北京?階段練習）已知非零平面向量Z,石的夾角為,，忖=B+W=1.

（1）證明：忖_石卜退w；

⑵設teR,求％+詞的最小值.

3.（22-23高三上?河南安陽?階段練習）己知@=（sinx+cosx,2cos0）,5=12sin6?,；sin2x

⑴若Z=（-3,4）且x=：,9e（O,無）時，￡與"的夾角為鈍角，求cos。的取值范圍；

⑵若。音函數=￡區求“X）的最小值.

4.（2023?四川成都?模擬預測）如圖，A,6是單位圓（圓心為。）上兩動點，C是劣弧A8（含端點）上

的動點.記反=彳西+〃礪（A,〃均為實數）.

（1）若。到弦力8的距離是4.求2+〃的取值范圍；

（2）若13次-礪向量2麗+礪和向量瓦+礪的夾角為6，求cos?。的最小值.

5.（2022高三?全國?專題練習）如圖，已知點G是邊長為1的正三角形ABC的中心，線段DE經過點G,

并繞點G轉動，分別交邊AB,AC于點。E,設而=機；岳，通=”工，其中0<%41,0<〃41.

⑴求'的值；

mn

⑵求VADE面積的最小值，并指出相應的"7,〃的值.

微重點04平面向量數量積的最值與范圍問題

平面向量中的最值與范圍問題，是高考的熱點與難點問題，主要考查求向量的模、數量積、夾角及向量的系

數等的最值、范圍.解決這類問題的一般思路是建立求解目標的函數關系，通過函數的值域解決問題，同時，

平面向量兼具“數”與“形”的雙重身份，數形結合也是解決平面向量中的最值與范圍問題的重要方法.

?考點一：求參數的最值（范圍）

平面向量數量積的最值與

?考點二：求向量模、夾角的最值（范圍）

范圍問題

考點三：求向量數量積的最值（范圍）

考點分類講解

考點一：求參數的最值（范圍）

規律方法利用共線向量定理及推論

⑴a//b<^a=46（6W0）.

⑵應=/龍+〃花（3〃為實數），則4B,。三點共線0八十〃=1.

【例1】（2023?漳州模擬）已知△/品點，滿足瓦=［礪，點￡為線段切上異于G，的動點，若港=兒誦

+NAC,則1“+的取值范圍是.

【答案】（1，］

【解析】由題意設市=加/，（0,1）,

,一3->

因為8C=w劭，

所以為=標上;（jc-AB）>

OO

ll.-?—*■—?―*■777（_\（.1J1\―?IU_?

所以/￡=/C+6F=ZC+g\AC~AB）13^

又誦=才荔+idAC,

99

所以A2+〃2=]++2

oy

又因為me（0,1）,由二次函數的性質得

所以的取值范圍是『，-J.

【變式1】設非零向量a,6的夾角為%若㈤=2㈤=2,且不等式|2a+引2|a+力引對任意的Q恒成立,

則實數4的取值范圍為（）

A.[―1,3]B.[-1,5]

C.[—7,3]D.[5,7]

【答案】A

【解析】???非零向量a,b的夾角為心若?=21引=2,

/.|a|=2,Z?|=1,

a,Z>=2XIXcos9=2cos9,

?.?不等式|2a+引N|a+4人對任意的夕恒成立，

(2a+6)°》(a+=6)2,

4a2+4a,b+6'Na'+24a?b~\~,

整理可得(13—42)+(8—44)cos。三0恒成立，

cosJe[—1,1],

[13—4~+8—4X20,

【變式2］（23-24高三上?黑龍江佳木斯?階段練習）在AABC中，點。在線段AC上，且滿足

歷=；恁，點。為線段上任意一點，若實數x，y滿足而=xI5+y/,則2*+4了的最小值

為.

【答案】20

【分析】根據題意，由B,。,。三點共線可得無+2y=l,x>0,y>。，再由基本不等式，即可得到結果.

由B,。,。三點共線可得x+2y=l,x>0,y>0,

則2*+4y=2工+22y>2y]2x-22y==2應，

當且僅當2,=22y時，即x=時，等號成立，所以2,+4>'的最小值為2vL

故答案為：2亞.

