寧德市2024-2025學年度第一學期期末高一質量檢測

數學試題

本試卷共19題.考試時間120分鐘，滿分150分.

注意事項：

1.答題前考生務必在試題卷、答題卡規定的地方填寫自己的準考證號、姓名，考生要認真核對

答題卡上粘貼的條形碼的“準考證號，姓名”與考生本人準考證號、姓名是否一致.

2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應的題目的答案標號涂黑，如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號；填空題和解答題用0.5毫米黑色簽字筆在答題卡上書

寫作答，在試題卷上作答，答案無效.

3.考試結束，考生必須將試題卷和答題卡一并交回.

一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，有且

只有一個是符合題目要求的.

1.已知命題）：*。€&焉+3%+2>0,則命題夕的否定是（）

A.3x0eR,Xg+3x0+2<0

B.3x0eR,Xg+3x0+2<0

C.VxeR,x2+3x+2<0

D.VxeR,x2+3x+2<0

【答案】D

【解析】

【分析】根據存在量詞命題的否定為全稱量詞命題可得答案.

【詳解】根據存在量詞命題的否定為全稱量詞命題可得命題）的否定是：VxeR,x2+3x+2<0.

故選：D.

2.“x>2”是“2、〉1”的（）

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】根據指數函數的性質解不等式，利用集合間的關系確定選項.

【詳解】由2工〉1得2、>2°，解得x〉0.

記集合/={x|x〉2},3={x|x>0},

：A房3,

...“工>2”是“2'〉1”的充分不必要條件.

故選：A.

3.若幕函數〉=/0）的圖象經過點（4,2）,則/（x）在定義域內為（）

A.減函數B.增函數C.偶函數D.奇函數

【答案】B

【解析】

【分析】根據幕函數的定義可求出函數/（x）的解析式，即可判斷函數的單調性與奇偶性.

【詳解】設/（乃=/，則4a=2,解得c=J，

.../（x）=x2,定義域為［0,+e），/（x）為非奇非偶函數，

：g>0,，/（X）在［0,+8）上為增函數.

故選：B.

4.已知a>b>0>c>d,貝！J（）

777777a6

A.a+d>b+cB.aa>beC.a-c<b-aD.—<—

cd

【答案】D

【解析】

【分析】舉反例可說明選項A、B、C錯誤；作差法可證明選項D正確.

【詳解】對于選項A、B、C,令Q=2,b=1,。=一1,d=-2,滿足a〉6>0>c>d.

Q+d=b+c=0,選項A錯誤.

ad=-4,bc=-1,ad<be,選項B錯誤.

a-c=b-d=3,選項C錯誤.

abad-be

D.-------=----------，

cdcd

\*a>b>0>c>d,：.cd>0,a-b>0,d-c<0,

a(d—c)<0,(Q—b)c<0,

：.ad-bc=ad-ac+ac-bc=a^d-c^+^a-b^c,

adbc

：.~<o,即@<2,選項D正確

cdcd

故選：D.

、a,aNb?\

5.記max({a,6}=匕6,設/(x)=max{|x-l|,2x20},則函數/(x)的最小值是()

,CLO

A.0B.C.1D.2

2

【答案】B

【解析】

x-1>2x2

【分析】本題考查分段函數的性質，依據題意寫出分段函數/(x)的解析式/(x)=<

2x2,x-1<2x2'

進而確定函數的單調性，得出函數/(X)的最小值.

卜-11,x-1>2x2

【詳解】由題可得，函數/(X)的解析式為/(x)=

2x2,x-1<2x2

令—1|=2*2,解得x=g或x=—l,

當xN：或x〈—l時，f(x)=2x2；當—l<x<)時，/(x)=|x-l|=l-x,

.../'(>)在［-8,：上單調遞減，在［g，+s)上單調遞增，

"⑺的最小值為/(x)=/

故選：B.

6.已知函數=-x的零點為。，b=e。，c=ln〃，則。，b,。的大小關系為()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

【答案】C

【解析】

【分析】分析函數/(x)的單調性，確定零點。的取值范圍，即可得到的大小關系.

