類型6方案設計題

1.方案設計型題是通過設置一個實際問題情景，給出若干信息，提出解決問題的要求，要求考生運用學過的技

能和方法，進行設計和操作，尋求恰當?shù)慕鉀Q方案.有時也給出幾個不同的解決方案，要求判斷哪個方案較優(yōu)，它主

要有經(jīng)濟類方案設計題，測量類方案設計題，分割與網(wǎng)格方案設計題.

2.方案設計題屬于應用性開放問題.因為它貼近生活，具有較強的操作性和實踐性，解決此類問題時要慎于思考，

并能在實踐中對所有可能的方案進行羅列與分析，得出符合要求的一種或幾種方案.

3.一般有多種供選擇的解決問題的方案，但在實施中要考慮到經(jīng)濟因素，此類問題類似于求最大值或最小值的

問題，但解決的方法較多，一般與方程、不等式、函數(shù)的內(nèi)容有關.

4.一般限定條件，限定測量工具，讓同學們設計一個可行的方案，對某一物體的長度進行測量并計算，大多數(shù)

以利用直角三角形進行求解，要注意的是設計出來的方案要有可操作性.

5.操作類圖案設計題包含的內(nèi)容比較多，如擴建方案設計、拼圖方案設計、分割方案設計、鑲嵌方案設計、面

積分割方案設計、分割與拼圖方案設計、鋪設方案設計、網(wǎng)格圖案設計等，它把作圖的技能考查放在一個實際生活

的大背景下，考查考生的綜合創(chuàng)新能一力，給考生的創(chuàng)造性思維提供了廣闊的空間與平臺，此類題常以某些規(guī)則的

圖形，如等腰三角形、菱形、矩形、圓等，通過某些輔助線，將面積分割或分割后拼出符合某些條件的圖形.

【例11如圖是由小正方形組成的9x6網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫作格點.△ABC的三個頂點都是格點.僅用

無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖，畫圖過程用虛線表示.

⑴在圖1中,D,E分別是邊AB,AC與網(wǎng)格線的交點.先將點B繞點E旋轉(zhuǎn)180。得到點F,畫出點F,再在AC

上畫點G,使DG〃:BC;

(2)在圖2中，P是邊AB上一點/BAC=a.先將AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)2%得到線段AH,畫出線段AH,

再畫點Q,使P,Q兩點關于直線AC對稱.

【解】⑴畫圖如圖1

⑵畫圖如圖2

圖2

注：圖1中BF可以不畫，?點G可以用平行線生成分點的方法畫出.

[例2]2021年，“廣漢三星堆”又有新的文物出土，景區(qū)游客大幅度增長.為了應對暑期旅游旺季，方便更多的

游客在園區(qū)內(nèi)休息，景區(qū)管理委員會決定向某公司采購一批戶外休閑椅.經(jīng)了解,該公司出售弧形椅和條形椅兩種類

型的休閑椅，已知條形椅的單價是弧形椅單價的0.75倍，用8000元購買弧形椅的數(shù)量比用4800元購買條形

椅的數(shù)量多1。張.

(1)弧形椅和條形椅的單價分別是多少元？

(2)已知一張弧形椅可坐5人，一張條形椅可坐3人，景區(qū)計劃共購進300張休閑椅，并保證至少增加1200

個座位.請問：應如何安排購買方案最節(jié)省費用？最低費用是多少元？

【解】⑴設弧形椅的單價為x元，則條形椅的單價為0.75x元,

由題意得理=辭+10

解得x=16。

經(jīng)檢驗，x=160是原分式方程的解，且符合題意.

；.0.75x=120(元).

答：弧形椅的單價為160元/張,條形椅的單價為120元/張

(2)設購進弧形椅m張，則購進條形椅(300-m)張，

由題意得5m+3(300-m)>l200,

解得mN150.

設購買休閑椅所需的費用為W元，

貝！IW=160m+120(300-m),

即w=40m+36000.

VW隨m的增大而增大，

當m=150時,W有最小值,W最小=40x150+36000=42000（元）.

答：購進150張弧形椅，150張條形椅最節(jié)省費用，最低費用是42000元.

1.甲工廠將生產(chǎn)的I號、II號兩種產(chǎn)品共打包成5個不同的包裹，編號分別為A,B,C,D,E,每個包裹的

重量及包裹中I號、II號產(chǎn)品的重量如下：

包裹編號I號產(chǎn)品重量/噸II號產(chǎn)品重量/噸包裹的重量/噸

A516

B325

C235

D437

E358

甲工廠準備用一輛載重不超過19.5噸的貨車將部分包裹一次運送到乙工廠.

