13.1控制系統的狀態空間描述

狀態空間描述是線性系統理論，乃至現代控制理論中，最基本又最重要的內容之一。本章只重點介紹和討論建立單輸入-單輸出線性定常系統狀態空間描述的一些主要方法及相關問題，一是因為所討論的方法具有代表性，二是這類系統在工業中目前仍占有很大比例。2

本章主要內容第一節狀態空間描述的基本定義及一般形式第二節根據系統機理建立狀態空間表達式第三節由系統微分方程式轉換為狀態空間表達式第四節由系統傳遞函數轉變為狀態空間表達式第五節由系統的結構圖建立狀態空間表達式第六節由狀態空間描述轉換成傳遞函數描述第七節離散控制系統的狀態空間描述3第一節狀態空間描述的基本定義及一般形式

一、基本定義與概念1.狀態

動力學系統的狀態，較嚴格和完整的定義，是指能完全描述或確定系統動態行為的個數最少的一組變量。

定義中的“完全描述或確定”的含義是指，如果給出了這組變量的各初值和時的系統輸入量，那么，系統在時的任何瞬間的行為都能被完全確定。

定義中“個數最少”的含義是指，對于所選定的一組變量，若減少了其中的一個，則無法確定系統的行為，若再增加一個又沒有必要。因此，要選擇線性無關的變量作為狀態。2.狀態變量

構成系統狀態中的每一個變量。常用表示。狀態變量可以是物理量，或是一些物理量的組合；可以是能測量的，也可以是不能量測的。但是，從工程角度，狀態變量應選擇容易測量的物理量為好，這對系統的分析和實施控制都會比較方便。43、狀態矢量

又稱狀態向量，把狀態變量，視為向量的分量，則稱為狀態矢量。常簡寫為，即4.狀態空間

以狀態變量

為坐標軸所構成的維空間。維空間是一個抽象的概念，但可以從《幾何學》上的二維空間是一個平面、三維空間是一個立方體地推廣和聯想。5.狀態方程

狀態變量的導數與狀態變量和輸入量之間關系的一階微分方程組（連續系統）或一階差分方程組（離散系統）。56、輸出方程

系統輸出量與狀態變量和輸入量之間關系的代數方程。輸出量常用英文小寫字母“”表示。7、狀態空間表達式

狀態方程和輸出方程一起，稱為系統的狀態空間表達式，或稱為動態方程式，它構成了對系統動態行為的完整描述。8、狀態變量圖

反映系統中各狀態變量之間傳遞關系的圖形。系統的狀態空間描述，是通過“狀態空間表達式”或（和）“狀態變量圖”來表示的。

6由定義可知，系統的狀態空間表達式，應包含兩個方程，一是狀態方程，1、單輸入--單輸出線性系統

一單輸入單輸出線性定常連續系統，設u為輸入量，y為輸出量。若系統有n個狀態變量，則根據狀態方程的定義，它是由n個一階微分方程式組成，一般形式為二、狀態空間表達式的一般形式二是輸出方程。（1）定常連續系統7輸出方程表達式或一般形式為式（1-1）和式（1-2）構成了描述系統的狀態空間表達式。寫成向量矩陣式為（1-1）（1-2）+

8簡寫成式中；=

=

C

線性定常離散系統的狀態空間表達式與線性定常連續系統的類同，只是定常（2）定常離散系統..狀態方程

…

輸出方程

離散系統由向量差分方程組成而巳，簡寫形式如下9（3）時變系統2、多輸入--多輸出線性系統（1）線性定常系統一多輸入多輸出線性定常系統，設有r個輸入量，個輸出量若有n個狀態變量，則其狀態方程的一般表達式為10輸出方程的一般表達式為（2）線性時變系統113、非線性系統

輸出方程的一般表達式為狀態方程，是用n個一階非線性微分方程式來表示12三、狀態變量圖的一般形式

線性系統狀態空間描述也可用狀態變量圖表示。狀態變量圖由積分器、比例器、加(減)法器和信號線組成。其中，積分器是用一個方框，方框內畫一個積分符號“”或積分的拉氏變換“，比例器也用一個方框，方框內寫入其比例系數值；加(減)法器用小園圈如圖（1-1）所示。”13根據系統的狀態方程和輸出方程容易繪制出其圖形。例如，系統的狀態空間表達式為

