專題02復數的幾何表示及三角表示知識歸納與題型突破

01思維導圖

I友蓑三角形式妁運算I［乘方|

02知識速記

知識點1復數的幾何表示

1.復數的幾何意義：

(1)復平面的定義

建立了直角坐標系來表示復數的平面叫做復平面，X軸叫做實軸，y軸叫做虛軸，實軸上的點都表示實數,

除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數.

(2)復數的幾何意義

①每一個復數都由它的實部和虛部唯一確定，當把實部和虛部作為一個有序數對時，就和點的坐標一樣,

從而可以用點表示復數，因此復數與復平面內的點是一一對應關系.

②若復數z=a+6i(a、bGR),則其對應的點的坐標是(a,b),不是(a,bi).

③復數與復平面內以原點為始點的向量也可以建立一一對應關系.

如圖，在復平面內，復數z=〃+歷（〃、/?￡R）可以用點Z（m6）或向量0Z表示.

Oax

復數z=〃+Ai（〃、b￡R）與點Z（〃，。）和向量0Z的—對應關系如下:

復數z=a+歷（ab￡R）

點Z（ab）-----------平面向量茂

2.復數的模：

（1）復數z=a+6i（a、bGR）對應的向量為OZ,則。Z的模叫做復數z的模，記作團且|z|=Va2+b2

當b=0時，z的模就是實數a的絕對值.

（2）復數模的幾何意義

復數模的幾何意義就是復數z=a+歷所對應的點Z（a,份到原點（0,0）的距離.

由向量的幾何意義知，|Z1—Z引表示在復平面內復數Z1與Z2對應的兩點之間的距離.

（3）模的重要性質：①IzHTRxZI；②五=工；③閭―閭閆馬士ZzKM+R.

Z2lZ2j

3.復數的共軌復數：（1）一般地，當兩個復數的實部相等，虛部互為相反數時，這兩個復數叫做互為共物

復數，復數z的共輾復數記作］.

復平面上兩點凡Q關于.r軸可稱u它們所對應的更數相互共規

（3）共軌復數的性質：

2-

①Z]±Z2=Z]±Z2；（2）ZjxZ2=ZjXZ2;（3）Z-Z=|z|=|z|-

4.復數加減法的幾何意義:

zi、zi、Z3eC,設龍1、龍2分別與復數zi=a+歷，Z2=c+di（a、b、c、dGR）相對應，且龍卜或不

共線

加法減法

幾何

O\X

意義a\x

復數的和Z1+Z2與向量龍1+復數的差ZLZ2與向量應1一應2=a1的坐標對應

龍2=龍的坐標對應

知識點2復數的三角表示

l.i2=l的幾何意義：

虛數單位i乘任意復數：的幾何意義是：將復數：對

應的平面向量旋轉90°.

2.旋轉任意角：

用CSa十認ina乘任意復數j其幾何意義是：將復

數，對應的平面向量旋轉角

3.復數三角表示：

(1)輻角：8是以x軸的非負半軸為始邊，向量OZ所在射線(射線OZ)為終邊的角，叫做復數2=〃+歷的

輻角，記作argz=0.若6是z的一個輻角，則z的所有輻角argz=0+2A"(%為整數)

(2)復數的三角形式：一般地，任何一個復數z=a+歷都可以表示成《cosd+isinO)的形式，其中，廠是復

數z的模.

(3)兩個第數符=|w|<cos0Iisin/)，—Is:|(cosftfisin偽)相等的充分必設條件是

IziI=I?：I=0.或有I=|z?|>0且8="+2及冥.

4.復數三角形式的運算：

(1)乘法：設復數zi=n(cos0i+isin-),Z2=r2(cos仇+isin%)，且z#z?,

①ziZ2=n(cos01+isina)?r2(cosft+isin6i)=r\r2[cos(^i+0i)+isin(0i+02)]

即：兩個復數相乘，積的模等于各復數的模的積，積的輻角等于各復數的輻角的和.

②推廣：

*

zi?Zz....znr\r?>Tn_cos(ft?仇+…，伉)?認山(4+/+…+仇)]?

