專題06分式方程及應用的核心知識點精講

o復習目標O

1.了解分式、分式方程的概念，進一步發展符號感.

2.熟練掌握分式的基本性質，會進行分式的約分、通分和加減乘除四則運算，發展學生的合情推理能力與

代數恒等變形能力.

3.能解決一些與分式有關的實際問題，具有一定的分析問題、解決問題的能力和應用意識.

O考點梳理O

定義一分母中含有未知數的方程

「1方程兩邊都乘以最簡公分母，去掉分母，化成整式方程

r2.解這個整式方程，求出整式方程的解

解分式方程的步驟

13.檢驗：將求得的解代入最簡公分母，若最簡公分母不等于0,則這個解是原分式方程的解

若最簡公分母等于0,則這個解不是原分式方程的解，原分式方程無解.

解題步驟：審，設，歹U,解，檢驗，答

分式方程的應用

常見類型

典例引領

【題型1:分式方程及其解法】

【典例1】（2024?廣東廣州?中考真題）解方程：^=|.

【答案】%=3

【分析】本題考查的是解分式方程，掌握分式方程的解法是解題關鍵，注意檢驗.依次去分母、去括

號、移項、合并同類項求解，檢驗后即可得到答案.

【詳解】解：蠢4

去分母得：％=3（2久-5），

去括號得：x—6x—15,

移項得：x—6x=-15,

合并同類項得：-5乂=-15,

解得：%=3,

經檢驗，x=3是原方程的解，

???該分式方程的解為x=3.

令,即時檢淵

2x

1.(2024?陜西?中考真題)解方程：+豆？=1?

1x—1

【答案】%=-3

【分析】本題主要考查了解分式方程，先去分母變分式方程為整式方程，然后再解整式方程，最后對

方程的解進行檢驗即可.

【詳解】解：告+告=1，

去分母得：2+%(%+1)=，-1,

去括號得：2+%2+%=%2—1,

移項，合并同類項得：%=—3,

檢驗：把％=-3代入(％+1)(%一1)得：(一3+1)(一3-1)=8H0,

.?.%=-3是原方程的解.

2.(2024?福建?中考真題)解方程：提+1=三.

【答案】尤=10.

【分析】本題考查解分式方程，掌握解分式方程的步驟和方法，將分式方程化為整式方程求解，即可解

題.

【詳解】解:.+1=匿,

方程兩邊都乘(％+2)(%—2)，得3(%—2)+(%+2)(%—2)=%(%+2).

去括號得：3%—6+%2—4=x2+2%,

解得久=10.

經檢驗，％=10是原方程的根.

3.(2019?上海?中考真題)解分式方程：=1

x—Zx^—2x

【答案】%=-4

【分析】本題考查解分式方程，解一元二次方程，將分式方程轉化為整式方程，求解后檢驗即可.

【詳解】解：去分母，得：2X2-8=X2-2X,

???/+2%—8=0,

/.(X—2)(x+4)=0,

解得：%=2或%=-4,

經檢驗久=2是增根，％=—4是原方程的解，

???分式方程的解為％=-4.

典例引領

【題型2：分式方程的應用】

【典例2】(2024?山東德州?中考真題)某校開設棋類社團，購買了五子棋和象棋.五子棋比象棋的單價少8

元，用1000元購買的五子棋數量和用1200元購買的象棋數量相等.

(1)兩種棋的單價分別是多少？

(2)學校準備再次購買五子棋和象棋共30副，根據學生報名情況，購買五子棋數量不超過象棋數量的3

倍.問購買兩種棋各多少副時費用最低？最低費用是多少？

【答案】⑴五子棋的單價是40元，象棋的單價是48元

(2)購買五子棋22副，象棋8副時，費用最低，最低費用是1264元

【分析】本題考查分式方程的實際應用，一次函數的實際應用，一元一次不等式組的實際應用.理解

題意，找出數量關系，列出等式或不等式是解題關鍵.

(1)設購買五子棋的單價是x元，則購買象棋的單價是Q+8)元，根據用1000元購買的五子棋數量

和用1200元購買的象棋數量相等.列出分式方程求解并檢驗即可；

(2)設購買兩種棋的費用為卬元，購買五子棋加副，則購買象棋(30-m)副，根據購買五子棋數量不

超過象棋數量的3倍，列出不等式，求出m的取值范圍；再列出購買兩種棋的費用的關系式，根據一

次函數的性質求解即可.