【詳解】在R上為減函數，了=一%在R上為減函數,

???函數/(x)=[g]—X在R上為減函數，

：/(0)U_0=1〉0，/⑴=(一1=一(<0,

1?0<a<1,

,人=e">e°=1，c=Ina<In1=0,

:?c<a<b.

故選：C.

7.已知函數/(x)=/+l,g(x)=-,則圖象為如圖的函數可能是()

x

B.y=f(x)-g(x)

/(x)

C.J=/(x)g(x)D.y=^r\

gX

【答案】D

【解析】

【分析】利用函數的奇偶性可以排除選項A,B；利用函數的單調性可排除選項C.

【詳解】根據圖像可得函數關于原點對稱，為奇函數，

對于選項A：>=/(x)+g(x)為非奇非偶函數，故A錯誤；

對于選項B：y=/(x)-g(x)為非奇非偶函數，故B錯誤；

對于選項C：y=/(x)g(x)=x+1在區間(0,1)上單調遞減，在區間(1,+8)上單調遞增，故C錯誤;

對于選項D：y=G篇為奇函數，在區間(o,+")上單調遞增，故D正確；

故選：D

8.定義在R上的函數/(x)滿足/(x+y)+/W3)=9盯，且/卜0,則(

)

B.是奇函數

C./(X+1)是偶函數D./(-X)是減函數

【答案】B

【解析】

【分析】令夕=0得/(0)=T,令x=1,y=—■可得選項A錯誤；令y=?-§得/(x-j=—3%,可得選

3.3.

項B正確；根據了1—+可得選項C錯誤；令/z(x)=/(—x),

由可得選項D錯

誤.

【詳解】令y=o得，/(x)+/(x)/(o)=o,即〃尤)［〃o)+i］=0,

???/1］wo,，/(x)不恒為0,.?./(())+1=0,BP/(0)=-l.

A.令、=；/=一%貝以(0)+/］；：，—?=9><9］一(,

???T+mfi即

卜0，???/，；］=0,選項A錯誤.

B.令了=一貝打-J+=—；］=一3.

令g(x)=/卜一；］=-3x,則g(x)的定義域為R,且g(-x)=3x=-g(

X),

是奇函數，選項B正確.

C.令x=-=1,則/++/1_；｝/(1)=9x1_：］xl,

由小白。得，一3,

令x=|j=|，則佃+同?同=9、泊,即佃+9=4,故佃=-5,

由得，/11一.../(x+1)不是偶函數，選項C錯誤.

D.令Mx)=/(—x),貝M(0)=/(—0)=/(0)=—1,==

由/z(O)</z；得/z(x)不是減函數，選項D錯誤.

故選：B.

【點睛】關鍵點點睛：解決問題的關鍵是通過賦值求函數值，根據奇偶性及單調性的定義判斷選項.

二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多

項是符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分.

9.已知函數y=f(x)用列表法表示如下，則下列說法正確的是()

X123

/(X)321

A./(x)的定義域與值域相同

B./(x)=-x+4(xeR)

C.若/(/(。)=1,貝卜=1

D./(x)是減函數

【答案】ACD

【解析】

【分析】由表格得選項A正確；根據函數定義域可得選項B錯誤；由條件得/(。=3,解出/可得選項C

正確；根據表格數據可得選項D正確.

【詳解】A.函數y=/0)的定義域為｛1,2,3｝,值域為｛1,2,3｝,A正確.

B.由函數y=f(x)的定義域為｛1,2,3｝可得選項B錯誤.

C.由/(/Q))=l得，/(。=3,故f=l,C正確.

D.由表格得，/(X)隨x的增大而減小，故/(X)在定義域上是減函數，D正確.

故選：ACD.

10.已知二次函數則下列說法正確的是()

3

A.當〃時，/(%)>—

B.當a=l時，^^>3

X

C.若/(x)〉0恒成立，則0<。<4

D.若/⑴在(-1,0)內有零點，貝丘24

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用二次函數的性質，基本不等式，根的判別式和開口方向，零點存在定理及結合解不等式依次

對每個選項進行分析求解.

