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北京市東城區(qū)2024?2025學(xué)年上學(xué)期期末統(tǒng)一檢測

本試卷共6頁，150分.考試時(shí)長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無

效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要

求的一項(xiàng).

1.若直線/過P（°』），。（G，2）兩點(diǎn)，則直線/的傾斜角為（）

A.30°B,60°C,120°D,150°

2.已知向量萬=（1,—2,2）,3=（3,左,6）,若M/區(qū)，則實(shí)數(shù)人的值為（）

A.6B.2C.-2D.-6

3.已知直線/i：2x+3y+l=0,l2:ax+2y-2=0,若乙必,則實(shí)數(shù)°的值為（）

11

A.3B.-C.-3D.——

33

4.已知拋物線/=2px（p>0）的準(zhǔn)線方程為x=-1,則〃的值為（）

A.1B.2C.4D.8

5.在一次業(yè)余歌唱比賽中，隨機(jī)從觀眾中抽出10人擔(dān)任評委.下面是他們給某位選手的打分情況:

43444545464849495051

設(shè)這10個(gè)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為夕1，再從中去掉一個(gè)最高分，去掉一個(gè)最低分，設(shè)剩余8個(gè)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為

夕2，則（）

A.Pi=P2=47B.2i=47且22。47

C.22=47且Piw47D.夕iw47且22。47

6.如圖，在棱長為2的正方體中，M為棱CG的中點(diǎn)，則點(diǎn)。到平面的距離為

ac,

A.5B.V2C.1D.=^-

7.做一個(gè)木梯需要7根橫梁，這7根橫梁的長度從上到下成等差數(shù)列，現(xiàn)有長為1.5m的一根木桿剛好可

以截成最上面的三根橫梁，長為2m的一根木桿剛好可以截成最下面的三根橫梁，那么正中間的一根橫梁

的長度是（）

13752

A.—mB.——mC.—mD.—m

241283

8.設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O,拋物線=2"（p>0）的焦點(diǎn)為尸，M為線段OE的中點(diǎn)，過點(diǎn)M且垂直于x

軸的直線與拋物線C的一個(gè)公共點(diǎn)為。，若△0D9的周長為8,則p的值為（）

A2B.4C.6D.8

9.已知點(diǎn)幺（苞,%），B（x2,y2）,直線/:ox+6y+c=0,記點(diǎn)/到直線/的距離為4，點(diǎn)2到直線/的

距離為乙，則“4〉4，，是“［辦］+勿J>卜》2+勿2卜，的（）

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C,充要條件D.既不充分也不必要條件

10.在平面直角坐標(biāo)系中，圓C截X軸所得弦長為1,截y軸所得弦長為2,則這樣的圓C的面積（）

A.有最大值，有最小值B.有最大值，無最小值

C.無最大值，有最小值D.無最大值，無最小值

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題，共5小題，每小題5分，共25分.

n.等比數(shù)列｛4｝滿足：出=-2,%=4,則數(shù)列｛%｝的前5項(xiàng)和是.

一

12.雙曲線上-必=1的離心率為，漸近線方程為

4

13.已知a,瓦c,d均為空間向量，其中a=（1,0,0）,b-（0,1,0）?c=（0,0,1）,若從這4個(gè)向量

中任取3個(gè)向量，均能構(gòu)成空間中的一組基底，則向量2的坐標(biāo)可以為

14.某景觀亭（如圖1）的上部可視為正四棱錐S-48。（如圖2）.己知Z3長為4米，且平面￡4。，

平面SBC,則頂點(diǎn)S到直線AB的距離為米；正四棱錐S-ABCD的側(cè)面積為

____________平方米.

圖1圖2

15.關(guān)于曲線Q:x"—y"=l,〃eN*，給出下列四個(gè)結(jié)論:

①對任意〃eN*，曲線G與直線>=x沒有公共點(diǎn);

②對任意〃eN*，曲線C,上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為R；

③對任意〃eN*，曲線G為軸對稱圖形;

④當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，曲線G與x軸、》軸所圍成區(qū)域的面積為J,則S“<S"+2<L

其中所有正確結(jié)論的序號是.

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.從某小區(qū)隨機(jī)抽取了100戶居民進(jìn)行了網(wǎng)費(fèi)調(diào)查，將他們的網(wǎng)費(fèi)分成6組：［50,100）,［100,150）,

,并整理得到如下頻率分布直方圖:

（2）已知該小區(qū)共2000戶，估計(jì)該小區(qū)中網(wǎng)費(fèi)落在區(qū)間［200,300）內(nèi)的戶數(shù);

(3)假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的左端點(diǎn)值代替，估計(jì)該小區(qū)的戶均網(wǎng)費(fèi).