…………….狀態方程

…………….輸出方程其狀態變量圖，如圖(1-2)所示。14依據狀態方程容易畫出正向傳輸通道和反饋通道；依據輸出方程可畫出直接傳輸通道圖中，雙線箭頭表示信號傳遞的是向量信號，但為了繪圖方便，今后都簡化為單線箭頭表示。具體的繪制方法和步驟，將在后面的章節中結合實際的系統詳細介紹。15

第二節根據系統機理建立狀態空間表達式一般的控制系統可根據系統內部信號所遵循的物理或化學定理或規律，去建立其狀態空間表達式。具體步驟如下：(1)確定系統的輸入量和輸出量；(2)根據系統內部信號所遵循的機理或物理、化學定律，列寫出描述系統動態特性的微分方程；(3)選擇狀態變量，把微分方程化為含狀態變量的一階微分方程組；（4）表示成向量-矩陣方程形式。下面通過例子說明，機理方法建立環節(或系統)狀態空間表達式的方法和過程。16例

1-1

R-L-C電路如圖1-3所示，試求其

狀態空間表達式并繪制其狀態變量圖。

解(1)輸入量為，設輸出量為電容電壓(2)根據《電路》理論中的相關定律有(1-13)(1-14)17(3)電路中有兩個獨立的儲能元件，電感和電容。選取電流和電容電壓為狀態變量，即將式(1-13)改寫成為狀態變量的一階微分方程式（1-15）將式(1-14)改寫為狀態變量的一階微分方程式（1-16）18式(1-15)和(1-16)，便組成了圖1-3所示的R-L-C電路的狀態分程

(1-17)輸出量用表示，由狀態變量可知，輸出方程為==

(1-18)式（1-17）和式（1-18），構成了圖（1-3.電路的狀態空間表達式。19(4)用向量-矩陣方程式表示或簡寫成20

；

A=

b=；

C=狀態變量圖的繪制方法和步驟是，

首先畫出二個積分器（積分器的個數等于狀態變量的個數），并把它們畫在適當的位置上；把每個積分器的輸出表示為某個狀態變量；然后,根據狀態方程式（1-17）和輸出方程式（1-18），畫出相應的比例器和加法器；最后用帶箭頭的信號線按信號的流通方向將這些元件連接起來。其狀態變量圖，如圖1-4所示。2122對于例1-1的R-L-C電路，若選取電流和電流的積分為狀態變量，即由式(1-14)，有(1-21)上式代入式(1-13)，消去中間變量后，式(1-13)可改寫為（1-22）23寫成矩陣方程：

(1-26)24比較式(1-19)和式(1-26)，狀態空間表達式是不同的。

要指出的是，下面章節將證明，環節（或系統）的傳遞函數、表征動態性能的特征根都是相同的。1-2電樞控制的直流電機如圖1-5所示，建立其動態方程。.例25解

電樞控制的直流電機，可視為是單輸入（電樞電壓）單輸出（速度）的部件，但要同時考慮電樞電壓和負載干擾時的數學模型，可視為雙輸入單輸出的部件。(1)輸入量為電樞電壓和負載轉矩，輸出量為電動機軸上的角速度(2)列寫微分方程由《電機學》和《電機拖動》，（1-28）(1-29)26(1-30)(1-31)(3)選擇狀態變量

有兩個獨立的儲能元件，一是電樞電感二是電機軸上的轉動慣量。

選儲能元件上的物理量，電樞電流和電動機軸上的角速度為狀態變量27式(1-28)中

，是中間變量。式(1-29)代入式(1-28)，

消去式(1-28)中的中間變量并改寫成電樞電流為狀態變量的一階微分方程式，(1-32)式

(1-31)代入式(1-30)，消去式(1-30)的中間變量后，

并改寫為角速度為狀態變量的一階微分方程式，有(1-33)28式(1-32)和式(1-33)，組成了電樞控制的直流電機的狀態方程(1-34)輸出量為，用表示，輸出方程為(1-35)式（1-34）和式（1-35）構成了電樞控制的直流電機的狀態空間表達式