【詳解】(1)解：設購買五子棋的單價是x元，則購買象棋的單價是(刀+8)元，根據題意得：

10001200

xx+8

解得：%=40,

經檢驗％=40是所列分式方程的解，且符合題意，

：.x+8=48.

答：五子棋的單價是40元，象棋的單價是48元；

(2)解：設購買兩種棋的費用為w元，購買五子棋加副，則購買象棋(30-爪)副，根據題意得：

m<3(30-m),

解得：m<22|,

w=40m+48(30—m)=-8m+1440,

???-8<0,

???W隨加的增大而減小，

1

???在znW225中，

m為正整數，

.?.當zn=22時，w有最小值，最小值為-8x22+1440=1264(元)，

貝|」30—22=8(副)

答：購買五子棋22副，象棋8副時，費用最低，最低費用是1264元.

即時檢涌

1.（202牛山東青島?中考真題）為培養學生的創新意識，提高學生的動手能力，某校計劃購買一批航空、航

海模型.已知商場某品牌航空模型的單價比航海模型的單價多35元，用2000元購買航空模型的數量

是用1800元購買航海模型數量的也

⑴求航空和航海模型的單價；

（2）學校采購時恰逢該商場"六一兒童節”促銷：航空模型八折優惠.若購買航空、航海模型共120個，

且航空模型數量不少于航海模型數量的，請問分別購買多少個航空和航海模型，學校花費最少？

【答案】⑴航空模型的單價為125元，則航海模型的單價為90元；

⑵當購買航空模型40個，購買航海模型80個時，學校花費最少

【分析】本題主要考查了分式方程的實際應用，一次函數的實際應用，一元一次不等式的實際應用：

（1）設航空模型的單價為x元，則航海模型的單價為（x-35）元，根據用2000元購買航空模型的數量

是用1800元購買航海模型數量的!列出方程求解即可；

（2）設購買航空模型加個，花費為y元，則購買航海模型（120-巾）個，先根據航空模型數量不少于航

海模型數量的￡列出不等式求出m的取值范圍，再列出y關于m的一次函數關系式，利用一次函數的性

質求解即可.

【詳解】（1）解：設航空模型的單價為x元，則航海模型的單價為Q-35）元，

上加200041800

由題思得，—=sX^,

解得x=125,

檢驗，當x=125時，%（%-35）*0,

???久=125是原方程的解，且符合題意，

35=90,

答：航空模型的單價為125元，則航海模型的單價為90元；

（2）解：設購買航空模型機個，花費為y元，則購買航海模型（120-機）個，

由題意得，m>-（120—m）?

解得m>40,

y—125x0.8m+90（120—m）=10m+10800,

-.10>0,

.,少隨加增大而增大，

???當根=40時，y有最小值，最小值為10X40+10800=11200,

此時有120—血=80,

答：當購買航空模型40個，購買航海模型80個時，學校花費最少.

2.(2024?江蘇宿遷?中考真題)某商店購進/、8兩種紀念品，已知紀念品/的單價比紀念品2的單價高10

元.用600元購進紀念品A的數量和用400元購進紀念品B的數量相同.

(1)求紀念品/、3的單價分別是多少元？

(2)商店計劃購買紀念品/、3共400件，且紀念品工的數量不少于紀念品2數量的2倍，若總費用不

超過11000元，如何購買這兩種紀念品使總費用最少？

【答案】⑴紀念品/、8的單價分別是30元和20元

(2)/種紀念品購進267件，8種紀念品購進133件，兩種紀念品使總費用最少

【分析】本題考查了分式方程的應用以及一次函數的應用，解題的關鍵是正確分析題目中的等量關系.

(1)設/種紀念品的單價是x元，則B種紀念品的單價是(%-10)元，利用數量=總價+單價，結合“用

600元購進紀念品A的數量和用400元購進紀念品B的數量相同"，可得出關于x的分式方程，解之即

可；

(2)設購買。件/種紀念品，總費用為y元，利用總價=單價X數量，可得出關于。的一次函數，求

出。的取值范圍，根據函數的增減性解題即可.

【詳解】(1)解：設/種紀念品的單價為%元，則8種紀念品的單價為(x-10)元，

600_400

xX—10'

解得：x=30,

經檢驗久=30是原方程的解，

■■B種紀念品的單價為x-10=20元，

答：紀念品/、3的單價分別是30元和20元.