其中oGN,

③乘方：[r<oos0Iisin仍"廣(cwMisinnff).「「「、……棣莫佛公式

(2)除法：設復數zi=n(cosa+isin4)，Z2=r2(cos02+isin0i)9且zi先2,

Z1'(cos"+zsin4)r.

—[cos(4—02)+isin(仇—ft)].

z2r2(cos02+zsin02)丫2

即：兩個復數相除，商的模等于被除數的模除以除數的模所得的商，商的輻角等于被除數的輻角減去除數

的輻角所得的差.

03題型歸納

題型一復數用點、向量表示

【例1】（2324高一下?四川成都?期中）如圖所示，平行四邊形QA5C,頂點O,AC分別表示0,4+3i,-3+5i,

（D對角線CA所表示的復數；

（2）求B點對應的復數.

【答案】（l）7-2i

（2）l+8i.

【知識點】復數的向量表示、復數加減法幾何意義的運用、復數加減法的代數運算

【分析】（1）先由向量運算得C4=OA-OC，再根據復數的向量表示以及復數加減法的幾何意義直接轉成

復數減法運算即可得解.

（2）先由向量運算得OB=OA+Od，再根據復數的向量表示以及復數加減法的幾何意義將向量加法運算轉

化成復數加法運算即可得解.

【詳解】⑴因為C4=Q4-OC，

所以C4所表示的復數為（4+3i）-（-3+5i）=7-2i.

（2）因為O3=OA+A8=OA+OC,

所以08所表示的復數為（4+3i）+（-3+5i）=l+8i,

即B點對應的復數為l+8i.

【變式1。（2324高一.上海.課堂例題）如果復平面上的向量.所對應的復數是-3+2i,那么向量區4所對

應的復數是（）

A.3-2iB.3+2iC.-3+2iD.-3-2i

【答案】A

【知識點】復數的坐標表示

【分析】根據向量、復數的坐標表示等知識求得正確答案.

【詳解】依題意，向量所對應的復數是-3+2i,對應坐標為（-3,2）,

所以向量84對應的坐標為（3,-2）,對應的復數為3-2i.

故選：A

【變式12】（湖南省部分學校20242025學年高三下學期入學檢測聯考數學試題）復數z滿足

（2+i）（z-l）=2-4i,則在復平面內，復數z對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【知識點】復數的除法運算、判斷復數對應的點所在的象限

【分析】由復數四則運算得到z,即可求解；

【詳解】由（2+i）（z-1）=2-4i,

mxBz_2-4i（2-4i）（2-i）10i_

可倚z一豆？+（2+i）（2-i）+1-1+亍一1一2】

復數z在復平面內對應的點為位于第四象限.

故選：D

【變式13］（2324高一?上海?課堂例題）設復數句=-4、zs=2i、zc=2-3i,z0=3+2i、z￡=-l-i.

（1）在復平面上分別作出這些復數所對應的點A、B、C,D、E；

（2）在復平面上分別作出這些復數的共輾復數所對應的向量.

【答案】（1）圖象見詳解

（2）圖象見詳解

【知識點】復數的坐標表示、共朝復數的概念及計算、復數的向量表示

【分析】（1）根據復數的幾何意義求點的坐標，進而可得圖象；

（2）根據共軌復數以及復數的幾何意義可得相應點的坐標，進而可得圖象.

【詳解】(1)因為復數4=-4、Zs=2i、zc=2-3i、z0=3+2i、z￡=-l-i,

則A(yo),3(0,2),C(2,—3),0(3,2),E(—1,-1),

在復平面上分別作出這些復數所對應的點，如圖所示:

斗

C(0,2)，.0(3,2)

a-4,0)________________

Ox

￡(-1/1)

.Q2.-3)

(2)因為復數4=-4、zB=2iyZc=2-3i、zD=3+2iz￡=-l-i,

則復數4=—4、zB=-2i>Zc=2+3i、zD=3—2i>zE=-1+i,

這些復數所對應的點分別為A(-4,0),片(O,-2)，G(2,3),A(3,-2)，4(-1,1),

ULUUL1UUUUUULlUUUL

這些復數的共軌復數所對應的向量分別為OA，OBIQG，ODI，OEI,

在復平面上分別作出這些復數的共輾復數所對應的向量，如圖所示：

題型二根據復數對應的點求參數

【例2】(2223高一下?江蘇南通?階段練習)已知復數z滿足z后=2,且z的虛部為1,z在復平面內所對應

的點在第一象限.

