考前回顧06概率與統(tǒng)計(知識清單+易錯分析+23年高考真題

+24年最新模擬)

i.分類加法計數(shù)原理

完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有機種不同的方法，在第2類方案中有〃種不同的方法，那

么完成這件事共有N=M±2種不同的方法.

2.分步乘法計數(shù)原理

完成一件事需要兩個步驟，做第1步有機種不同的方法，做第2步有〃種不同的方法，那么完成這件事共

有N=￡2L種不同的方法.

3.排列

(1)排列的定義：從〃個不同元素中取出加(租W")個元素，并按照一定的順序排成一列，叫做從〃個不同元

素中取出m個元素的一個排列.

⑵排列數(shù)的定義：從〃個不同元素中取出制mW”)個元素的所有不同排列的個數(shù)，叫做從"個不同元素中

取出根個元素的排列數(shù)，用符號例表示.

(3)排列數(shù)公式：A孑=〃("-1)(〃一2)…

(4)全排列：把n個不同元素全部取出的一個排列，叫做n個元素的一個全排列，AN=-1)(〃一

2)X-X3X2X1=?!.排列數(shù)公式寫成階乘的形式為A#=;七~，這里規(guī)定0!=L

------------------(n—m)!一

4.組合

(1)組合的定義：從n個不同元素中取出加個元素作為一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的

一個組合.

(2)組合數(shù)的定義：從w個不同元素中取出相SW")個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從幾個不同元素中

取出m個元素的組合數(shù)，用符號禺表示.

4A!；!n!”1)(〃—2)…〃z+1).十.?

(3)組口數(shù)的計算公式：Cn—Arn=j_/-=j，由于0!=1，所以C"=L

(4)組合數(shù)的性質(zhì)：①C4=￡F%②C料尸C葉CTL

5.二項式定理

3+〃=(2%"+0-廠宓H-----------------HC敝"(/GN*).

這個公式叫做二項式定理，右邊的多項式叫做(a+b)”的二項展開式，其中各項的系數(shù)C拆左=0,1,2,…，力叫

n

做二項式系數(shù).式中的式系r"叫做二項展開式的通項,用7kl表示，即展開式的第4+1項：Tk+l=C^a~

V.

6.二項式系數(shù)的性質(zhì)

(1)對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即—.

(2)增減性與最大值：二項式系數(shù)先增后減，中間一項或兩項的二項式系數(shù)最大.二項式系數(shù)為C￡,當上“一

時，c￡隨發(fā)的增加而增大；由對稱性知，二項式系數(shù)的后半部分，&隨左的增加而減小.

當〃是偶數(shù)時，中間的一項C?取得最大值；

n-\n+l

當〃是奇數(shù)時，中間的兩項c］和相等，且同時取得最大值.

(3)各二項式系數(shù)的和

m+切”的展開式的各二項式系數(shù)的和等于2",即C9+C,!+戢+…+C5+…+c；=￡.

二項展開式中，偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和，即ci+cHcH-cHcHd

+…=2"-i.

7.概率的計算公式

(1)古典概型的概率計算公式

明事件A包含的樣本點個數(shù)

“A)一樣本空間包含的樣本點個數(shù).

(2)互斥事件的概率計算公式

P(AUB)=P(A)+P(B).

(3)對立事件的概率計算公式

P(A)=1—尸(4).

(4)條件概率公式

產(chǎn)(AB)

P(B|A)=

(5)概率的乘法公式

P(AB}^P(A)P(B\A).

(6)全概率公式

一般地，設4，A2,4是一組兩兩互斥的事件，AiUA2U???UA?=i2,且P(A)>0,z=l,2,???,n,則

n

對任意的事件21。，有尸(8)=21尸(4*(即4).

我們稱上面的公式為全概率公式，全概率公式是概率論中最基本的公式之一.

*(7)貝葉斯公式

設4，AT,???,A”是一組兩兩互斥的事件，AiUATUUAn=i2,且尸(4)>0,i=l,2,…，n,則對任意事

件匹。P(B)>0,

+5、尸(A,)P(3,)

有尸⑷8)=—p?

P(A,)P(B|A,)

t,P(Ak)P(B\A?)

z=l,2,…，n.

在貝葉斯公式中，P(A‘)和P(A,⑻分別稱為先驗概率和后驗概率.

8.統(tǒng)計中四個數(shù)據(jù)特征

(1)眾數(shù)：

①在樣本數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù).

②頻率分布直方圖中，眾數(shù)是最高矩形的底邊中點的橫坐標.