(2)解：設/種紀念品購進a件，總費用為y元，

則V=30a+20(400-a)=10a+8000,

v(a>2(400—a)

乂???110a+8000<11000'

解得竽Wa4300,

V1O>O,

引隨x的增大而增大，

.?.當x=267時，購買這兩種紀念品使總費用最少，

這時/種紀念品購進267件，8種紀念品購進400-267=133件，兩種紀念品使總費用最少.

3.(2024?江蘇常州?中考真題)書畫裝裱，是指為書畫配上襯紙、卷軸以便張貼、欣賞和收藏，是我國具有

民族傳統的一門特殊藝術.如圖，一幅書畫在裝裱前的大小是1.2mx0.8m,裝裱后，上、下、左、右

邊襯的寬度分別是am、6m、cm、dm.若裝裱后AB與2D的比是16:10,且a=b,c=d,c—2a,求四

周邊襯的寬度.

【答案】上、下、左、右邊襯的寬度分別是0.1m、0.1m、0.2m、0.2m

【分析】本題考查分式方程的應用，分別表示出的長，列出分式方程，進行求解即可.

【詳解】解：由題意，得：4B=1.2+c+d=1.2+2c=1.2+4a,AD=0.8+a+6=0.8+2a,

?MB與4。的比是16:10,

.1.2+4a_16

**0.8+2ci

解得：a=0.1,

經檢驗a=0.1是原方程的解.

.??上、下、左、右邊襯的寬度分別是0.1m、0.1m、0.2m、0.2m.

4.(2024?四川雅安?中考真題)某市為治理污水，保護環境，需鋪設一段全長為3000米的污水排放管道，

為了減少施工對城市交通所造成的影響，實際施工時每天的工效比原計劃增加25%,結果提前15天完

成鋪設任務.

⑴求原計劃與實際每天鋪設管道各多少米？

⑵負責該工程的施工單位，按原計劃對工人的工資進行了初步的預算，工人每天人均工資為300元，

所有工人的工資總金額不超過18萬元，該公司原計劃最多應安排多少名工人施工？

【答案】⑴原計劃與實際每天鋪設管道各為40米，50米

(2)該公司原計劃最多應安排8名工人施工

【分析】此題考查了分式方程的應用，以及一元一次不等式的應用，弄清題意是解本題的關鍵.

(1)設原計劃每天鋪設管道x米，則實際施工每天鋪設管道(l+25%)x,根據原計劃的時間=實際的

時間+15列出方程，求出方程的解即可得到結果；

(2)設該公司原計劃應安排y名工人施工，根據工作時間=工作總量+工作效率計算出原計劃的工作天

數，進而表示出所有工人的工作總額，由所有工人的工資總金額不超過18萬元列出不等式，求出不等

式的解集，找出解集中的最大整數解即可.

【詳解】(1)解：設原計劃每天鋪設管道x米，則實際施工每天鋪設管道(1+25%)%=125萬米，

根據題意得：慧+15=乎，

解得：%=40,

經檢驗x=40是分式方程的解，且符合題意，

.0?1.25%=50,

則原計劃與實際每天鋪設管道各為40米，50米；

（2）解：設該公司原計劃應安排y名工人施工，3000+40=75（天）,

根據題意得：300X75y<180000,

解得：y<8,

二不等式的最大整數解為8,

則該公司原計劃最多應安排8名工人施工.

"力典例引領

【題型3：與分式方程的解有關的問題】

【典例3】（2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題）已知關于x的分式方程會-2=白無解，則人的值為（）

A.k=2或k=-1B.k——2C.k=2或k=1D.k=—1

【答案】A

【分析】本題考查了解分式方程無解的情況，理解分式方程無解的意義是解題的關鍵.先將分式方程去

分母，化為整式方程，再分兩種情況分別求解即可.

【詳解】解：去分母得，2（%—3）=-3,

整理得，（fc-2）x=-9,

當k=2時，方程無解，

當k豐2時，令x=3,

解得卜=一1,

所以關于x的分式方程會一2=￡無解時，k=2或k=—l

故選：A.

即時檢洲

1.（2024?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）如果關于光的分式方程1:-m其=0的解是負數，那么實數機的取值范圍

是（）

A.m<1且mH0B.m<1C.m>1D.m<1且m豐—1

【答案】A

【分析】本題考查了根據分式方程的解的情況求參數，解分式方程求出分式方程的解，再根據分式方程

的解是負數得到1<0,并結合分式方程的解滿足最簡公分母不為0,求出a的取值范圍即可，熟練掌

握解分式方程的步驟是解題的關鍵.

