專題04二次函數與二次函數中的代幾綜合問題

目錄

熱點題型歸納.........................................................................................1

題型01二次函數圖形性質的應用之判斷函數值的大小關系................................................1

題型02二次函數小綜合（判斷序號正誤關系）..........................................................3

題型03動點圖象問題.................................................................................7

題型04二次函數與線段及周長問題....................................................................10

題型05二次函數與面積問題..........................................................................15

題型06二次函數與角度問題..........................................................................19

題型07二次函數與特殊三角形........................................................................23

題型08二次函數與特殊四邊形........................................................................28

題型09二次函數與三角形相似問題...................................................................33

題型10二次函數與定值定點定直線問題...............................................................36

中考練場............................................................................................40

題型01二次函數圖形性質的應用之判斷函數值的大小關系

01題型綜述________________________________________

二次函數圖形性質的應用之判斷函數值的大小關系是初中數學函數板塊中的重要內容，在中考數學整體分值中占比約

5%-8%。

1.考查重點：重點考查對二次函數圖象特征與性質的理解，通過圖象開口方向、對稱軸位置等判斷函數值大小。

2.高頻題型：常以選擇題、填空題形式出現，給定二次函數解析式或圖象，比較不同自變量對應的函數值大小。

3.高頻考點：涉及二次函數對稱軸、增減性，利用函數圖象的對稱性判斷函數值大小。

4.能力要求：要求學生具備數形結合能力，能將函數解析式與圖象相互轉化，通過圖象分析函數值變化。

5.易錯點：易忽略二次函數對稱軸位置對函數增減性的影響，在對稱軸兩側判斷函數值大小時出錯。

02解題攻略

【提分秘籍】

一、剖析函數解析式

二、巧用函數圖象

根據圖象直接觀察：當題目給出二次函數圖象時，我們可以通過觀察圖象上各點的高低位置來比較函數值大小。

對于開口向上的圖象，離對稱軸越近的點，其對應的函數值越小；而對于開口向下的圖象，離對稱軸越近的點,

對應的函數值越大。

三、利用圖象對稱性和增減性即可

【典例分析】

例1.（2024?廣東?中考真題）若點（0,%）,。,力），（2,%）都在二次函數丫=/的圖象上，貝1］（）

A.%>%>%B.%>%>%C.D.

例2.（2024?四川涼山?中考真題）拋物線y=|（x-iy+c經過（-2,%）［（，%］三點，則X，%，%的大小關

系正確的是（）

A.B.%>%>%C.D.%>%>%

【變式演練】

1.（2025?陜西西安?一模）已知點4（-1,%）,3（-3,%）,C（7,%）均在二次函數y=-尤?+8x+〃z（根為常數）的圖象上，

則％,為，為三者之間的大小關系是（）

A.%<%<%B.%<%<%C.%<%<%D.%<為〈%

2.（2024?安徽亳州.模擬預測）點片￡（3,%）,月（5,%）均在二次函數y=-/+2%+°的圖象上，則為,%,

力的大小關系是（）

A.%>%>%B.%>%=%C.D.%=%>%

3.（2024?云南曲靖?一模）設A（2,yJ,3（3,%）,。（-2,%）是拋物線y=2（尤-仔+左圖象上的三點，則%，%，%的大

小關系為（）

A.B.%>%>%

C.%>%=%D.無法確定

題型02二次函數小綜合（判斷序號正誤關系）

01題型綜述________________________________________

二次函數小綜合（判斷序號正誤關系）是初中數學函數知識體系中綜合性突出的關鍵內容,在中考分值占比約3%-8%。

1.考查重點：著重考查對二次函數性質、圖象特征、解析式及知識間內在聯系的深度剖析，以判別多個二次函數相關

結論的對錯。

2.高頻題型：多以選擇題、填空題出現，題干羅列多個涉及二次函數不同層面的序號式結論，要求判斷正誤。

3.高頻考點：涉及二次函數對稱軸、頂點坐標、增減性、最值、圖象與系數關系，以及運用函數性質解決實際問題等

要點。

4.能力要求：學生需具備綜合整合二次函數各知識點的能力，能從多元視角思考并邏輯嚴謹地判斷結論準確性。

5.易錯點：易在二次函數不同性質應用條件上混淆，對復雜結論分析不全面，忽視隱含條件，導致判斷序號正誤失誤。

02解題攻略

【提分秘籍】

1.剖析題干結論

2.巧用函數基本性質

3.結合圖象輔助思考

4.注意隱藏條件

【典例分析】

例L（2024?四川廣元?中考真題）如圖，已知拋物線>="2+法+0過點。（0,-2）與工軸交點的橫坐標分別為4，血，

且—1<玉<0,2<x2<3,則下列結論：

（J）ci—b+cvO；

②方程G?+"+9+2=0有兩個不相等的實數根;