⑴求z；

(2)若z,z?在復平面上對應的點分別為A,B,O為坐標原點，求

【答案】(l)z=l+i；

(2)ZOAB=90.

【知識點】復數的坐標表示、復數代數形式的乘法運算、復數的向量表示

【分析】(1)設z代數形式，根據z-N=2解得z；

(2)先根據復數得向量AO,42的坐標，再根據向量夾角公式得結果.

【詳解】(1)^z=x+i(xeR),

因為z2=2,所以無?+1=2,得x=l或x=—1,

又z在復平面內所對應的點在第一象限，所以尤=1,

所以z=l+i；

(2)z2=(l+i)2=2i,

所以3(0,2),0(0,0),AO-(-1,-1),AB=(-1,1),

_AOAB_IT_

所以c°s/%2一|cli「方~~/7-0n,0<ZOAB<180，

A71O|x|Afi,2xA/2

所以NOA3=90.

【變式21](多選)(2425高一下?全國?課后作業)(多選)若復數(1-0(a+i)在復平面內對應的點在第二象

限，則實數。的值可以是()

A.1B.-2C.-3D.-4

【答案】BCD

【知識點】復數代數形式的乘法運算、根據復數對應坐標的特點求參數

【分析】根據復數的乘法運算化簡復數，求得對應的點為(“+L1-“)，利用點在第二象限列不等式組求解即

可.

【詳解】因為z=(l-i)(a+i)=a+l+(l-a)i,所以它在復平面內對應的點為.

+1<0,

又此點在第二象限，所以，八解得a<T,結合選項可知BCD符合題意.

[1-<2>0,

故選：BCD

【變式22](2425高一下?全國?課后作業)在復平面內，若復數z="-2m-8)+(療+3m-10)i對應的點：

分別求實數機的取值范圍.

(1)在虛軸上；

(2)在第二，四象限；

【答案】(1)相=—2或4.

(2)2<機<4或一5<相<一2.

【知識點】復數的坐標表示、根據復數對應坐標的特點求參數

【分析】(1)根據已知得出實部和虛部進而根據點在虛軸上列方程求解；

(2)點在二四象限列不等式求解.

【詳解】⑴復數z=(4-2%-8)+(〃22+3〃2-101的實部為?22一2〃7_8,

虛部為〃『+3m_10.

由題意得加2—2/〃—8=0,解得加=-2或4.

(2)由題意，(m2-2m-8)(m2+3m-10)<0,:.2<m<4^~5<m<-2.

【變式23](2324高一下?陜西商洛?期末)已知機eR,復數z="-m-2)+(療+3〃z+2)i.

⑴若z為純虛數，求gzi+3-2i；

(2)若z在復平面內對應的點位于第二象限，求整數加的值.

【答案】⑴行;

(2)0和1

【知識點】已知復數的類型求參數、求復數的模、根據復數對應坐標的特點求參數

【分析】(1)由z為純虛數，求出m的值，從而得到復數z,求解gzi+3-2i模長即可；

(2)z在復平面內對應的點位于第二象限，求出機的取值范圍，進而得到整數機的值即可.

【詳解】(1)由于復數z=(病—加—2)+(病+3a+2]為純虛數，

m2—m—2=0

所以<2，解得根=2,此時z=12i,

[m2+3m+2^0

|zi+3-2i=|-l-2i|=^/l+4=75

(2)若z在復平面內對應的點位于第二象限，

,m2-m-2<0

則《解得一1v機v2,

m2+3m+2>0

故整數次的值有04.

題型三共朝復數及其運算

【例3】(2425高三上?河南周口?期末)若復數z在復平面上對應點的坐標為(6,1),三為z的共輾復數，則

|z-z|=()

A.0B.2C.2百D.4

【答案】B

【知識點】求復數的模、共輾復數的概念及計算、根據復數的坐標寫出對應的復數

【分析】利用復數的幾何意義結合共朝復數的性質得到z-I=2i，再利用復數的模長公式求解即可.

