抽象函數(shù)

CCC

題型概覽

目錄

【解密高考】總結(jié)常考點(diǎn)及應(yīng)對的策略，精選名校模擬題，講解通關(guān)策略（含押題型）

【題型一】抽象函數(shù)的性質(zhì)

【題型二】常見抽象函數(shù)模型①（一次、二次、反比例）

【題型三】常見抽象函數(shù)模型②（指數(shù)、對數(shù)、塞函數(shù)、三角函數(shù)）

【題型四】復(fù)合函數(shù)的應(yīng)用

【誤區(qū)點(diǎn)撥】

易錯點(diǎn)：忽視定義域和對稱性與周期性弄混淆。

解空高考

考情分析:以選擇填空的形式考察性質(zhì)，難度中等偏上。

備考策略：抽象函數(shù)求解的重要技巧：賦值法

1.賦值法使用,注意和題目條件作適當(dāng)?shù)穆?lián)系；比如，涉及到奇偶行時候，可以考慮設(shè)字母為X和-X,或者

取值為a和-a。等等

2.轉(zhuǎn)化過程要以相關(guān)定義為目的，不斷轉(zhuǎn)變；比如，涉及到單調(diào)性，欲尋找單調(diào)性證明和推導(dǎo)，可以設(shè)變量

為XI與X2兩個變量，尋找f（X1）與f（X2）的大小關(guān)系。

3.還要學(xué)會用反例作論證，推出矛盾，可以直接排除對應(yīng)的性質(zhì)關(guān)系。

題型特訓(xùn)提分

【題型一】抽象函數(shù)的性質(zhì)

【例1】已知的定義域為[0,2],則函數(shù)/卜8（尤_]）的定義域為（）

A.（1/B.[0,2]

C.[1,3]D.（1,3]

【答案】A

【分析】根據(jù)已知函數(shù)定義域、對數(shù)、分?jǐn)?shù)的性質(zhì)列不等式性質(zhì)求定義域.

04尤2-142

1<X2

【詳解】由題設(shè)log1(x-l)>0,,可得1＜尤＜5

20<x-l<l

x—1〉0

所以函數(shù)定義域為

故選：A

【例2】定義域均為R的函數(shù)〃x),g(x)滿足〃x)=g(x-l),且"x—l)=g(2—x),則()

A.是奇函數(shù)B.〃力是偶函數(shù)

C.g(尤)是奇函數(shù)D.g(尤)是偶函數(shù)

【答案】D

【分析】通過函數(shù)變量間的轉(zhuǎn)化，得出函數(shù)對應(yīng)等量關(guān)系.利用函數(shù)平移變化，由平移后的對稱關(guān)系求得原

函數(shù)的對稱關(guān)系.

【詳解】因為/(x—l)=g(2—x),

所以/(r+1—l)=g(2—(―x+1)),

即/(-x)=g(l+x)=g(x+2-l)=/(x+2),

所以〃x)關(guān)于直線尤=1對稱，

因為/(x)=g(x-l),

所以g(x)關(guān)于X=O對稱，即g(x)為偶函數(shù).

故選：D

【例3】已知不恒為零的函數(shù)/(X)為定義在R上的奇函數(shù)，且函數(shù)了(尤-1)為偶函數(shù)，則/(2024)=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】B

【分析】根據(jù)題意得到〃》-2)=〃-司與〃-同=-〃*),進(jìn)而得到的一個周期為4,從而得解.

【詳解】由于函數(shù)“X-1)為偶函數(shù)，則BPf(x-2)=/(-%),

又為定義在R上的奇函數(shù)，所以〃0)=0,且〃r)=-〃x),

所以/晨一2)=-/(x),貝！|/a—4)=-/(x—2)=/(x),

故f(x)的一個周期為4,貝！J/(2024)=J(506x4+0)="0)=0.

故選：B.

【變式1】已知定義在R上的函數(shù)滿足〃x+2)=4-〃x),且〃x+3)-2為奇函數(shù)，"4)=5,則

2￡026/(^)=()

k=l

A.4047B.4048C.4049D.4050

【答案】c

【分析】首先判斷抽象函數(shù)的周期，再根據(jù)條件求函數(shù)值，再根據(jù)周期求函數(shù)值的和.

