重難點專題01函數的奇偶性、周期性、對稱性

一、重難點題型歸納............................................

題型1利用函數性質解不等式....................................

題型3構造奇偶函數求函數值....................................

題型4對稱性、奇偶性的運用....................................

?類型1對稱軸...........................................

?類型2中心對稱+軸對稱構造周期性.......................

?類型3“類”周期函數...................................

?類型4對稱性解決恒成立................................

題型5三角函數中的對稱性問題..................................

題型6復雜奇函數問題..........................................

題型7函數的旋轉問題..........................................

題型8兩個函數的對稱問題......................................

二、最新真題、模考題組練......................................

final

題型1利用函數性質解不等式

劃f占

1、對于任意8,0](均內2)，均有血返成立，注意功能用來判斷函數的

1X]—%2

單調性(有具體函數時，直接求導可求單調性)；

2、解不等式常涉及到奇偶性，注意配圖解不等式

3、涉及到偶函數時：如果口朝上：誰離對稱軸(%=0)遠，誰的函數值就大；如果口朝下:

誰離對稱軸(%=0)遠，誰的函數值就小.

【例題11（2023?江西宜春?校聯考模擬預測）已知函數〃%+2）=1鳴（3*+3-區）,若

“a-1）2f（2a+1）成立，則實數a的取值范圍為（）

A.(-00,-2B.

C.(-8,-2]U"+8)D.(-8,-2]UL，+8)

【變式1-1]1.（2023?湖南常德?常德市一中校考模擬預測）定義在R上的可導函數f（x）

滿足/(%)-f(-x)=x(ex+e-x),且在(0,+8)上有/■'(%)+宗<。若實數a滿足/'(2a)-

/(a+2)-2ae-2a+ae~a~2+2e-a~2>0,則a的取值范圍為()

A.卜Q]B.0,+8)C.(-8,—|]u[2,+8)D.(-8,2]

【變式1-112.(2023?全國?高三專題練習)設函數f(x)=sin(x-1)+e"[—e1^-x+4,

則滿足f（x）+f（3-2x）<6的久的取值范圍是（）

A.（3,+8）B.（1,+8）C.（一8,3）D.（-8,1）

【變式1-1]3.（2023?湖北武漢?統考模擬預測）已知函數〃%）=e=+e]—+x2-2x,

若不等式-ax）</（%2+3）對任意xeR恒成立，則實數a的取值可能是（）

A.-4B.-3C.V2D.3夜

【變式1-114.（2021?廣西?廣西師范大學附屬外國語學校校考模擬預測）設f（x）是定義在

R上的偶函數，且當X>0時，/■（%）=ax（a>1）.若對任意的％e[0,b+1],均有f（尤+b）>

產（x）,則實數匕的最大值是（）

A.--B.--C.0D.1

34

【變式1-1】5.（2020?湖南邵陽?統考三模）已知函數“X）是定義在R的偶函數,且在區間[0,+

8）上單調遞減，若實數a滿足/（歐3或+/（log鏟）22/⑴，則實數a的取值范圍

是.

題型2利用奇偶性、周期性對稱性求值

X，."、-軻r.1云?占、、、

函數周期性的常用結論與技巧

設函數y=f(x),xeR,a>0.

①若/(%+a)=/(x-a),則函數的周期T=2a；

②若/(%+a)=-/(x),則函數的周期T=2a；

③若f(x+a)=則函數的周期T=2a；

④若f(久+a)=則函數的周期T=2a；

J"(犯

⑤/'(x+a)=/(x+b),則函數的周期T=|a-b\

【例題2】(2022?全國?高三階段練習)已知函數/(x),g⑺是定義在R上的偶函數,g(3)=2,

若對任意XeR,都有f(久+6)=/(%)+f(3),對任意m,nGR且m+n=4,都有g(m)=g(ji),

則f(99)+g(99)=.