【詳解】A.當a=l時，/(x)=x2+x+l=^x+|^+|>|,選項正確；

B.當0=1時，/（X）=X2+X+1,則=￡+王+l=x+'+l，

XXX

當x<0時，x+—+1<-2+1=—1,選項錯誤;

x

a>0

C.若/(x)>0恒成立，貝人A2/C，解得：0<。<4,選項正確;

N=a-4a<0

D.Q/(-l)=/(O)=l,要使得/(x)在(TO)內有零點，則￡|wo,

aa

即——-+l<0,解得：a>4,選項正確；

42

故選：ACD.

11.已知桌面上有一個周長為2的由鐵絲圍成的封閉圖形，則()

A.當封閉曲線為半圓時，用直徑為1的圓形紙片可以完全覆蓋

B.當封閉曲線為正六邊形時，用直徑為1的圓形紙片可以完全覆蓋

C.當封閉曲線為平行四邊形時，用直徑1的圓形紙片不可以完全覆蓋

D.當封閉曲線為三角形時，用直徑為1的圓形紙片不可以完全覆蓋

【答案】AB

【解析】

【分析】逐項分析各圖形的外接圓半徑或直徑，與圓形紙片的直徑比較即可確定正確選項.

【詳解】A.設半圓半徑為r，則2r+a=2,解得尸=二一＜工，故直徑為1的圓形紙片可以完全覆蓋半

2+兀2

圓，選項A正確.

12

B.當封閉曲線為正六邊形時，正六邊形的邊長為一，正六邊形外接圓的直徑為一＜1,

33

故直徑為1的圓形紙片可以完全覆蓋正六邊形，選項B正確.

c.當封閉曲線為正方形時，正方形邊長為;，正方形的外接圓直徑為Y2＜i,

22

故直徑為1的圓形紙片可以完全覆蓋正方形，

由正方形為平行四邊形可得選項C錯誤.

D.當封閉曲線為正三角形時，正三角形邊長為2,正三角形的外接圓半徑為3=述〈」，

33月92

故直徑為1的圓形紙片可以完全覆蓋正三角形，選項D錯誤.

故選：AB.

三、填空題:本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡的相應位置.

3兀

12.一個扇形的弧長和面積都是一，則這個扇形的圓心角的弧度數為

4

,,3兀

【答案】y

【解析】

【分析】根據扇形弧長及面積公式求解可得結果.

【詳解】設扇形的半徑為「，圓心角的弧度數為a,

37r

ar=——

43

則j1c，兩式相除得r=2,a=—

,3TT8

—ar2=

[2F

3兀

故答案為：a二—

8

13.+lg2-5e°+lg5=

【答案】-1

【解析】

【分析】根據指數幕的運算性質及對數運算法則可得結果.

［詳解］4+lg2-5e°+lg5=81z+lg（2x5）-5

=（34）Z+1-5=3+1-5=-1

故答案為：-1.

14.已知過原點。的直線與函數歹=10g4X的圖象交于/,8兩點（/點位于2點的左側），過/點作x軸

的垂線交y=log2》的圖象于點c,若3c與x軸平行，則/點的坐標為.

【答案】（2,；

【解析】

【分析】設/（加/Og4加），則C（m,log2加），根據8c與X軸平行得8（/,log4加2）,利用％=%求

出加，即可得到/點的坐標.

設4（加,log4加）,m>0,則C（加/Og2加），

由5C與X軸平行得，凡=%=1。82加，

由log2加=log4X得，=（2臉=加2,故加2,log4加2）,

由0,48三點共線得，kOA=kOB,

=即坐=解得加=2,log/」，

mmmm2

??A點的坐標為（2,.

故答案為：[2,J）

四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

r\

15.已知集合Z=<x<0,，集合3={x[（x+l）（x-a）<0,aeR）.

