(北師大版)九年級數學下冊《第三章圓》單元測試卷帶答案

學校:姓名：班級：考號：

第一課時：求線段長度

1.如圖，直線AB與半徑為2的。0相切于點C-D是。0上一點，且NEDC=30°，弦

EF〃AB，貝!]EF的長為.

第1題圖第2題圖第3題圖

2.如圖，兩同心圓的大圓半徑長為5cm,小圓半徑長為3cm,大圓的弦AB與小圓相切，切點

為C,則弦AB的長是.

3.如圖，直線a，b,垂足為H,點P在直線b上，PH=6cm,0為直線b上一動點，若以2cm為

半徑的00與直線a相切，則0P的長為

4.當寬為3c機的刻度尺的一邊與圓相切時，另一邊與圓的兩個交點處的讀數如圖所示(單位：cm)

求該圓的半徑.

5.如圖，在AABC中，NC=90°,以AB上一點O為圓心，OA長為半徑的圓與BC相切于點D

分別交AC,AB于點E,F,若AC=6,AB=10,求。。的半徑；

6.如圖，OA和OB是。。的半徑，OA=2,OA±OB,P是OA上任意一點，BP的延長線交。。于

點C,過點C作。。的切線，交0A的延長線于點D.

(1)求證：DP=DC；(2)若OP=PC,求PC的長.

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B

第二課時：求角度

1.如圖,已知直線CD與。。相切于點C，A8為直徑.若NBC￡)=40。，則NABC=

AB

n、--/、k

第1題圖第2題圖第3題圖

2.如圖，AB是。0的弦，AC是。0切線，A為切點，BC經過圓心.若NB=20°,則NC=

3.如圖，4ABC的邊AC與。0相交于C,D兩點，且經過圓心0,邊AB與。0相切，切點為B.

如果NA=34°,那么/C=°

4.如圖，已知點。為RtZ\ABC斜邊AC上一點，以點。為圓心，0A長為半徑的。。與BC相切于

點E,與AC相交于點D,連接AE.求證：AE平分/CAB；

5.已知。。中，AC為直徑，MA、MB分別切。。于點A、B.

(1)如圖①，若NBAC=23°,求NAMB的大小；

(2)如圖②，過點B作BD〃MA,交AC于點E,交。。于點D,若BD=MA,求/AMB的大小.

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6.如圖，AB為。。的直徑，PD切。。于點C,交AB的延長線于點D,且ND=2/CAD.

(1)求/D的度數；

(2)若CD=2,求BD的長.

7.如圖，已知在RtZiABC中，ZABC=90°,ZA=50",以直角邊AB為直徑作。0,交斜邊

AC于點D,連接BD.過點D作ED與。0相切.求/DEC的度數.

8?已知AB是。O的直徑，AT是。O的切線，ZABT=50°，BT交。O于點C，E是AB上一點

延長CE交。0于點D.

(I)如圖3-ZT-6①，求NT和NCDB的大小；

(^)如圖3—ZT—6②，當BE=BC時，求NCD0的大小.

9.如圖，PA與。0相切于A點，弦ABL0P,垂足為C,0P與。0相交于D點，已知0A=2,0P=4.

(1)求NP0A的度數；

(2)計算弦AB的長.

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10.如圖，P為。。外一點，PA、PB均為。。的切線，A和B是切點，BC是直徑.求證:

(1)ZAPB=2ZABC；

(2)AC//OP.

第三課時：求坐標

1.如圖，在平面直角坐標系中，以M(2,4)為圓心，AB為直徑的圓與x軸相切，與y軸交于A

C兩點，則點B的坐標是

2.如圖，在平面直角坐標系中，。人與丫軸相切于原點O,平行于x軸的直線交。A于M,N兩點

若點M的坐標是(-8,-4),則點N的坐標為

3.如圖，平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為(8,5),OA與x軸相切.點P在y軸正半軸上

PB與。A相切于點B.若NAPB=30°,則點P的坐標為

4.如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知矩形OABC的邊OA、0C分別落在x軸、y軸上，D為0C

邊上一點，沿BD翻折△BDC,點C恰好落在0A邊上點E處，0C=8,OE-OD=1.點P是0A邊上

一個動點，以點P為圓心，P0長為半徑作。P.

