專題07導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

目錄

易錯點01對導(dǎo)數(shù)的概念理解不到位

易錯點02錯用函數(shù)的求導(dǎo)法則

易錯點03混淆“在某點”和“過某點”切線的區(qū)別

易錯點04利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間忽略定義域

易錯點05混淆極值點與導(dǎo)數(shù)等于零的點的區(qū)別

易錯點06已知單調(diào)性求參數(shù)時混淆條件

易錯點07判斷函數(shù)零點個數(shù)時畫圖出錯

易錯點01：對導(dǎo)數(shù)的概念理解不到位

叁易錯陷阱與避錯攻略

典例⑵-25高二上?全國?課后作業(yè)）若函數(shù)小）可導(dǎo)，則處/"黑"⑴等于（）

A.-2/⑴B.|/'（1）C.-|r（l）D./色

【答案】C

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義即可求解.

[詳解】i/(1-Ax)-/(1)/[l+(-Ax)]-/(l)

im--lim

以―。2Ax2Ax.0_Ax

故選：C

【易錯剖析】

在解題時要注意r(x0)=lim^=lim"玉+盤）一"%），本題容易忽略分母不是分子函數(shù)值對應(yīng)自變

Ax.02°Ax

量的差而出錯.

【避錯攻略】

1,導(dǎo)數(shù)的概念

+Ax)-/(Xo)

函數(shù)仆）在X=X。處瞬時變化率是典普=典,我們稱它為函數(shù)y=〃x）在x=%

Ax

處的導(dǎo)數(shù)，記作/'（%）或.

【解讀】①增量Ax可以是正數(shù)，也可以是負(fù)，但是不可以等于0.ArfO的意義：Ax與0之間距離要

多近有多近，即|Ax-O|可以小于給定的任意小的正數(shù);

②當(dāng)Ax->0時，勺在變化中都趨于0,但它們的比值卻趨于一個確定的常數(shù)，即存在一個常數(shù)與

加=+Ax)-/(xo)

無限接近;

AxAx

③導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)就是函數(shù)的平均變化率在某點處的極限，即瞬時變化率.如瞬時速度即是位移在這一時

刻的瞬間變化率，即/(x0)=lim?=lim/(Xo+Ax)-/(Xo)

Axf0/\xAx-0Ax

2.幾何意義

函數(shù)V=在x=/處的導(dǎo)數(shù)f'(x0)的幾何意義即為函數(shù)了=/(%)在點尸(不，%)處的切線的斜率.

3.物理意義

函數(shù)S=5(0在點t0處的導(dǎo)數(shù)s'?o)是物體在t0時刻的瞬時速度v,即V=s'?o)；V=V(O在點t0的導(dǎo)

數(shù)M(%)是物體在。時刻的瞬時加速度。，即。=M%).

易錯提醒：("伍)=㈣2=杷小。+弋一/口要注意定義式中的分母一定是分子兩個函數(shù)值

對應(yīng)自變量的差，如果不是要通過調(diào)整系數(shù)實現(xiàn)對應(yīng)；(2)/'(%)的代數(shù)意義表示函數(shù)/(x)在/處的瞬時

變化率；(3)f'(x0)的幾何意義表示曲線y=/(x)在x=X。處切線的斜率.

舉一反三

1.(24-25高二上?全國?課后作業(yè))若可導(dǎo)函數(shù)/(x)的圖象過原點，且滿足=則/'(0)等于

-Ax

()

A.-2B.2C.-1D.1

2.(24-25高二下?全國?課后作業(yè))如果函數(shù)y=在x=l處的導(dǎo)數(shù)為1,那么lim止土上四=()

一。2x

A.yB.1C.2D.；

3.(24-25高二下?河北石家莊?階段練習(xí))設(shè)函數(shù)/(x)在點x°附近有定義，且有

2

/(X0+AX)-/(X0)=<7AX+6(AX)(Q,6為常數(shù))，貝!1()

A.f\x)=aB.f[x)=bC./國)=。D.f[x^=b

易錯題通關(guān)

1.（24-25高二上?全國?課后作業(yè)）若/'（x°）=-2,則鬲「k。）-4>+.）=（）

Ax

A.-1B.-2C.1D.2

2.（24-25高三上?廣西玉林?期中）設(shè)〃x）是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，若盟〃/一?一〃/）=2。（°為常