(2)中位數(shù)：在樣本數(shù)據(jù)中，將數(shù)據(jù)按從小到大(或從大到小)的順序排列，位于中間的那個數(shù)據(jù).如果數(shù)據(jù)的

個數(shù)為偶數(shù)，就取中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)作為中位數(shù).

(3)平均數(shù)：樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)，

——1

即X=~(X1+X2H-----Hx”).

(4)方差與標準差：反應樣本數(shù)據(jù)的分散程度.

1————

方差：52=-[(Xl—X>+(無2—XpH------|-(X?—XA].

標準差：

S=N%(X1-X>+(X2—X)2-1------X)2].

9.離散型隨機變量

(1)離散型隨機變量的分布列的兩個性質(zhì)

?p,-^O(z—1,2,???,ri)-,②pi+p2H---bp“=l.

(2)均值公式

n

E(X)=Xim+x2〃-I------==》必.

i=l

(3)均值的性質(zhì)

①E(aX+b)=aE(X)+b；

②若X?B(n,p),則E(X)=w；

③若X服從兩點分布，則E(X)=2

(4)方差公式

222

D(X)=(xi—E(X))-Pl+(尤2-E(X))-p2+-+(x?-E(X))-p?,標準差為赤丙.

(5)方差的性質(zhì)

①。(aX+6)=迤血

②若X?B(n,p),則D(X="P(1—0)；

③若X服從兩點分布，則D(X)=p(l-p).

(6)獨立事件同時發(fā)生的概率計算公式

P(AB}=P(A)P(B).

(7)?重伯努利試驗的概率計算公式

P(X=k)=C￥pk(l—pY50=0,1,2,…，n.

10.一元線性回歸模型

[Y—bx+a+e,

稱、2為y關(guān)于X的一元線性回歸模型.其中y稱為因變量或響應變量，尤稱為自變量或解

釋變量,幺稱為截距參數(shù)，〃稱為斜率參數(shù)；e是上與近土色之間的隨機誤差，如果e=。，那么F與x之間

的關(guān)系就可以用一元線性函數(shù)模型來描述.

11.獨立性檢驗

利用隨機變量/=(°+6)(；￡需?；①的取值推斷分類變量X和y是否獨立的方法稱

為Z2獨立性檢驗.

12.正態(tài)分布

如果隨機變量X服從正態(tài)分布，則記為X~N@,O2).

滿足正態(tài)分布的三個基本概率的值是

(1)尸(〃一cWXW“+㈤公0.6827；

⑵叫一2c+2/0.9545；

(3)P(u—3o/XW〃+320.9973.

4易錯提醒

1.關(guān)于兩個計數(shù)原理應用的注意事項

分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理，都是關(guān)于做一件事的不同方法的種數(shù)的問題，區(qū)別在于：分類加法

計數(shù)原理針對“分類”問題，其中各種方法相互獨立，用其中任何一種方法都可以完成這件事；分步乘法計

數(shù)原理針對“分步”問題，各個步驟相互依存，只有各個步驟都完成了才算完成這件事.

2.排列、組合問題的求解方法與技巧

(1)特殊元素或特殊位置優(yōu)先安排.(2)合理分類與準確分步.(3)排列、組合混合問題先選后排.(4)相鄰問題

捆綁處理.(5)不相鄰問題插空處理.(6)定序問題排除法處理.(7)正難則反，等價條件.

3.二項式定理應用時的注意事項

(1)注意區(qū)別“項的系數(shù)”與“二項式系數(shù)”，審題時要仔細.

項的系數(shù)與。，b有關(guān)，可正可負，二項式系數(shù)只與〃有關(guān)，恒為正.

(2)賦值法求展開式中的系數(shù)和或部分系數(shù)和，常賦的值為0,±1.

4.應用互斥事件的概率加法公式時，一定要先確定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分別發(fā)生的概率，

再求和.

5.正確區(qū)別互斥事件與對立事件的關(guān)系：對立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情況，但互斥事件不一定

是對立事件，“互斥”是“對立”的必要不充分條件.

6.易混淆頻率分布條形圖和頻率分布直方圖，誤把頻率分布直方圖縱軸的幾何意義當成頻率，導致樣本數(shù)

據(jù)的頻率求錯.

7.要注意概率尸（用2）與尸（AB）的區(qū)別

（1）在P（A|B）中，事件A,B發(fā)生有時間上的差異，2先A后；在尸（A8）中，事件A,2同時發(fā)生.

（2）樣本空間不同，在尸（川2）中，事件B成為樣本空間；在尸（AB）中，樣本空間仍為Q,因而有P（A|B）^P（AB）.

8.（1）易忘判定隨機變量是否服從二項分布，盲目使用二項分布的均值和方差公式計算致誤.