29第三節由系統微分方程式轉換為狀態空間表達式設描述系統的n階微分方程式為（1-39）由第一節可知，系統的狀態空間表達式用矢量-矩陣方程表示時為（1-40）

可見，要將微分方程式轉變為狀態空間表達式的關鍵問題，一是如何選擇系統的狀態變量，二是怎樣由微分方程系數確定出矩陣、c及d中的元素值。下面分兩種情況討論。30

一、輸入信號不含有導數項的情況系統的微分方程為(1-41)(1)選擇狀態變量選取輸出及其各階導數為狀態變量，即…..(1-42)31（2）狀態方程對式（1-42）的狀態變量求導數，并考慮式（1-41），可得（1-43）32式(1-43)的狀態方程組可用向量矩陣方程表示（1-44）(3)輸出方程由狀態變量式(1-42)可知，系統的輸出方程為

（1-45）33用矩陣方程表示(1-46)（4）狀態空間表達式式(1-43)和式(1-45)，構成了描述系統微分程式(1-41)的狀態空間表達式。式(1-44)和式(1-46)，構成了矢量-矩陣方程表達式。狀態空間表達式簡寫成（1-47）34

；；；35（5）狀態變量圖36例1-3

設一控制系統的動態過程用微分方程表示為試列寫狀態空間表達式，并畫出狀態變量圖。解

選取狀態變量，，，則由式（1-43）得狀態方程為

37寫成矩陣形式系統的輸出方程為寫矩陣形式38狀態變量圖注意：系統微分方程式（1-41），若選取另一組狀態變量，則具有另一種狀態空間的表達式39

系統微分方程式（1-41），若選取另一組狀態變量，則具有另一種狀態空間的表達式。例如，若選狀態變量為………….40則狀態方程為(1-49)41輸出方程，由狀態變量式（1-48），有式(1-49)的狀態方程和式(1-50)的輸的方程，組成了另一種狀態空間表達式。(1-50)42寫成矩陣方程形式4344二、輸入信號含有導數項的情況

這種情況時，不能采用上面的方法選狀態變量。通常把狀態變量取為輸出和輸入導數的某種適當的組合。1）、狀態變量

為避免在狀態方程中出現輸入量的導數項，可選如下一組狀態變量

……….（1-53）45式中，，，…….，由微分方程中的系數按下式計算；；（1-54）

…………..46（2）、狀態方程對狀態變量式（1-53）求導數，可推演出其狀態方程式如下（1-55）47（3）輸出方程

由狀態變量式（1-53）的第一行，可得輸出方程

（1-56）（4）狀態空間表達式

（1-57）48簡寫為說明：若輸入量中僅含有次導數，而，則可以把高于次輸入導數項的系數當作零來處理，上面公式仍適用。49例1-4

設系統的微分方程為求系統的狀態空間表達式。

解

對應微分方程式（1-52）可知，系統階數=3，=640

=192；18；

=640，=160，=0，。50狀態變量，由式（1-53）可得系數，由式（1-54）可得51參照式（1-55），其狀態方程為參照式（1-56），輸出方程為52第四節由系統傳遞函數轉變為狀態空間表達式

當線性定常系統的數學模型用傳遞函數表示時，主要有兩種表達形式，

一種是其分子分母均為s的多項式；另一種是零-極點型式。本節介紹和討論把它們轉變為狀態空間表達式的方法。一、系統傳遞函數為s的多項式設n階控制系統的傳遞函數為(1-59)

、53由系統傳遞函數求狀態空間表達式的問題是，選擇系統的某一組確定狀態空間表達式（1-60）中的矩陣

、和

中的元素值。

狀態變量，再由傳遞函數中的系數54下面分兩種情況討論。1、當即分子和分母多項式的最高次數值相等時，式（1-59）表示為（1-61）由于傳遞函數不是一個嚴格的有理真分式。首先把其化為具有嚴格有理真分式的表達式。為此，可用長除法使其變成（1-62）55式（1-62）中，是商，也是分子最高次