【詳解】由〃x+2)=4-“X)可得〃x+4)=4-〃尤+2)=4-[4一〃引]=〃尤)，

故“X)的一個周期為4,

由/(x+3)—2為奇函數(shù)可得〃0+3)-2=0,得"3)=2,

對于〃x+2)=4—〃x),令x=l,得/⑴+"3)=4,則/⑴=2,

令尤=2,得/(2)+/(4)=4,又/(4)=5,所以〃2)=-1,

則〃1)+/(2)+〃3)+/(4)=8,

2026

故￡/㈤="1)+“2)+"3)+〃4)+…+”2026)

k=l

=506x[/(l)+/(2)+/(3)+/(4)]+/(l)+f(2)=506x8+2+(-1)=4049.

故選：C.

【變式2】已知定義在R上的函數(shù)是奇函數(shù)，對任意xeR都有/(x+l)=〃l-力，當(dāng)〃-3)=-2時，

則“2023)等于()

A.2B.-2C.0D.-4

【答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和對稱性推得函數(shù)/'(x)的周期為4,利用周期性和奇函數(shù)特征即可求得/(2023)

的值.

【詳解】定義在R上的函數(shù)是奇函數(shù)，且對任意xeR都有〃x+l)=〃lr),

故函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=l對稱，???/(x)=/(2-x),故〃r)=〃2+x)=—〃x),

Af(x)=-f(2+x)=f(4+x),：.是周期為4的周期函數(shù).

貝!|“2023)=/(505x4+3)=/?⑶=—〃—3)=2.

故選：A.

【變式3】已知函數(shù)定義域為R,對Vx,yeR,恒有/(x+y)+/(x—y)=2/(x)/(y),則下列說法錯

誤的有()

A.f(O)=lB./(2x+l)=/(—2x-l)

C./(x)+f(0)>0D.若〃l)=g,則周期為6

【答案】A

【分析】利用賦值法求/(O)判斷A；賦值法結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義判斷B；賦值法結(jié)合換元法判斷C；利

用賦值法求得〃x+l)=/(x)—1),化簡得〃x)=—/(x—3)=/(x—6),即可判斷D.

【詳解】由/(x+y)+〃x-y)=2/(x)/(y),

令x=O,y=O,有〃0)+〃0)=2/(0)〃0),

可得〃0)=0或1,A錯；

當(dāng)"0)=0時，令y=0,

則〃x)+〃x)=2〃x)〃0)=0,f(x)=O,

函數(shù)/(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，f(2x+l)=/(-2^-l),

當(dāng)/(0)=1時，令x=0,

則〃y)+/(-y)=2〃0)〃y),則/(>)=/(—)),

函數(shù)〃x)是偶函數(shù)，/(2x+l)=/(-2x-l),

綜上，B正確；

令了=丫，則/(2X)+〃0)=2/2(X),

a/(2%)+/(0)>0,

由于xeR,令f=2無,fcR,即/■(r)+/(O)NO,

即有〃力+〃。)20,C正確；

若/⑴=；,令y=l,

則〃x+l)+〃x-l)=2〃x)〃l)=〃x),

所以〃x+l)=〃x)-/(x-l),

貝(l/(x)=/(xT)-仆-2),

/(x+l)=[/(x-l)-/(%-2)]-/(x-l)=-/(x-2),

所以/(X)=-〃A3)"(X-6),

則/(x)周期為6,D正確.

故選:A

一、抽象函數(shù)的性質(zhì)

1.周期性：/(x+a)~f(x)T-a；+Q)=-/(%)nT=2a；

/、k

/(x+a)=-^nT=2a；(左為常數(shù));/(x+a)=/(%+/?)=>T=|a-Z?|

f\x)

2.對稱性：

對稱軸：f(a-x)=/(?+x)^4<f(2a-x)=/(x)/(x)關(guān)于x=a對稱；

對稱中心：_/'(。-%)+/'(。+%)=2。或者/'(24-％)+/(%)=2"=>/"(%)關(guān)于(a,。)對稱;