數(shù)），則/'（%）=（）

A.-2aB.2aC.-〃D.a

3.（2025高三?全國?專題練習(xí)）已知函數(shù)〃x）=xlnx,則lim""一）一/⑴的值為（）

心—0Ax

A.2eB.0C.1D.e

4.（24-25高三上?上海?期中）若函數(shù)了=/（幻在X=無。處的導(dǎo)數(shù)等于。，則1曲上以至上9的值為

-Ax

（）

1

A.0B.-aC.aD.2Q

2

5.（24-25高三上?貴州貴陽?階段練習(xí)）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a,6）內(nèi)可導(dǎo),且x0e（a,6）,則

1而〃/）一〃/+〃）的值為（）

20h

A.r（x0）B.2/'（x。）C.-2/（x0）D.

6.（23-24高二下?福建龍巖?階段練習(xí)）已知函數(shù)在x=處可導(dǎo)，且二/（%）=3,則

故一。2Ax

/'（%）=（）

3

A.-3B.-2C.——D.2

2

7.（24-25高二?全國?課后作業(yè)）（多選）若函數(shù)/（x）在x=x0處存在導(dǎo)數(shù)，則lim/（x°+"）一"%）的值

小。h

()

A.與無。有關(guān)B.與/?有關(guān)C.與％無關(guān)D.與〃無關(guān)

8.（24-25高三上?浙江?階段練習(xí)）已知：當(dāng)"無窮大時，[1+-|的值為e,記為+=e.運用上述

In）〃-n]

結(jié)論，可得lim儂1+2幻—>0）=_____

3X

易錯點02：錯用函數(shù)的求導(dǎo)法則

易錯陷阱與避錯攻略

典例(24-25高三上?山東聊城?期末)函數(shù)y=fcos(2x-3的導(dǎo)數(shù)為()

A兀、2-兀、

A.y=2xcosI2x-~1-xsinI2x--I

B.yf=2xcos-y-2x2sin-y

C.yr=x2cos--2xsin(2x-

D.yr=2xcos^2x-y^+2x2sin^2x-y^

【答案】B

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的運算法則以及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可求出原函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

G今兀L2.G兀。兀

【詳解】=zxcos2x——\+x-sin2x——2x——

I3JI3八3

=2xcos-yj-2x2sin-y

故選：B.

【易錯剖析】

本題容易錯用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則而出錯，要注意求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則的適用前提.

【避錯攻略】

1.求導(dǎo)的基本公式

基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)

/（x）=c（。為常數(shù)）r（x）=o

f(x)=x°(ae0)f\x)=axa~x

f(x)=ax(Q>0,〃w1)f\x)=ax\na

/(x)=log。x(a>0,aw1)/w=.

xlna

/(X)=e*/'(Xi

/(x)=lnxrw=-

f(x)=sinx/\x)=cosx

/(x)=cosxf\x)--sinx

2.導(dǎo)數(shù)的四則運算法則

（1）函數(shù)和差求導(dǎo)法則：［/（X）土g（x）］=/'（x）±g'（x）;

(2)函數(shù)積的求導(dǎo)法則：[/(x)g(x)]'=/1x)g(x)+/(x)g，(x);

l「/(x)]/(x)g(x)-/(x)g(x)

（3）函數(shù)商的求導(dǎo)法則：g（x）#O則1m1=------------G-----------

g(x)g(x)

3.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)

復(fù)合函數(shù)y=/Tg（x）］的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)丁=/（"）,W=g（x）的導(dǎo)數(shù)間關(guān)系為"':

易錯提醒：（1）復(fù)合函數(shù)對自變量的導(dǎo)數(shù)等于已知函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù),乘以中間變量對自變量的導(dǎo)

數(shù)，即入'=為’.%'；（2）求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的總原則：先化簡解析式，再求導(dǎo).注意以下幾點：連乘形式則先展

開化為多項式形式，再求導(dǎo)；三角形式，先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式，再求導(dǎo)；分式形式，

先化為整式函數(shù)或較為簡單的分式函數(shù)，再求導(dǎo)；復(fù)合函數(shù)，先確定復(fù)合關(guān)系，由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要

時可換元.