③>0；

④〃；

⑤〃-4團〉44.其中正確的結論有（）

C.3個D.4個

例2.（2024.山東泰安.中考真題）如圖所示是二次函數y=6Z?+陵+4，。0）的部分圖象，該函數圖象的對稱軸是直線

x=l,圖象與，軸交點的縱坐標是2,則下列結論：①2a+Z?=0；②方程加+人x+c=o一定有一個根在_2和_1之間；

③方程依2+bx+c-彳=0一定有兩個不相等的實數根；@b-a<2.其中，正確結論的個數有（）

2

A.1個B.2個C.3個D.4個

例3.（2024?湖北武漢?中考真題）拋物線waY+bx+c（a",c是常數，a<0）經過（-1/），（加,1）兩點，且0<〃?<1.下

列四個結論：

①b>0；

②若0<x<l,貝!Ja（無一1）一+6（x-l）+c>1；

③若。=-1,則關于x的一元二次方程依2+灰+°=2無實數解；

④點4（網,％）,3（々,%）在拋物線上，若石+%>-（，%>/，總有%<%，貝!]0<機4，

其中正確的是（填寫序號）.

例4.（2024?山東日照?中考真題）已知二次函數y=af+bx+c（"O）圖象的一部分如圖所示，該函數圖象經過點（—1,0）,

對稱軸為直線x=2.對于下列結論：①必c<0；②a+c=b；③多項式加+Zzx+c可因式分解為（x+l）（x-5）；④當

"2>-9。時，關于X的方程or?+/?x+c=〃7無實數根.其中正確的個數有（）

【變式演練】

1.（2025?陜西西安?一模）如圖，已知拋物線>=辦2+法+。（仄b、c為常數,且awO）的對稱軸為直線x=-l,且

該拋物線與x軸交于點4（1,0）,與，軸的交點B在（0,-2）,（0,-3）之間（不含端點），則下列結論正確的有（）個.

①abc>0；

@9a-3Z?+c>l；

_2,

③一<a<1；

3

④若方程加+bx+c=x+l兩根為私〃（加<〃），貝U-3<機<1<九.

2.（2025?湖北恩施?一模）二次函數y=62+bx+c（awO）的部分圖象如圖所示，圖象過點對稱軸為x=2,下

列結論：①4a+6=0；②9a+c>3b；③8a+76+2c>0；④當y<。時，一l<x<5；⑤若（%,%）,（馬,％）是拋物線上

兩點，且王<2<3，,<%，則%+々<4.其中正確的有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

3.（2024?湖北隨州二模）已知二次函數y=加+區+44<0）的圖象與x軸的一個交點坐標為（-1,0）,對稱軸為直線x=l,

以下結論中：①a—b+c=0；②若點（TyJ,（2,%）,（4,%）均在該二次函數圖象上，則M<%<%;③若根為任意

x

實數，貝！J+Zw7+cWTa；④方程ax?+6x+c+l=0的兩實數根為七，i,且毛<%,則々<-1,x2>3.其中正確

結論的個數有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

4.（2025?山東臨沂?一模）如圖，拋物線y=a?+bx+c的對稱軸為直線尤=1,與x軸分另U交于（孫0）,（〃,0）,且〃.下

列結論：①abc<0；②直線y=2與>=加+樂+。的交點個數為1個；③。/+初<4+》（/71）；④

m2—2m-n2-2n-正確的有（填序號）.

5.（2024?湖北武漢?模擬預測）拋物線〉=辦2+法+。（°,b,。是常數，〃<0）經過（帆0）兩點，且2<相<3.下

列結論：

①c>l；

②當x>g時，y隨X的增大而減小；

③關于X的不等式ax2+bx<（c-l）x的解集為％>0或％<-1；

?2

④2。+c>—.