3.如果/'（x）同時關(guān)于x=a對稱，又關(guān)于0,c）對稱，則/'（x）的周期T=|a—母

4.單調(diào)性與對稱性（或奇偶性）結(jié)合解不等式問題

①/'（x）在R上是奇函數(shù)，且/'（X）單調(diào)遞增n若解不等式/（XJ+/（%2）＞0,則有

再+%＞°；

y（x）在R上是奇函數(shù)，且/'（X）單調(diào)遞減n若解不等式/（x1）+/（^2）＞0,則有

玉+々＜°；

②y（x）在R上是偶函數(shù)，且/＞（X）在（0,”）單調(diào)遞增n若解不等式/（x1）＞/（x2）,則有同〉岡（不

變號加絕對值）；

/（X）在R上是偶函數(shù)，且/（X）在（0,內(nèi)）單調(diào)遞減n若解不等式/（%；）＞則有忖|＜岡（變號

加絕對值）；

③/（X）關(guān)于（a,b）對稱，且/（X）單調(diào)遞增n若解不等式f（Xl）+f（x2）＞2b,則有

玉+冗2＞2。；

/（X）關(guān)于（a,。）對稱，且/'（X）單調(diào)遞減n若解不等式y(tǒng)（xj+/＞（%）＞2b,則有

玉+九2＜2〃；

④/（X）關(guān)于X=。對稱，且/（%）在（a,M）單調(diào)遞增n若解不等式了（再）＞了卜），則有歸—同＞卜一,

（不變號加絕對值）；

/（x）關(guān)于x=a對稱，且/（X）在（a,+oo）單調(diào)遞減二＞若解不等式/（Xj）＞f（x2）,則有,一《一

（不變號加絕對值）；

5.常見的特殊函數(shù)性質(zhì)一覽

①/（%）=10gaJ+（爾）2±m(xù)是奇函數(shù)

②y（x）=iog〃j（/（x）=iog〃9］（左為常數(shù)）是奇函數(shù)

K+X＜k-x）

③/w=或者/w=產(chǎn)或者/W=或者/(X)=24是奇函數(shù)

l+a1—aa—1ci+1

④小”已關(guān)于［直對稱

⑤/［g(x)］復(fù)合函數(shù)的奇偶性：有偶為偶,全奇為奇

【題型二】常見抽象函數(shù)模型①(一次、二次、反比例)

【例1】已知定義在R上的函數(shù)/(X)滿足f(2xy-l)=f(x)-f(y)+f(y)+2x-3,/(O)=-l,

則不等式〃x)>3-2”的解集為()

A.B.(-1,+<?)C.D.

【答案】A

【分析】先利用賦值法求八-1)=-3及/(x)=2x-l,然后利用單調(diào)性解不等式即可.

【詳解】令尤=y=0,得/(-1)="0)"(0)+〃0)-3=-3.

令y=0,/(-I)=/W/(0)+/(0)+2x-3,解得/(x)=2x-l,

則不等式/(x)>3-2*轉(zhuǎn)化為2尤+2,-4>0,

因為，=2x+2*-4是增函數(shù)，且2xl+2i—4=0,

所以不等式/(x)>3-2r的解集為(1,+8).

故選:A

【例2】己知函數(shù)的定義域為(-8,0)U(0,y),且例(x)=(y+l)/(y+l),則()

A./W>0B.f(l)=lC./(x)是偶函數(shù)D./(x)沒有極值點(diǎn)

【答案】D

【分析】令8(%)=令(引,結(jié)合題設(shè)令y+1為(e,0)U(0,4w)上任意值且g(x)=g(y+l),得到g(x)為常

函數(shù)，進(jìn)而判斷各項的正誤.

【詳解】令g(x)=#(x),則g(y+i)=(y+i)/(y+i),

所以g(x)=g(y+i),且羽y+i為定義域內(nèi)任意值，故g(x)為常函數(shù).

令g(x)=k,則為奇函數(shù)且沒有極值點(diǎn)，c錯，D對；

所以〃x)20不恒成立，"1)=1不一定成立，A、B錯.