舉一反三

1.（24-25高二上?全國?課后作業(yè)）已知某函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為V=歹工，則這個函數(shù)可能是（）

A.y=In>/1-xB.y=In,C.y=ln（l-x）D.>=ln--—

y/l-xx-\

2.（2025高三?全國?專題練習(xí)）下列求導(dǎo)運算錯誤的是（）

A.(tanx\=-tanxB.(logx)二

\72xln2

1i

A.-1B.——C.1D.-

22

,易錯題通關(guān)

1.（2025高三?全國?專題練習(xí)）函數(shù)>=xln（2x+5）的導(dǎo)數(shù)為（

X

A.y'=2xln(2x+5)nB.，y=-------

2x+5

2x

C.j/=ln(2x+5)+2”5D.y=ln(2x+5)H---------

2x+5

2.（24-25高三上?北京?開學(xué)考試）在下列函數(shù)中，導(dǎo)函數(shù)值不可能取到1的是（）

A.y=x\nxB.y=cosxC.y=2,D.y=x-lnx

3.（24-25高三上?上海寶山?階段練習(xí)）已知＞=e'cosx,則（）

A.y'=-exsinxB.yf=ex-sinx

f-卜+；r%71

C.y=V2eOsinD.y=V2esin--x

4.（24-25高三上?山西?期中）若函數(shù)滿足=⑵/一3x，則廣⑵的值為（）

A.-1B.2C.3D.4

5.（24?25高二下?遼寧?階段練習(xí)）（多選）下列求導(dǎo)運算正確的是（）

11

A.(In2022)'=B.(log4x)r=

20224xln4

1112一

C.D.X3=3x4

tanxsin2xxx

6.（24-25高三上?陜西咸陽?期中）（多選）下列求導(dǎo)運算正確的是（）

sinxxcosx-sinx

A.B.=1+1

xX2

c.(log23/=0D.

7.（24-25高三上?江蘇淮安?開學(xué)考試）（多選）下列導(dǎo)數(shù)運算正確的是（）

1/、，1D.(In曲=：

C.(tanx)=———

A.(-y=-2B.(e”=e-

XXCOSX

8.（24-25高三上?江蘇鹽城?階段練習(xí)）（多選）下列導(dǎo)數(shù)運算正確的是（）

1-x

A.7B.=e

一二1

C.(tanx)'=D.(Igx)'=

COSXxlnlO

易錯點03：混淆“在某點”和“過某點”切線的區(qū)別

易錯陷阱與避錯攻略

典例（2024?新疆?二模）過點（1,4）且與曲線〃x）=d+x+2相切的直線方程為（）

A.4x-y=0B.7%—4y+9=0

C.4x-y=0^7x-4y+9=0D.以一了=0或4%—7丫+24=0

【答案】C

【分析】先設(shè)過點的切線，再根據(jù)點在曲線上及切線斜率等于導(dǎo)數(shù)值解方程即可求值進而求出切線.

【詳解】設(shè)過點(1,4)的曲線y=/(久)的切線為：l-.y-yo=(3%Q+l)(x-x0)>

有1(3喘+1)(1-%0)=4—yo

IVo=舄+%0+2

代入/可得4x-y=0或7x—4y+9=0.

故選：C

【易錯剖析】

本題容易誤將(1,4)點當(dāng)做函數(shù)的切點而出錯，要注意過P點的切線P不一定是切點.

【避錯攻略】

1.在點P的切線方程

切線方程y-f(x0)=nx0Xx-x0)的計算：函數(shù)y=f(x)在點A(x0,/(%))處的切線方程為

1%=f(xo)

>—/(%)=/'(%)('—%),抓住關(guān)鍵;二、.

狀=/(x。)

2.過點尸的切線方程

設(shè)切點為尸(毛，％),則斜率左=/'(%),過切點的切線方程為：又因為切線方

程過點4>，")，所以"-%=/'(%)(加-/)然后解出毛的值.(/有幾個值，就有幾條切線)

【注意】在做此類題目時要分清題目提供的點在曲線上還是在曲線外.

易錯提醒：(1)利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線問題，一定要熟練掌握以下三點：

(1)函數(shù)在切點處的導(dǎo)數(shù)值是切線的斜率，即已知切點坐標(biāo)可求切線斜率，已知斜率可求切點坐標(biāo).

(2)切點既在曲線上，又在切線上，切線還有可能和曲線有其它的公共點.

(3)曲線尸在”點尸(%,%)處的切線與“過”點尸(5,%)的切線的區(qū)別：曲線尸在點尸(后,%)

處的切線是指點P為切點，若切線斜率存在，切線斜率為左=/'(%),是唯一的一條切線；曲線>=/(x)過

點尸(看,%)的切線，是指切線經(jīng)過點P,點P可以是切點，也可以不是切點，而且這樣的直線可能有多條.