【詳解】由題意得復數z在復平面上對應點的坐標為（迅,1）,

則依據復數的幾何意義可得Z=A^+i,

而I為Z的共輾復數，故三=百-i,

則z_1=2i，由復數模的公式得卜-目=后=2,故B正確.

故選：B.

【變式31］（2324高一下.廣東廣州.階段練習）若復數z滿足（l+i）z=l-i,則其共舸復數W的模為（）

A.1B.-1C.J2D.—

2

【答案】A

【知識點】求復數的模、復數的除法運算、共輾復數的概念及計算

【分析】由復數的四則運算得出z,再由模長公式得出共甄復數5的模.

1-i_(1-i)2l-2i-l

【詳解】

l+i-(l+i)(l-i)2

:.z=i,\z\=l

故選：A

【變式32］（2425高三上?黑龍江?期末）已知復數z=i（〃-i）,若天2-i）是純虛數，則實數。二（）

A.-3B.-2C.2D.3

【答案】C

【知識點】共輛復數的概念及計算

【分析】直接計算得到42-i）=（2-〃）+（-2a-l）i,再根據純虛數的定義得到結果.

［詳解］由于z=i(a-i)=1+ai,故z(2_i)=(l—ai)(2_i)=(2_a)+(_2a_l)i,所以2_〃=0W_2Q_1,解

得a=2.

故選：C.

【變式33］（2425高三上?上海嘉定?期中）已知復數Z=l+i,z?=2+3i,則z［+1=.

【答案】3-2i

【知識點】復數加減法的代數運算

【分析】求出復數Z2的共軌復數，然后用復數的運算法則求得4+z2的值.

【詳解】z2=2-3i,

Z]+z2=l+i+2—3i—3—2i.

故答案為：3-2i.

題型四共輾復數的復數特征

2

【例4】（2324高一下.山東青島.期末）已知復數z滿足一7=1-i,則5的虛部為（）

z+1

A.-1B.1C.-iD.i

【答案】A

【知識點】共軌復數的概念及計算、復數的除法運算、求復數的實部與虛部

【分析】先由復數的四則運算法則求出2=1再由共輾復數的概念表示出彳=7,即可求解.

2212(1+i)i：

【詳解】由題，—=貝Ijz=則

l-i.1-i(1-i)(l+i)z=-i,

故2的虛部為-1.

故選：A.

【變式41］（2425高二上?云南曲靖?階段練習）若復數2=二，貝”的共輾復數的虛部是（）

1-1

A.-1B.iC.iD.1

【答案】A

【知識點】求復數的實部與虛部、復數的除法運算、共朝復數的概念及計算

【分析】利用復數的除法求出z,進而求出其共軌復數的虛部.

【詳解】依題意，z=?+i）：?=J=i,所以三=_i，其虛部為T.

故選：A

【變式42］（2425高三下?北京?開學考試）在復平面內，復數士的共輾復數對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【知識點】復數的除法運算、共軻復數的概念及計算、判斷復數對應的點所在的象限

【分析】首先求出復數的共軌復數，再判斷象限即可.

【詳解】設2=出=湍6=；+，，則2=3T，

復數N對應的點為所以N對應的點位于第四象限.

故選：D.

【變式43](2425高三上嚀夏銀川?期末)已知復數z滿足(i-2)z=|3+4i|,則復數I在復平面內對應的點

位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【知識點】求復數的模、復數的除法運算、共軌復數的概念及計算、判斷復數對應的點所在的象限

【分析】利用復數的模長公式、復數的除法化簡復數z,利用共輾復數的定義結合復數的幾何意義可得出結

論.

._____55(-2-i)

【詳解】因為(i—2)z=|3+4i|=J32+42=5,則z=三十]=+=一？7，

所以，]=_2+i，則復數I在復平面內對應的點的坐標為(-2,1),位于第二象限.

故選：B.

題型五求復數的模

【例5】(2425高三上?山西呂梁?階段練習)若復數z滿足(l+i)z=l-i2°25,則卜+2|=()

A.1B.V3C.2D.75

【答案】D

【知識點】求復數的模、復數的乘方、復數的除法運算

【分析】利用復數的乘方及除法運算求出復數z,再利用復數模的意義求解.