故選：D

【變式I】已知定義在(-8,o)u(o,收)上的函數(shù)〃尤)滿足/(孫)=與立+勺則()

A./(X)是奇函數(shù)且在(0,+8)上單調(diào)遞減

B.〃x)是奇函數(shù)且在(y,0)上單調(diào)遞增

C.是偶函數(shù)且在(。,+e)上單調(diào)遞減

D./(X)是偶函數(shù)且在(-%0)上單調(diào)遞增

【答案】A

【分析】令x=y=T,求出/⑴，令x=y=i,求出再分別令y=T,y=i,即可求出函數(shù)/⑺

的解析式，進(jìn)而可得出答案.

【詳解】令尤=>=一1,則/(1)=一2/(1)+1,所以

令x=y=i,則/⑴=2/(-1)+1,所以=

令y=T,貝！I/(-X)=-f(一弓+^^一^=-/(-x)+W=~f(-x)-￡，

所以=

5x

令y=l,貝！=在』+』=」」+!1所以〃x）=；,

xx3x3xx3^5x

因為〃r)=-；=-〃x)，且定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以函數(shù)/(尤)是奇函數(shù),

由反比例函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)/(x)=(在(0,+e)上單調(diào)遞減.

故選：A.

【變式2】已知函數(shù)〃x)的定義域為R,且了/>0,若/(尤+y)+f(x)/(y)=4w，則下列結(jié)論錯誤的是

()

C.函數(shù)/卜-；］是偶函數(shù)D.函數(shù)是減函數(shù)

【答案】C

【分析】首先利用賦值法求得了［；)的值，再賦值>=-；,求得/卜-；)的解析式，即可判斷C,再根

據(jù)函數(shù)的解析式，賦值判斷BD.

【詳解】對于A,令x=g、y=0,貝(J有++=

又卜0,故1+“。）=0,即/（0）=-1,

即-￡|=T,由"。）=一1,可得一￡|=°，

又>0,故/[-；）=0,故A正確；

對于c,令y=J，貝情小_,+〃x）dx

貝！=故函數(shù)是奇函數(shù)，故C錯誤；

對于D,有/1x+1—彳）=—2（尤+1）=—2x—2,即f=—2x—2,

則函數(shù)/[x+g）是減函數(shù)，故D正確；

對于B,由=令x=l,有/（；）=-2xl=_2,故B正確.

故選：C

【變式3】（多選）已知函數(shù)Ax）的定義域為R,且/（了-n=〃-力+/3-2孫，則（）

A./（0）=0

B."2）=4

C.>=/（元）一2%是奇函數(shù)

D.y=/（x）-2f是偶函數(shù)

【答案】ABD

【分析】根據(jù)已知的抽象函數(shù)性質(zhì)，賦值（式）法求解即可.

【詳解】令龍=y=0,則〃0）=2〃0）,即〃o）=o.A正確.

令y=o,則/（為閆（-。

令〉=彳，貝!J/（—x）+/（x）—2f=/（0）=。，貝！]/（x）=f.

故"2）=4.B正確.

y=/⑺-2x=--2x是非奇非偶函數(shù).C不正確.

產(chǎn)/（力-2%2=7；2是偶函數(shù).》正確.

故選：ABD.

抽象函數(shù)的模型

【反比例函數(shù)模型】

反比例函數(shù):…=冊懸,則?=斗，[x"(x)g)J(x+y)均不現(xiàn)

【一次函數(shù)模型】

模型1：若/(X土y)=/(x)±/(y),則/(%)=/⑴X；

模型2：若/(%土y)=/(x)±/(y),則/(x)為奇函數(shù)；

模型3：f(x+y)=f(x)+f(y)+m,則f(x)=[f(1)+m]x-m；

模型4：若/(x一y)=f(x)-/(y)+m,則/(x)=[/(l)-m]x+m-

【題型三】常見抽象函數(shù)模型②(指數(shù)、對數(shù)、塞函數(shù)、三角函數(shù))

【例1】已知函數(shù)f(x)滿足〃x)=/(2x),當(dāng)xe[l,2)J(x)=lnx,若在區(qū)間口,4)內(nèi)，函數(shù)

g(x)=/(x)-女(。*0)有兩個不同零點(diǎn)，則實數(shù)a的取值范圍是()

A.因B."C.[竽JD.用黑

【答案】A

【分析】轉(zhuǎn)化g(x)=/(x)=0na=&,可轉(zhuǎn)化為丫=〃4=/區(qū)有兩個交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合即得解