【變式2-1】1.(2023?全國?高三專題練習)已知定義域為R的函數f(x)存在導函數尸⑺，

且滿足f(一為=/(%),/(4-%)=/(-%),則曲線y=在點(2022,f(2022))處的切線方程

可能是()

A.y=xB.y=0C.y=x+1D.y=—x+1

【變式2-112.侈選)(2022?山東濰坊七中高三階段練習)設函數y=/(%)的定義域為R,

且滿足fQ+X)-,f(x-2)+/(-x)=0,當％e[T用時，f(x)=-|%|+1,則

下列說法正確的是()

A.y=八久+2)是偶函數B.y=f(x+3)為奇函數

C.函數y=f(%)-回幻有不同的零點D.濫以k)=1

【變式2-113.(2023?浙江溫州?模擬預測)定義在R上的函數〃x)滿足/'(x+1)+/(%-1)=

“2022),f(-2x+乃=f(2x+5),若/G)=/貝葉(2022)=,灌kf［k-

".

題型3構造奇偶函數求函數值

?!>卡］#?5

.五?八、

對于/(%)本身不具有奇偶性，通過構造(通常將尾巴常數變為0),構造奇函數，利用奇函

數的對稱性，求函數值.

【例題3】(2023?全國?高三專題練習)已知函數f⑺=ln(x+V7+P)+《+4在［—8,8］上

的最大值和最小值分別為M、m,則M+m=()

A.8B.6C.4D.2

【變式3-1】1.(2023?全國高三專題練習)已知函數f(%)=ax3+bsmx+3,若及m)=1,

則/■(—■?!)=()

A.-1B.2C.5D.7

【變式3-1］2.(2022?河南?高三階段練習(理))已知函數f。)=。喑+bsinx+3,若

f(m)=1,則/'(—m)=()

A.-1B.2C.5D.7

【變式3-1】3.(2022?河南省淮陽中學高三階段練習(文))已知函數/(%)=(島-

1)sin(%+?)-3,則f(x)在卜TT,IT］上的最大值與最小值之和為.

【變式3-1】4.(2022?江西?貴溪市實驗中學高三階段練習(文))已知函數

f(%)=aln(Vx2+l-x)+hsinx-2(abW0),若/(m)=2,貝!］/(-租)二.

【變式3-1】5.若函數/。)=X'n%(t＞。)的最大值為M,最小值為N,且M+N=4,

則實數的勺值為.

題型4對稱性、奇偶性的運用

函數對稱性(異號對稱)

(1)軸對稱：函數/0)對于定義域內任意實數x滿足/(a+x)=/(b-x),則函數/(X)關于

直線久=手對稱，特別地當/0)=/(2a-幻時，函數/(%)關于直線％=a對稱；

2.如果函數y=/(x)滿足/(a+%)=f(a-%),則函數y=/(%)的圖象關于直線x=a對稱.

3.y=f(a-x)與y=(x-b)關于直線x=早對稱.

(2)點對稱：若函數"X)關于直線(a,0)對稱，貝U

①/(a+%)=—/(a—%)

②f(x)=-/(2a-x)

③/(-%)=-/(2a+%)

(2)點對稱：若函數/(%)關于直線(a,b)對稱，則

①/(a+%)=—/(a—%)+2h

②/(%)=—/(2a—x)+2/?

(3)/(—%)=—/(2a+%)+25

?類型1對稱軸

【例題4-1】(2022?寧夏銀川一中高三階段練習(文))已知函數y=/。)的定義域為(-8

,l)u(l,+8),且/(x+1)為奇函數，當》<1時，/(X)=-X2-4%,則f(x)=羊勺所有根之

和等于()

A.4B.2C.-12D.-6

【變式4-1】1.已知函數/'(x)=2/-2I一1(2"2+22T)-有唯一零點,則負實數a=()

A.-2B.C.-1D.-;或T

【變式4-1】2.已知函數/'(x)(xeR)滿足f(x)=f(a-久)，若函數y=|小一a尤一5|與y=f(x)

的圖像的交點為(如月),(x2,y2),(xm,ym),且2乜%i=2m,則。=

A.1B.2C.3D.4

【變式4-1】3.已知函數/(x)=(*+■笑2X+2)，下面是關于此函數的有關命題，其中正確的

有

①函數f(x)是周期函數；

②函數f(x)既有最大值又有最小值；

③函數f(x)的定義域為R,且其圖象有對稱軸；

④對于任意的xe(-20),f'(久)<。(/■'(>)是函數/■(>)的導函數)

A.②③B.①③C.②④D.①②③

?類型2中心對稱+軸對稱構造周期性

即：軻f占

關于對稱中心與對稱軸構造周期的經驗結論

1.若函數有兩個對稱中心(a,0)與(b,0)),則函數具有周期性,周期T=2|a-b|.