【變式2].（2023高三?全國?專題練習）已知向量萬方滿足|川=1石=（2后,1）,且須+5=0（4eR）,則函

數/0）=3_￥+必-0>-1）的最小值為______.

1+X

【答案】3

【分析】根據向量的線性關系及已知求得回=3,代入已知函數并利用基本不等式求函數最小值，注意取

值條件.

【詳解】VAa+5=0(2eR),：.Aa=-b

33

貝！I/(x)=3x+------=3(l+x)+--------3,由于I>—1,則

1+X1+X

故/(x)=3(1+x)+-------3>2,3(1+x),-------3=3,

當且僅當3(x+l)=土即l=0時取等號，

???函數””的最小值為3.

故答案為：3

【變式4】（2023?深圳模擬）過△/回的重心G的直線,分別交線段四，然于點/F,若礪=4誦,AF=

PAC,則，I+〃的最小值為（）

A.|十斕口2+2/

B-3

4

C-3D.1

【答案】C

9

【解析】如圖，若〃為比1的中點，又G為的重心，則4G,〃三點共線，且加=可質,

0

因為五七<誦+J否=37瀛+;亦，所以玩=上誦+4亦即花=3荔'+4萬,

NNN/N〃LJN/N〃J/J〃

又瓦G,尸三點共線，所以3+4=1,

故幾+〃=(4+〃)[YT+TTJ

當且僅當/=〃=1時，等號成立.

考點二：求向量模、夾角的最值(范圍)

易錯提醒找兩向量的夾角時，要注意“共起點”以及向量夾角的取值范圍是[0,n].若向量a,6的夾角

為銳角，包括a?6〉0和a,6不共線；若向量a,8的夾角為鈍角，包括a?6〈0和a,。不共線.

【例1】(2024?吉林長春?模擬預測)已知向量商，B為單位向量，且向量與5+36共線，

2

則IB+刊的最小值為.

【答案】叵

14

【分析】令"=?￡+3B)JeR,利用向量模的計算公式把|5+刊表示成力的函數，求出函數最小值即可.

【詳解】因向量下與5+3力共線，令三而+3&JeR,

____rr1

則B+C=〃+(I+3，)B,而向量互，B為單位向量，且。為二-'，

于是得b+c=J,a+(l+3/)J)=+2?]+3/)〃石+(]+3/)2很2

=J7t2+5t+l=J7(^+—)2+—>-，

Y十DEV142814

當且僅當好小時取J”

所以|5+*的最小值為變.

14

故答案為：叵

14

【例2】（1）已知e為單位向量，向量司滿足（a—e）?（a—5e）=0,則|a+e|的最大值為（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【解析】可設e=(1,0),a=(x,y),

貝!J(a—e),(a-5e)=(x-1,y)?(x—5,y)

=/—6x+5+/=0,

即(^―3)2+y=4,

則1WXW5,—2WJ<2,

2

Ia+e\=?~x+1~~+y=yl8x—4f

當x=5時，,8x—4取得最大值6,

即|a+e|的最大值為6.

(2)平面向量a,b滿足|a|=3|引,且|a—引=4,則a與a—6夾角的余弦值的最小值為

【答案】七

【解析】如圖所示，設a=灑,b='而,

A

匕

貝ija-b=BA,

設|引\a\=3777,

又|a—引=4,則1＜加2,

-=3工互

2\OA\?\BA\

W+16-ffl,2jm22y[2

=24^—二三+五廠2\j三.指=3

當且僅當1/，即片小時，等號成立?

4

【變式1】（2023?安慶模擬）已知非零向量46的夾角為夕，|a+引=2,且|司|引2可，則夾角。的最小

值為（）

【答案】C

【解析】由|a+引2=4,

得㈤2+|6「+2|a|,|b\cos0=4,

即4221al,|b\(1+cos9)^^(1+cos9),

當且僅當㈤=|引時,等號成立，

1

兀

又-

e/V-e-n

10JI3

2,

JI

所以夾角。的最小值為

【變式2】(2023?杭州模擬)己知a=(1,2),6=(1,1),且a與a+A6的夾角為銳角，則實數4的取值范

圍為.