XX

【詳解】由g(x)=/(無)-ax=Ona=/4?,

X

函數(shù)g(x)=/(x)-0)有兩個不同零點(diǎn)，可轉(zhuǎn)化為y=a,y=皿有兩個交點(diǎn)

X

當(dāng)2Vx<4,/(%)=/(1)=In|

Inx一八

-----,1W%<2

故/?(%)=?=，x

XIn-

」,2Wx<4

作圖如下，由于以4)=券，若y=a,y=四有兩個交點(diǎn)

4x

。，竽

可得aw

o'

故選：A

【例2】(多選)已知函數(shù)“X)的定義域為R,值域為(。,+8),累則()

A."0)=1B.〃1)=1

c./(2x)=[/(x)fD.尤=1是函數(shù)“X)的極小值點(diǎn)

【答案】AC

【分析】由已知利用賦值法分別檢驗各選項即可判斷.

【詳解】取尤=y=0,貝！I[/⑼丁=1,且〃x)>0,故/(0)=1,A正確；

取〃x)=e',符合題意，此時/(l)=ewl,且/■(》)在R上單調(diào)遞增，不存在極值點(diǎn)，B和D錯誤；

取…，則徐，=[〃力了,即〃2切="⑺了，C正確,

故選：AC.

【變式1]已知函數(shù)〃尤)的定義域為R,且/(x+y)=/(x)〃y)+/(x)+/(y),x>0時，〃x)>0,〃2)=3,

貝U()

A.41)=1

B.函數(shù)/(尤)在區(qū)間(0,+8)單調(diào)遞增

C.函數(shù)/(尤)是奇函數(shù)

D.函數(shù)〃尤)的一個解析式為〃力=2'-1

【答案】ABD

【分析】賦值法求值判斷A選項，定義法判斷單調(diào)性判斷B選項，特殊值法判斷C選項，根據(jù)題干要求判

斷解析式符合題意判斷D選項.

【詳解】A項：因為解x+y)="x)F(y)+f(x)+/(y),

當(dāng)x>0時，/(x)>0,/(2)=3,令x=y=l,

則〃2)=[〃1)]2+2〃1)=3,解得"1)=1,A正確；

B項：任取：<x2G(0,+OO),

則/（尤2）=/［無1+（無2-尤1）］=f（占）/（尤2-%）+/（尤1）+/（無2—尤1），

因為當(dāng)x>0時，/（x）>o,

所以〃/-不）>。，/（西）>。，

所以（工2-%）+/（%）+了（馬一%）>/（%），即/（%）>/（國），

所以函數(shù)”X）在區(qū)間（0,+8）單調(diào)遞增，B正確；

C項：令x=y=0,則〃0）="（0）了+2〃0）,

解得了（。）=。或〃0）=T，當(dāng)7（。）=。，且x>0時，令，=一》,

則。="X）X）+“X）+/（―X）,

若“X）為奇函數(shù)，貝！l/（-x）=—/（X）,即。=—/2（x）+/（x）-/（x）,

解得〃力=0,與題意矛盾；

當(dāng)〃0）=-1時〃X）不為奇函數(shù).

綜上所述，函數(shù)/（無）不是奇函數(shù)，C錯誤；

D項：當(dāng)/（x）=2-l,

貝！］/（x+y）=2J,

〃力/3+〃力+”，）=（2。1）（2，-1）+（2-1）+（2?—1）

=2x+y-2X-2y+1+2X-1+2y-1

=2x+y-l,

所以〃x+y）=〃x）〃y）+/a）+〃y）,易得/（x）=2，—l在R上單調(diào)遞增，

所以x>0時，/（x）=2Y-l>2°-l=0,/（2）=22-l=3,

故函數(shù)的一個解析式為/（x）=h-l,D正確.

故選:ABD

【變式2】已知“X）在（0,+8）上是減函數(shù)，且〃x）+〃y）=〃孫）+1對任意的xe（0,+8）都成立，寫出一

個滿足以上特征的函數(shù)〃x）=.

【答案】ITogsM答案不唯一）

【分析】由〃x）+/（y）變形到/（個）可考慮對數(shù)函數(shù)，然后根據(jù)單調(diào)性以及“1”可考慮構(gòu)造對數(shù)型函數(shù)

y=l-logax（0<a<l）.