3

其中正確的結論是.（填寫序號）

題型03動點圖象問題

01題型綜述

二次函數動點圖象問題是初中數學函數知識領域中綜合性與動態性兼具的內容，在中考中分值占比約為3%-7%o

I.考查重點：重點考查如何將動點的運動過程與二次函數的圖象及性質建立聯系，分析因動點位置改變引發的函數關

系變化。

2.高頻題型：多以選擇題、填空題以及簡答題部分出現，給出動點在圖形中的運動情境，要求判斷對應的二次函數圖

象或求解相關函數表達式。

3.高頻考點：涵蓋動點運動路徑分析、根據幾何圖形性質確定二次函數的各項系數、函數圖象與動點運動階段的對應

關系等。

4.能力要求：學生需具備較強的動態分析能力，能夠把幾何圖形中動點的運動轉化為代數函數問題，還要有良好的數

形結合思維以及邏輯推理能力。

5.易錯點：易在動點運動過程的分段分析上出錯，忽略不同階段函數關系的變化，對復雜幾何圖形中動點與函數圖象

對應關系把握不準確。

02解題攻略

【提分秘籍】

1.確定動點軌跡

2.分段分析運動過程

3.建立函數表達式

4.分析函數關鍵特征

5.結合圖象與選項（針對選擇填空題）

若題目是選擇或填空題，給出多個函數圖象選項。根據前面分析的動點運動階段、函數關鍵特征，排除明顯不符

合的選項。例如，已知函數開口向下，可排除開口向上的圖象選項；若函數在某區間增減性，不符合此增減性性

的圖象也可排除，以此提高解題效率。

【典例分析】

例1.（2024?山東煙臺?中考真題）如圖，水平放置的矩形ABC。中，AB=6cm,BC=8cm,菱形EFG”的頂點E,

G在同一水平線上，點G與AB的中點重合，EF=2^cm,ZE=60°,現將菱形所GH以lcm/s的速度沿BC方向勻

速運動，當點E運動到C。上時停止，在這個運動過程中，菱形EFGH與矩形ABC。重疊部分的面積S（cm?）與運動時

間〃s）之間的函數關系圖象大致是（）

例2.（2024?甘肅蘭州?中考真題）如圖1,在菱形ABCD中，ZABC=60°,連接50,點〃從B出發沿50方向以限m/s

的速度運動至同時點N從8出發沿方向以lcm/s的速度運動至C,設運動時間為x（s）,ABMN的面積為y（cn?）,

了與無的函數圖象如圖2所示，則菱形AS8的邊長為（）

圖1圖2

A.2&cmB.4夜cmC.4cmD.8cm

【變式演練】

1.（2023?江蘇南通?二模）如圖，在VABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,。為AB的中點，E是邊AC上一個動

點，連接DE,過點。作。尸_L￡）E,DF交邊BC于點F.設4E的長為x,ADEF的面積為s=y-6,貝！|s與式的

函數圖象大致為（）

2.（2024?河北石家莊?三模）如圖1,,在矩形ABC。中，3C=4,E是BC邊上的一個動點，AE工EF,EF交CD于點、F,

^BE=x,CF=y,圖2是點E從點B運動到點C的過程中，，關于x的函數圖象，則A3的長為（）

DFCy

3.（2024?廣東深圳.三模）如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=12,BC=8,D和E分別是A3和AC的中點，點

M和點N分別從點A和點E出發，沿著AfCf3方向運動，運動速度都是每秒1個單位長度，當點N到達點B時,

兩點同時停止運動.設ADMN的面積為S,運動時間為/,貝US與/之間的函數圖像大致為（）

題型04二次函數與線段及周長問題

01題型綜述

二次函數與線段及周長問題（解答題）是初中數學函數與幾何知識融合的關鍵內容，在中考里分值占比約8%-10%o

1.考查重點：重點考查運用二次函數知識解決線段長度計算、周長最值探究以及建立函數模型描述線段和周長隨動點

變化的規律。

2.高頻題型：以解答題形式呈現，常設定幾何圖形中有動點，圍繞求線段長度、構建周長關于某變量的二次函數并求

最值等進行設問。

3.高頻考點：涉及二次函數解析式求解、線段長度公式（如兩點間距離公式）、幾何圖形性質（相似、全等）用于線

段關系推導、二次函數最值求解。

4.能力要求：學生需要具備綜合運用代數與幾何知識的能力，能把幾何問題轉化為函數問題，熟練運用數學公式進行

計算和推理。

5.易錯點：容易在構建函數模型時出錯，忽視幾何圖形中的隱含條件，計算線段長度和函數最值時出現運算失誤。

02解題攻略

【提分秘籍】

1.準確分析圖形

標注已知信息：拿到題目后，仔細觀察幾何圖形，將已知的線段長度、角度、點的坐標等信息清晰標注在圖上。

比如在一個給定的三角形中，若已知某條邊的長度信息，就在這條邊上明確標記。

挖掘隱含條件：留意圖形中的特殊關系，像直角三角形的勾股定理關系、等腰三角形兩腰相等、平行四邊形對邊

平行且相等。例如，若圖形中有一個平行四邊形，其隱含條件就是對邊長度相等，可據此建立線段之間的等式。

2.構建函數模型

3.求解函數最值

4.檢查答案合理性

【典例分析】

例L(2024.湖南?中考真題)已知二次函數y=-/+c的圖像經過點4(-2,5),點尸(小乂)，。(%,%)是此二次函數的

圖像上的兩個動點.

圖1圖2

⑴求此二次函數的表達式；

(2)如圖1,此二次函數的圖像與x軸的正半軸交于點B,點P在直線AB的上方，過點P作尸軸于點C,交AB于

點。，連接AC,。。,尸Q.若％=占+3,求證普絲的值為定值；

^/XADC

(3)如圖2,點P在第二象限，尤2=-2%，若點M在直線P0上，且橫坐標為％-1,過點M作肱軸于點N,求線段

長度的最大值.

例2.（2024?山東淄博?中考真題）如圖，拋物線>=加+版+3與x軸相交于A（%,0）,8（々,0）兩點（點A在點8的左

側），其中4，%是方程三-2%-3=0的兩個根，拋物線與y軸相交于點C.

備用圖

（1）求該拋物線對應的函數表達式；

⑵已知直線/：y=3x+9與x,>軸分別相交于點￡）,E.

①設直線BC與/相交于點尸，問在第三象限內的拋物線上是否存在點尸，使得NPB尸=NDFB?若存在，求出點P的

坐標；若不存在，說明理由；

②過拋物線上一點M作直線BC的平行線.與拋物線相交于另一點N.設直線MB,NC相交于點Q.連接Q。，QE.求

線段QD+QE的最小值.