(2)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)的基本方法

利用切點的坐標(biāo)、切線的斜率、切線的方程等得到關(guān)于參數(shù)的方程（組）或者參數(shù)滿足的不等式

（組），進而求出參數(shù)的值或取值范圍.

（3）求解與導(dǎo)數(shù)的幾何意義有關(guān)問題時應(yīng)注意的兩點

（1）注意曲線上橫坐標(biāo)的取值范圍；

（2）謹(jǐn)記切點既在切線上又在曲線上.

舉一反三

1.（24-25高三上?廣東?階段練習(xí)）函數(shù)〃x）=lnx+2x的圖象在點（1,2）處的切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形

的面積為（）

11人11

A.-B.—C.—D.一

2368

2.（23-24高二下?山西晉城?期末）過原點。作曲線/（x）=e，-a無的切線，其斜率為2,則實數(shù)（）

A.eB.2C.e+2D.e—2

3.（24-25高三?山東臨沂?期中）若過點（。/）可以作曲線y=的兩條切線，貝|（）

A.e6+1<aB.ea+1<bC.0<Z><efl+1D.0<a<e6+1

■易錯題通關(guān)

1.（24-25高三上?江蘇鹽城?階段練習(xí)）曲線了=尤2（》-1）在x=l處的切線方程為（）

A.x=lB.y=lC.y=xD.y=x-l

2.（24-25高三上?河南?階段練習(xí)）曲線y=c'-2"在x=0處的切線經(jīng)過點則實數(shù)。的值為（）

A.-1B.0C.1D.2

3.（24-25高三上?海南省直轄縣級單位?階段練習(xí)）函數(shù)了=二|在點（0,-1）處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的封

閉圖形的面積為（）

A."B.；c.yD.1

4.（24-25高三上?天津武清?階段練習(xí)）若直線了=履與曲線y=lnx+二相切，貝1］左=（）

2x

5.（2024?河南洛陽?三模）（多選）若過點尸（1,0）作曲線了=V的切線，則這樣的切線共有（）

A.0條B.1條C.2條D.3條

6.(24-25高三?山東日照?期中)已知過點作曲線y=xe，的切線有且僅有兩條，則實數(shù)。的取值可能

為()

A.-2B.-3C.-4D.-5

7.(23-24高二下?北京西城?階段練習(xí))已知直線了=3-2是曲線y=lnx的切線，則切點坐標(biāo)為()

A.(一廠11B.(e,l)C.D.(0,1)

8.(24-25高三上?上海?開學(xué)考試)經(jīng)過點P(L-2)可以作與曲線2丁-3%-了=0相切的不同直線共有()

A.0條B.1條C.2條D.3條

易錯點04：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間忽略定義域

易錯陷阱與避錯攻略

典例(23-24高二下?寧夏吳忠?期中)函數(shù)/")=白的單調(diào)減區(qū)間為()

lux

A.(-<?,e)B.(0,e)C.(l,e)D.(0,1)和(l,e)

【答案】D

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再解不等式即得答案.

【詳解】函數(shù)/⑴二^的定義域為(0』)口(1,+8),求導(dǎo)得/'(》)=臀^,

111X(1IW)

由/''(x)<0,即X1<0,解得0<x<l或l<x<e,

(Inx)

所以函數(shù)/(x)=白的單調(diào)減區(qū)間為(0,1)和(1,e).

故選：D

【易錯剖析】

本題容易忽略定義域為(0,1)口(1,+?0而錯選B.

【避錯攻略】

1.函數(shù)單調(diào)性的判定方法

設(shè)函數(shù)y=/(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果/''(%)>0,則y=/(x)為增函數(shù)；如果/'(x)<0,則y=/(x)

為減函數(shù).

【解讀】①利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，要在函數(shù)的定義域內(nèi)討論導(dǎo)數(shù)的符號；

②在某個區(qū)間內(nèi)，/'(》)〉0(/'0)<())是函數(shù)/(》)在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增(減)的充分條件，而不是必

要條件.例如，函數(shù)/(x)=d在定義域(—00,+00)上是增函數(shù)，但外>)=3/20.