【詳解】解：方程兩邊同時乘以XQ+1）得，x+l-mx=0,

解得久=這，

???分式方程的解是負數，

<0,

.??m<1,

又“（久+1）*o,

/.X+1W0,

?

??-m—1-W-1,

：.mW0,

/.m<1且THH0,

故選：A.

2.（2024?四川遂寧?中考真題）分式方程5=1-凸的解為正數，則根的取值范圍（）

A.m>—3B.m>—3且2

C.m<3D.771<3且小片一2

【答案】B

【分析】本題考查了解分式方程及分式方程的解，先解分式方程，求出分式方程的解，再根據分式方程

解的情況解答即可求解，正確求出分式方程的解是解題的關鍵.

【詳解】解：方程兩邊同時乘以尤T得，2=x-l-m,

解得x=m+3,

???分式方程言=1-羔的解為正數，

.-.m+3>0,

；.m>—3,

又W1,

即zn+3W1,

-,.mW—2,

.,?根的取值范圍為m>一3且mH-2,

故選：B.

3.（2024?黑龍江牡丹江?中考真題）若分式方程占=3-鼻的解為正整數，則整數機的值為.

【答案】-1

【分析】此題考查了分式方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數的值.

表示出方程的解，由解是正整數，確定出整數血的值即可.

【詳解】解：^=3—）

八f口XcmX

化間侍：=1=3+E，

去分母得：X=3（x-l）+mx,

移項合并得：（2+m）%=3,

2

解得：”=百？

由方程的解是正整數，得到%為正整數，即2+爪=1或2+爪=3,

解得：血=-1或血=1（舍去，會使得分式無意義）.

故答案為：-1.

O好題沖關O

號基礎過關

1.（2024?廣西賀州?三模）下列式子是分式方程的是（）

Ax+15c1,4久

A----=一R----------------

233x-l3x4-1

_x3.3—x?x—1

U2x-l+2x+l=1D.~+2=~

【答案】C

【分析】此題考查了分式方程，分母中含有未知數的有理方程是分式方程，據此進行判斷即可.

【詳解】解：A.亨=,是一元一次方程，故選項不符合題意；

B.3+券不是方程，故選項不符合題意；

oX-±OXT±

C.五三+高=1是分式方程，故選項符合題意；

D.r+2=9是一元一次方程，故選項符合題意.

故選：C.

2.（2024.海南省直轄縣級單位.二模）分式方程三=1的解是（）

A.x=1B.x=2C.x=3D.x=5

【答案】D

【分析】本題考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法，檢驗根是否符合題意是解題的關鍵.

根據去分母，去括號，移項，合并同類項，系數化為1,檢驗的方法解分式方程即可.

【詳解】解：缶=1

去分母得，x-3=2,

移項，合并同類項得，久=5,

檢驗，當x=5時，原分式方程中的分母不為零，

??.原分式方程的解為"=5,

故選：D.

3.（23-24八年級?全國?隨堂練習）將分式方程2+二=1去分母后，得（）

X—2x—2

A.3（x—2）+2x（x-2）=1B.3（%—2）+2x（x-2）=x—2

C.3+2x=1D.3+2%=x—2

【答案】D

【分析】本題考查了分式方程的解法，解決本題的關鍵是找到分式方程分母的最簡公分母，解題過程

注意不要漏乘.根據分式方程的解法步驟，找到最簡公分母比-2,方程左右兩邊分別乘最簡公分母即

【詳解】解：???5+三=1,

.,.3+2%=x—2,

故答案為D.

4.（23-24八年級上?內蒙古烏蘭察布?期末）李老師參加2023年烏蘭察布市冰雪之戀馬拉松健康跑（15千米）

項目，跑了一半后，他將平均速度提高到原來的1.2倍，結果提前6分鐘到達終點，求李老師原來的平

均速度是多少？設原來的平均速度為x千米/小時，根據題意可列方程為（）

7.57.5_17.57.5_1

x1.2x101.2%x10

7.57.5

【答案】A

【分析】本題考查由實際問題抽象出分式方程，解答本題的關鍵是明確題意，找出等量關系，列出相

應的方程.

【詳解】解：設原來的平均速度為x千米/小時，則跑了一半后的平均速度為12萬千米/小時，

P1n551

丁行=奇

故選：A.

5.（24-25八年級上?全國,期末）若關于x的分式方程*+總=2無解，則a的值為（）

A.1B.1或9

C.—1或：D.以上都不是

【答案】A

【分析】本題考查分式方程的解，熟練掌握分式方程的解法，根據分式方程無解，分兩種情況進行討

論是解題的關鍵.