2

【詳解】由(l+i)z=l-i?02"得z=F(1-i)-2i

(l+i)(l-i)=T

所以|z+2|=|2-i|=j22+(-l)2=6

故選：D

【變式51](2024.浙江.一模)已知復數z=l-i(其中i是虛數單位)，貝咋()

A.2B.1C.72D.V10

【答案】C

【知識點】求復數的模、復數加減法的代數運算、復數的乘方、共軌復數的概念及計算

【分析】利用共軌復數的定義、復數的四則運算化簡復數z2+5,利用復數的模長公式求解即可.

【詳解】因為z=l—i,則z2+W=(l_i)2+l+i=_2i+l+i=l-i,

所以產+』=戶由=也.

故選：C.

【變式52](多選)(2324高一下?青海?期末)已知復數z=(l-2i)(3-2i),則()

A.z=-l+8iB.|z>765

C.z的虛部是一8D.z在復平面內對應的點位于第四象限

【答案】ABC

【知識點】求復數的實部與虛部、求復數的模、復數代數形式的乘法運算、共輾復數的概念及計算

【分析】先化簡z=-l-8i,再結合復數的概念，共軌復數，復數的模，復數在復平面內對應的點分別判斷

各個選項即可.

【詳解】因為z=(l-2i)(3-2i)=3-2i-6i+4i2=-l-8i,

則彳=—l+8i,忖=：1+64=病,z的虛部是-8,

z在復平面內對應的點為(-L-8),位于第三象限

故ABC正確，D錯誤.

故選：ABC.

【變式53](2324高一下.山東淄博?期中)復數z滿足z(l+i)="i「(i為虛數單位)，則z的共軌復數的虛

部是.

【答案】1

【知識點】求共輾復數的復數特征、復數的除法運算、求復數的實部與虛部

【分析】根據條件等式化解復數z,再求其共朝復數及其虛部.

_2_2(l-i)

【詳解】Z=

1+i1+i(l+i)(l-i)

所以5=l+i,所以z的共軌復數的虛部是1.

故答案為：1

題型六根據復數的模求參數

【例6】(2425高一上?上海?課后作業)已知復數z=4+ai,且|z|<5,則實數。的取值范圍為

【答案】(-3,3)

【知識點】由復數模求參數

【分析】由題意|Z|="77<5,解不等式即可得解.

【詳解】因為z=4+ai,

所以|z|=^42+a2—y/16+a2<5,

所以16+Y<25,

即a2<9,

解得，—3<a<3.

故答案為：（-3,3）.

【變式61］（2425高三上?上海?期中）記i是虛數單位，設復數z=l+biS>0）且忖=2,則復數z的虛部

為.

【答案】73

【知識點】求復數的實部與虛部、由復數模求參數

【分析】根據條件，利用復數模長的計算公式，即可求解.

【詳解】因為z=l+歷，忖=2,貝|再行=2,得到從=3,

又6>0,所以b=6，則復數z的虛部為石，

故答案為：6

【變式62］（2425高一上?上海?隨堂練習）已知復數z=4+ai（aeR）,且|z|<6,則實數。的取值范圍

是.

【答案】卜2君,26）

【知識點】由復數模求參數

【分析】利用復數的模的幾何意義求解不等式.

【詳解1z=4+ai,則|z|=而7<6,解得（-2布,2國.

故答案為：卜26,2石）.

【變式63］（2324高一下?江蘇?期末）滿足忖=1且z?=z的復數z=.

【答案】1

【知識點】復數的相等、求復數的模、復數的乘方

【分析】設z="+歷,a,"cR,由忖=1得儲+/=1,由z2=z可得二"，計算并檢驗求得即

11[2ab=b[匕=0

得z=1.

【詳解】設z=a+歷,a力eR,由|z|=1可得/+廿=1，

由z?=z可得（。+歷）2=a+bi,即a2—b2+2abi=a+歷，

a2—b2=aa=la=0

則，解得6=0或

2ab=bb=0

\a=0

顯然，c不滿足/+〃=1,應舍去，故z=l.

[6=0

故答案為：1.

題型七與復數模相關的圖形、軌跡

【例7】(2425高一下?全國?課堂例題)已知zeC,指出下列等式所表示的幾何圖形.