2.求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟

①確定函數(shù)/(x)的定義域；

②求/'(x),令r(x)=0,解此方程，求出它在定義域內(nèi)的一切實數(shù)；

③把函數(shù)/(x)的間斷點的橫坐標(biāo)和/'(x)=0的各實根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點把

函數(shù)/(x)的定義域分成若干個小區(qū)間；

④確定/'(x)在各小區(qū)間內(nèi)的符號，根據(jù)/'(x)的符號判斷函數(shù)/(x)在每個相應(yīng)小區(qū)間內(nèi)的增減性.

3函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)與求函數(shù)單調(diào)區(qū)間

八x)〉0=>/(x)單調(diào)遞增；/(x)單調(diào)遞增=>r(x)>0;

f'(x)<0=>/(X)單調(diào)遞減；/(X)單調(diào)遞減nf'(x)<0.

易錯提醒：|(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間必須樹立定義域優(yōu)先的思想，即先求函數(shù)的定義域，然后再定義域上求

函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)含參函數(shù)單調(diào)性討論的分類標(biāo)準(zhǔn)：①函數(shù)類型；②開口方向；③判別式；④導(dǎo)數(shù)等

于0有根無根；⑤兩根大小；⑥極值點是否在定義域內(nèi).

1.(2024?黑龍江佳木斯?模擬預(yù)測)若函數(shù)〃x)=；/-3x-41nx,則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為()

A.(4,+oo)B.(0,1)C.(0,4)D.(1,4)

2.(2024全國?模擬預(yù)測)己知函數(shù)/(x)=ln(x-2)+ln(4-x),則/(無)的單調(diào)遞增區(qū)間為()

A.(2,3)B.(3,4)C.(-雙3)D.(3,+功

3.(24-25高三上?湖南長沙?階段練習(xí))設(shè)/(x)=(無2+ox)lnx+g無之，OGR

(1)若。=0,求〃x)在x=l處的切線方程；

⑵若。eR,試討論的單調(diào)性.

■易錯題通關(guān)一

1.(2024高三?全國?專題練習(xí))函數(shù)y=g的單調(diào)遞增區(qū)間是()

0,1

A.—oo9—B.(e,+。)C.D.(O,e)

2.(2024高三?全國?專題練習(xí))函數(shù)/(x)=xhu的單調(diào)遞減區(qū)間是()

0,1

A.—,+ooB.—oo9—C.(e,+e)D.

3.(2024?浙江?模擬預(yù)測)函數(shù)/(x)=ln(2x-1)-/+、的單調(diào)遞增區(qū)間是()

1

A.(0,1)B.I'

"1-V21+收'1i+E

C.D.

4.(2025?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=(加-2*一(加一4數(shù)-lnx-2,則()

A.當(dāng)0＜小＜2時，函數(shù)/(x)在(0,+8)上單調(diào)

B.當(dāng)加＜0時，函數(shù)/'(x)在(0,+8)上不單調(diào)

C.當(dāng)心引2時，函數(shù)/(x)在(0,+8)上不單調(diào)

D.當(dāng)加=0時，函數(shù)/(x)在(0,+8)上單調(diào)

5.(23-24高二下?福建福州?期中)函數(shù)〃x)=xln(-x)的單調(diào)遞減區(qū)間是.

6.(23-24高二下?上海?期中)函數(shù)了=工的嚴(yán)格遞減區(qū)間是________.

x—2

7.(24-25高三上?福建三明?階段練習(xí))已知函數(shù)/'(x)=ln(l-x)+6n(l+x)#w0.

(1)若函數(shù)/(x)存在一條對稱軸，求左的值;

(2)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間.

易錯點05：混淆極值點與導(dǎo)數(shù)等于零的點的區(qū)別

,易錯陷阱與避錯攻略

典例(2024?遼寧丹東?一模)若x=l是函數(shù)/(%)=93+伍+1)工2_(/+〃_3卜的極值點，則。的值為

()

A.-2B.3C.-2或3D.-3或2

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，求出函數(shù)〃無)的導(dǎo)數(shù)，由/'(1)=0求出。，然后針對。的每一個值，進行討論，驗證x=l

是不是函數(shù)的極值點，即可得答案.

【詳解】/(x)=；/+(Q+1)12_(Q2+Q_3)xn—(x)=+2(Q+1)X—(Q2+”—3),

由題意可知/'(l)=0n/'(l)=l+2(Q+l)_(Q2+Q_3)=0nQ=3或Q=_2.