4

例3.（2024?江蘇鎮江?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，。為坐標原點，二次函數y=-§（xT）2+4的圖像與x

軸交于A、B兩點（點A在點8的左側），頂點為C.

（1）求A、B、C三點的坐標；

（2）一個二次函數的圖像經過3、C、/0,4）三點，其中7大1,該函數圖像與x軸交于另一點。，點。在線段上（與

點。、8不重合）.

①若。點的坐標為（3,0）,則t=；

②求r的取值范圍：

③求OD/汨的最大值.

【變式演練】

1.(2025?廣東?模擬預測)如圖在平面直角坐標系中，直線/與x軸交于點4(4,0),與y軸交于點3(0,T),拋物線經

過點A,B,且對稱軸是直線x=l.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點P是直線/下方拋物線上的一動點，過點P作尸軸，垂足為C,交直線/于點。，求￡＞尸的最大值及此時尸的

坐標；

⑶在(2)的條件下，過點尸作垂足為求尸M的最大值.

2.(2024?廣東?模擬預測)如圖，拋物線y=。/+法+0交軸于點4(-1,0),8(3,0),交y軸于點C,/。18=60。，點

E是線段A3上一動點，作所〃AC交線段BC于點F.

(1)求拋物線的解析式；

⑵如圖1,延長線段所交拋物線于點G,點。是AC邊中點，當四邊形ADGR為平行四邊形時，求出G點坐標；

⑶如圖2,M為射線EF上一點，且=將射線EP繞點E逆時針旋轉60。，交直線AC于點N,連接跖V,尸為

的中點，連接AP,3尸，問：AP+3P是否存在最小值，若存在，請求出這個最小值，若不存在，請說明理由.

3.(2024.安徽.模擬預測)如圖1,在平面直角坐標系中，二次函數y=Y+bx+c的圖象交x軸于A(-l,0),8兩點，=4,

C為拋物線頂點.

圖1圖2

(I)求6，。的值；

(2)點P為直線AC下方拋物線上一點，過點尸作軸，垂足為點Q,交AC于點是否存在QM=3尸M?若存

在，求出此時尸點坐標；若不存在，請說明理由；

⑶如圖2,以B為圓心，2為半徑作圓，N為圓B上任一點，求CN+：AN的最小值.

4.(2024?安徽合肥?模擬預測)如圖，在平面直角坐標系中，直線＞=履與拋物線＞=加+。交于A(8,6),B兩點，點

(1)求直線AB和拋物線的解析式；

(2)點P是直線AB下方的拋物線上一動點(不與點48重合)，過點P作x軸的平行線，與直線AB交于點C,連接PO,

設點尸的橫坐標為機；

①若點尸在無軸上方，當m為何值時，△POC是等腰三角形；

②若點尸在x軸下方，設△尸OC的周長為P,求P關于，”的函數關系式，當機為何值時，△POC的周長最大，最大值

是多少？

題型05二次函數與面積問題

01題型綜述

二次函數與面積問題（解答題）是初中數學里函數知識和幾何面積知識相互滲透的關鍵內容，在中考中分值占比大約

為5%-10%?

I.考查重點：重點考查利用二次函數構建面積模型，通過函數性質分析圖形面積的變化規律，以及求解面積的最值或

特定面積值對應的條件。

2.高頻題型：常以解答題形式出現，在給定的二次函數圖象與幾何圖形背景下，設置動點或動圖形，圍繞求圖形面積、

面積與變量的函數關系及面積最值等問題展開。

3.高頻考點：涵蓋二次函數解析式的確定、幾何圖形面積公式的運用（如三角形、四邊形面積公式）、利用函數性質

（如增減性、最值）求解面積相關問題，以及通過相似、全等關系轉化面積。

4.能力要求：學生需具備將幾何圖形中的面積問題轉化為二次函數問題的能力，熟練運用代數方法進行計算，還要能

靈活運用幾何知識分析圖形關系。

5.易錯點：易在構建面積與函數關系時出錯，忽略圖形中隱含的限制條件，計算面積過程中因公式運用不當或計算失

誤導致錯誤。

02解題攻略

【提分秘籍】

1.精準剖析題意，明確變量關系--

標記關鍵信息：確定自變量：

2.靈活選用面積公式，構建函數模型

基本圖形面積公式運用：

分割與拼接圖形求面積：

用自變量表示圖形邊長或高：

3.借助函數性質，求解面積最值

4.全面檢查，規避易錯點

【典例分析】

例1.（2024?江蘇徐州?中考真題）如圖，A、8為一次函數y=-x+5的圖像與二次函數y=/+bx+c的圖像的公共點，

點A、8的橫坐標分別為0、4.尸為二次函數、=/+法+。的圖像上的動點，且位于直線的下方，連接PA、PB.

（1）求6、c的值；

（2）求APAB的面積的最大值.