2.若函數有兩條對稱軸x=a與x=b,則函數具有周期性，周期T=2|a-b|.

3.若函數有一個對稱中心(a,0)與一條對稱軸x=b,,則函數具有周期性，周期T=4|a-b|.

【例題4-2］已知函數7?(>)為定義域為R的偶函數，且滿足/G+x)=/G-,當％e

［-1,o］時，/(%)=-x.若函數FQ)=/。)+黑在區間卜9,20］上的所有零點之和

為.

【變式4-2】1.定義在R上的奇函數/(%)滿足f(2-x)=f(x),且在［0,1)上單調遞減，若方

程7?⑺=-1在［0,1)上有實數根，則方程/⑺=2在區間［-1,11］上所有實根之和是()

A.30B.14C.12D.6

【變式4-2］2.已知定義域為R的函數/(尤)的圖像關于原點對稱，且f(3-x)+/(-%)=0,

若曲線y=f(久)在(6,f(6))處切線的斜率為4,則曲線y=久久)在(-2022廳(-2022))處的切

線方程為()

7ini171011

A.y=-4X-8088B.y=4x+8088C.y=—%-詈D.y=%+半

【變式4-2】3.若函數y=f(x)是R上的奇函數，又y=/(%+2)為偶函數，且-2<x2<x2<

1時，［/(M)—/(均)］(%2—打)>0,比較/'(2017),f(2018),“2019)的大小為()

A.f(2017)<f(2018)<f(2019)B./(2018)<f(2017)<f［2019)

C.f(2018)<以2019)<f(2017)D.f[2019)<以2018)<f(2017)

【變式404.侈選)(2023福建福州福建省福州第一中學校考二模)定義在R上的函數f⑺

、g(x),其導函數分別為/''O)、g(%),若/O)=f(-x),g(-1)=Lf(x)+g(%-1)=/一

1,/(%)+g(x+1)=%-sin^x,則()

A.f'(%)是奇函數

B.g(x)關于(-1,1)對稱

C.g(x)周期為4

D.g(l)+g(3)+g(5)+-??+g(99)=-1225

?類型3“類”周期函數

型，.、冏r.f五?八占、

"似周期函數"或者"類周期函數"，俗稱放大鏡函數，要注意以下幾點辨析：

1.是從左往右放大，還是從右往左放大.

2.放大(縮小)時，要注意是否函數值有0.

3.放大(縮小)時，是否發生了上下平移.

【例題4-3］設函數y=的定義域為D,如果存在非零常數T,對于任意xeD,都有〃x+

T)=T"(x),則稱函數y=f(久)是"似周期函數"，非零常數T為函數y=f(x)的"似周期".現

有下面四個關于"似周期函數”的命題：

①如果"似周期函數"y=f(x)的"似周期"為-1，那么它是周期為2的周期函數；

②函數f(x)=2,是"似周期函數"；

③如果函數TO)=costox是"似周期函數"，那么％=2kn,kEZ或3=(2k+1)兀,keZ".以

上正確結論的個數是()

A.0B.1C.2D.3

【變式4-3】1.已知函數/'(%)滿足當x<0時,2/(%-2)=/(%),且當x￡(一2,0]時，f(x)=

\x+1\-1；當久〉。時，f(x)=logflx(a>。且a中1).若函數/'(x)的圖象上關于原點對稱的

點恰好有3對，貝必的取值范圍是()

A.(625,+司B.(4,64)C.(9,625)D.(9,64)

【變式4-3】2.設函數道工)的定義域為R,滿足f(久+0=2/(%),且當％e(0用時，f。)=

-1).若對任意Xe都有/'CON—5則/77的取值范圍是()

3z1

ABV2

%-(-%O-4

-2\

C5DzO+

--/-%V2

2k

【變式4-3】3.定義在R上函數滿足+1)=且當xe[0」)時，fM=l-\2x-l\.

則使得f。)w卷在M，+可上恒成立的血的最小值是()

9C

B137157

一2D.