(l)|z+l+i|=l；

(2)|z-l|=|z+2i|.

【答案】⑴表示以-1-i對應的點(-LT)為圓心，1為半徑的圓.

(2)表示以點(1,0),(0,-2)為端點的線段的垂直平分線.

【知識點】與復數模相關的軌跡(圖形)問題

【分析】根據復數模的幾何意義，即可求解.

【詳解】(1)|z+l+i|=|z-(-l-i)|=L

則復數z對應的點的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓；

(2)|z-4的幾何意義表示以復數z對應的點與(1,0)之間的距離，

|z+2i|=|z-(_2i)]的幾何意義表示以復數z對應的點與(0,-2)之間的距離，

所以|z-11=|z+2i|表示以點(1,0),。-2)為端點的線段的垂直平分線.

【變式71](2425高一下?全國?課后作業)已知復數z滿足|z「-3忖-4=0,則復數z對應的點Z的集合是什

么圖形()

A.一個圓B.線段C.兩點D.兩個圓

【答案】A

【知識點】與復數模相關的軌跡(圖形)問題、求復數的模

【分析】解方程求出|z|,根據復數的幾何意義可得答案.

【詳解】|Z|2-3|Z|-4=0,

.-.(|z|-4)(|z|+l)=0,

.,?|z|=4=舍去)，

復數z對應的點Z的集合是以原點。為圓心，以4為半徑的一個圓.

故選：A.

【變式72](2324高一下.甘肅酒泉.期末)已知復數z的模為2,則|z-i|的最大值為.

【答案】3

【知識點】與復數模相關的軌跡(圖形)問題

【分析】利用復數模的幾何意義，求出|z-i|的最大值.

【詳解】復數z的模為2,表示復數z在復平面內對應的點Z到原點。的距離為2,

則點Z的軌跡是以原點。為圓心，2為半徑的圓，

而|z-i|是圓。上的點到點(0,1)的距離，

所以|z—iL=2+1=3.

故答案為：3

【變式73](2425高一下?全國?課前預習)設復數z=a+6i(a,6wR),1旦z|V2,則|z+l|的取值范圍

是.

【答案】[0,3]

【知識點】與復數模相關的軌跡(圖形)問題、求復數的模

【分析】運用復數模長的幾何意義，數形結合可解.

【詳解】由復數的模及復數加減運算的幾何意義可知，14z|<2表示如圖所示的圓環，

而Iz+11表示復數z的對應點A(a,6)與復數4=-1的對應點B(-l,0)之間的距離，

即圓環內的點到點8的距離d.

由圖易知當A與B重合時，心?=。，當點A與點C(2,0)重合時，<x=3,.-.0<|z+l|<3.

故答案為：[0,3].

題型八復數加減法的幾何意義

【例8】（2024高一下.全國?專題練習）（1）根據復數及其運算的幾何意義，求復平面內的兩點心（和必）,

Z2（%，%）之間的距離.

（2）求復平面內下列兩個復數對應的兩點之間的距離:

①Z[=2+i,z2=3—i；

@z3=8+5i,z4=4+2i.

【答案】（1）-Xi）?+（%-%）2（2）①布;②5

【知識點】復數加減法幾何意義的運用、求復數的模

【分析】（1）利用復數的幾何意義化簡，找到對應向量，求解向量的模即可.

（2）找到對應的點坐標，再利用兩點間距離公式求解即可.

【詳解】（1）因為復平面內的點4（不/），Z2（x2,y2）

對應的復數分別為Z1=玉+用，z2=x2+y2i,

所以點Z1,Z2之間的距離為

,41=|ZjZ2|=|z2-zj=|(x2+%i)—(演+yj)]

=|(%f)+(%f)i|

22

=A/(x2-x1)+(j2-y1).

(2)①易知％對應的坐標為(2,1),Z2對應的坐標為(3,-1),設兩點間距離為d,

由兩點間距離公式得d="（3_2）2+（_]_l）2=jF+（_2）2=亞；

②易知Z3對應的坐標為（8,5）,Z4對應的坐標為（4,2）,設兩點間距離為d,

由兩點間距離公式得d=J(4-8)2+(2-5)2=J(T)2+(-3)2=5.