⑵涉及求分布列時，要注意區(qū)分是二項分布還是超幾何分布.

2易錯分析

易錯點1忽略部分均分問題造成重復致誤

1.［湖北高中名校2023第二次聯(lián)合測評］為進一步了解和鞏固脫貧攻堅成果，某縣選派7名工作人員到A,

B,C三個鄉(xiāng)鎮(zhèn)進行調(diào)研活動，每個鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少去1人，恰有兩個鄉(xiāng)鎮(zhèn)所派人數(shù)相同，則不同的安排方式種數(shù)

為（）

A1176B.2352C.1772D.1302

2.［廣東汕頭一中2022月考］某校有5名大學生打算前往觀看冰球、速滑、花滑三場比賽，每場比賽至少有

1名學生且至多2名學生前往觀看，則甲同學不去觀看冰球比賽的方案種數(shù)為（）

A.48B.54C.60D.72

易錯點2綜合問題中情況考慮不全致誤

3.［江西八校2022第一次聯(lián)考］校園某處并排連續(xù)有6個停車位，現(xiàn)有3輛汽車需要停放，為了方便司機上

下車，規(guī)定：當有汽車相鄰停放時，車頭必須同向；當沒有汽車相鄰時，車頭朝向不限，則不同的停車方法

共有種.（用數(shù)字作答）

易錯點3不能正確理解二項式系數(shù)的最值而致誤

4.（多選）［重慶名校2022第一次聯(lián)考］若［x+工］的展開式中第3項與第8項的系數(shù)相等，則展開式中

二項式系數(shù)最大的項為（）

A第4項B.第5項C.第6項D.第7項

5.［河南平頂山、許昌、濟源2022第二次質(zhì)檢］在尤一的展開式中，只有第6項的二項式系數(shù)最大，且

所有項的系數(shù)之和為0,則含/的項的系數(shù)為（用數(shù)字作答）.

易錯點4混淆互斥事件與對立事件致誤

6.（多選）［湖北八市2023聯(lián)考］連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記錄每次的點數(shù)，設事件A="第一

次出現(xiàn)2點"，B="第二次的點數(shù)小于5點”，0="兩次點數(shù)之和為奇數(shù)"，D="兩次點數(shù)之和為9"，則下列

說法正確的有（）

A.A與B不互斥且相互獨立

B.A與D互斥且不相互獨立

C.B與D互斥且不相互獨立

D.A與C不互斥且相互獨立

7.［湖北八市2022聯(lián)考］從裝有2個紅球和2個黑球的袋子內(nèi)任取2個球，下列選項中是互斥而不對立的兩

個事件的是（）

A.“至少有1個紅球”與“都是黑球”

B.“恰好有1個紅球”與“恰好有1個黑球”

0.“至少有1個黑球”與“至少有1個紅球”

D.“都是紅球”與“都是黑球”

8.［湖北武漢武昌區(qū)2023質(zhì)量檢測］已知隨機事件滿足?！词ˋ）＜1,O＜P（B）＜1,O＜P（C）＜1,

則下列說法錯誤的是（）

A.不可能事件①與事件A互斥B.必然事件。與事件A相互獨立

C.P（A|C）=P（AB\C）+P^AB\C）D.若尸則P（A）=P（,）=g

易錯點5混淆正態(tài)分布中的方差與標準差致錯

9.（多選）［江蘇常州2023調(diào)研］已知在數(shù)學測驗中，某校學生的成績服從正態(tài)分布N（HO,81）,其中90

分為及格線，則下列結(jié)論中正確的有（）（附：若隨機變量J服從正態(tài)分布，則

P（〃—4<〃+2。卜0.9545）

A.該校學生成績的期望為110B.該校學生成績的標準差為9

C.該校學生成績的標準差為81D.該校學生成績及格率超過95%

易錯點6對期望和方差的應用認識不到位致誤

10.［北京豐臺區(qū)2022—模］為研究某地區(qū)2022屆大學畢業(yè)生畢業(yè)三個月后的畢業(yè)去向，某調(diào)查公司從該

地區(qū)2022屆大學畢業(yè)生中隨機選取了1000人作為樣本進行調(diào)查，結(jié)果如下:

繼續(xù)學習

畢業(yè)去向單位就業(yè)自主創(chuàng)業(yè)自由職業(yè)慢就業(yè)

深造

人數(shù)2005601412898

假設該地區(qū)2022屆大學畢業(yè)生選擇的畢業(yè)去向相互獨立.