⑴如果裝運的I號產(chǎn)品不少于9噸，且不多于11噸，寫出一種滿足條件的裝運方案（寫出要裝運包

裹的編號）；

（2）如果裝運的I號產(chǎn)品不少于9噸，且不多于11噸，同時裝運的II號產(chǎn)品最多，寫出滿足條件的裝運方案—

（寫出要裝運包裹的編號）.

2.圖1,圖2都是由邊長為1的小等邊三角形構成的網(wǎng)格，每個小等邊三角形的頂點稱為格點，線段AB的端

點均在格點上，分別按要求畫出圖形.

（1）在圖1中畫出等腰三角形ABC,且點C在格點上.（畫出一個即可）

⑵在圖2中畫出以AB為邊的菱形ABDE,且點D,E均在格點上.

3.為了提高廣大職工對消防知識的學習熱情，增強職工的消防意識，某單位工會決定組織消防知識競賽活動，

本次活動擬設一、二等獎若干名，并購買相應獎品.現(xiàn)有經(jīng)費1275元用于購買獎品，且經(jīng)費全部用完，已知一等獎

獎品單價與二等獎獎品單價之比為4:3.當用600元購買一等獎獎品時，共可購買一、二等獎獎品25件.

⑴求一、二等獎獎品的單價；

（2）若購買一等獎獎品的數(shù)量不少于4件且不超過10件，則共有哪幾種購買方式？

4.如圖，在6x4的方格紙ABCD中,請按要求畫格點線段(端點在格點上)，且線段的端點均不與點A,B,C,D

重合.

⑴在圖1中畫格點線段EF,GH各一條，使點E,F,G,H分別落在邊AB,BC,CD,DA上，且EF=GH,EF不平行GH.

(2)在圖2中畫格點線段MN,PQ各一條，使點M,N,P,Q分別落在邊AB,BC,CD,DA上，且PQ=店MN.

A..................................D.A——D.

r--j——|……>——?|[……F--H……?……卜—彳

!__J___1__

B圖1°B圖2°

5.如圖①，要在一條筆直的路邊1上建一個燃氣站，向1同側(cè)的A,B兩個城鎮(zhèn)分別鋪設管道輸送燃氣.試確

定燃氣站的位置，使鋪設管道的路線最短.

-B

A

圖①

圖②

⑴如圖②作出點A關于1的對稱點A；線段AB與直線1的交點C的位置即為所求，即在點C處建燃氣站,

所得路線ACB是最短的.

為了證明點C的位置即為所求,不妨在直線1上另外任取一點C；連接AC；BC,證明AC^CB<AC，+C'B..

請完成這個證明.

?8

生態(tài)保護區(qū)

L__

(2)如果在A,B兩個城鎮(zhèn)之間規(guī)劃一個生態(tài)保護區(qū)，燃氣管道不能穿過該區(qū)域.請分別給出下列兩種情形的鋪設

管道的方案(不需說明理由).

①生態(tài)保護區(qū)是正方形區(qū)域，位置如圖③所示；

②生態(tài)保護區(qū)是圓形區(qū)域，位置如圖④所示.

壓軸預測

1.如圖，在平面直角坐標系中，△ABC三個頂點的坐標分別為A(1,1),B(4,2),C(3,5).

⑴請畫出4ABC關于x軸的對稱圖形△AiBiCi;

⑵以。為位似中心，在第三象限內(nèi)畫出△ABC的位似圖形△A2B2C2，目位似比為1;

⑶借助網(wǎng)格，利用無刻度直尺畫出線段CD,使CD平分△ABC的面積.(保留確定點D的痕跡).

2.某公司在甲、乙工廠代工同一產(chǎn)品，表1是兩個工廠產(chǎn)品的收費標準，表2是兩個工廠的代工記錄(a,b為

常數(shù)，m,n都為不大于10的正整數(shù))，代工費用由加工費和制版費兩部分組成，制版費與件數(shù)無關.已知甲、乙兩

工廠第一次代工合計500件，且兩工廠收費相同.

表1

收費內(nèi)容

單件加工費制版費

工廠

甲10元2000元

乙25元0

表2

時間甲工廠代工記錄乙工廠代工記錄

第一次a件b件

第二次(a+100m)件(b+100n)件

⑴求a,b的值;

(2)若m+n=12,第二次分配到甲工廠的代工件數(shù)小于分配到乙工廠的代工件數(shù)的2倍，求甲、乙兩工廠第二次

代工總費用的最小值；

(3)若甲工廠代工效率為20件每小時，乙工廠代工效率為40件每小時，第二次甲、乙兩工廠代工總費用估計在

42000到44000元之間(包括42000,44000),求出所有滿足條件的代工分配方案，并指出哪種方案代工

總時長最短.