當(dāng)a=3時，/'(x)=*+8x—9=(x+9)(無一1),

令”x)>0,解得x<-9或x>l,函數(shù)〃尤)在(-8,-9)和(1,+動上單調(diào)遞增；

令_f(x)<0,解得-9<X<1,函數(shù)/(尤)在(-9,1)上單調(diào)遞減,

所以x=l是函數(shù)〃x)的極值點符合題意；

當(dāng)a=-2時，=X2—2x+1=(x—I)2>0,

所以函數(shù)/(無)是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，沒有極值，不符合題意，舍去，

故選：B.

【易錯剖析】

導(dǎo)數(shù)等于零點的點不一定是函數(shù)的極值點，對于可導(dǎo)函數(shù)而言，其極值點應(yīng)滿足兩個條件，一是導(dǎo)數(shù)

等于零，二是在極值點兩邊導(dǎo)函數(shù)的符號相反.

【避錯攻略】

1.函數(shù)的極值

函數(shù)/'(X)在點看附近有定義，如果對X。附近的所有點都有/(X)</(%),則稱/(%)是函數(shù)的一個極大

值，記作用大值=/(x°).如果對X。附近的所有點都有/(X)>/(%),則稱/(X。)是函數(shù)的一個極小值，記作

>極小值=/(/)?極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，稱/為極值點.

2.求可導(dǎo)函數(shù)極值的一般步驟

第一步：先確定函數(shù)的定義域；

第二步：求導(dǎo)數(shù)/'(X)；

第三步：求方程/'(x)=0的根；

第四步：檢驗/'(x)在方程/'(x)=0的根的左右兩側(cè)的符號，如果在根的左側(cè)附近為正，在右側(cè)附近為

負(fù)，那么函數(shù)y=〃x)在這個根處取得極大值；如果在根的左側(cè)附近為負(fù)，在右側(cè)附近為正，那么函數(shù)

V=在這個根處取得極小值.

易錯提醒:(1)①可導(dǎo)函數(shù)“X)在點％處取得極值的充要條件是：X。是導(dǎo)函數(shù)的變號零點，即/'(X。)=0,

且在X。左側(cè)與右側(cè)，/（X）的符號導(dǎo)號.

②/'（%）=0是X。為極值點的既不充分也不必要條件，如〃幻=/，/（0）=0,但無。=0不是極值點.另

外，極值點也可以是不可導(dǎo)的，如函數(shù)〃x）=|x|,在極小值點％=0是不可導(dǎo)的，于是有如下結(jié)論：X。為

可導(dǎo)函數(shù)“X）的極值點=>/'（%）=0；但/'（%）=0Xx0為〃x）的極值點.

（2）①函數(shù)的極值反映函數(shù)在一點附近情況，是局部函數(shù)值的比較，故極值不一定是最值；函數(shù)的最

值是對函數(shù)在整個區(qū)間上函數(shù)值比較而言的，故函數(shù)的最值可能是極值，也可能是區(qū)間端點處的函數(shù)值；

②函數(shù)的極值點必是開區(qū)間的點，不能是區(qū)間的端點；

③函數(shù)的最值必在極值點或區(qū)間端點處取得.

1.（24-25高三上?吉林長春?階段練習(xí)）若x=0是函數(shù)=-[°+；卜+（/+如-1的極小值點，則

“X）的極大值為（）

,5225

A.-B.-C.—D.—

6336

2.（24-25高三上?天津武清?期中）已知函數(shù)〃x）=/+aln（x-l）有極值點，則實數(shù)a的取值范圍為（）

A.（-?,0]B.（-?,0）C.（0,￡|D.）哈;

3.（2024?遼寧?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（x）=x-（x-c）2在x=l處有極大值，貝/=（）

A.1B.2C.3D.4

■易錯題通關(guān).