?類型4對稱性解決恒成立

”一劃f?5

常見不等式恒成立轉最值問題：

(1)VxeD,/'(%)>巾=/(x)min>m；

(2)3%eD,f(x)>m=f(x)max>m；

(3)VxeD,f(x)>g(x)=(f(x)-g(x))min>0；

(4)3xeD,f(x)>g(x)=(/(x)-g(x))max>0；

(5)VXieD,X2eM,/(%1)>g(%2)=(Ol)min>9(尤2)max；

(6)3%IeeM,/(%1)>g(x2)=>g(x);

D,X22mm

(7)V%1GeM,fOi)>g(%2)OfOJmin>g(%2)min；

D,3X2

(8)3%1GP,VX2GMIf(%i)>g(%2)Of(%l)max>g(%2)max；

【例題4-4】已知函數/(%)=lg(x+V%2+1),且對于任意的％G(12],/(=)+

zX—1

f[>。恒成立，則小的取值范圍為()

(2

A.(一8,o)B.(一8,0]

C.[4,+8)D.(12,+oo)

【變式4-4】1.已知函數/(%)=玄詈(0<x<1),函數9(%)=(根一1)工(1<%<2).若

任意的打￡10.1},存在%2e[1,2],使得/(打)=03)，則實數機的取值范圍為()

A.(詞B.[2,3]C,[2,|]D,[羽

【變式4-4]2.已知f(X)是定義在R上的函數,且/(x+1)關于直線X=-1對稱.當X>0時，

/(x)={2",，°W”<2,若對任意的久e[m,7n+4,不等式f(2-2x)2/(%+?n)恒成立,

2-log2x,x>2

則實數m的取值范圍是()

A.[-j,0)B.[j,l]C,[1,+od)D.百+8)

【變式4-4】3.已知/(x)=一1一sin|7ix[,g[x}=|lnx|-y[2m,若對于Wx]€一

Sin|7TX|LJoj

3%2e[eT,e2]使得/(x])>g(X2)，則實數6的取值范圍是.

題型5三角函數中的對稱性問題

1.三角函數的對稱性，周期性，奇偶性，單調性，考查時可能單獨考，也可能以多選的形式

綜合在一個題目中考查.

2.三角函數的奇偶性

(1)函數y=Zsin(3%+9)是奇函數=攵兀(/ceZ),是偶函數=9=Mr+](k￡Z)；

(2)函數y=Acos(a)x+9)是奇函數09=kn理(k￡Z),是偶函數09=kn(fceZ)；

(3)函數y=2tan(3x+0)是奇函數op=/ot(fcGZ).

3.三角函數的對稱性

(1)函數y=4sin(3x+s)的圖象的對稱軸由3X+0=/ot+g(fcGZ)解得，對稱中心的

橫坐標由3X+9=/OT(kez)解得；

(2)函數y=2COS(3X+0)的圖象的對稱軸由ax+<p=kn(keZ)解得，對稱中心的橫

坐標由ax+cp=kn+(fcGZ)解得；

(3)函數y=4tan?x+⑴)的圖象的對稱中心由cox+<p=ykeZ)解得.

4.基本規律

1.三角函數的對稱中心(對稱軸)有數個，適當結合條件確定合適.

2.要注意一個隱含性質：一次函數是直線，它上邊任何一個點都可以作為對稱中心.一般情

況下，選擇它與坐標軸交點，或則別的合適的點

【例題5】(2022湖南長沙一中高三階段練習)已知函數/'(X)=cos(a)x+9)(3>0,0<<p<

兀)的圖象的一條對稱軸與其相鄰的一個對稱中心的距離為將/■(%)的圖象向右平移￡個單位

4b

長度得到函數9(%)的圖象.若函數9(%)的圖象在區間玲*］上是增函數，則3的取值范圍為

()

A［羽B.槨陷C.［由D.再］

【變式5-1］1.(2023?天津?統考二模)設函數f(x)=singx,g(x)=e-f.當

［-2023,2025］時，f(x)與g(x)的圖象所有交點的橫坐標之和為()

A.4051B.4049C.2025D.2023

【變式5-1］2.已知函數y=sinx+1與y=乎在［-a,a］(aeZ,且a>2017')上有爪個

交點(右，為)，(切，、2)，……，(xm,ym),貝U(巧+%)+。2+乃)+?“+。m+

ym)

A.0B.mC.2mD.2017

【變式5-1]3.已知函數/(%)=2(%+l)+sinx+ln(Vx24-1+%),若不等式f(3%-9%)+

/(m?3%-3)<4對任意％€R均成立，則m的取值范圍為()