3.問題提出

⑴如圖1,在口ABCD中,NA=45°,AB=8,AD=6,E是AD的中點點F在DC上，且DF=5.求四邊形ABFE的

面積.(結(jié)果保留根號)

問題解決

⑵某市進行河灘治理，優(yōu)化美化人居生態(tài)環(huán)境.如圖2所示，現(xiàn)規(guī)劃在河畔的一處灘地上建一個五邊形河畔公

園ABCDE.按設計要求，要在五邊形河畔公園ABCDE內(nèi)挖一個四邊形人工湖OPMN，使點O、P、M、N分別在

邊BC、CD、AE、AB上,且滿足BO=2AN=2CP,AM=OC.已知在五邊形ABCDE+,ZA=ZB=ZC=90°,AB=800

m,BC=l200m,CD=600m,AE=900m.為滿足人工湖周邊各功能場所及綠化用地需要，想讓人工湖面積盡可能小.

請問，是否存在符合設計要求的面積最小的四邊形人工湖OPMN?若存在，求四邊形OPMN面積的最小值及這時

點N到點A的距離；若不存在，請說明理由.

D

C

圖1

類型6方案設計題

l.（l）ABC（或ABE或AD或ACD或BCD或ACE,本題答案不唯一，寫出一組即可）；（2）ACE【解析】本題

考查方案的選擇.由題意，選擇ABC時，裝運的I號產(chǎn)品重量為5+3+2=10（噸），總重6+5+5=16<19.5（噸），符合要求；

選擇ABE時,裝運的I號產(chǎn)品重量為5+3+3=11（噸），總重6+5+8=19<19.5（噸），符合要求:選擇AD時,裝運的I號產(chǎn)品重

量為5+4=9（噸），總重6+7=13<19.5（噸）,符合要求；選擇ACD時,裝運的I號產(chǎn)品重量為5+2+4=11（噸），總

重6+5+7=18<19.5（噸），符合要求；選擇BCD時，裝運的I號產(chǎn)品重量為3+2+4=9（噸），總重5+5+7=17<19.5（噸），符合

要求;選擇DCE時,裝運的I號產(chǎn)品重量為4+2+3=9（噸），總重7+5+8=20>19.5（噸）,不符合要求;選擇BDE時,裝運的I

號產(chǎn)品重量為3+4+3=10（噸），總重5+7+8=20>19.5（噸）,不符合要求;選擇ACE時,裝運的I號產(chǎn)品重量為5+2+3=10

（噸）.總重6+5+8=19<19.5（噸）,符合要求綜上，滿足條件的裝運方案不唯一，可能是ABC或ABE或AD或AC

D或BCD或ACE;⑵選擇ABC時,裝運的II號產(chǎn)品重量為1+2+3=6（噸）;選擇ABE時,裝運的II號產(chǎn)品重量為1+2+

5=8（噸）;選擇AD時,裝運的II號產(chǎn)品重量為1+3=4（噸）;選擇ACD時,裝運的II號產(chǎn)品重量為1+3+3=7（噸）;選擇BC

D時,裝運的II號產(chǎn)品重量為2+3+3=8（噸）;選擇ACE時,裝運的II號產(chǎn)品重量為1+3+5=9（噸）.綜上，滿足條件的裝

運方案為ACE.

2.（1）略⑵略

（1）結(jié)合所給直線及等腰三角形的判定即可作圖；（2）結(jié)合所給直線及菱形的判定即可作圖.

解：⑴答案不唯一.

⑵

E

3.(1)一等獎獎品單價為60元，二等獎獎品單價為45元⑵共有三種方案：一等獎獎品4件，二等獎獎品23

件；一等獎獎品7件，二等獎獎品19件；一等獎獎品10件，二等獎獎品15件.

(1)設一等獎獎品單價為4a元，二等獎獎品單價為3a元，根據(jù)相等關系列分式方程求解，注意要對方程的解

進行檢驗；⑵設購買一等獎獎品為x件，二等獎獎品為y件，根據(jù)題意列出二元一次方程，根據(jù)4<x<10及二元一

次方程的整數(shù)解得出購買方案.

解：⑴設一等獎獎品單價為4a元，二等獎獎品單價為3a元，

根據(jù)題意：羅+宇=25,化簡得￡+2=1,

4a3aaa

解得a=15，經(jīng)檢驗a=15為所列方程的根.

答：一等獎獎品單價為60元，二等獎獎品單價為45元.

⑵設購買一等獎獎品為x件，二等獎獎品為y件.

由題意得,60x+45y=1275,即4x+3y=85,

V4<x<10,

符合條件的為：x=4,y=23;

x=7,y=19;x=10,y=15.

..?共有三種方案：

一等獎獎品4件，二等獎獎品23件；

一等獎獎品7件，二等獎獎品19件；

一等獎獎品10件，二等獎獎品15件.