（1）若該地區(qū)一所高校2022屆大學畢業(yè)生的人數(shù)為2500,試根據(jù)樣本估計該校2022屆大學畢業(yè)生選擇

“單位就業(yè)”的人數(shù).

（2）從該地區(qū)2022屆大學畢業(yè)生中隨機選取3人，記隨機變量X為這3人中選擇“繼續(xù)學習深造”的人

數(shù).以樣本的頻率估計概率，求X的分布列和數(shù)學期望E（X）.

（3）該公司在半年后對樣本中的畢業(yè)生進行再調(diào)查，發(fā)現(xiàn)僅有選擇“慢就業(yè)”的畢業(yè)生中的。

（0＜。＜98）人選擇了上表中其他的畢業(yè)去向，記此時表中五種畢業(yè)去向?qū)藬?shù)的方差為s'.當。為何值

時，S?最?。浚ńY(jié)論不要求證明）

易錯點7混淆條件概率P（B|A）與積事件的概率。（AB）致錯

11.［北京石景山區(qū)2022—模］長時間玩手機可能影響視力，據(jù)調(diào)查，某校學生大約40%的人近視，而該校

大約有20%的學生每天玩手機超過1h,這些人的近視率約為50%.現(xiàn)從每天玩手機不超過1h的學生中任意調(diào)

查一名學生，則他近視的概率為（）

2353

A-B.-C.-D.-

5884

日高考真題

一.選擇題（共12小題）

1.（2023?乙卷）設O為平面坐標系的坐標原點，在區(qū)域｛（x,y）|探上之+,24｝內(nèi)隨機取一點，記該點為A,

則直線的傾斜角不大于工的概率為（）

4

A.-B.-C.-D.-

8642

2.（2023?上海）根據(jù)所示的散點圖，下列說法正確的是（）

90-

80-

70-

體6n

重60-

50-

40-

30-

liolio170180內(nèi)0

身高

A.身高越大，體重越大B.身高越大，體重越小

C.身高和體重成正相關(guān)D.身高和體重成負相關(guān)

3.（2023?新高考II）某學校為了了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調(diào)

查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學生，則

不同的抽樣結(jié)果共有（）

A.種B.儡?謂種

C,喝C北種D-C篇C器種

4.（2023?乙卷）甲乙兩位同學從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同

的選法共有（)

A.30種B.60種C.120種D.240種

5.（2023?甲卷）某地的中學生中有60%的同學愛好滑冰，50%的同學愛好滑雪，70%的同學愛好滑冰或愛

好滑雪，在該地的中學生中隨機調(diào)查一位同學，若該同學愛好滑雪，則該同學也愛好滑冰的概率為（）

A.0.8B.0.4C.0.2D.0.1

6.（2023?北京）（2x--）5的展開式中，X的系數(shù)是（）

X

A.-40B.40C.-80D.80

7.（2023?甲卷）某校文藝部有4名學生，其中高一、高二年級各2名.從這4名學生中隨機選2名組織校

文藝匯演，則這2名學生來自不同年級的概率為（）

A.-B.-C.-D.-

6323

8.（2023?乙卷）某學校舉辦作文比賽，共6個主題，每位參賽同學從中隨機抽取一個主題準備作文，則甲、

乙兩位參賽同學抽到不同主題概率為（）

A.-B.-C.-D.-

6323

9.（2023?全國）在2、3、5、6中任選2個不同數(shù)字，其乘積能被3整除的概率為（）

A.-B.-C.-D.-

6736

10.（2023?天津）鶯是鷹科的一種鳥，《詩經(jīng)?大雅?旱麓》曰“鶯飛戾天，魚躍于淵”.鶯尾花因花瓣形如鶯

尾而得名（圖1）,寓意鵬程萬里、前途無量.通過隨機抽樣，收集了若干朵某品種鶯尾花的花萼長度和花瓣

長度（單位：cm）,繪制對應散點圖（圖2）如下：

7.21

6.8

4.8

4.4

4

圖1圖2

計算得樣本相關(guān)系數(shù)為0.8642,利用最小二乘法求得相應的經(jīng)驗回歸方程為￡=0.7501x+0.6105.根據(jù)以上

信息，如下判斷正確的為（）

A.花萼長度和花瓣長度不存在相關(guān)關(guān)系

B.花萼長度和花瓣長度負相關(guān)