【變式81](多選)(2425高一下?全國?課后作業)(多選)在復平面內有一個平行四邊形Q4BC,點。為坐

標原點，點A對應的復數為Z=l+i,點8對應的復數為zz=l+2i,點C對應的復數為Z3,則下列結論正確

的是()

A.Zj-z2=—iB.點C位于第二象限

ZD.|-Z|=|AC|

c.Z1+Z3=2Z13

【答案】ACD

【知識點】復數的坐標表示、求復數的模、復數加減法幾何意義的運用

【分析】運用復數的加減運算規則，結合幾何意義和模長概念畫出表格計算判斷即可.

【詳解】

AZ1~Z2=l+i-l-2i=-i

由題意得0(0,0),A(L1),2(1,2),因為四邊形QA5c為平行四邊

ULUUUUU

BX形，則OC=AB=(0,l),所以C(0,l),所以Z3=i，點C位于虛軸

上

C

如圖，Z],z2,Z3對應的向量分別為3,OB，OC，貝I

UULUUIUUL1U?ill

zZZAC

OA+OC=OB-OA-OC=CA,Zi+z3=2)\I-3\=\\

D

-1o\1^

故選：ACD.

【變式82](2324高一下?四川樂山?期中)在復平面內，復數3+2i,-2+3i對應的向量分別是04QB，其中。

是坐標原點，則向量AB對應的復數為

【答案】-5+i

【知識點】復數的坐標表示、復數加減法幾何意義的運用、復數的向量表示

【分析】運用復數幾何意義，結合平面向量減法運算可解.

【詳解】復數3+2i,-2+3i對應的向量分別是OAOB,則OA=(3,2),OB=(-2,3)

卻=OE-OA=(-5,1).則向量AB對應的復數為-5+i.

故答案為：-5+i.

【變式83](2024高一下?全國?專題練習)在復平面內，已知復數z/2滿足㈤=兇=3,且區―港=3匹,

求|zi+Z21.

【答案】3拒

【分析】

設。4對應的復數為4，OB對應的復數為Z?,利用向量運算和復數的向量表示可解.

【詳解】設。4對應的復數為4，。2對應的復數為Z?,

則OA+OB對應的復數為4+z?,OA-OB對應的復數為4-2，

因為聞=區|=3,且171gz=3板,

所以A03為等腰直角三角形，且|區4卜3五.

作正方形AOBC,如圖所示，

zz

則OA+OB=OC對應的復數為i+2,故忖+z2|=|oc|=|BA|=372.

題型九復數代數形式與三角形式的互化

【例9】(2324高一?上海?課堂例題)把下列復數用三角形式表示：

(1)4一4i；

⑵-3右一3i；

//、?兀?兀

(3)sin—+1COS—；

88

(4)cos—+isin—.

77

【答案】(1)4A/2^cos+isin

J7K..7兀)

(2)61cos—+isin-^-I

°、3K..3兀

(3)cos--Fisin——

88

/八13K..13K

(4)cos+1sm

【知識點】復數的三角形式

【分析】根據復數三角形式的知識求得正確答案.

【詳解】(1)4-4i=4應4-率=4可cos與+isi吟

(2)-35/3-3i=3(->/3-i)=6-孚-匕=6(cos—+isin—

X，'

【變式91］（2425高一上?上海?課堂例題）計算，并用復數的代數形式表示計算結果:

［父女］（］）—^30+3^/10+A/30.

44

⑵一封

3

【知識點】復數的三角形式、復數乘、除運算的三角表示

【分析】（1）（2）運用復數的三角形式表示，并按照乘除規則計算即可.

【詳解】（1）石［cos：+isin口石（cos^+isin胃

5兀..5兀

cos-----Fisin——

3710-7301

3兀..3兀

-----Fism——

3兀..3兀

-----Fism——

也713兀

+isin

V34-T

【變式92](2425高一上?上海?隨堂練習)把下列復數用三角形式表示.

⑴3；

⑵-2i；

(3)l+i；

(4)-l+V3i.