(1)當a=3時，求

(2)若Q>0,B^A,求。的取值范圍.

【答案】(1){x|-l<x<2}

(2)(0,2]

【解析】

【分析】(1)解不等式，化簡集合48,根據集合的基本運算可得結果.

(2)化簡集合3,利用集合間的關系可求。的取值范圍.

【小問1詳解】

由!^|<0得，(x-2)(x+l)<0,解得一l<x<2,

Z={x|-l<x<2},

當a=3時，B=|x|(x+l)(x-3)<0}=|x|-l<x<3},

ZcB={x|-l<x<2}.

【小問2詳解】

當a>0時，3={x[—l<x<a}

,：A,：.a<2,

的取值范圍為(0,2].

16.近幾年，直播平臺作為一種新型的學習渠道，正逐漸獲得越來越多人的關注和喜愛.某平臺從2024年初

建立開始，得到了很多網民的關注，會員人數逐月增加，如下表所示：

建立平臺第X個月12345

會員人數V(萬)256.788.9

為了描述從第1個月開始會員人數隨時間變化的關系.現有以下三種函數模型供選擇：

X

@y—mlog2x+n,②y=mslx—2+n>?y=2~'"+n.

(1)選出最符合實際的函數模型，并說明理由；

(2)請選取表格中的兩組數據，求出你選擇的函數模型的解析式，并預測第幾個月會員人數達到14萬.

【答案】(1)①>=〃210g2》+〃，理由見解析

(2)j=31og2x+2,第16個月

【解析】

【分析】（1）根據函數定義域以及指、對數函數的單調性特征分析判斷;

（2）根據點（1,2）,（2,5）,求加,“，即可得函數解析式，再根據函數解析式運算求解

【小問1詳解】

最符合實際的函數模型為①y=mlog2x+n,

根據表格知函數解析式需滿足在口,+8）上有定義，所以②了=加GI+”不滿足，

又隨著月份的增加，會員人數增加速度又會減慢，所以③了=2="'+〃不符合，

只有①了=切1。82丫+〃同時滿足上述兩個特征，故了=，〃10g2X+〃最符合.

【小問2詳解】

可選取表格中的兩組數據為：（1,2）,（2,5）,

f2=mlog2l+77

代入V=冽10g2%+〃得〈廠1-

5=mlog22+7?

m=3

解得〈c，即歹=3log2、+2,

n-2

當y=14時，310g2%+2=14,解得，x=16,

所以，可預測第16個月，會員人數達到14萬人.

17.在單位圓中，已知銳角。的終邊與單位圓交于點/（再,必），將角。的終邊繞原點。按照逆時針方向旋

TT

轉萬，交單位圓于點5（%,%），點8關于X軸的對稱點為。（七,%）.

1cos（兀一a）sin—+a

（1）若國二一，求'，12J的值;

cos（2兀+a）sin（-a）

若|再一工31+1%-%|=!,求tana.

（2）

Ji

【答案】（i）

4

(2)tana=2或tana二工

2

【解析】

【分析】（1）根據三角函數的定義、同角三角函數的基本關系及誘導公式可得結果.

（2）利用誘導公式及對稱表示/,外,根據齊次式或同角三角函數的基本關系可求tana的值.

【小問1詳解】

由三角函數定義得，cosa=x”sin（z=M.

?1._________2

再二不，"為銳角，cosa=—,sina=Jl-cos2a=------

333

???cos(兀-a)=-cosa=—L,sin(工+。)=cos。=』，cos(27t+a)=cosa=',sin(—a)=—sina=—

32333

/、./兀、11

cos(7i-a)sin(—+a)——x—

233旦

,?COS(2K+a)sin(—a)12vp4-

—X

3F)