根據分式方程"無解"，考慮兩種情況：第一種是分式方程化為整式方程時，整式方程有解，但是整式方

程的解會使最簡公分母為0,產生了增根.第二種情況是化為整式方程時，整式方程無解，則原分式方

程也無解.綜合兩種情況求解即可.

【詳解】解：隨+券=2

分式方程兩邊同乘以Q-3）得：

%—3a=2（%—3）

x=6—3a

令最簡公分母為0,即x-3=0,解得尤=3

.?.當6—3a=3,即a=l時，原分式方程產生增根，無解.

綜上所述可得：a=l時，原分式方程無解.

故選:A.

6.（23-24八年級下?山東德州?開學考試）某工廠現在平均每天比原計劃多生產50臺機器，現在生產400臺機

器所需時間比原計劃生產450臺機器所需時間少1天，設現在平均每天生產x臺機器，則下列方程正確的

是（）

400450?450400?

A-—^=1B.羨前一丁=1

400450

xx+1

【答案】B

【分析】本題主要考查了列分式方程，弄懂題意，找出正確的等量關系是解題的關鍵.

設現在平均每天生產x臺機器，則原計劃平均每天生產（x-50）臺機器，根據"現在生產400臺機器所需時

間比原計劃生產450臺機器所需時間少1天”列出方程即可.

【詳解】解：設現在平均每天生產％臺機器，則原計劃平均每天生產Q-50）臺機器，

故選：B.

7.（24-25九年級上?全國?課后作業）方程言=1的解為.

【答案】無=3

【詳解】方程兩邊同乘x+2,得5=x+2,解得久=3.

經檢驗：x=3時，x+2H0,二x=3是原分式方程的解.

8.（23-24八年級上?山東泰安?期末）師傅和徒弟兩人每小時共做40個零件，在相同時間內，師傅做了300

個零件，徒弟做了100個零件.師傅每小時做了多少個零件？若設師傅每小時做了尤個零件，則可列方

程為.

【分析】本題考查分式方程的應用；理解工程問題中：工作量=工作效率X工作時間的基本關系是解

題的關鍵.根據工作量=工作效率X工作時間，表示兩者各自完成零件所用的時間，時間相等構建方

程即可.

【詳解】解：師傅所用時間為出，徒弟所用時間為黑，于是

X4U-X

300_100

x40—%,

（2024?陜西西安?模擬預測）解方程：1+1

【分析】本題考查了解分式方程，熟練掌握知識點是解題的關鍵.

先去分母，轉化為解一元一次方程，再檢驗即可.

【詳解】解：去分母，得3(2%+1)+久(2x+1)=

去括號，得6x+3+2x2+x=2%2,

移項、合并同類項，得7x=-3,

系數化為L得x=—5

檢驗：當％=一亍時，%(2%+1)。0，

?2

.穴=一亍是原方程的解.

10.(2024?廣東清遠?模擬預測)廣東省第十六屆運動會于2022年11月在清遠市舉辦，吉祥物為"清清"，某

商家用1200元購進了一批運動會吉祥物，上市后供不應求，商家又用2800元購進了第二批運動會吉

祥物，所購數量是第一批購進量的2倍，但單價貴了5元.求該商家購進的第一批吉祥物多少個？

【答案】該商家第一批購進40個吉祥物.

【分析】設該商家第一批購進x個吉祥物，則第二批購進2x個吉祥物，利用單價=總價+數量，結合

第二批購進吉祥物的單價比第一批貴了5元，可列出關于％的分式方程，解之經檢驗后，即可得出結論.

本題考查了分式方程的應用，根據各數量之間的關系，正確列出分式方程是解題的關鍵.

【詳解】解：設該商家第一批購進x個吉祥物，則第二批購進2x個吉祥物,

根據題意得：嚶-粵=5,

解得：x=40,

經檢驗，久=40是所列方程的解，且符合題意.

答：該商家第一批購進40個吉祥物.

交0)能力提升

1.(23-24七年級下?安徽亳州?期末)若關于x的分式方程占-鼻=2的解為正數，則優的取值范圍是

()

A.m<—2B.m>—2且1

C.m>—2D.m<2且?n41

【答案】B

【分析】此題考查了利用分式方程的解求參數的取值范圍，正確求解分式方程并掌握分式的分母不等

于零的性質是解題的關鍵.先求出分式方程的解，根據關于％的分式方程占-三=2的解為正數，分式

有意義的條件，可得2+根>0且2+znHl,進而求解即可.