(1)求點B的坐標：

(2)若。P與4BDE一邊所在直線相切，求點P的坐標.

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5.如圖，在平面直角坐標系xOy中，A(0,2),B(0,6),點P在直線y=x上，OP的半徑為3

設P(x,y).

(1)求。P與直線x=2相切時點P的坐標；

(2)動點C在直線y=x上，若以A、B、C三點為頂點的三角形是等腰三角形，則點C的個數是

第四課時：求面積

1.如圖，兩個半圓中，長為6的弦CD與大半圓的直徑AB平行且與小半圓相切，則圖中陰影部分

的面積為?

第1題圖第2題圖第3題圖

2.如圖，。。的半徑為2,點。到直線I的距離為4,過I上任一點P作。。的切線，切點為Q;

若以PQ為邊作正方形PQRS,則正方形PQRS的面積最小值為

3.已知正方形ABCD邊長為2,DE與以AB的中點為圓心的圓相切交BC于點E,求三角形DEC的

面積__________

4.如圖，以點。為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB切小圓于點P.

(1)PA與PB的數量關系是;

(2)若AB=12,求圓環的面積.

5.如圖，AB為。。的直徑，C為。。上一點，AD和過點C的切線互相垂直，垂足為D,且交

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于點E.連接OC,BE,相交于點F.已知DC=4cm,DE=2cm.

(1)求BF的長；

(2)求。。的面積.

6.如圖，點A是00直徑BD延長線上的一點，AC是。。的切線，C為切點.AD=CD.

(1)求證：AC=BC；

(2)若。。的半徑為1,求^ABC的面積.

第五課時：說理題

1.如圖，已知A8為。。的直徑，OC切。。于點C，過點。作。，垂足為E，OE交AC于

點E求證：△。/C是等腰三角形.

2?已知：如圖，P是。O外一點，過點P作。。的切線尸C(C為切點)，交。。于點A，B

連接AC，8c求證：ZPCA=ZPBC.

3.如圖，AB是。0的直徑，CA與。。相切于點A,且CA=BA.連接0C,過點A作AD_LOC于點E

交。0于點D,連接DB.求證：ZiACE之4BAD

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K

cB

D

4.如圖，。。的直徑為AB,點C在。0上，點D,E分別在AB,AC的延長線上，DE±AE

垂足為E,CD與。。相切于點C.

(1)求證：ZA=ZCDE；

(2)若AB=4,BD=3,求CD的長.

第一課時：求線段長度

參考答案

1.填空

(1)解：如圖，連接0E，0C設0C與斯的交點為M

VZ￡DC=30°

：.ZCOE=60°.

：A8與。。相切

：.OC±AB.

5L'：EF//AB

：.OC±EF'即△EOM為直角三角形

?./OEM=90°—60°=30°.

在Rt/XEOM中，OM=^OE=1

由勾股定理，得EM=NOE2—OM2=P

,:EF=2EM

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：.EF=2小.

(2)解：：AB是。。切線

.'.OCXAB

，AC=BC

在RtABOC中，：NBCO=90°,OB=5,OC=3

BC=V52-32=4(cm)

AB=2BC=8cm.

(3)解：：直線a，b,0為直線b上一動點

與直線a相切時，切點為H

0H=2cm

當點。在gH的左側，。。與直線a相切時

如圖1所示：OP=PH-OH=6-2=4(cm)；

當點。在gH的右側，。。與直線a相切時

如圖2所示:OP=PH+OH=6+2=8(cm)；

；.。0與直線a相切，0P的長為4cm或8cm

故答案為：4cm或8cm.

2?如圖，設。。與直尺的切點為C，連接。1，0B，0C，設0C與AB的交點為。，。。的半徑為Rem，則0CLA8于點D

在RtZXOA。中，AD=4，0D=R—3，OA^R

由勾股定理，得R2=(R—3)2+42，解得R=竟2s.

即圓的半徑為不cm.

3.解：連結0D,設。。的半徑為r

切。。于點。

：.OD±BC

VZC=90°

：.OD//AC

：.40BDSAABC

,OPOBr10-r

"AC=AB-B|J6=10

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解得r=?