【小問2詳解】

；+w=

解法一：由題意得,X2=cos3-sins,y2=sin;1+a-cosa,工3二%2二—sins,

y3--y2--cosa,

-x3|=kosa+sin,|弘一％|二卜ina+cosa],

,**a為銳角，|x1一七|+1%一%|二2(sina+cosa)=,即sina+cosa=~~~~

29口口229

(sina+cosa)=—,即sina+cosa+2sinacosa=—

55

92

.*.1+2sinacosa=—故sinacosa=一,

595

sinacosa2口日tana2Kp?…1

.22一,即---------二—，解得tana=2或tana--

sma+cosa5tala+l52

解法二：由題意得，々=cos；3+w=-sins,y2=sin;1+a-cosa,工3二%2二—sins,

y3=一必=一cosa,

-x3|=卜osa+sinM,一九|二卜ina+cosa|，

2(sina+cosa)=m，即sina+cosa=^

：a為銳角,|七-尤31+1%-%|=

55

,275.V5

sina=----sina=——

>??221?5一5

?sma+cosa=I，?L或1

V5275

cosa=——cosa=----

55

tana=2或tana--

2

18.已知函數一.

X+1

(1)證明：/(X)為奇函數;

(2)討論函數/(x)在區間(0,+8)上的單調性;

(、']

x2

(3)V%1e(1,a),3X2,使得了+f=0,求實數。的取值范圍.

<xi>+1J

【答案】(1)證明見解析

(2)函數＞=/(幻在區間(0,1)上是增函數，在區間工+8)上是減函數

(3)l<a<2

【解析】

【分析】(1)根據/(x)的定義域為R且/(-x)=-/(x)可得/(x)為奇函數.

(2)利用定義法可得函數/(%)在區間(0,+8)上的單調性.

1招

(3)根據函數性質可得一=二-上，分析范圍，利用集合間的關系可求參數的范圍.

xx+1占

【小問1詳解】

-X

：/(x)的定義域為R,且/(-x)=

(-x『+l

f(x)為奇函數.

【小問2詳解】

Vx15x2e(0,+co),且再<》2,

則/(再)—/(%)=一

2222

X]+1X2+1(X1+1)(X2+1)

一再)(國了

~X2Xy+Xj-x2_(x22—I)

(X；+1)(92+1)(Xj2+1)(92+1)

—2

0<%</,x2Xj〉O,xj+1>0,XJ+1>0，

當X］,/e（0,1）時，xrx2-1<0,故/（占）一/。2）<o,即/（xj</（%），

，y=/（x）在（0,1）上是增函數，

當再W［L+°°）時,%1%2-1>0,故/（石）-/（々）>0,即/（占）〉/（%2），

y=f(x)在[1,+oo)上是減函數.

綜上，函數歹=/（幻在（0,1）上是增函數，在［1,+8）上是減函數.

【小問3詳解】

解法一：?.?西€（1,。）,%2€1-1,一|）,二。〉1111,x2

———<———<-,-12<—<------

+1Xj+12X]5a

UH/r/-乜到

由（2）知，函數”X）為奇函數，在區間（-1,1）上是增函數，在區間［1,+8）上是減函數.

1x

2-2

X]+1可

2

，使得了旦+f=0,

■:VX]G(1,d),3X2G-1,

5Ix,JIX,"+1J

12

-------->——解得

向］a2+15a2

>'?1<a<2.

角軍法二：VX€(1,(2),X€f—1,——t〈衛<^77<i，

[2??a>1,一%2￡

X]玉+1

由（2）知，函數/（X）為奇函數，在區間（-1,1）上是增函數，在區間［1,+8）上是減函數,

X]a1)

???/（。）〈/日）〈/（1），即故

x；+l~ar+l，2)

Xi

即f=■

Vx1G(1,a),

UM!J河

H21

解得一Va?2,

a2+l52

1<4Z<2.

19.定義：函數/（x）的定義域為［凡句，若對［a,句上的任意不同的兩個數匹,馬和任意的4e［0,l］,都有

/(2X1+(1-2)X2)<2/(X1)+(1-2)/(X2),則稱/(x)在［a網上是凸函數.

（1）判斷/（x）=/是否為凸函數，并說明理由;

（2）已知偶函數g（x）在［a,可上是凸函數,證明：g（x