【詳解】解：???冷―三二2,

x+m=2(x-l),

?,?％=2+TH,

???關于％的分式方程上-三=2的解為正數，

x>0且第一1H0,即久>0,%W1,

2+m>0且2+m。1,

?,.m>—2且mW—1,

故選：B.

2.(24-25八年級上,重慶,期中)若關于x的不等式組爰無解，且關于y的分式方程號+言=2

的解為正整數，則所有滿足條件的整數。的值之和為()

A.-12B.-11C.-10D.—9

【答案】D

【分析】本題主要考查解一元一次不等式組，解分式方程，由不等式組無解，解得aW2,

解分式方程號+晝=2得，y=曾，進而得到a=2、-1、-4、-7,即可得解，本題特別要注意分

式有意義的條件.

【詳解】解：.??關于x的不等式組心［221瑞，

???由①得，%<-2,

由②得，x>-a,

???原不等式組無解，

一CL'一2,

解得，a<2,

解分式方程*'+9^=2得，y=—

???分式方程的解為正整數，

=2、-1、一4、一7,

vy—3豐0,

/.a。—1,

綜上，。=2、—4、—7,

?*?2+(—4)+(—7)=-9,

故選：D.

3.(24-25八年級上?山東日照?階段練習)小東一家自駕車去某地旅行，手機導航系統推薦了兩條線路，線

路一全程75km,線路二全程90km,汽車在線路二上行駛的平均時速是線路一上車速的1.8倍，線路二

的用時預計比線路一用時少半小時，如果設汽車在線路一上行駛的平均速度為久km/h,則下面所列方程

正確的是（）

*7590,1?75901

x1.8%2%1.8x2

7590.1-75901

C----=-----——D----=-------

*1.8%x2*1.8%x2

【答案】A

【分析】本題考查了分式方程解決實際問題，設汽車在線路一上行駛的平均速度為尤km/h,則在線路

二上行駛的平均速度為1.8xkm/h,根據線路二的用時預計比線路一用時少半小時，列方程即可.

【詳解】解：設汽車在線路一上行駛的平均速度為xkm/h,則在線路二上行駛的平均速度為1.8xkm/h,

由題意得，

75_901

~-1.8%+2，

故選：A.

Z7—17

4.（2024八年級上?全國?專題練習）關于x的分式方程二7-W=0的解是負數，則。的取值范圍是（）

4X+2

A.a<—3B.a<3

C.aV—3且a。一7D.a<3且aW1

【答案】C

【分析】本題考查分式方程的解.去分母,方程兩邊同時乘以（久+2）0-2），得a-l-2（x—2）=0,則

x=竽，再根據該方程的解是負數得a<-3,然后根據％=±2是該方程的增根得出a=La=-7,據

此可得a的取值范圍.

【詳解】解：陰一總=0，

X—4x+2.

去分母，方程兩邊同時乘以（x+2）Q—2），得：a-l-2（x-2）=0,

解得：久=竽，

???該方程的解是負數，

a+3C

.■—<0,

解得：a<—3,

?.這=±2是該方程的增根，

.,?%=2時，~Y~=2,解得：a=1,

當％=—2時，=—2,解得：a=—7,

綜上所述：a的取值范圍是：。<一3且。。一7.

故選：C.

5.（24-25八年級上?河北唐山?期中）對于兩個不相等的實數a,b,規定：max{a力}表示a,b中的較大值,

如max{2,4}=4,按照這個規定，方程max{一;號=白的解為（）

A.x——3B.x=3C.x=1或x=—3D.x=1或久=3

【答案】C

【分析】本題考查了解分式方程.理解題意，熟練掌握解分式方程是解題的關鍵.

由題意知，當x>0時，=即工=R,計算求出滿足要求的解即可；當x<0時,

IXXJX3—xX3—X

max1」,斗=一：=三，即一：=三，計算求出滿足要求的解即可.

IXxJ3XXctjC

【詳解】解：當x〉0時，max{_二4=工=二，

IXrXJX3-x

.1_2

"x3—xf

3—%=2%,

解得，%=1,

經檢驗，％=1是原分式方程的解，且滿足題意；

當久<°時,max{—1：}=—；=三，

1_2

*,x3—x9

—(3—%)=2%,

解得，％=-3,

經檢驗，％=-3是原分式方程的解，且滿足題意;

綜上所述，X=1或久=一3,

故選：C.