的半徑為竽

4.(1)證明：連接0C

VCD是切線

.?.ZOCD=90°

.?.ZBCO+ZPCD=90°

VOAXOB

.?.ZBOA=90°

.?.ZB+ZBPO=90°

又/BPO=/DPQ

.?.ZB+ZDOC=90°

由OB=OC得：NB=/BCO

.?.ZDPC=ZDCP

.?.PD=CD；

(2)解:VOP=PC

.?.ZPOC=ZPCO

又OB=OC

.'.ZB=ZPCO

設/B=NPCO=/POC=x

又/BOP=90°

根據三角形內角和定理得：ZB+ZBOP+ZPOC+ZPCO=180"

即x+90°+x+x=180°

解得：x=30°,即NB=30°

.?.ZDPC=ZBPO=60°

又PD=CD

.,.△PCD為等邊三角形，即PC=CD=PD

在直角三角形OCD中，OC=OB=OA=2

2n

根據銳角三角函數定義得：PC=CD=OC?tan300=——.

3

第二課時：求角度

參考答案

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1.連接OC，則。C_LC。，而488=40°

：.ZBCO=50°.

在△0C2中，：0c=OB

：.ZOCB=ZOBC^5Q°>即/A8C=50°.

2.如圖，連接OA

：AC是。0的切線

.?.ZOAC=90°

VOA=OB

；./B=NOAB=20°

ZAOC=40°

.?.ZC=50°.

3.解：連結OB

：AB與。相切

.?.OB±AB

ZABO=90°

ZAOB=90o-ZA=90o-34o=56°

:弧8口=弧BD

1

.\ZC=—ZAOB

2

1

AZC=-x56°=28°

2

VOE=OA

AZ1=ZOEA

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：BC是圓O的切線

.'.OEXBC

?.,ZB=90°

.'.AB±BC

，OE〃AB

.?.ZOEA=ZBAE

.?.Z1=ZBAE

.?.AE平分NCAB。

5.(1)解：VMA>MB分別切。。于點A、B.

，AM=BM,OA±AM

.?.ZMBA=ZMAB

；./BAC+NMAB=90°

,.,ZBAC=23"

NMBA=NMAB=90°-23°=67°

，ZAMB=180°-2x67°=46°

(2)解：連接AB、AD

BD〃AM,DB=AM

，四邊形BMAD是平行四邊形

BM=AD

:MA切。。于A

.\AC±AM

VBD/7AM

.?.BD±AC

，BE=DE

；.AC垂直平分BD

；.AB=AD=BM

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「MA、MB分別切。。于A.B

AMA=MB

.'.BM=MA=AB

AABMA是等邊三角形

AZAMB=60°

6.解：(1)VOA=OC

???NA=NACO

???NCOD=NA+ZACO=2ZA

VZD=2ZA

AZD=ZCOD

???PD切。O于C

.\ZOCD=90°

???ND=NCOD=45。；

(2)VZD=ZCOD,CD=2

???OC=OB=CD=2

在R3OCD中，由勾股定理得：22+22=(2+BD)2

解得：BD=2/一2(負值舍去).

7?解：TAB為。。的直徑

???ZADB=90°.

又丁ZABC=90°

：.ZA+ZABD=90°，ZDBE+ZABD=90°

:?NDBE=ZA=50°.

,.?瓦＞與。。相切，連接0。

：.ZODE=90°.

'：OD=OB

：.ZOBD=ZODB

：.ZEDB=ZDBE=50°

：.ZDEC=2ZEDB=100°.

8?解：(I)如圖①，連接AC

TAB是。。的直徑，AT是。。的切線

：.AT±AB

即N7X8=90。.

?.?ZABT=50°

：.ZT=90°-ZABT=40°.

TAB是。。的直徑

???ZACB=90°

???ZCAB=90°-ZABC=40°

：.ZCDB=ZCAB=40°.

(II)如圖②，連接AD

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在△5CE中，?：BE=BC，ZEBC=50°

：.ZBCE=ZBEC=65°

：.ZBAD=ZBCD=65°.

?：OA=OD

：.ZODA=ZOAD=65°.

???ZADC=ZABC=50°

：.ZCDO=ZODA-ZADC=15°.

9.(1)〈PA與。O相切于A點

AAOAP是直角三角形

VOA=2,OP=4

0A1

???/cDosCNAPOA=-----=—

OP2

???ZPOA=60°.

(2)??,直角三角形中NAOC=60。，OA=2

h

：.AC=OA?sin60°=2x—=73.