的系數值，而（1-63）是一個嚴格有理真分式，分子項系數、、、由下式求出

（1-64）56由式(1-62)可得到系統輸出量的拉氏變換式(1-65)對上式作拉氏反變換后，并與狀態空間表達式（1-60）中的輸出方程相比較，可得輸出方程中的直接傳輸系數值為

（1-66）狀態空間表達式（1-60）中矩陣、

、的元素值，

則由式(1-63)中的分母系數和分子系數值求取。

為此，在式(1-63)中引入一個中間變量(1-67)57上式可寫成=

=

或寫成（1-68）(1-69)58對式(1-69)兩邊取拉氏反變換后的微分方程為（1-70）上式是一個不含輸入導數項的n階微分方程，式中，是的拉氏反變換。

若選取一組狀態變量參照上一節式（1-47），其對應的狀態方程寫成矩陣形式為59（1-71）輸出方程，可通過對式（1-68）取拉氏反變換后得到，即輸出方程為（1-72）60式（1-71）和式（1-72），構成了傳遞函數具有嚴格有理真分式（1-63）時表達式，用矩陣方程式表示為的狀態空間（1-73）式中61綜合式（1-66）和式（1-73），當時，式（1-61）對應的狀態空間表達式為622、當時，傳遞函數式（1-59）為（1-75）上式的傳遞函數己經是一個嚴格的有理真分式。它與嚴格的有理真分式（1-63）相對比，只是分子項的字母表達不同而巳參照式（1-73）為（1-76）63式中，64例1-5

己知系統的傳遞函數求其對應的狀態空間描述式。解

方法一因為、應用公式（1-78），狀態空間描述式為65其中對照傳遞函數式(1-77)，各項系數為；、、。按式（1-79），計算、66相關參數值代入矩陣方程，狀態空間表達式為方法二先用長除法，傳遞函數變為67是一嚴格有理真分式，對照式(1-80)；，；

參照式（1-81），其對應的狀態方程為輸出方程中的元素值對照式(1-81)，

并考慮到直接傳輸系數值結果相同！68例1-6

己知系統的傳遞函數求其對應的狀態空間表達式。

解因為對照傳遞函數式(1-80)，各項系數為、、；、其對應的狀態空間描述式，根據式(1-81)有6970二、傳遞函數為因子相乘由于實際的控制系統通常分母的階數都大于分子的階數，下面只討論的情況。

當時，可先用長除法處理后再按情況分析和處理。

1、特征方程根互異設n階系統的傳遞函數為(1-82)式中，為n個互不相同的特征根，且分子分母無因子相約。71將式(1-82)化為部分分式的形式(1-83)式中，

，，…….，

為待定常數(留數)，其值可按下式計算系統輸出的拉氏變換式，由式（1-83）可得72（1-85）若選狀態變量的拉氏變換式為(1-86)上式又可寫成73(1-87)對上式取拉氏反變換，可得狀態方程（1-88）74輸出量的拉氏變換式，可由狀態變量拉氏變換式（1-86）代入式（1-85）得到對上式進行拉氏反變換，可得輸出方程（1-90）由式（1-88）和式（1-90），組成了系統的狀態空間表達式。寫成矩陣形式75例1-7

設一控制系統的閉環傳遞函數為

試求狀態空間描述。解對傳遞函數作部分分式展開76對照式（1-91），系統的狀態空間表達式為772、特征方程有重根設n階系統的傳遞函數中有q個重根，其余均為互異根，即(1-92)式中，為重根，有q個；為互異根。

傳遞函數部分分式展開(1-93)（78對于重極點的留數（），按下式計算（1-94）對于單極點的留數按下式計算（1-95）輸出的拉氏變換式，由式（1-93）可得（1-96）79選擇狀態變量（1-97）80上式又可寫成（1-98）81上式去分母及移項后有（1-99）82對上式取拉氏反變換，可得狀態方程為（1-100）...83狀態方程寫成矩陣形式（1-101）84輸出方程