6.(22-23七年級下?安徽合肥?期末)有一并聯電路，如圖所示，兩電阻阻值分別為%,/?2,總電阻值為凡

一ill

三者關系為：-=+若已知R,R2,則％二.

【答案】黑

K2K

ill

【分析】由五=后+瓦兩邊同乘以RR1R2得&夫2=RR2+曲上得到曲&―R1R=RR2，進一步運算即可

得到答案.

【詳解】解：31=1K+1瓦

兩邊同乘以RRiRz得，&&=R&+&R，

■■-R1R2-R1R=RR2>

則RlR—R)=RR2，

?R=

故答案為：《怎.

【點睛】此題考查了分式方程，得到R1（&-R）=RR2是解題的關鍵.

7.（22-23八年級上?湖南岳陽?期中）若方程25+4=1有增根，則方程的增根是

【答案】%=2

【分析】根據分式方程的增根是分母為0時x的值進行求解即可.

【詳解】解：???方程為+￡=1有增根，

;.x—2=0,

/.%=2,

故答案為：%=2,

【點睛】本題主要考查了求分式方程的增根，熟知分式方程的增根即為分母為0時未知數的值是解題

的關鍵.

8.（24-25九年級上?重慶?階段練習）若數〃?使關于x的一元一次不等式組｛"+?］晉-2的解集是％＜根,

且使關于y的分式方程鬻+言=1有非負整數解，則符合條件的所有整數m的值之和為—.

【答案】2

【分析】本題主要考查解一元一次不等式組以及解分式方程，先解關于x的一元一次不等式組

『+普一2的解集是刀＜小，可得小＜5.再解關于y的分式方程箸+==1,可得丫=學.因為

IA、11LyJyz

該分式方程有非負整數解，所以可推斷出整數小的值.

【詳解】解：由％+8＞3%—2,得%V5.

,??關于x的一元一次不等式組產+?］著-2的解集是％＜小,

m＜5.

丫十一,2y

???y-3T+3o--y=1，

???y+m—2y=y—3.

3+m

-'-y=—

又???關于y的分式方程譚+言=1有非負整數解且加為整數,

等是非負整數且等大3.

m——3或m=—1或m=1或?n=5.

符合條件的ni的和為—3+（-1）+1+5=2.

故答案為：2.

9.（24-25八年級上?河北唐山?期中）山地自行車越來越受到中學生的喜愛，各種品牌相繼投放市場，某車行

經營的n型車去年銷售總額為5萬元，今年每輛銷售價比去年降低400元，若賣出的數量相同，銷售

總額將比去年減少20%.

⑴今年4型車每輛售價多少元？

(2)該車行計劃新進一批/型車和新款8型車共60輛，要使這批車獲利不少于33000元，A型車至多進

多少輛？4,8兩種型號車的進貨和銷售價格如表：

A型車B型車

進貨價格(元)11001400

銷售價格(元)今年的銷售價格2000

【答案】⑴1600

(2)30

【分析】本題考查一次函數的應用，列分式方程解應用題，讀懂題目，找出題目中的等量關系列出方

程是解題的關鍵.

(1)設今年4款車的每輛售價x元，則去年每輛售價為Q+400)元，由賣出的數量相同建立方程求出

其解即可；

(2)設今年新進力型車a輛，則2型車(60-a)輛，獲利不少于33000元，由條件表示出33000與a之間

的關系式，進而得出答案.

【詳解】(1)解：設今年/型車每輛售價x元，則去年每輛售價Q+400)元，由題意得：

50000_50000(1-20%)

x+400-x

解得x=1600,

經檢驗符合題意且工=1600是所列方程的根.

答：今年/型車每輛售價為1600元.

(2)解：設購進4型車a輛，則購進B型車(60-砌輛，依題意可得

(1600-1100)?+(2000—1400)(60—a)>33000,

解得aW30.

型車至多購進30輛.

10.(24-25八年級上?河北承德?階段練習)定義：如果兩個分式M與N的和為常數匕且人為正整數，則稱

M與N互為"和整分式"，常數k稱為"和整數值".例如，M=W，N=&M+N=2+a=1,

則M與N互為"和整分式"，"和整數值"k=1.

(1)已知分式4=三|,-=(￡常斗,判斷/與2是否互為"和整分式"，若是，請求出"和整數值"；若

不是，請說明理由；

(2)已知分式。=當，D=±,C與。互為"和整分式"，且"和整數值7=3.

X—2xz—4

①求P所代表的代數式；

②若分式D的值為正整數，求正整數x的值.