C.花萼長度為7皿的該品種鶯尾花的花瓣長度的平均值約為5.8612皿

D.若選取其他品種鶯尾花進行抽樣，所得花萼長度與花瓣長度的樣本相關(guān)系數(shù)一定為0.8642

11.（2023?甲卷）有五名志愿者參加社區(qū)服務，共服務星期六、星期天兩天，每天從中任選兩人參加服務,

則兩天中恰有1人連續(xù)參加兩天服務的選擇種數(shù)為（）

A.120B.60C.40D.30

12.（2023?上海）如圖為2017-2021年上海市貨物進出口總額的條形統(tǒng)計圖，則下列對于進出口貿(mào)易額描

B.從2018年開始,進出口總額逐年增大

C.從2018年開始,進口總額逐年增大

D.從2018年開始,2020年的進出口總額增長率最小

二.多選題（共2小題）

13.（2023?新高考I）有一組樣本數(shù)據(jù)占，/，尤6，其中西是最小值，血是最大值，貝"（）

X

A.X2,尤3，尤4，5的平均數(shù)等于士，尤2，x6的平均數(shù)

x

B.x2,尤3，41%的中位數(shù)等于％,x2,%的中位數(shù)

C.x2,x3,x4,4的標準差不小于石，x2,,x6的標準差

D.x2,x3,x4,%的極差不大于西，x2,%的極差

14.（2023?新高考II）在信道內(nèi)傳輸0,1信號，信號的傳輸相互獨立.發(fā)送。時，收到1的概率為?（0<?<1）,

收到0的概率為1-々；發(fā)送1時，收到0的概率為收到1的概率為1-￡.考慮兩種傳輸方

案：單次傳輸和三次傳輸.單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個信號重復發(fā)送3次.收到

的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)

多的即為譯碼（例如，若依次收到1,0,1,則譯碼為1）（）

A.采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的概率為（1-0（1-尸產(chǎn)

B.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則依次收到1,0,1的概率為〃（1-A）?

C.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則譯碼為1的概率為6（1-夕了+（1-￡）3

D.當0＜。＜0.5時，若發(fā)送0,則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0

的概率

三.填空題（共9小題）

15.（2023?新高考I）某學校開設了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學生需從這8門課中選修2門

或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有一種（用數(shù)字作答）.

16.（2023?上海）已知事件A的對立事件為無，若尸（A）=0.5,則尸（x）=.

17.（2023?天津）甲、乙、丙三個盒子中裝有一定數(shù)量的黑球和白球，其總數(shù)之比為5:4:6.這三個盒子中

黑球占總數(shù)的比例分別為40%,25%,50%.現(xiàn)從三個盒子中各取一個球，取到的三個球都是黑球的概率

為—；將三個盒子混合后任取一個球，是白球的概率為—.

18.（2023?上海）某校抽取100名學生測身高，其中身高最大值為186cm,最小值為154a〃，根據(jù)身高數(shù)據(jù)

繪制頻率組距分布直方圖，組距為5,且第一組下限為153.5,則組數(shù)為—.

19.（2023?上海）現(xiàn)有某地一年四個季度的GDP（億元），第一季度GDP為232（億元），第四季度GDP為

241（億元），四個季度的GDP逐季度增長，且中位數(shù)與平均數(shù)相同，則該地一年的GD尸為—.

20.（2023?上海）設（l-2x）4=g+4尤+°2了2+%尤=則％+的=.

21.（2023?天津）在（29一工）6的展開式中，/項的系數(shù)為.

X

22.（2023?上海）為了學習宣傳黨的二十大精神，某校學生理論宣講團赴社區(qū)宣講，已知有4名男生，6名

女生，從10人中任選3人，則恰有1名男生2名女生的概率為.

100

23.（2023?上海）已知（1+2023x）10°+（2023-幻儂=/+卬尤+?/+++aloox,若存在々e{0,1,

2,,100}使得ak＜0,則k的最大值為.

四.解答題（共8小題）

24.（2023?新高考H）某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學指標有明顯差異，

經(jīng)過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標的頻率分布直方圖:

利用該指標制定一個檢測標準，需要確定臨界值C,將該指標大于C的人判定為陽性，小于或等于C的人判

定為陰性，此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為p(C)；誤診率是將未患病者判定為陽

性的概率，記為4(c).假設數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的概率.

(1)當漏診率0(c)=0.5%時，求臨界值c和誤診率夕(c)；

(2)設函數(shù)/(c)=p(c)+q(c).當ce[95,105],求/(c)的解析式，并求/(c)在區(qū)間[95,

105]的最小值.

25.(2023?乙卷)某廠為比較甲乙兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應，進行10次配對試驗，每次配對

試驗選用材質(zhì)相同的兩個橡膠產(chǎn)品，隨機地選其中一個用甲工藝處理，另一個用乙工藝處理，測量處理后的

橡膠產(chǎn)品的伸縮率，甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為七,%"=1,2,…10).試驗結(jié)

果如下：

試驗序12345678910

號i

伸縮率545533551522575544541568596548

伸縮率536527543530560533522550576536

記馬=%-%(7=1,2,,10),記Z2,,Z]0的樣本平均數(shù)為2,樣本方差為d.