例2.（2024?山東濟南.中考真題）在平面直角坐標系屹v中，拋物線。|與=尤2+6尤+°經過點4（0,2）,3（2,2）,頂點為

（I）求拋物線G的表達式及頂點D的坐標；

⑵如圖1,連接AO,點E是拋物線C1對稱軸右側圖象上一點，點廠是拋物線上一點，若四邊形皿石是面積為12

的平行四邊形，求加的值；

⑶如圖2,連接8。。。，點M是拋物線C1對稱軸左側圖像上的動點（不與點A重合），過點M作〃刀Q交x軸

于點N,連接BN,DN,求ABDN面積的最小值.

例3.(2024?山東東營?中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線丫=/+云+，與無軸交于4(-1,0),8(2,0)

兩點，與>軸交于點C,點。是拋物線上的一個動點.

(1)求拋物線的表達式;

⑵當點。在直線8C下方的拋物線上時，過點。作，軸的平行線交BC于點E,設點。的橫坐標為BOE的長為/,請

寫出/關于f的函數表達式，并寫出自變量/的取值范圍；

(3)連接AO,交BC于點F,求興些的最大值.

3△AM

【變式演練】

1.(2024?青海西寧?一模)如圖,拋物線、=-爐+/+。與x軸交于A,B兩點，與y軸交于C點，直線BC方程為y=x-3.

(1)求拋物線的解析式；

Q

(2)點P為拋物線上一點，若S&pBA=gS4ABC，求點尸的坐標；

(3)直線BC上方的拋物線上有一點Q,當△BCO的面積最大時，點。的坐標是什么？△BC。的最大面積是多少？

2.(2024?云南昆明?一模)如圖，拋物線與x軸交于A(-l,0),B兩點,與y軸交于點C,且滿足03=OC=3OA.

(1)求拋物線的解析式；

⑵M是線段BC上的一點(不與點3,C重合)，過點M作軸交拋物線于點N,交x軸于點。，連接NB,NC,

若點M的橫坐標為唐，是否存在點使ABNC的面積最大？若存在，求相的值；若不存在，請說明理由.

3.(2024?廣東東莞.模擬預測)如圖1,拋物線丫=仆2+法+。(《工0)與無軸交于點4(-1,0)和點3,與y軸交于點C,

連接BC,已知50=CO=349,點M是拋物線的頂點.

(1)求拋物線的解析式.

⑵如圖2,拋物線的對稱軸與x軸相交于點P,與線段8C相交于點。，點N是拋物線的對稱軸上的點，且滿足

ZANB^ZABC,求點N的坐標.

⑶如圖3,連接AM,8",點。是線段A3上的一個動點，過點。作交8M于點E,。尸_LW于點F,連

接EP.當”)￡戶面積最大時，求此時點。的坐標.

4.(2024.甘肅.模擬預測)如圖1,在平面直角坐標系中，拋物線、=/+法+。與*軸交于A,8(3,0)兩點，與y軸交

于點C(0,-3),尸是直線BC下方拋物線上一動點.

圖1圖2

(1)求拋物線y=Y+bx+c的表達式；

(2)如圖2,連接PO,PC,并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POPC,當四邊形POPC為菱形時，求出點尸的坐

標；

（3）當點尸運動到什么位置時，四邊形ABPC的面積最大？求出此時點P的坐標及此時線段3尸的長.

題型06二次函數與角度問題

01題型綜述________________________________________

二次函數與角度問題（解答題）是初中數學中函數知識與幾何角度知識深度融合的重要內容，在中考里分值占比約5%

-10%o

1.考查重點：重點考查運用二次函數性質及圖象特征，結合幾何圖形中的角度關系，通過構建方程或函數模型來求解

角度大小、探究角度變化規律以及基于角度條件確定函數相關參數。

2.高頻題型：主要以解答題形式呈現，給定二次函數圖象與幾何圖形，設置動點引發角度變化，圍繞求特定角度值、

判斷角度之間的關系（如相等、互余等）、依據角度條件求二次函數解析式等進行設問。

3.高頻考點：涵蓋二次函數的基本性質（如對稱軸、頂點坐標）、三角函數知識（正弦、余弦、正切在求角度中的應

用）、幾何圖形（三角形、四邊形）內角和定理、相似三角形對應角相等性質以及利用角度相等構建方程求解函數參

數。

4.能力要求：學生需要具備跨知識模塊的綜合運用能力，能將幾何圖形中的角度問題轉化為代數方程或函數問題，熟

練運用三角函數公式、幾何圖形性質進行推理計算，同時具備較強的邏輯思維和分析問題能力。

5.易錯點：容易在將角度關系轉化為代數關系時出錯，忽視幾何圖形中隱含的角度條件，對三角函數知識的運用不夠

熟練，導致在計算角度和求解函數參數過程中出現錯誤。

02解題攻略

【提分秘籍】

1.剖析題目，挖掘信息——

標記關鍵元素：分析角度關系：

2.建立角度與函數的橋梁

借助三角函數：利用幾何圖形性質:

3.構建方程或函數模型求解

4.檢查與驗證

【典例分析】

例1.(2024?重慶?中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線丁=加+法+4(?70)經過點(-1,6),與y軸交于點

C,與X軸交于A3兩點(A在3的左側)，連接AC,BC,tw^CBA=4.