1.（2024?四川瀘州一模）已知函數(shù)〃x）=x（x-a）2在x=l處取得極大值，則。的值是（）

A.1B.2C.3D.4

2.（24-25高三上?江西?階段練習(xí)）若x=0是函數(shù)"x）=+3-5+；）/+（/+°口_1的極小值點，則“X）

的極大值為（）

5225

A.-B.-C.——D.——

6336

1

3.（24-25高二?全國?課后作業(yè)）若函數(shù)〃x）=asin無+§sin3尤在x=]處有最值，貝lja等于（）

A.2B-1c.手D.0

4.（24-25高二上?全國?課后作業(yè)）設(shè)函數(shù)（編=工，若/1（X）的極小值為五，則。=（）

x+a

113

A.——B.5C.-D.2

2

5.（24-25高三上?四川綿陽?階段練習(xí)）+l在（-3,0）上有極大值，無極小值，則。的取

值范圍是（）

A.。,|）B.（0,+e）C.（-℃,-3）D.1-3。

6.（24-25高三上?江西南昌?階段練習(xí)）己知/（苫）=/+3辦2+為+/在x=_i處有極值o,則（）

A.-2或-7B.-4或-11C.11D.-7

7.（23-24高二下?山東臨沂?期中）已知函數(shù)=當(dāng)無=1時，〃x）有極大值，.則。=（）

A.2B.1C.0D.-1

易錯點06：已知單調(diào)性求參數(shù)時混淆條件

易錯陷阱與避錯攻略

1Q

典例（24-25高三上?山東臨沂?期中）若函數(shù)/。）=：/一]無2+辦+4的單調(diào)遞減區(qū)間恰為11,4],則實

數(shù)a的值為.

【答案】-4

【詳解】由題意得，f'（x）=x2-3x+a,

函數(shù)/'（X）的單調(diào)遞減區(qū)間恰為[-1,4],

即--3彳+0<0的解集為[T,4],

所以-1和4是/'（x）=0的兩根,

1?Q=-1x4=—4.

故答案為：-4.

【易錯剖析】

本題易混淆人X）在區(qū)間D上單調(diào)和人功的單調(diào)區(qū)間是D的區(qū)別而出錯.

【避錯攻略】

1.可導(dǎo)函數(shù)段）在某區(qū)間上單調(diào)

（1）可以轉(zhuǎn)化為f'（x）＞OC/Xx）＞0）在給定區(qū)間上恒成立;

（2）給定的區(qū)間是原函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間（或遞減區(qū)間）的子區(qū)間，利用集合間關(guān)系求解

2.可導(dǎo)函數(shù)f（x）在某區(qū)間上不單調(diào)

（1）可轉(zhuǎn)化為f（x）在給定區(qū)間上有正有負(fù)，即/'（x）=0在給定區(qū)間上有實根（必要條件），且有不等實根

（充分條件）;

（2）可以通過求函數(shù)值域的方法解決.

（3）可以利用根的分布方法解決.

3可導(dǎo)函數(shù)網(wǎng)在某區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間，轉(zhuǎn)化為/'（x）〉0（或/'（x）＜0）有解問題.

易錯提醒：

已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)時，要注意以下幾點：（1）熟悉基本函數(shù)的單調(diào)性。

（2）注意下列二者之間的區(qū)別：函數(shù)在區(qū)間/上單調(diào)遞增（減）；函數(shù)的單調(diào)遞增（減）區(qū)間是D.

注意：其中/口。.

（3）首先明確已知函數(shù)的單調(diào)性；然后根據(jù)已知條件列出關(guān)于所求參數(shù)的不等式，正確解出含參數(shù)的不等

式，結(jié)果要用集合或區(qū)間的形式表示出來.

舉—反三

1.若函數(shù)/（x）=鋁在[2,+動上單調(diào)遞增，則左的取值范圍為（）

44

A.kN—B.k—1C.kSiD.左＜—

33

2.（24-25高二上?全國?課后作業(yè)）若函數(shù)/（x）=hu+ax2-2在區(qū)間（1,4）內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實數(shù)。的

取值范圍是（）

A.卜。+"）B.

。）D.昌,+"

3.（24-25高三上?上海?期中）已知g（x）是定義域為R的函數(shù)，g（x）=ax2+2,若對任意的1＜再＜2,都

有夙正里22＞_3成立，則實數(shù)。的取值范圍是（）

西-x2

-3-

A.[0,+co）B.--,0

4

C-[fTD.3

——,+co

4

易錯題通關(guān)

1.（2024?湖北?一模）已知函數(shù)/（工）="2_11n+2%是減函數(shù)，則。的取值范圍為（）

A.（-0o,0]B.（-oo,-l]C.（-oo,l]D.（一叫一J

2.（2025高三?全國?專題練習(xí)）若函數(shù)=-91nx在區(qū)間[。-1,同上單調(diào)遞減，則實數(shù)。的取值范圍

是（）

A.1<（7<3B.6/>4

C.-2<a<3D.l<a<4

2

3.（22-23高二下?北京海淀?期中）若函數(shù)〃x）='Tnx在（0㈤上不單調(diào)，則實數(shù)上的取值范圍是（）

A.[1,+℃）B.（1,+s）C.（0,1）D.（0,1]

4.（24-25高三上?山東棗莊?階段練習(xí)）已知函數(shù)"x）=-F+"，x<J,在R上單調(diào)遞增，貝M的取值范圍

[e-ax,x>0

是（）

A.[1,+8）B.[0,1]C.[-1,1]D.（-?,1]

5.（2025高三?全國?專題練習(xí)）已知函數(shù)〃》）=（2/+4龍+1卜“1（°>0）在上存在單調(diào)遞減區(qū)間,

則。的取值范圍為（）

A.（0,l）u（4,+oo）B.（1,4）C.（o,：U（8,+oo）D.