A.(-8,20-1)B.(-8,-20+1)C.(―20+1,20-1)口.(-2返+1,+8)

題型6復雜奇函數問題

、L*

歲塾重點

1.若/"(X)滿足/'(a+x)+f(b-x)=2c,則/■(%)關于(手,c)中心對稱

2.特殊的奇函數：(考試難點)：

①對數與反比例復合：y=loga黑，y=loga鬻，如：噫總，噫黑，

②指數與反比例復合：y=念“窯心需，丫=署

③對數與無理式復合：y=loga(J(kx)+l±kx),如：y=loga(J(x)+1+X

3.形如丫=駕對稱中心為(0,軍)

a"+l2

【例題6]已知函數/(x)=/+ex-e~x,若不等式/'(ax?)+f(i-2ax)>1對Vx6R恒

成立，則實數a的取值范圍是()

A.(0,e]B.[0,e]C.(0,1]D.[0,1]

【變式6-1】1.對于定義在D上的函數〃x）,點4（科九）是f（x）圖像的一個對稱中心的充要條

件是：對任意X￡D都有f0）+f{2m-%）=2n,判斷函數/'（久）=x3+2x2+3x+4的對稱

中心.

【變式6-1】2.設函數/（無）=ln（，PU-久），若a,6滿足不等式/（a?-2a）+f[2b-b2}<0,

則當2<a<4時，2a-b

的最大值為

A.1B.10C.5D.8

【變式6-1】3.已知函數的『一升In言,若/忌）+外急）+…+八翳）+

f（^豹=竿（&+°），其中°>則翥+浮的最小值為

A.-B.-C.V2D.-

442

題型7函數的旋轉問題

【例題7]（2021?青島開學）將函數y=折R-2（%e[-3,3]）的圖象繞點（-3,0）逆時針

旋轉a（0Wa<。），得到曲線C,對于每一個旋轉角a,曲線C都是一個函數的圖象，貝驢最

大時的正切值為（）

AJB*C,1D.V3

【變式7-1】1.（2021春?池州期末）設。是含數1的有限實數集，/（%）是定義在D上的函

數，若f（x）的圖象繞原點逆時針旋轉g后與原圖象重合，則在以下各項中fQ）的取值只可能

是

A.V3B.1C.yD.0

【變式7-1】2.（2017春?新華區校級期末）將函數y=-x2+e0刀）圖像繞點（1,0）

順時針旋轉。角（0<e<方得到曲線C,若曲線C仍是一個函數的圖像，貝盼的最大值為

A.-B.-C.-D.-

64312

【變式7-1]3.（2021?沈河區校級四模）將函數力0）=e?x>0）的圖像繞坐標原點逆時針

方向旋轉角0（。6（0,汨），得到曲線C,若曲線C仍然是一個函數的圖像，貝!的可能取值為

（）

A.-B.-C.-D.7T

424

【變式7-1】4.（多選）（2021?雨花區校級模擬）已知函數）/=/。），xex,且兀64,函

數y=/（%）,%e4的圖象繞坐標原點順時針旋轉?所得新的函數圖象與原函數圖象重合，

其中幾可以取任意正整數，則/（兀）的值不可能為（）

A.0B.粵C.7TD.y[3n

題型8兩個函數的對稱問題

【例題8]（2021?武侯區校級模擬）已知函數/■（￡）=ax-"與函數g（x）=xlnx+2的圖像

上恰有兩對關于x軸對稱的點，則實數a的取值范圍為（）

A.（e-1,+od）B.（號,+同C.號,+8）D.（-03,6-1）

【變式8-1]1.（2021春?海淀區校級期末）若函數y=x3-x2-l-a,（（xG[j,e],e為

自然對數的底數）與y=——31nx的圖象上存在兩組關于%軸對稱的點，則實數a的取值范圍

是

A.（0,/+B.[0,e，-4]

c-e+ze-]D,e+2,+M

【變式8-1】2.（2021?云南模擬）已知函數/（%）=*_皿+3,__L若

ogM=5x4lnXi

函數尸3與g（x）（xeE硝的圖象上至少存在一對關于X軸對稱的點，則實數6的取值范

圍是.

【變式