(1)求拋物線的表達式;

(2)點尸是射線C4上方拋物線上的一動點，過點尸作PELx軸，垂足為E,交AC于點。.點M是線段DE上一動點，

軸，垂足為N,點尸為線段2C的中點，連接AM,NF.當線段PO長度取得最大值時，求AM+MN+NF的

最小值；

(3)將該拋物線沿射線C4方向平移，使得新拋物線經過(2)中線段PD長度取得最大值時的點。，且與直線AC相交于

另一點K.點。為新拋物線上的一個動點，當=時，直接寫出所有符合條件的點Q的坐標.

2

例2.(2024?四川廣安?中考真題)如圖，拋物線＞尤2+bx+c與x軸交于A,8兩點，與,軸交于點C,點A坐標

為(-1,0),點B坐標為(3,0).

(1)求此拋物線的函數解析式.

(2)點P是直線BC上方拋物線上一個動點，過點尸作x軸的垂線交直線于點。，過點尸作y軸的垂線，垂足為點

請探究2PD+PE是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此時尸點的坐標；若沒有最大值，請說明理由.

⑶點M為該拋物線上的點，當NMCB=45。時，請直接寫出所有滿足條件的點M的坐標.

例3.(2024?山東煙臺?中考真題)如圖，拋物線與x軸交于A,B兩點,與，軸交于點C,OC=OA,

AB=4,對稱軸為直線4：x=-1,將拋物線％繞點。旋轉180。后得到新拋物線內，拋物線乂與y軸交于點。，頂點為E,

(2)如圖1,點尸的坐標為(-6,0),動點M在直線4上，過點M作W〃了軸與直線乙交于點N,連接月"，DN.求

EM+MN+DV的最小值；

(3)如圖2,點H的坐標為(0,-2),動點尸在拋物線必上，試探究是否存在點P,使NPEH=2NDHE?若存在，請直接

寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由.

例4.(2024?四川資陽?中考真題)已知平面直角坐標系中，。為坐標原點，拋物線y=-gd+陵+，與x軸交于A,B

兩點，與y軸的正半軸交于C點，且3(4,0),BC=472.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,點P是拋物線在第一象限內的一點，連接尸員尸C,過點尸作軸于點。，交BC于點K.記△P3C,

△3DK的面積分別為H，S”求S「$2的最大值；

(3)如圖2,連接AC,點E為線段AC的中點，過點E作EFLAC交x軸于點尸.拋物線上是否存在點。，使

NQEE=2/OC4?若存在，求出點。的坐標；若不存在，說明理由.

【變式演練】

1.(2024?內蒙古呼倫貝爾?模擬預測)如圖，已知拋物線y=-6與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C,并

(2)點。為直線AC下方拋物線上的一動點，直線8。交線段AC于點E,請求出卡的最大值；

(3)探究：在拋物線上是否存在點M,使得/MAS=2NOCB?若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由.

2.(2024?湖南?模擬預測)定義：若拋物線G沿x軸向右平移加個單位長度得到拋物線G，那么我們稱拋物線Q是G

的“友好拋物線”，加稱為“友好值”.如圖，拋物線6：丫=。5+2)2-6與了軸交于4(-8,0),3兩點，拋物線Q是G的“友

好拋物線”，“友好值”為2,拋物線g與x軸交于4,用兩點，與y軸交于點C,作直線BC，點M是拋物線C2上一動

點.

?

x

(1)拋物線G的表達式為；

⑵若點〃在第四象限，過點“作MQ，x軸于點Q,交瓦C于點P,當PQ=2PM時，求MQ的長;

(3)是否存在點“，使得NMC4=15°?若存在，請求出點/的坐標；若不存在，請說明理由.

3.(2024?江蘇蘇州?一模)如圖1,在平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線丁=工2+/+。與軸交于點4(；,0)、B

(1)求拋物線的解析式；

(2)點。為拋物線上的一點(不與點A重合)，當△2BC的面積等于VABC面積的2倍時，求此時點。的坐標；

(3汝口圖2,點P在x軸下方的拋物線上，點。為拋物線的頂點.過點。作軸于點E,連接BD,AD交PB于點、F,

連接EF,ZEFB=2ZJFBD,探究拋物線上是否存在點〃，使4ZBC+NCBO+NAFB=180。，若存在，請直接寫出點

”的坐標；若不存在，請說明理由.

4.(2024.廣東深圳.模擬預測)如圖，拋物線與x軸交于A、8兩點，與y軸交于點C,OB=OC=3,04=1,頂點為

(2)P為直線2C上方拋物線上一點，求△P3C面積最大值及P點坐標;