【答案】［一I，o］u(0，+°°)

【解析】因為a=(l,2),b=(1,1),

所以己+幾6=(1+幾，2+4)，

因為》與a+的夾角為銳角，

所以a,(a+46)>0,且3與a+不共線，

所以I口+1幾++A22W+24+4,>0,

5

解得幾>一耳且見#0,

O

所以4的取值范圍為(一I，o)u(0,+8).

rr1

【變式3】(2024?吉林長春?模擬預測)已知向量萬，石為單位向量，且向量］與5r+36共

線，則I方+11的最小值為.

【答案】亙

14

【分析】令)=f(￡+35)/eR,利用向量模的計算公式把|萬+1|表示成大的函數，求出函數最小值即可.

【詳解】因向量e與5+3力共線，令三而+35),feR,

____rr1

則石+c=〃+(l+3/訪，而向量石為單位向量，且。2=-5,

于是得B+c=J,Q+（1+3，）B）=不（q+2/（l+3，）aZ+（l+3，）2片

=折+5"1=N答,

當且僅當/=-三時取“=”，

14

所以|B+e|的最小值為變.

14

故答案為：叵

14

考點三：求向量數量積的最值（范圍）

規律方法向量數量積最值（范圍）問題的解題策略

⑴形化：利用平面向量的幾何意義將問題轉化為平面幾何中的最值或范圍問題，然后根據平面圖形的特征

直接進行判斷.

（2）數化：利用平面向量的坐標運算，把問題轉化為代數中的函數最值與值域、不等式的解集或方程有解等

問題，然后利用函數、不等式或方程的有關知識來解決.

【例3】（1）（2023?開封模擬）等腰直角三角形49C的直角頂點/在x軸的正半軸上，點8在y軸的正半

軸上，點C在第一象限，且46=1,。為坐標原點，則龍?澇的取值范圍是（)

【解析】由題意可得△的6為直角三角形,

且26=1,設布與茄的夾角為。，

則/（cosa,0）,6（0,sina）,

其中a￡（0,日，

如圖所示，則由等腰直角三角形的性質可得。（cosa+sina,cosa）,

％一而44

-coscos

11

--cos-24+-

222

JI兀5JI

又2。十4￡了‘T

所以sin"a+2

則取應乳，巧刊.

（2）（2023?全國乙卷）已知。。的半徑為1,直線用與。。相切于點4直線處與。。交于8C兩點，D為

理的中點，若|如|=十，則行?湯的最大值為（）

A.B.1+產c.1+A/2D.2+A/2

【答案】A

【解析】連接力，由題可知|的|=1,OALPA,

因為|戶。|=加，

所以由勾股定理可得|以|=1,

JI

則/加=1.

設直線如繞點尸按逆時針旋轉。后與直線加重合,

JIJIJI

則一了〈“＜彳，//聯丁+9,

且1勿=/cos9.

所以湯.~PD=\~PA\|^?|cosly+0\

^cosf—+8

=M^COS。

=cos0—sin9cos夕

='1+'|cos29-；sin20

所以當夕=—2時，布?瓦取得最大值，為空位.

oZ

【變式1】（2023?臺州模擬）已知戶是邊長為2的正六邊形山?曲內（含邊界）一點，〃為邊回的中點，則

崩?硼取值范圍是（）

A.[—2,6]B.[-1,9]

C.[-2,4]D.[-1,6]

【答案】B

【解析】如圖，過戶作孫U/〃于兒則淳?存|淳||就cos//W=±|旃?|而，分別過C,尸作呢L

AM,FHVAM,K,〃為垂足，

則當“與"重合（即戶與。重合）時，薩?就取得最大值，當從與〃重合（即戶與尸重合）時，辦?標得最

小值，

因為是正六邊形，所以以四為x軸，/￡為y軸建立如圖所示的平面直角坐標系，

則/（0,0）,爾2,0）,C（3,事）,F（-L部）,〃是切的中點，則g,書，

AM=[^,乎;AC=（3,^3）,AF=（—1,?。?

一一1513一一5,3

AM9AC=—+-=9,AM9AF=--^-\-^=—1,

所以淳?硼取值范圍是[—1,9].

【變式2]（2023?邵陽模擬）己知四邊形/灰力是邊長為1的正方形，尸為對角線上一點，則行?（PB+

物的最小值是（）

11

A.0B.——C.——D..2

【答案】B

【解析】作出如圖所示的圖形，

PA?（PB+Pb）=兩?2PO.