【詳解】由題意可知，/（x）+/（y）可變化為/（個）的形式，由此可想到對數(shù)函數(shù)，

又因為〃x）在（0,+8）上是減函數(shù)且〃x）+〃y）=/（孫）+1,

所以滿足條件的一個函數(shù)可取〃力=1-廄3%，

故答案為：/(X)=l-log3》(答案不唯一).

甘田國圓5

【指數(shù)函數(shù)模型】

模型1：若/(x+y)=于(x)/(y)，則f(x)=[f(X)r；/(x)>0

模型2：若人九7)=04,則/(x)="(l)「f(x)>Q

f(y)

模型3：若/(x+y)=/(x)/(y)m,則〃無)二上業(yè)0；

m

模型4：若/(%—V)=工，則/'(x)=nt'⑴；

f(y)[_m

【對數(shù)函數(shù)模型】

模型1：若/(x")=W(x),則/(x)=/(a)logaX(a>CLi.wl,x>0)

模型2：若/(取)=/O)+/(y),則/(x)=/(a)logaX(a>(1l.wl,x,y>0)

模型3：若/(3=/(x)—/(y),則/0)=/(。)108“](。>0且/1,羽丁>0)

模型4：若/(知)=/(x)+/(y)+m,則/(x)=[〃a)+加]10gli廠加僅>0且wl,x,y>0)

模型5：若/(二)=/(x)-/(y)+〃z,則/(勸=[/(4)-同現(xiàn)/+"2(。>0且*1,%,丁>0)

【黑函數(shù)模型】

模型1：若/(孫)="x)/(y)，則/(%)=/(。產(chǎn)*(a>0且wl)

模型2：若/#)=競則〃加小產(chǎn)飛沈且小四外加。)

代入/(。)則可化簡為事函數(shù)；

【余弦函數(shù)模型】

模型1：若f(x+y)+f{x-y)=2/(x)/(y)(/(x)不恒為0),貝ij/(x)=coswx

模型2：若〃x)+/(y)=2/(工)/(1"(x)不恒為0),則/⑴=coswx

【正切函數(shù)模型】

模型：若模龍土y）=（/W⑺豐1）,則/（x）=tw

L+J\X）J（川J

一2

模型3：若/（X+丁）+/0-丁）=的%）/（刈/。）不值為0）,貝i］/（x）=xcoswx

K

【題型四】復(fù)合函數(shù)的應(yīng)用

【例1】函數(shù)/（力=廄2（2”?摩2（4司的值域為（）

1「1）「3）

A.RB.--,+ooC.一:，+8D.--,+oo

L24）L4）L2）

【答案】C

【分析】f（x）=（l+log2^）（2+log2%）,設(shè)W"y=［+：］-：，計算得到答案?

（詳解］〃X）=log2（2x）log2（4x）=（l+log2x）（2+log2%）,

■^log2X-t,貝［jy=（1+/）（2+/）=/2+3/+2=’+（）—；，

故函數(shù)的值域為

故選：C

【例2】已知函數(shù)〃x）=log5s-2）在［1,+向上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（）

A.（l,+oo）B.［ln2,+co）C.（2,+oo）D.［2,+oo）

【答案】C

【分析】先由題設(shè)條件證明。>2,再驗證。>2時條件滿足即可.

【詳解】若=logs（，-2）在［1,+8）上單調(diào)遞增，

則必然在尤=1處有定義，所以"-2>0,即。>2；

若a>2,貝！］當(dāng)時優(yōu)-22a-2>0,所以在［1,茁）上有定義，

再由a>1知屋-2在R上單調(diào)遞增，所以/（x）在［L+8）上單調(diào)遞增.

故選：C.

【變式1】已知函數(shù)〃x）=ln（加+2x+l）,若“X）的值域為R,則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.［0,1］B.（0,1）C.（1,+8）D,［0,+8）

【答案】A

【分析】

借助/（X）的值域為R可得a=a?+2x+1要取遍所有的正數(shù)，對a進(jìn)行分類討論即可得.

【詳解】若函數(shù)“X）的值域為R,貝!]〃=仆2+2工+1要取遍所有的正數(shù).