(3)尸為第四象限拋物線上一點，且tanZAPC;，求出點P的坐標；

題型07二次函數與特殊三角形

01題型綜述

二次函數與特殊三角形（解答題）是初中數學中函數知識與幾何特殊三角形知識深度融合的重要內容，在中考中分值

占比約為6%-10%=

1.考查重點：重點考查運用二次函數性質與圖象特征，結合等腰三角形、直角三角形等特殊三角形的性質，通過建立

方程或函數模型來求解三角形的邊長、角度、探究三角形存在性及相關位置關系。

2.高頻題型：多以解答題形式呈現，給定二次函數圖象與幾何圖形背景，設置動點，圍繞構建特殊三角形（如判定是

否存在等腰三角形、直角三角形）、求特殊三角形的邊長或頂點坐標等進行設問。

3.高頻考點：涵蓋二次函數的基本性質（如對稱軸、頂點坐標、函數解析式求解）、特殊三角形（等腰三角形兩腰相

等、三線合一；直角三角形勾股定理、銳角三角函數）的性質與判定、利用幾何圖形中的線段關系和角度關系建立方

程或函數。

4.能力要求：學生需具備綜合運用代數與幾何知識的能力，能將幾何中的特殊三角形問題轉化為二次函數問題，熟練

運用數學公式進行推理和計算，還要有較強的邏輯思維和分類討論意識。

5.易錯點：容易在分類討論特殊三角形的不同情況時有所遺漏，忽視幾何圖形中的隱含條件，在建立方程或函數模型

以及求解過程中出現運算錯誤。

02解題攻略

【提分秘籍】

1.快速識別關鍵條件

標記函數信息：鎖定三角形條件

2.運用知識建立等式

利用特殊三角形性質：

等腰三角形：若已知等腰三角形，根據兩腰相等，設動點坐標表示出三邊長度，列等式求解。

直角三角形：依據勾股定理，在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。若已知直角頂點，設動點坐

標后表示出三邊，代入勾股定理等式。

結合二次函數性質：把特殊三角形的邊或角與二次函數聯系起來。若動點在二次函數圖象上，將動點坐標代入函

數解析式。

3.分類討論不重不漏

等腰三角形分類：分腰和底的情況討論。當確定某三角形為等腰三角形時，分別假設不同的邊為腰，列出相應方

程求解。

直角三角形分類：分不同頂點為直角頂點討論。對于可能是直角三角形的情況，分別假設三個頂點為直角頂點,

利用勾股定理列方程。

4.檢查答案確保正確

【典例分析】

例1.（2024?四川達州?中考真題）如圖1,拋物線y=*+日-3與x軸交于點A（-3,0）和點3（1,0）,與V軸交于點C.點

（2）如圖2,連接AC,DC,直線AC交拋物線的對稱軸于點M,若點尸是直線AC上方拋物線上一點，且S^PMC=2S^DMC,

求點尸的坐標；

（3）若點N是拋物線對稱軸上位于點。上方的一動點，是否存在以點N,A,C為頂點的三角形是等腰三角形，若存在，

請直接寫出滿足條件的點N的坐標；若不存在，請說明理由.

例2.（2024?四川眉山?中考真題）如圖，拋物線y—Y+Zzx+c與x軸交于點4（-3,0）和點8,與＞軸交于點C（0,3）,

點￡）在拋物線上.

(2)當點。在第二象限內，且AACD的面積為3時，求點。的坐標；

(3)在直線BC上是否存在點P,使△OPD是以為斜邊的等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點尸的坐標；若不存

在，請說明理由.

例3.(2024?山東泰安?中考真題)如圖，拋物線G：y=ox2+gx-4的圖象經過點。。,-1),與x軸交于點A,點、B.

⑴求拋物線的表達式；

(2)將拋物線G向右平移1個單位，再向上平移3個單位得到拋物線C。，求拋物線C?的表達式，并判斷點。是否在拋物

線C2上；

(3)在x軸上方的拋物線G上，是否存在點P,使是等腰直角三角形.若存在，請求出點尸的坐標；若不存在,

請說明理由.

【變式演練】

1.(2024?廣東?模擬預測)綜合運用

如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線＞=-/+2了+3與X軸交于點A.C(點A在點C的右側).與y軸交于點B.直

線〉=丘+6經過點A,B.

⑴求A,B,C三點的坐標及直線48的表達式.

（2）尸是第二象限內拋物線上的一個動點，過點尸作尸!2〃x軸交直線于點Q,設點尸的橫坐標為〃?（〃?<0）.尸。的

長為L.

①求L與他的函數關系式，并寫出機的取值范圍；

②若尸。與80交于點整二，求機的值.

Cz/iJ

（3）設拋物線的頂點為M，問在y軸上是否存在一點N,使得為直角三角形？若存在，直接寫出點N的坐標；

若不存在，請說明理由.

2.（2024?山西?模擬預測）綜合與探究

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線>=辦2+!%+。與x軸交于A,B兩點（點A在點3的右側），與，軸交于點C,

⑴求該拋物線的表達式及直線AC的表達式.

（2）。是直線AC上方拋物線上的一動點，過點。作DPLAC于點P,求的最大值.

⑶在（2）的條件下，將該拋物線向左平移5個單位長度，M為點。的對應點，平移后的拋物線與，軸交于點N,。為

平移后拋物線的對稱軸上的任意一點.直接寫出所有使得以QV為腰的AQMN是等腰三角形的點。的坐標.

3.（2024?山東青島.一模）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數>="2+法+。交x軸于點A（-4,0）,B（2,0）,交y軸

于點C（0,6）,在y軸上有一點E（0,—2）,連接AE.