【答案】⑴/與3互為"和整分式"，"和整數值”=2.

(2)①P=-2x-4,②1

【分析】本題考查了分式的混合運算，解分式方程，理解題意是解此題的關鍵.

(1)先計算力+B,再根據結果即可得解；

(2)①求出C+D,結合題意得出3X2+2x—8+P=3(x+2)(x—2)，計算即可得解；②先求出。，再

結合題意計算即可得解.

【詳解】⑴解：必=巖，3=曲片，

.cx—7x2+6%+9

(x+3)(x-2)

x—7(%+3)2

x—2.(%+3)(%-2)

x—7%+3

2x—4

x—2

2(x-2)

x—2

=2,

以與5互為〃和整分式〃，和〃整數值7=2；

QY_4P

⑵解：c=kD=K

3r—4P(3x-4)(x+2)P3x2+2x—8+P

+Q+2)Q-2)

?.?C+D=』+K(x+2)(x—2)(x+2)(x-2)

???C與。互為”和整分式〃，且〃和整數值〃々=3,

2

3X+2X—8+P、nno2Ino?nc、,八、

???(x+2)(x-2)=3即3x+2x-8+P=3(久+2)。-2)，

■-P=3(%2—4)—(3%2+2x—8)——2x—4；

分力=上=FT=-2(X+2)=2

X2-4—(x+2)(x-2)—(x+2)(x-2)—x-2‘

若分式。的值為正整數，

■■x—2=-1或x—2=—2,

解得x=l或久=0(舍去),

二正整數x的值為L

真題感知

1.(2024?海南?中考真題)分式方程」5=1的解是()

x—2

A.%=3B.%=-3C.x=2D.x=-2

【答案】A

【分析】本題主要考查了解分式方程，先把分式方程去分母化為整式方程，再解方程，最后檢驗即可.

【詳解】解：3=1

去分得：1-x-2,

解得x=3,

檢驗，當久=3時，x—20,

?==3是原方程的解，

故選：A.

2.（2024?寧夏?中考真題）數學活動課上，甲，乙兩位同學制作長方體盒子.已知甲做6個盒子比乙做4個

盒子少用10分鐘,甲每小時做盒子的數量是乙每小時做盒子的數量的2倍.設乙每小時做久個盒子，根

據題意可列方程（

46.64.46106410

A.———=10BC-------=—

x2x-嚏—五=1°x2x60D。x~2x~60

【答案】C

【分析】本題考查了分式方程的實際應用，設乙每小時做x個盒子，根據"甲每小時做盒子的數量是乙每

小時做盒子的數量的2倍"，則甲每小時做2x個盒子，根據"甲做6個盒子比乙做4個盒子少用10分鐘”,

列出方程:卷即可.

【詳解】解：設乙每小時做比個盒子，則甲每小時做2萬個盒子,

由題意得：=

故選：C.

15

3.（2024?山東濟寧?中考真題）解分式方程1:時，去分母變形正確的是（）

3x—12—6x

A.2—6%+2=-5B.6%—2—2=-5

C.2—6%—1=5D.6%—2+1=5

【答案】A

【分析】本題考查通過去分母將分式方程轉化為整式方程，方程兩邊同乘各分母的最簡公分母，即可去

分母.

【詳解】解：方程兩邊同乘2-6久，得2—6x-（2-6久）X羨、=-了三X（2—6x），

整理可得：2-6“+2=-5

故選：A.

4.（2024?內蒙古呼倫貝爾?中考真題）4,8兩種機器人都被用來搬運化工原料，/型機器人比2型機器人

每小時多搬運30千克，4型機器人搬運900千克所用時間與B型機器人搬運600千克所用時間相

等.A,2兩種機器人每小時分別搬運多少干克化工原料？（）

A.60,30B.90,120C.60,90D.90,60

【答案】D

【分析】本題考查了分式方程的應用，設3型機器人每小時搬運x千克，則/型機器人每小時搬運Q+30）

千克，根據7型機器人搬運900千克所用時間與B型機器人搬運600千克所用時間相等"列分式方程求

解即可.

【詳解】解：設8型機器人每小時搬運x千克，則N型機器人每小時搬運（x+30）千克，

根據題意，得翳=弊，

解得x=60,

經檢驗，久=60是原方程的解，

：.x+30=90,

答：/型機器人每小時搬運90千克，8型機器人每小時搬運60千克.

故選：D.

5.（2024?四川廣元?中考真題）我市把提升城市園林綠化水平作為推進城市更新行動的有效抓手，從