2

VABXOP

???AB=2AC=26.

10.解：(1)連接AO

〈PA、PB均為。。的切線，A和B是切點

AZAPO=ZBPO,OA±AP,PA=PB

/.ZAPB=2ZAPO,ZOAP=90°,PO±AB

AZOAB+ZBAP=90°,ZBAP+ZAPB=90°

???NOAB=NAPB

VOA=OB

/.ZOBA=ZOAB

???NOBA=NAPO

.,.ZAPB=2ZABC；

(2)設AB交OP于F

VPA,PB是圓的切線

???PA=PB

VOA=OB

第13頁共21頁

APO垂直平分AB.

.,.ZOFB=90°.

VBC是直徑

???ZCAB=90°.

AZCAB=ZOFB.

AAC/7OP.

第三課時：求坐標

參考答案

L解：設以AB為直徑的圓與X軸相切于點D,連接MD,BC,則MD_Lx軸

,點M的坐標為（2,4）

；.CE=BE=2,BM=DM=4

：AB為圓的直徑

AAClBC

；.BC〃x軸

；.MD_LBC

BC=2CE=4

在RtZ\BME中，由勾股定理得：ME=2A/3

.?.DE=MD-ME=4-2A/3

...點B的坐標為（4,4-2百）

2.解：如圖，作AB_LMN于點B,連接AM,則NABM=90°

由題意可知，0A與y軸相切于原點0,設OA=r,貝!JAM=OA=r,A(-r,0)

;MN〃x軸，且M(-8,-4)

AB(-r,-4)

BM=8-r,AB=4

?/AB2+BM2=AM2

.\42+(8-r)2=r2

■?f—5

AB(-5,-4)

第14頁共21頁

VBN=BM=8-5=3

.*.XN=-5+3=-2

3.解：如圖，過點A分別作AC，x軸于點C、AD，y軸于點D,連接AB

四邊形ADOC為矩形.

.?.AC=OD,OC=AD.

?/OA與x軸相切

，AC為。A的半徑.

:點A坐標為（8,5）

.,.AC=OD=5,OC=AD=8

?/PB是切線

.?.AB±PB.

ZAPB=30°

；.PA=2AB=10.

在Rt^PAD中，根據勾股定理，得PD=6

.?.OP=PD+DO=11.

:點P在y軸的正半軸上

.?.點P坐標為（0,11）.

解：（1）如圖，設OE=x,則OD=x-l

VOC=8

.,.CD=OC-OD=8-（x-1）=9-x

在RtAODE中，DE=CD=9-x

根據勾股定理，得（9-X）2=X2+（X-1）2

整理,得X2+16X-80=0

解得XI=4,X2=-20（不符合題意，舍去）

.1.OE=4,OD=3,DE=5

根據翻折可知：BC=BE,ZBED=ZBCD=90°

ZDEO+ZBEA=ZDEO+ZEDO=90°

AZEDO=ZBEA

VZDOE=ZEAB=90°

AADOE^AEAB

.OP_OE

,?京―瓦

第15頁共21頁

.J_=4

"AE^8

；.AE=6

AOA=OE+AE=4+6=10

，點B的坐標為（10,8）；

（2）①設。P與ABDE一邊DE所在直線相切于點F

則EF=DE-DF=5-3=2

設。P的半徑為r,則OP=PF=r,PE=OE-OP=4-r

在Rt^PEF中，根據勾股定理，得(4-r)2=r2+22

3

解得r=—

2

3

..OP=-.

2

②設。P與4BDE一邊BE所在直線相切于點G,則PGXBE

；.PO=PG=r,貝UPE=OE-OP=4-r

VAPEG^AEAB

8

4-r10

.16

??r=—.

9

③設。P與4BDE一邊BD所在直線相切于點H,則PHJ_BD

PO=PH=r

.?.CP=OC-OP=10-r

BC=8

/.BP2=CP2+BC2=(10-r)2+82

根據切線長定理可知：OD=DH=3

.?.AD=AO-OD=8-3=5

VAB=10

.?.BD=7102+52=575

；.BH=BD-DH=5君-3

22

.?.BP2=BH2+PHZ(5A/5-3)+r

(10-r)2+82=(575-3)2+r2

q,，曰3+3y/5

解得r=------------

2

.p13+3力

0).