6.（2019?四川涼山?一模）若0<%<x?<。都有%-xjiu?<網(wǎng)-芍成立，則。的最大值為（）

A.yB.1C.eD.2e

易錯點07：判斷函數(shù)零點個數(shù)時畫圖出錯

,易錯陷阱與避錯攻略

典例（24-25高三上?北京?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（x）="e'-x2有兩個極值點，則實數(shù)。的取值范圍（）

2,e

A.0<a<—B.0<（2<ln2C.Q<eD.0<^<In—

e2

【答案】A

【分析】先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)題意將導(dǎo)函數(shù)為零轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)歹=。和g(x)=-r有兩個交點，然后利用

e

導(dǎo)數(shù)求g(x)=32x的單調(diào)性，進而確定g(x)圖象，最后根據(jù)圖象確定實數(shù)。的取值范圍.

e

【詳解】因為/(無)=西一，，."，(町=*一2工，

由己知函數(shù)小)有兩個極值點可得有ae*-2x=0兩個解

即V=。和g(x)=—有兩個交點，

e

.??當(dāng)時，g'(X)>0,g(x)在(-r」)上單調(diào)遞增，

當(dāng)X>1時，g\x)<0,g(x)在(1,+8)上單調(diào)遞減，

2

故g(x)max=g(D=—，

e

而xf+8時，g(x)-O,x-一8時，g(x)fro；

大致圖象如下：

故選：A.

【易錯剖析】

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖像變化時一定要區(qū)分圖像趨向無窮時，是趨近無窮還是趨近于一個常數(shù).

【避錯攻略】

I.判斷函數(shù)>=<。)在某個區(qū)間上是否存在零點，主要利用函數(shù)零點的存在性定理進行判斷.首先看函數(shù)

產(chǎn)八無)在區(qū)間⑷句上的圖象是否連續(xù)，然后看是否有若有，則函數(shù)>=/(x)在區(qū)間(。㈤

內(nèi)必有零點.

2.判斷函數(shù)y=/(x)的零點個數(shù)時，常用以下方法：

(1)解方程：當(dāng)對應(yīng)方程易解時，可通過解方程，判斷函數(shù)零點的個數(shù)；

(2)根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合已知條件進行判斷；

(3)通過數(shù)形結(jié)合進行判斷，畫函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸交點的個數(shù)來判斷.

3.已知函數(shù)有零點(方程有根)，求參數(shù)的取值范圍常用的方法：

方法1：直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍.

方法2：分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，再轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決.

方法3：數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，再數(shù)形結(jié)合求解.

易錯提醒：判斷函數(shù)零點個數(shù)的方法：

方法1：利用零點存在性定理判斷法；

方法2：代數(shù)法：求方程〃x)=0的實數(shù)根；

方法3：幾何法：對于不易求根的方程，將它與函數(shù)y=/(x)的圖象聯(lián)系起來，利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點或

利用兩個函數(shù)圖象的交點求解.在利用函數(shù)性質(zhì)時，可用求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性并分析函數(shù)圖像的

變化趨勢.

舉一反三

1.(24-25高三上?遼寧沈陽?階段練習(xí))已知/卜)=旌'”工-1皿(加20),若〃x)有兩個零點，則實數(shù)用的取

值范圍為()

A.B.(0,4C.d口.[&+[

2.(2025高三?全國?專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=(x+2)e*-加有兩個零點，則實數(shù)加的取值范圍為()

A.B.g,+s)C.(0,+oo)D.(-=o,0)

3.(2024高二上?全國?專題練習(xí))若函數(shù)和g(x)的圖象上恰好有兩對關(guān)于x軸對稱的點，則函數(shù)

和g(x)為“對偶函數(shù)”.已知/(x)=l-e*g(x)=ax+xlnx是“對偶函數(shù)”，則實數(shù)Q的取值范圍為