4.⑴略⑵略

⑴利用勾股定理可確定四個點的位置，但需保證兩直線不平行；⑵先計算兩條線段的長度，再在方格紙上作

圖.

解：⑴畫法不唯一，如圖1或圖2等.

⑵畫法不唯一，如圖3或圖4等.

5.(1)略⑵略

(1)連接AC,可得(CA=C4,,可得AC+CB=AB,同理可得AC+C'B=A'C+C'B,,利用三角形三邊的關系即

可得證；⑵①首先確定鋪設的管道經(jīng)過點D,再利用⑴的方法作圖即可得最短線路；②先分別過點B和點A，作

圓的切線，確定切點為管道經(jīng)過的點，再利用兩切點之間的圓弧和(1)的結(jié)論可得最短線路.

解:⑴證明:如圖①，連接AC

圖①

'''點A,A，關于1對稱，點C在1上,

.\CA=CA'.

???AC+CB=A'C+CB=A'B.

同理AC+C'B=A'C+C'B.

???A'B<A'C+C'B,

???AC+CB<AC+C'B.

⑵①在點C處建燃氣站，鋪設管道的最短路線是ACDB(如圖②，其中D是正方形的頂點).

圖②

②在點C處建燃氣站，鋪設管道的最短路線是ACD+^DE+EB如圖③，其中CD,BE都與圓相切).

壓軸預測

1.(1)略⑵略(3)略

解:⑴△AiBiCi即為所求.

(2)AA2B2C2即為所求.

(3)連接格點MN,交AB于點D,連接CD.根據(jù)矩形性質(zhì)可得D即為AB的中點，,CD即為所求

2.(l)a=300,b=200(2)28000⑶當/=吧，時，代工總時長最短，為80小時

(1)根據(jù)題意列出方程組，求解即可；⑵設第二次代工總費用為w元，列出W關于m的函數(shù)關系式，利用一

次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合m的取值范圍即可求出最小值；⑶根據(jù)題意列出不等式，得出m和n的值，結(jié)合代工效率可

求出代工總時長最短時的方案.

解,(1)由題音得［a+b=5。。，解得fa=300,

用牛,⑴出弘W10a+2000=25b,kb=200.

(2)設第二次代工總費用為W元.

Vm+n=12,

AW=10(300+100m)+2000+25(200+100n)

=10000+1000m+2500n

二40000-1500m.

300+100m<2(200+1OOn),

,25

???m<——.

3

V-1500<0,

.*.w隨m的增大而減小.

又為正整數(shù)，

.?.當m=8時,W有最小值，Wi0=28000.

(3)由題意得10(300+100m)+2000+25(200+100n)=10000+1000m+2500n.

：.42000<10000+1000m+2500n<44000,

64<2m+5n<68.

；m,n均為不大于10的正整數(shù)，

產(chǎn)=10,產(chǎn)=10,產(chǎn)=10.(〃=9,

Im=7,Im=8f\m=lm=10.

/IY-r-_iix,300+100771,200+100?!c八-5

代工n時長一--+--—=

ZU4UZ20+5m+-n,

當『=時，代工總時長最短，為80小時.

3.(1)半⑵存在，四邊形OPMN面積的最小值為470000irf,此時點N到點A的距離為350m

(1)根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求得平行四邊形在AB邊上的高，再用平行四邊形ABCD的面積減去ADEF與

△BCF的形面積之和即可求解；(2)構造矩形ABCF,設AN=x,用x表示相關線段長度，再利用含x的代數(shù)式表示

四邊形OPMN的面積，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得面積的最小值.

解:⑴解法一：在口ABCD中，設AB邊上的高為h.

VAD=6,ZA=45°,h=ADsin45°=3V2

,/EA=ED,點E到DC的距離為h/2.

,四邊形ABFE=SABCD-ISDEF+SBC，F(xiàn))

=AB-h-(--DF--+--FC-h]

\222)

=24V2-(^V2+|V2)

_63V2

一41

解法二：如圖，在口ABCD中，設AB邊上的高為h.

VAD=6,ZDAB=45°,

h=XOsin45°=3V2.

連接AEF的高FG.

由已知狷DC〃AB.

/.ZGDF=ZDAB=45°.

FG=F￡)sin45°=—.

2

S四邊形ABFE—'/HF+^AEF

11

=-AB-h+-AE-FG

22

1、C。，16、5V2

=-x8x3v24—x-x—

2222

63A/2

4

⑵解法一：存在.如答案圖，分別延長AE與CD,交于點F.

則四邊形ABCF是矩形.

設AN=x,

則PC=x,BO=2x,BN=800-x,

AM=OC=1200-2X.

由題意,易知MF=BO,PF=BN.

：?S內(nèi)邊唐GPMN=Ss-JBA/KT-S&V/M—S△HW一S.(TO-

=800