對式(1-96)取拉氏反變換，可得(1-102)式（1-101）和式（1-102），組成了系統的狀態空間矩陣表達式

85狀態結構圖86例1-8

己知系統傳遞函數試求狀態空間表達式。解

系統有兩個重根，-1；一個根為-2。系統傳遞函數化為部分分式參考式(1-103)，狀態空間表達式為8788

第五節由系統的結構圖建立狀態空間表達式

由于系統結構圖通常都是由一些典型結構組成，下面先介紹一些常見的典型結構圖相對應的狀態變量圖以及對應的狀態空間表達式。一、典型結構圖的狀態變換圖及狀態空間表達式1、積分環節積分環節的結構圖和對應的狀態變量圖，如圖1-9所示。

圖1-9積分器的結構圖及狀態變量圖

a)結構圖b)狀態變量圖89

令積分器的輸出端為狀態變量，則積分器的輸入端為狀態變量的導數，由此可寫出其狀態空間表達式（1-104）2、一階環節最基本、最常見的一階環節，如圖1-10a)所示。實際上是一個慣性部件，或者就是一階系統模型。轉換成狀態變量圖時，先把放大系數和時間常數提出，視為一個比例器，再與一個正向通的負反饋環節相串聯，如圖1-10b所示。道為積分，反饋系數為90

圖1-10慣性環節的結構圖及狀態變量圖

a)結構圖b)狀態變量圖

令積分器的輸出端為狀態變量，則積分器的輸入端為狀態變量的導數，由此可寫出其狀態空間表達式913、帶零點-極點環節帶零點-極點環節的結構圖如圖1-11a所示。92由上式可畫出其對應的狀態變量圖，如圖1-11b)所示。改為狀態變量圖時，把傳遞函數化為93振蕩環節結構圖和狀態變量圖，如圖1-12所示。4、振蕩環節

圖1-12二階振蕩環節結構圖和狀態變量圖a)結構圖

b）狀態變量圖94由狀態變量圖可寫出其狀態方程

和輸出方程為

95圖1-13二'階環節的結構圖、狀態變量圖a)結構圖b)狀態變量圖4、一般二階環節典型二'階環節的結構圖及其對應的一種狀態變量圖，如圖1-13所示96根據狀態變量圖容易寫出其狀態空間表達式為要注意的是，上面環節的狀態變量圖并不是唯一的形式。97二、由系統結構圖建立狀態空間表達式

把系統結構圖中的各個環節，按上面的方法分別改畫成對應的狀態變量圖后便組成了系統的狀態變量圖；然后把含有積分器的輸出端作為系統的一個狀態變量，積分器的輸入端為該狀態變量的導數；最后，根據系統變量圖的信號傳遞關系能容易地寫出狀態空間表達式。例1-9巳知系統結構圖如圖1-14所示，求系統狀態空間表達式。98解

該系統由4個環節組成。分別是2個慣性，1個積分和一個比例。按上面的方法把每個環節分別畫出其對應的狀態變量圖后得到原系統的狀態變量圖，如圖1-15所示。993個積分器的輸出端設定為狀態變量，積分器的輸入端為該狀態變量的導數。根據系統狀態結構圖列寫出如下狀態方程輸出方程100寫成矩陣形式

若系統中包含的環節不多而且較簡單時，也可以直接令各個環節的輸出為狀態變量的拉氏變換，然后根據結構圖列出相關方程，最后再經拉氏反變換的方法，也能容易地求出狀態空間表達式。下面通過例說明其求解過程。101例1-10

已知系統結構圖如圖1-16所示，試求狀態空間表達式，并畫出狀態變量圖102解

在系統結構圖中的相關環節后（或前）分別標注出狀態變量的拉氏變換式如圖所示。由結構圖可列出如下方程103對上面的前兩個方程去分母及移項對上面方程取拉氏反變換有104由上述三式，可得狀態空間表達式如下：對應的狀態變量圖，如圖1-17所示。105圖1-17例1-10系統狀態變量圖106

第六節由狀態空間描述轉換成傳遞函數描述、單輸入-單輸出系統設

階的單輸入-單輸出系統的狀態空間描述為(1-111)在零初始條件下，對上式進行拉氏變換可得(1-112)107上式作移項、合并和整理后，可得狀態變量的拉氏變換式式中，是維的單位矩陣。上式代入式(1-113)，可得輸出量的拉氏變換式根據傳遞函數的定義，由式(1-115)可得系統的傳遞函數(1-115)(1-116)108若直接傳輸系數為零，則傳遞函數為(1-117)式中，