⑴求二次函數的表達式；

（2）若點。為拋物線在x軸負半軸上方的一個動點，求VADE面積的最大值及此時。點的坐標；

（3）拋物線對稱軸上是否存在點尸，使△收為以AE為底的等腰三角形？若存在，請直接寫出尸點的坐標即可；若不

存在，請說明理由.

題型08二次函數與特殊四邊形

01題型綜述________________________________________

二次函數與特殊四邊形（解答題）是初中數學里函數知識與特殊四邊形幾何性質深度融合的重要內容，在中考中分值

占比大約為6%-10%o

I.考查重點：重點考查綜合運用二次函數的性質與圖象特征，結合平行四邊形、矩形、菱形、正方形等特殊四邊形的

性質，建立方程或函數模型來探究特殊四邊形的存在性、邊長、角度以及相關位置關系。

2.高頻題型：多以解答題形式呈現，在給定二次函數圖象及幾何圖形背景下，設置動點，圍繞判定是否能構成特殊四

邊形、求特殊四邊形頂點坐標、探究特殊四邊形面積最值等問題展開。

3.高頻考點：涵蓋二次函數的基本性質（如對稱軸、頂點坐標、解析式求解）、特殊四邊形（平行四邊形對邊平行且

相等、矩形對角線相等且互相平分、菱形四條邊相等且對角線互相垂直平分、正方形兼具矩形與菱形所有性質）的判

定與性質，以及利用幾何圖形中的線段關系、角度關系建立方程或函數。

4.能力要求：學生需具備較強的代數與幾何綜合運用能力，能夠將幾何中的特殊四邊形問題轉化為二次函數問題，熟

練運用數學公式進行推理和運算，還要有敏銳的邏輯思維與全面的分類討論意識。

5.易錯點：容易在分類討論特殊四邊形不同情況時出現遺漏，忽視幾何圖形中的隱含條件，在建立方程或函數模型以

及求解過程中因運算復雜而出現錯誤

02解題攻略

【提分秘籍】

1.透徹分析已知條件

梳理函數信息

提取四邊形條件：仔細研讀題目中關于特殊四邊形的已知內容，若是平行四邊形，留意已知的邊的關系、頂點坐

標；若是矩形，關注直角相關信息、對角線特征；菱形則注意邊長、對角線性質；正方形綜合了矩形和菱形的特

性。把這些關鍵信息在幾何圖形上清晰標注，方便后續分析。

2.靈活運用特殊四邊形性質構建等式

平行四邊形性質運用：利用平行四邊形對邊平行且相等的性質。

矩形性質運用：依據矩形對角線相等且互相平分。

菱形性質運用：菱形四條邊相等，設動點坐標表示出各邊長度，根據邊長相等列方程。

正方形性質運用：正方形兼具矩形和菱形性質。既可以利用四條邊相等、對角線相等且互相垂直平分，也可以利

用直角關系來建立方程。

3.合理進行分類討論

按特殊四邊形類型分類：當題目未明確特殊四邊形具體類型時，需分別討論平行四邊形、矩形、菱形、正方形的

情況。例如，已知四個點，判斷能否構成特殊四邊形，就依次按照平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定條件

去分析。

按動點位置分類：若存在動點，根據動點在不同線段、不同區域運動進行分類。比如動點在一個矩形的四條邊上

運動，分別討論動點在每條邊上時，如何構成特殊四邊形，建立相應方程求解。

4.檢查答案的準確性與合理性

【典例分析】

例1.(2024?黑龍江綏化?中考真題)綜合與探究

如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線丁=-必+桁+。與直線相交于A,B兩點，其中點4(3,4),8(0,1).

(2)過點B作3C〃x軸交拋物線于點C,連接AC,在拋物線上是否存在點尸使tanN8CP=JtanNAC8.若存在，請求

出滿足條件的所有點尸的坐標；若不存在，請說明理由.(提示：依題意補全圖形，并解答)

(3)將該拋物線向左平移2個單位長度得到X=+blX+Cl(qH0),平移后的拋物線與原拋物線相交于點D,點、E為

原拋物線對稱軸上的一點，廠是平面直角坐標系內的一點，當以點8、。、E、尸為頂點的四邊形是菱形時，請直接

寫出點尸的坐標.

例2.(2024?四川廣元?中考真題)在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線用y=--+"+。經過點4(-3,-1),與y

軸交于點3(0,2).

(1)求拋物線的函數表達式；

(2)在直線AB上方拋物線上有一動點C,連接0C交43于點。，求務CD的最大值及此時點C的坐標；

(3)作拋物線P關于直線＞=-1上一點的對稱圖象F,拋物線P與P只有一個公共點E(點E在y軸右側)，G為直線

A3上一點，”為拋物線尸'對稱軸上一點，若以8,E,G,H為頂點的四邊形是平行四邊形，求G點坐標.

3

例3.(2024.寧夏?中考真題)拋物線尸辦2-3犬-2與x軸交于A(T,0),B兩點，與,軸交于點C,點尸是第四象限

內拋物線上的一點.

(1)求拋物線的解析式;

(2)如圖1,過P作尸軸于點D,交直線BC于點E.設點。的橫坐標為機，當=時，求加的值;