令淳=AAC,則Ae[0,1],

一—一i一一n、一

PO=AO-AP=~AC-AAC=h~\AC,

'：PA?iPO=~AAC-

=（24~—4）-24,4e［0,1］,

當4=］時，（翊*2Psmin=一；.

【變式3］（2024高三?江蘇?專題練習）己知點〃為直角AABC外接圓。上的任意一點,

ZABC=90°,AB=1,BC=6,貝?。荩ㄊ幸粴v》兩的最大值為.

【答案】j3

【分析】

根據題意，利用正弦定理求得AABC外接圓的半徑為r=1,結合向量的數量積，化簡得到

（OA-OB^-BM=\BM\COSZABM,結合圓的性質，即可求解.

【詳解】

設直角AABC外接圓的半徑為,,

由正弦定理得。-AC川3）+1.一故r=1,

r~sinZABC^1一

所以（西-麗卜兩=麗.麗=|麗|?（|甌8$/42M）=|啊（：05/42M,

當過點圓上一點河作平行于BC的圓的切線時，此時|麗|cos/A8M最大,

由于O到BC的距離為d=J網=；,所以忸岡cos/A8M的最大值為d+rg故答案為：!

強化訓練

單選題

1.（2023?陜西咸陽?模擬預測）已知向量Z,b,且同帆=5,忖+4=6,貝!］弧+可。eR）的最小值為

B.4

【答案】A

【分析】求出晨B的值，寫出M+，（/eR）的表達式，即可求出最小值.

【詳解】由題意,

?—?2—2一—?

??a+b+2a?Z7=36，

忖=忖=5,

■--?]2_?2一2

a，b=—7，+b\=t?a+2ta,b+b—25r+2tx（—7）+25—25產—14%+25,

當％=（時，卜。+0取得最小值

???卜Ir〃+。1|的最小值為2三4，

故選：A.

—>3―?

2.（23-24高三上?江西吉安?期中）AABC中，。為AC上一點且滿足。。二:。4,若。為上一點,

4

且滿足衣=丸谷+〃記，九"為正實數，則下列結論正確的是（）

A.%的最小值為丁B.入N的最大值為1

C短布的最大值為16D-萬+樂的最小值為4

【答案】D

【分析】AB選項，根據向量基本定理和共線定理得到彳+4〃=1,從而利用基本不等式求出比”的最大值為

上；CD選項，利用基本不等式“1”的妙用求出最值，得到答案.

【詳解】AB選項，因為國=之瓦，所以衣=4亞,

故/=2通+〃xe=4費+4〃而,

因為民尸,。三點共線，設PB=mBD，即AB-AP=mAD-mAB，

故AP=(l+m)AB—mAD,

令％=1+m,4"=-m,故X+4//=1,

B

44為正實數，由基本不等式得2+4//=12=414i,解得，—,

16

當且僅當2=上"=：時，等號成立，所以加的最大值為J,AB錯誤；

2816

.(%+4〃)=1+1+也

CD選項,+U+R2=4,

/I4〃丫X4〃

當且僅當號即八nJ時，等號成立，C錯誤，D正確.

故選：D

3.（2024?內蒙古呼和浩特?一模）在“RC中，O為線段AC的一個三等分點，|仞|=2]。。.連接3D,

在線段8。上任取一點E,連接AE,若通=“衣+6麗，則力+〃的最小值為（）

,13“5八4八2

A.—B.—C.—D.一

42135

【答案】C

【分析】

根據E在線段8。上得到費=幾赤+。-幾）通，結合已知條件得到。，。和2的關系式，最后轉化為二次函

數求最小值.

【詳解】「E在線段8。上，AAE=AAD+（1-A）AB,2e[O,l],

9—

???。為線段AC的一個三等分點,\AD\=2\DC\,：.AD=-AC,

__2_____.__.__.__.

AE=-AAC+(l-A)AB^aAC+bAB,

,2

由平面向量基本定理得。=§4,b=l-Q

/+//%+(1_42=與2_22+]=3八2]+3,

9v'99I13)13

???當4=/9時，〃+〃取得最小值g4

故選：C.