(1)求彳，$2;

(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高.(如果

則認為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高，否則

Z..2VJ—io,

不認為有顯著提高)

26.(2023?甲卷)一項試驗旨在研究臭氧效應，試驗方案如下：選40只小白鼠，隨機地將其中20只分配到

試驗組，另外20只分配到對照組，試驗組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)

境，一段時間后統(tǒng)計每只小白鼠體重的增加量(單位:g).試驗結(jié)果如下：

對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為

15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.1

32.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2

試驗組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為

7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.2

19.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5

(1)計算試驗組的樣本平均數(shù)；

(2)(i)求40只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)機再分別統(tǒng)計兩樣本中小于機與不小于力的數(shù)據(jù)的個

數(shù)，完成如下列聯(lián)表;

<m

對照組

試驗組

(ii)根據(jù)⑺中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加

量有差異？

以4n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(Q+c)(b+d)

P(K2..k)0.1000.0500.010

k2.7063.8416.635

27.（2023?北京）為了研究某種農(nóng)產(chǎn)品價格變化的規(guī)律，收集到了該農(nóng)產(chǎn)品連續(xù)40天的價格變化數(shù)據(jù)，如

表所示，在描述價格變化時，用“+”表示“上漲”，即當天價格比前一天價格高；用“-”表示“下跌”,

即當天價格比前一天價格低；用“0”表示“不變”，即當天價格與前一天價格相同.

（I）試估計該農(nóng)產(chǎn)品“上漲”的概率；

（II）假設該農(nóng)產(chǎn)品每天的價格變化是相互獨立的，在未來的日子里任取4天，試估計該農(nóng)產(chǎn)品價格在這4

天中2天“上漲”、1天“下跌”、1天“不變”的概率；

（III）假設該農(nóng)產(chǎn)品每天的價格變化只受前一天價格的影響，判斷第41天該農(nóng)產(chǎn)品價格“上漲”、“下跌”

和“不變”的概率估計值哪個最大.（結(jié)論不要求證明）

28.（2023?新高考I）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命

中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6,乙每次投籃的命中率均為0.8.由

抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.

（1）求第2次投籃的人是乙的概率；

（2）求第，次投籃的人是甲的概率；

（3）已知：若隨機變量X,服從兩點分布，且尸（X,=1）=1-尸（X,=0）=q,,z=l,2,,n,則

E（fx,）=fq一記前〃次（即從第1次到第〃次投籃）中甲投籃的次數(shù)為乙求E（y）.

i=li=l

29.（2023?全國）盒中有4個球，分別標有數(shù)字1、1、2、3,從中隨機取2個球.

（1）求取到2個標有數(shù)字1的球的概率；

（2）設X為取出的2個球上的數(shù)字之和，求隨機變量X的分布列及數(shù)學期望.

30.（2023?甲卷）一項試驗旨在研究臭氧效應，試驗方案如下：選40只小白鼠，隨機地將其中20只分配到

試驗組，另外20只分配到對照組，試驗組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)

境，一段時間后統(tǒng)計每只小白鼠體重的增加量（單位：g）.

（1）設X表示指定的兩只小鼠中分配到對照組的只數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望；

（2）試驗結(jié)果如下：

對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為

15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.1

32.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2

試驗組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為

7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.2

19.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5

⑴求40只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)加，再分別統(tǒng)計兩樣本中小于機與不小于機的數(shù)據(jù)的個數(shù)，完成

如下列聯(lián)表：

<m..m

對照組

實驗組

（zz）根據(jù)⑺中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量

有差異？

⑷n（ad-bc，

(a+b)(c+d\a+c)(b+d)

P(K，k)0.1000.0500.010

k2.7063.8416.635

31.（2023?上海）2023年6月7日，21世紀汽車博覽會在上海舉行，已知某汽車模型公司共有25個汽車

模型，其外觀和內(nèi)飾的顏色分布如下表所示：

紅色外觀藍色外觀

棕色內(nèi)飾128

米色內(nèi)飾23

（1）若小明從這些模型中隨機拿一個模型，記事件A為小明取到紅色外觀的模型，事件5為小明取到棕色

內(nèi)飾的模型，求尸（B）和尸（B|A）,并判斷事件A和事件3是否獨立；

（2）該公司舉行了一個抽獎活動，規(guī)定在一次抽獎中，每人可以一次性從這些模型中拿兩個汽車模型，給

出以下假設：

假設1：拿到的兩個模型會出現(xiàn)三種結(jié)果，即外觀和內(nèi)飾均為同色、外觀和內(nèi)飾都異色、以及僅外觀或僅內(nèi)

飾同色；

假設2：按結(jié)果的可能性大小，概率越小獎項越高；

假設3：該抽獎活動的獎金額為：一等獎600元，二等獎300元、三等獎150元；

請你分析獎項對應的結(jié)果，設X為獎金額，寫出X的分布列并求出X的數(shù)學期望.