所以a=0或｛人、八，解得OWaWl,

[A=4-4A＞0

即實數(shù)a的取值范圍是[0,1].

故選：A.

【變式2】已知函數(shù)〃x）=W-ef,若〃a-2）+y（2/）＞0,則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.（2,+QO）B.1-2,野C.1一°°廠g]D.（-2,+co）

【答案】B

【分析】令g（x）=/（x+2）,即可判斷g（x）為奇函數(shù)，從而得到“X）關(guān)于（2,0）對稱，貝（J〃x）+/（4—x）=0,

再判斷的單調(diào)性，由對稱性將不等式化為，（2片）＞〃6"），再由單調(diào)性轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，解

得即可.

【詳解】因為〃無）=4r-eixeR,令g（x）=〃x+2）=±-e，，xeR,

ee

貝！Ig（一尤）=J-e-=_（J_ej=-g（x）,

所以g（x）為奇函數(shù)，則g（x）關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以〃x）關(guān)于（2,0）對稱，

貝！J/（x）+〃4-x）=。，

則'=/一2在定義域R上單調(diào)遞增，＞=」在（0,+“）上單調(diào)遞減，所以y=3在定義域R上單調(diào)遞減，

%e

則"X）=*-廣2在定義域R上單調(diào)遞減，

則不等式/（q-2）+/（2"）＞0,gpy（2?2）＞-/（?-2）,所以f（2/）＞/（6-a）,

則2a2＜6-a,解得-2＜av|,即實數(shù)/的取值范圍是[-2,|）.

故選：B

【變式3]（多選）設(shè)函數(shù)〃*=1暇--3詞（a＞0且"I）在區(qū)間g"上單調(diào)遞減，則。的取值可以為

（）

A.正B.立C.-D.3

223

【答案】AC

【分析】利用導(dǎo)數(shù)可求得g(x)=d-36的單調(diào)性，由此可得、=-一3例的大致圖象；分別在和。<“<1

的情況下，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可確定>-3國的單調(diào)性，結(jié)合了=9-3國的圖象可構(gòu)造不等式組求

得。的范圍.

【詳解】令,=——3對，g(x)=x3-3ax,

g，(無)=3x2-3a=3(x+夜)(尤_&),

二當(dāng)尤-&)0(&,+8)時，g<x)>0；當(dāng)尤時，g'(x)<0；

；.g(x)在卜8,,(6,+8)上單調(diào)遞增，在「后，&)上單調(diào)遞減；

令g(x)=O,解得：尤=0或X=±而'，

二.y=,-3國的大致圖象如下圖所示，

當(dāng)心1時，若/⑺在《，2)上單調(diào)遞減，則y=,-3同在已2)上單調(diào)遞減，

Vtz^—<2<弋3a,解得：§4a4a;

當(dāng)0<a<l時，若在g，2］上單調(diào)遞減，則y=,-3同在Ga］上單調(diào)遞增,

:.2<4a,解得：0<a<1；

49-

綜上所述：實數(shù)。的取值范圍為，，,，。可能的取值為正和々

3-4-

_23

故選：AC.

1.復(fù)合函數(shù)定義：兩個或兩個以上的基本初等函數(shù)經(jīng)過嵌套式復(fù)合成一個函數(shù)叫做復(fù)合函數(shù)。

復(fù)合函數(shù)形式：y=/"［g(x)］，令：f=g(x),則y=F(g(x))轉(zhuǎn)化為y=/O/=g(x)其中.叫作中間變量.

g(x)叫作內(nèi)層函數(shù)，y=/“)叫作外層函數(shù).

2.求復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的步驟：

①確定函數(shù)的定義域

CCC

誤區(qū)點(diǎn)撥

易錯點(diǎn)：對稱性與周期性混淆

1.周期性：/(x+a)~/(x)T-a；f(x+a)=~f(x)T-2a；

/、k

/(x+a)=；nT=2a；(左為常數(shù));f(x+a)=f(x+b)=>T=|a-Z?|

f\x)

2.對稱性：

對稱軸：f(a-x)=f(a+x)^,^f(2a-x)=f(x)=>/(x)關(guān)于x=a對稱；

對稱中心：/'(4一％)+/'(。+%)=26或者/'(24-％)+/'(%)=2/?=>/"(X)關(guān)于(a,b)對稱;

3.如果/(X)同時關(guān)于x=a對稱，又關(guān)于0,c)對稱，則/'(x)的周期T=|a—4

22

例1、已知函數(shù)/⑺的定義域為R,且/(x+y)+f(x-y)=/(x)"y),〃i)=i,則伏)=()

k=l

A.-3B.-2C.0D.1

【答案】A

【分析】法一：根據(jù)題意賦值即可知函數(shù)〃尤)的一個周期為6,求出函數(shù)一個周期中的了(1)"(2),…,“6)

的值，即可解出.