稱為特征矩陣；

為特征矩陣的逆陣；稱為特征矩陣的伴隨矩陣；

也寫成是特征矩陣的行列式，又稱為系統矩陣

的特征多項式。

109例1-11

某系統的狀態空間表達式為式中，求系統的傳遞函數。解先求110所以系統傳遞函數為111二、多輸入-多輸出系統多輸入-多輸出系統的狀態空間表達式的形式與單輸入單輸出系統的形式相同只是表達式中的、和都是矩陣，在單輸入單輸出系統中，它們都是向量。由狀態空間表達式轉換成傳遞函數的方法和過程，都和單輸入單輸出系統的一樣，也是先對式(1-118)取拉氏變換、移項、代入及整理，公式的形式也相同，即112(1-119)由于、、和都是矩陣，因此，式(1-119)中的也是矩陣。

例如，一個階系統，若有個輸入量，個輸出量，則

是兩個向量的比，其一般的形式為113為此，對于多輸入多輸出系統，稱為傳遞矩陣。

它的元素，

通常都是s的有理分式，表示系統的第個輸入量對第個輸出量的拉氏變換的比。例1-12己知一多輸入多輸出系統的狀態空間描述式中，，求其傳遞矩陣。114解由傳遞函數公式(1-119)，并代入、、和的值，其中=0，有115根據矩陣求逆公式116于是，傳遞函數陣為==117

第二節曾指出，對一系統或環節而言，其狀態變量的選取是不唯一的，因此，它的狀態空間表達式也是不同的，但是，系統的傳遞函數或傳遞（函數矩陣）一定是相同的。例1-13圖1-3所示的電路，輸入量為，輸出量為電容。

電壓已知，當選取電流和電容電壓為狀態變量

，

時，其狀態空間表達式為118式中，A=b=

C=當選取電流和電流的積分為狀態變量

其狀態空間表達式中系數A=

b=；

C=119試證明，兩種不同狀態變量下的電路傳遞函數是相同的。解

當選取電流和電容電壓為狀態變量(

，時，電路傳遞函數)先求120所以，系統傳遞函數為121當選取電流和電流的積分為狀態變量(

，電路傳遞函數)時，先求122所以，系統傳遞函數為

可見，選取不同的兩組狀態變量，得到兩種不同的狀態空間表達式，但電路的傳遞函數卻是完全相同的。123三、組合系統組合系統是指由若干個子系統分別按串聯、并聯或反饋連接而成的系統。為了討論方便，下面僅討論由兩個子系統主要按串聯、并聯組成的組合系統。1、串聯連接兩個子系統串聯連接，如圖1-19所示。設子系統一的狀態空間表達式和傳遞函數分別為124(1-120)子系統二的狀態空間表達式和傳遞函數分別為(1-121)125設組合系統的輸入量為輸出量為。由圖1-19可知，第一個子，系統的輸入量為組合系統的輸入量；第一個子系統的輸出量是第二個子系統的輸入量，；第二個子系統的輸出量，作為組合系統的輸出量，。上述關系分別代入兩個子系統的狀態空間表達式中，有(1-122)(1-123)126組合系統的狀態空間表達式，寫成矩陣方程為(1-124)因為127

上式表明，當兩個子系統相串聯時，組合系統的傳遞函數是兩個子系統傳遞函數的乘積。

這一結論也可推廣到n個子系統相串聯，即n個子系統相串聯后的傳遞函數為n個子系統的傳遞函數之乘積。2、并聯連接兩個子系統并聯連接，如圖1-20所示。128設組合系統的輸入量為，輸出量為由圖1-20可知，組合系統的輸入量與第一個和第二個子系統的輸入量是相同的，；組合系統的輸出量是二個子系統的輸出量之和，即

上述關系分別代入兩個子系統的狀態空間表達式中，并作一定處理后容易得到組合系統的狀態空間表達式129由式1-119，組合系統的傳遞函數（矩陣）容易求得

上式表明，當兩個子系統相并聯時，組合系統的傳遞函數是兩個子系統傳遞函數之和。這一結論也可推廣到n個子系統相并聯，即n個子系統相并聯后的傳遞函數為n個子系統