最新模擬

一.選擇題（共3小題）

1.（2024?江西模擬）（2》-工）6的展開式的常數(shù)項為（）

x

A.160B.-160C.80D.-80

2.（2024?浦東新區(qū)校級模擬）在10件產(chǎn)品中有3件次品，從中選3件.下列各種情況是互斥事件的有（

）

①A：“所取3件中至多2件次品”，3：“所取3件中至少2件為次品”；

②A：”所取3件中有一件為次品”，3：“所取3件中有二件為次品”；

③A：”所取3件中全是正品”，B：”所取3件中至少有一件為次品”；

④A：“所取3件中至多有2件次品”，3：“所取3件中至少有一件是正品”；

A.①③B.②③C.②④D.③④

3.（2024?泉州模擬）某學校舉辦運動會，徑賽類共設100米、200米、400米、800米、1500米5個項目，

田賽類共設鉛球、跳高、跳遠、三級跳遠4個項目.現(xiàn)甲、乙兩名同學均選擇一個徑賽類項目和一個田賽類

項目參賽，則甲、乙的參賽項目有且只有一個相同的方法種數(shù)等于（）

A.70B.140C.252D.504

二.多選題（共4小題）

4.（2024?湛江一模）某養(yǎng)老院有110名老人，經(jīng)過一年的跟蹤調(diào)查，過去的一年中他們是否患過某流行疾

病和性別的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：

性別是否患過某流行疾病合計

患過該疾病未患過該疾病

男61=20ba+b

女Cd=50c+d

合計a+c80110

下列說法正確的有()

參考公式：z2=----------"(ad-be)-------,其中〃=。+6+。+小

(a+b)(c+d\a+c)(b+d)

附表:

a0.10.050.0250.010.001

%2.7063.8415.0246.63510,828

A.-

a+bc+d

B.力2>6.635

C.根據(jù)小概率值a=0.01的獨立性檢驗，認為是否患過該流行疾病與性別有關(guān)聯(lián)

D.根據(jù)小概率值a=0.01的獨立性檢驗，沒有充分的證據(jù)推斷是否患過該流行疾病與性別有關(guān)聯(lián)

5.（2024?昌樂縣校級模擬）甲、乙兩類水果的質(zhì)量（單位：飯）分別服從正態(tài)分布N（4,5；）,N（〃2,M），

其正態(tài)分布的密度曲線如圖所示，則下列說法正確的是（）

A.甲類水果的平均質(zhì)量4=0.4依

B.甲類水果的質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量更集中于平均值左右

C.甲類水果的平均質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量小

D.乙類水果的質(zhì)量服從正態(tài)分布的參數(shù)可=1.99

6.（2024?南通模擬）己知隨機變量X服從正態(tài)分布NQ1）,定義函數(shù)/（尤）為X取值不小于x的概率，即

f（x）=P（X..x）,則（）

A./（%）+/（-%）=1B.f（x）>f（2x）C./（無）為減函數(shù)D.7（幻為偶函數(shù)

7.（2024?重慶模擬）已知一組樣本數(shù)據(jù)玉，x2,xn（n,.4）,其中玉<0<x,，若由％=2%+1（左=1,2,

…，〃）生成一組新的數(shù)據(jù)%,%，…，%，則這組新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)可能相等的量有（）

A.極差B.平均數(shù)C.中位數(shù)D.標準差

三.填空題（共3小題）

8.（2024?昌樂縣校級模擬）從分別標有數(shù)字1,2,9的9張卡片中不放回地隨機抽取2次，每次抽取

1張，則抽到的2張卡片上數(shù)字的奇偶性不同的概率是—.

9.（2024?越秀區(qū)模擬）二項式（V+1）”的展開式中，只有第6項的系數(shù)最大，則該展開式中的常數(shù)項為一.