【詳解】［方法一］:賦值加性質(zhì)

因為〃x+y)+〃x—y)=〃x)〃y),令x=l,y=O可得,2/(1)=/(1)/(0),所以〃。)=2,令x=0可得，

/(y)+/(-y)=2/(y),即所以函數(shù)〃x)為偶函數(shù)，令y=i得,

/(x+l)+/(x-l)^/(x)/(l)=/(x),即有/(x+2)+/(x)=/(x+l),從而可知/(x+2)=—/(x—1),

f(x-l)=-/(x-4),故〃x+2)=/(x-4),即/(x)=/(x+6),所以函數(shù)〃x)的一個周期為6.因為

/(2)=/(1)-/(0)=1-2=-1,/(3)=/(2)-/(1)=-1-1=-2,/(4)=/(-2)=/(2)=-1,

/(5)=/(-1)=/(1)=1,/(6)=/(0)=2,所以

一個周期內(nèi)的/。)+/(2)+…+"6)=0.由于22除以6余4,

22

所以￡〃笈)=〃1)+〃2)+〃3)+〃4)=1一1一2-1=-3.故選：A.

k=l

［方法二］:【最優(yōu)解】構(gòu)造特殊函數(shù)

由f(^+y)+f(x-y)=/(x)f(y),聯(lián)想到余弦函數(shù)和差化積公式

cos(x+y)+cos(x-y)=2cosxcosy,可設(shè)/(x)=acos(wx,則由方法一中/(0)=2,/(1)=1知a=2,acos<?=1,

1jr

解得COS0=］,<<59=—,

所以“x)=2cos§x,則

/(x+y)+f(x-y)=2cos^yx+y^+2cos^x-yy^=4cos^xcosyj=/(x)/(y),所以〃x)=2cos1^

T2=6

符合條件，因此/(x)的周期工一，"0)=2,41)=1,且

3

"2)=-1"(3)=-2,"4)=T,"5)=1J⑹=2,所以/⑴+〃2)+/(3)+/(4)+/(5)+/(6)=0,

由于22除以6余4,

22

所以左)=/(1)+〃2)+〃3)+/(4)=1-1-2-1=一3.故選：A.

k=l

【整體點(diǎn)評】法一：利用賦值法求出函數(shù)的周期，即可解出，是該題的通性通法；

法二：作為選擇題，利用熟悉的函數(shù)使抽象問題具體化，簡化推理過程，直接使用具體函數(shù)的性質(zhì)解題，

簡單明了，是該題的最優(yōu)解.

例2、已知函數(shù)/(x),g(x)的定義域均為R,Mf{x}+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7.若y=g(x)的圖像關(guān)

22

于直線x=2對稱，g(2)=4,則E"左)=()

k=l

A.-21B.-22C.-23D.-24

【答案】D

【分析】根據(jù)對稱性和已知條件得到/。)+/。-2)=-2,從而得到"3)+”5)+…+”21)=-10,

/(4)+/(6)+...+/(22)=-10,然后根據(jù)條件得到/⑵的值，再由題意得到g⑶=6從而得到了⑴的值即

可求解.

【詳解】因為y=g(x)的圖像關(guān)于直線x=2對稱，

所以g(2-x)=g(x+2),

因為g(x)_f(x_4)=7,所以g(x+2)-/(尤一2)=7,即g(x+2)=7+/(尤一2),

因為〃x)+g(2-x)=5,所以〃x)+g(x+2)=5,

代入得/(x)+[7+2)]=5,即f{x}+于(x-2)=-2,

所以"3)+”5)+...+”21)=(-2)x5=-10,

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