【答案】(I)3(cos0+isin0)

J37r..3兀)

(2)21cosy+isinyI

⑶血卜。s：+isin

J2兀..2兀、

(4)21cosy+isinyI

【知識點】復數的三角表示

【分析】由復數的三角形式表示的概念可得解.

【詳解】(1)由復數的三角形式表示為z=a+bi=r(cos9+isin。)，且廠=目=y/a2+b2,且加「小。,b=rsmO,

r=3

丫二3

又4=3,所以3=rcos8,解得

0=0

0=rsin^

所以z=3(cos0+isin0)；

2

TOr=2

(2)由z?=_2i,所以0=rcos0,解得

-2=rsin。2

所以Z?=2卜os告+isin1]；

22

r=5/l+l=V2

(3)由Z3=l+i,所以＜1=rcosO，解得

1=廠sin。

71..71]

所以Z3=—+1sin—?

44

=2r=2

(4)由Z4=—l+百i,所以，-1二rcos6，解得。=如

M=rsin。3

(2兀2兀

所以Z4=2卜os§+isiny-

【變式93](2425高一下?全國?課后作業)已知實數。＞0,寫出下列復數的三角表示.

⑴。；

⑵山；

(3)-。；

(4)-ai.

【答案】(I)6z(cos0+isin0)

(兀..兀

(2)^1cos—+isin—

(3)tz(cos7t+isin兀)

(3兀..3兀

(4)6zlcos—+isin—

【知識點】復數的三角表示

【分析】(1)(2)(3)(4)根據復數的三角形式的定義直接求解即可

【詳解】(1)復數。(。＞0)對應的復數為〃+0-i,其輻角為0,

復數a的三角形式為z=a(cos0+isin0)；

TT

(2)復數出(a＞0)對應的復數為0+a-i,對應的點在＞軸正半軸上，其輻角為；,

2

兀..兀

復數出的三角形式為Z=。cos—+isin—

22

(3)復數-。(?>0)對應的復數為-a+O-i,對應的點在x軸負半軸上，其輻角為兀，

復數一。的三角形式為z=<7(cos7i+isin7i)

3兀

(4)復數-ai(。>0)對應的復數為O-a-i,對應的點在>軸負半軸上，其輻角為二,

2

復數-0的三角形式為2=。.(。5萬3兀+1$苗3兀?)；

題型十復數三角形式的乘法(方)

【例10](2425高一上?上海?課堂例題)計算：

(1)-J5fcos—+isin—^-1；

(2)(73-i)12.

【答案】⑴-20

(2)4096

【知識點】復數的三角表示、三角表示下復數的乘方與開方

【分析】(1)利用復數三角形式的乘方運算法則計算即得；

(2)將嘉的底數6-i化成三角形式，再利用復數三角形式的乘方運算法則計算即得.

【詳解】(1)[A/2(cos+isin^)]3=(\/2)3(cos7t+isinji)=-2^2.

(2)(^-i)12=[2(cos—+isin—)]12=212(COS22TI+isin227i)=212=4096.

66

【變式101](2324高一下?河南安陽?階段練習)法國數學家棣莫弗發現：

[r(cos6+isine)]"=r"(cos〃e+isin〃e)(neZ),我們稱這個結論為棣莫弗定理，則(1+i廣4=()

A.1B.21012C.-21012D.21012i

【答案】B

【知識點】復數的三角表示

【分析】化為三角形式，根據棣莫弗定理求解.

【詳解】(1+獷°"=亞(cos：+isin：]=*[cos^F^+isin"FB=2""2.

故選：B

2"尹is嗚)

【變式102](2425高一上?上海?課后作業)計算:

【答案】-J_+Wi

3232

【知識點】復數乘、除運算的三角表示

【分析】利用三角形式的復數乘法、除法、乘方運算法則求解即可.

【詳解】因為2cos—+isin—

33

1

71..兀、]

2cos—+isin—

33〃

1

24cos—7t+isin—

I33

cosO+isinO

1/4兀..4兀、

locos-----Fisin—?

I33)

3232

【變式103］（2324高一.上海.課堂例題）設復數-3-4,在復平面上所對應的向量是0Z,將0Z繞原點。順

時針旋轉810。得到向量OZ'求向量OZ，所對應的復數.（結果用復數的代數形式表示）

【答案】4-3i