2

Z,。).

答：點P的坐標為（3,0）或（3，0）或（

292

5.解：（1）:。P的半徑為3,0P與直線x=2相切

第16頁共21頁

...點P到直線x=2的距離是3,即P的橫坐標為2+3=5或2-3=-1

P在直線y=x上

；.P點的坐標為(5,5)或(-1,-1)；

(2)分為三種情況：

①BP=AP,此時P在AB的垂直平分線上

VA(0,2),B(0,6)

.?.ABU%P點的縱坐標為4

,/P在直線y=x上

此時P的坐標為(4,4)；

②AB=AP=4

".'A(0,2),P(x,y),x=y

(x-0)2+(x-2)2=42

.'.x=l+V7

此時p的坐標為(i+V7,1+V7)或,1-77)；

③AB=BP

VB(0,6),P(x,y),x=y

(x-0)2+(x-6)2=42,此方程無解,即不存在AB=BP；

所以符合的有3個

故答案為：3.

第四課時：求面積

參考答案

1.解：設大半圓圓心為尸，過點P作尸ELCD，垂足為E.連接尸C，貝aC是大半圓的半徑，EF的長等于小半圓的半徑.

由垂徑定理知，E是CD的中點

由勾股定理知，FC2-￡F2=CE2=9

陰影部分的面積等于大半圓的面積減去小半圓的面積

,陰影部分的面積=/(剛2—EF2)7i=^(FC2—EF2)TI=%.

i

4FB

2.解:連接OQ、OP,如圖

PQ為切線

.?.OQ±PQ

在Rt^OPQ中，PQ2=OP2-OQ2=OP2-4

當OP取最小值時，PQ2的值最小，此時正方形PQRS的面積有最小值

而當OP_U時，0P取最小值

.1?OP的最小值為4

/.PQ2的最小值為16-4=12

正方形PQRS的面積最小值為12.

故答案為12.

第17頁共21頁

3.解：設；.DE與圓0相切于點F

,四邊形ABCD是正方形

ZOAD=ZOBC=ZC=90",AB=BC=AD=CD=2

VOA,OB是圓。的半徑

，DA與圓。相切于點A,EB與圓。相切于點B

VDE與圓。相切于點F

；.DA=DF=2,EB=EF

設EB=EF=x,則EC=BC-EB=2-x,DE=DF+EF=2+x

在Rt^DEC中，DC2+CE2=DE2

：.22+(2-x)2=(2+x)2

解得：x=-

2

3

..EC=BC-EB=2-x=-

2

1133

，三角形DEC的面積=—EC?DC=—X-X2=-

2222

3

故答案為：一.

2

連接OP

VAB且小圓于P

.?.OP±AB

對于大圓，根據“垂徑定理”可得，PA=PB

故答案是：PA=PB；

連接OP,0A

根據(1)得：ZAPO=90°,AP=PB

OA2-AP2=AP2,AP=6

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OA2-AP2=36

VS圓環=S大圓-S小圓=Ji?0A2-II?OpZnJI(OA2-OP2)

AS圓環=36兀.

5.解：(1)VOCXCD,AD±CD

.?.OC/7AD

AZAEB=ZOFB

VAB為。0的直徑

，ZAEB=90°

ZOFB=90°

AOF±BE且平分BE

；.EF=BF

TAB為。0的直徑

ZAEB=90°

VZOCD=ZCFE=90°

，四邊形EFCD是矩形

；.EF=CD,DE=CF

VDC=4,DE=2

EF=4

；.BF=EF=4cm；

(2)：DE=CF=2,設。O的為r

,.,ZOFB=90°

.?.OB2=OF2+BF2,即於=(r-2)2+42

解得，r=5

：.QO的面積=52Ji=25Ji.

6.(1)證明：連接OC

：AC為切線，C為切點

AZACO=90",IPZDCO+Z2=90°

又：BD是直徑

AZBCD=90°,iPZDCO+Zl=90°

：.Z1=Z2

VAD=CD,OB=OC

AZA=Z2ZB=Z1

NA=/B

AC=BC；

(2)解：由題意可得ADC。是等腰三角形

VZCD0=ZA+Z2,ZDOC=ZB+Z1

AZCDO=ZDOC,即△DCO是等邊三角形

AZA=ZB=Z1=Z