4.（2023?安徽安慶?二模）已知非零向量5的夾角為凡口+@=2,且同忖2^,則夾角6的最小值

為（）

兀c兀21e兀

A.—B.—C.—D.一

6432

【答案】C

【分析】應用向量數量積運算律及題設可得422同./（l+cos，），注意等號成立條件，結合已知不等條件

求6范圍，即可得最小值.

【詳解】由卜+5]=4有同2+忸『+2同.Wcos6=4,即422同.W（l+cos，）Ng（l+cos，），

前一個等號成立條件為|￡|=出|，整理得COS64：.

由于6e[0,可，所以兀，于是夾角為。的最小值為三.

故選：C

5.（2024?全國?模擬預測）已知非零且不垂直的平面向量。石滿足|引+|5|=6,若五在方方向上的投影

與方在萬方向上的投影之和等于（無5）2,則商石夾角的余弦值的最小值為（）

2112

AA.—B.—C.-D.-

272733

【答案】A

【分析】

利用基本不等式得到|a|出區9,再利用投影的定義，結合數量積的運算法則得到2石夾角的余弦值關于

I萬1,1刈的表達式，從而得解.

【詳解】因為孱|+|方1=6,所以|萬防區團+叫=9,

I2J

當且僅當I萬|=|5|=3時，取等號，

設6,5的夾角為6,由題意得|創cosO+151cos。=（萬石）？=|a|2|b|2cos20,

因為向量非零且不垂直，所以|且|四快0且cosdwO,

SI+出I6

所以cos8=>

⑷2出產5一藥,

7

所以日石夾角的余弦值的最小值為2.

27

故選：A.

6.（23-24高三下?北京海淀?開學考試）已知A3是圓。：/+/=1的直徑，c、。是圓。上兩點，且

ZCOD=6Q°,貝I（雙+歷）?通的最小值為（）

A.0B.—\/3C.—3D.—2-\/3

【答案】D

【分析】由題意設弦C。的中點為E,然后利用平面向量的數量積從而求解.

【詳解】由題意知，不妨設弦CD的中點為E,因為NCOD=60。，則ACOD為等邊三角形，所以可得

則3+礪=2礪，設礪與血的夾角為6（。3夕《兀），

所以（反'+歷）通=2配通=cc|詞|明3co夕=?0,

因為cos。e[-1,1],所以（反+而）府的最小值為-2石，故D正確.

故選：D.

7.在AABC中，點。為AC邊上的中點，點E滿足反=3而，點P是直線BD，AE的交點，過點尸做一條

直線交線段AC于點交線段8C于點N（其中點Af,N均不與端點重合）設國=機b，CN=nCB，

則加+”的最小值為（）

【答案】B

【分析】由題意作跖〃AC交8。于凡可推出不=:，利用向量的線性運算推出CP=zC4+?C2,結

AP455

—.1.3-?13

合題意推出CP=-CW+二CN,根據三點共線可得丁+}=1,結合“1”的妙用，即得

5mjn5m5n

13

機+”=（加+"）（「+F）,展開后利用基本不等式，即可求得答案.

5m5n

EFPE

【詳解】作EF〃AC交8。于凡連接CP,則△EFPs/\ADP,故大=不，

ADAP

A

M

BNEC

由于點。為AC邊上的中點，故AD=CD,

__"—?BE1DA八―,,EFBE1

EC=3BE，故==：，又MEFSABCD,1^—=—=-,

BC4CDBC4

,,PEEF1

故——=——=-，

APCD4

貝lj方二4+福=互+：亞=夙+：(方一兩

1—?43—?1—?3—.

=-CA+-x-CB=-CA+-CB,

55455

由于兩=CN=nCB,故存=』-.+?-西，

5m5n

13

因為M,尸,N三點共線，故+三=1,

5m5〃

所以根+〃=(根+〃)(^—+—)=—+-^―+>—+2\m_4+2^/3

5m5n55m5n5)775

當且僅當4=理，結合;+3=i,即根=1±走,"=1!也時等號成立,

5m5njmjn55

即加+〃的最小值為土超目,

5

故選:B

8.（23-24高三上?陜西安康?階段練習）已知。是AABC所在平面內一點，若

國+岳+灰^。，赤二無通，刀7=＞正,礪=4西x,y均為正數，