10.（2024?天津模擬）學習于才干信仰，猶如運動于健康體魄，持之己久、行之愈遠愈受益.為實現(xiàn)中華民

族偉大復興，全國各行各業(yè)掀起了“學習強國”的高潮.某老師很喜歡“學習強國”中“挑戰(zhàn)答題”模塊，

他記錄了自己連續(xù)七天每天一次最多答對的題數(shù)如下表：

天數(shù)X1234567

一次最多12151618212427

答對題數(shù)

y

777

參考數(shù)據(jù)：x=4,y=19,￡X；=140,WX=2695,=600,^6?2.45,

Z=11=11=1

Z（%一?。▂—y）^x^-iuy

相關(guān)系數(shù)r=]"TK=7“-I，

2

心（&_君2歹）2px；-疝2-域

由表中數(shù)據(jù)可知該老師每天一次最多答對題數(shù)y與天數(shù)x之間是—相關(guān)（填“正”或“負”），其相關(guān)

系數(shù)廠?！ńY(jié)果保留兩位小數(shù)）

四.解答題（共9小題）

11.（2024?咸陽模擬）陜西省從2022年秋季啟動新高考，新高考“3+1+2”模式中“3”為全國統(tǒng)一高考

科目的語文、數(shù)學、外語，“1”為首選科目，要求從物理、歷史2門科目中確定1門，“2”為再選科目，要

求從思想政治、地理、化學、生物學4門科目中確定2門，共計產(chǎn)生12種組合.某班有學生50名，在選科

時，首選科目選歷史和物理的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示：

歷史合計

物理

男生22325

女生81725

合計104050

附：%2=------幾(血-be)-------,其中H=Q+b+c+d.

(a+b)(c+d)(Q+c)(b+d)

a0.1000.0500.0100.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，判斷是否有99%的把握認為學生選擇歷史與性別有關(guān);

（2）從選擇歷史的10名學生中任意抽取3名同學參加學?！般懹洑v史，強國有我”演講比賽，設X為抽

取的三名學生中女生的人數(shù)，求X的分布列，并求數(shù)學期望和方差.

12.（2024?周口模擬）滎陽境內(nèi)廣武山上漢王城與霸王城之間的鴻溝，即為象棋棋盤上“楚河漢界”的歷史

原型，滎陽因此被授予“中國象棋文化之鄉(xiāng)”.有甲，乙，丙三位同學進行象棋比賽，其中每局只有兩人比

賽，每局比賽必分勝負，本局比賽結(jié)束后，負的一方下場.第1局由甲，乙對賽，接下來丙上場進行第2局

比賽，來替換負的那個人，每次比賽負的人排到等待上場的人之后參加比賽.設各局中雙方獲勝的概率均為

各局比賽的結(jié)果相互獨立.

2

（I）求前3局比賽甲都取勝的概率；

（II）用X表示前3局比賽中乙獲勝的次數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望.

13.（2024?徐州模擬）某中學對該校學生的學習興趣和預習情況進行長期調(diào)查，學習興趣分為興趣高和興趣

一般兩類，預習分為主動預習和不太主動預習兩類.設事件A：學習興趣高，事件3：主動預習.據(jù)統(tǒng)計顯

一--3-14

小，P（A\B）=~,P（A\B）=-P（B）=-.

445

（1）計算尸（A）和尸（A|2）的值，并判斷A與3是否為獨立事件；

（2）為驗證學習興趣與主動預習是否有關(guān)，該校用分層抽樣的方法抽取了一個容量為〃7（〃7eN*）的樣本，

利用獨立性檢驗，計算得爐=1.350.為提高檢驗結(jié)論的可靠性，現(xiàn)將樣本容量調(diào)整為原來的*feN*）倍，

使得能有99.5%的把握認為學習興趣與主動預習有關(guān)，試確定f的最小值.

附：72=----------n(ad-bc￥------,其中〃=a+6+c+d.

(Q+b)(c+d)(Q+c)(b+d)

P(x2..k)0.100.050.0100.0050.001

k2.7063.8416.6357.87910.828

14.（2024?晉中一模）為豐富校園文化生活，學校舉辦了乒乓球比賽.決賽采用五局三勝制的比賽規(guī)則（先

贏得3局的隊伍獲勝并結(jié)束比賽）.已知甲、乙兩隊進入決賽，且根據(jù)以往比賽統(tǒng)計得知，在每局比賽中甲

隊獲勝的概率為p（0<p<l）,乙隊獲勝的概率為1-每局比賽的結(jié)果互不影響.

（I）若p=比賽結(jié)束時甲隊獲勝的局數(shù)記為X,求X的分布列及均值；

（II）若比賽打滿5局的概率記為了（初，求/（初的最大值及此時p的值，并解釋此時的實際意義.

15.（2024?沙依巴克區(qū)校級模擬）高一年級某個班