17.已知圓C:x?+>2+4y+4—a=0(a〉0)與x軸相切.

(1)求圓C的圓心坐標(biāo)及半徑；

(2)直線/：2x+y—2=0與圓C交于4,2兩點(diǎn)，求線段4B的長.

18.如圖，在長方體48CD—451G2中，DA=DC=1,DD、=2.

(1)求證：平面。8片；

(2)若點(diǎn)尸是線段。4的中點(diǎn)，求平面尸4片與平面。8片的夾角的余弦值.

19.已知數(shù)列｛%｝滿足：%+%=3,4+%=9.

(1)若數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，求｛%｝的通項(xiàng)公式以及前〃項(xiàng)和邑；

(2)若數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，求｛%｝的通項(xiàng)公式.

20.已知橢圓。：[+'=1伍〉6〉0)的離心率為3,并且經(jīng)過點(diǎn)(2,0).

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)直線/：y=k(x—3)(左/0)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)/,8,點(diǎn)M是線段48的中點(diǎn)，直線乙過點(diǎn)

M,且與直線/垂直.記直線乙與y軸的交點(diǎn)為N.請問：是否存在直線/,使得|4B|=pW]?若存在，

求出直線/的方程；若不存在，請說明理由.

21.設(shè)〃為正整數(shù)，集合4=｛a|a=(/"2,…eQi),(左=12…,〃)｝,對于集合4中的任意元

素a=(再,》2,…%)和#=(弘,％,…,%)，記&*4=西匕+%%-1+…+七%.設(shè)耳,是4的子集，且滿

足：對于8“中的任意兩個(gè)不同的元素a,B,都有。*尸=0,則稱集合8“具有性質(zhì)尸（〃）.

（1）當(dāng)"=4時(shí)，若a=（l,l,O,O）,>5=（0,0,1,1）,求a*a,的值；

（2）已知正整數(shù)集合G+2為4+2的子集.求證：“集合C0+2具有性質(zhì)尸（〃+2）”的充要條件為

“對G+2中任意兩個(gè)不同的元素a=（P1力,々夕=（展邑，§2,…，%%）都有

（生々，…,9）*?，“，…，s”）=°，且（21應(yīng)1）*（22，%）=0"；

（3）給定不小于2的偶數(shù)"，設(shè)其具有性質(zhì)尸（〃），求集合耳,中元素個(gè)數(shù)的最大值.

參考答案

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要

求的一項(xiàng).

1.若直線/過P（°』），0（6,2）兩點(diǎn)，則直線/的傾斜角為（）

A.30°B,60°C.120°D,150°

【答案】A

【解析】

【分析】由直線上的兩點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算直線的斜率，即可得到直線的傾斜角.

【詳解】由題意得，直線的斜率左=與L=也，

V3-03

...直線/的傾斜角為30°.

故選：A.

2.已知向量5=（1,-2,2）,3=（3,左,6）,若萬/區(qū)，則實(shí)數(shù)人的值為（）

A.6B.2C.-2D.-6

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示，即可求解.

【詳解】因?yàn)?//B，b=A.a>

3=2

所以左=—24,所以4=3,k=-6.

6=22

故選：D

3.已知直線4：2x+3y+l=0,4：ax+2y-2=0,若入人卜，則實(shí)數(shù)°的值為（）

1C1

A.3B.-C.—3D.—

33

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)兩直線垂直的公式計(jì)算可得結(jié)果.

【詳解】；/』，

，2a+3x2=0,解得a=-3.

故選：C.

4.已知拋物線/=2px（p>0）的準(zhǔn)線方程為x=—1,則〃的值為（）

A.1B.2C.4D.8

【答案】B

【解析】

【分析】由拋物線的準(zhǔn)線方程為可得結(jié)果.

【詳解】由題意得，拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-^,

5=一1，解得夕=2.

故選：B.

5.在一次業(yè)余歌唱比賽中，隨機(jī)從觀眾中抽出10人擔(dān)任評委.下面是他們給某位選手的打分情況:

43444545464849495051

設(shè)這10個(gè)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為夕1,再從中去掉一個(gè)最高分，去掉一個(gè)最低分，設(shè)剩余8個(gè)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為

P2,則（）

A.P\=Pi=47B.=47且夕2W47

C.夕2=47且夕iH47D.w47旦P2w47

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)平均數(shù)的概念直接計(jì)算可得結(jié)果.

43+44+45+45+46+48+49+49+50+51c

【詳解】由題意得，Pi=--------------------------------------------------------------=47,

10

44+45+45+46+48+49+49+50

~=0=47.

故選：A

6.如圖，在棱長為2的正方體48CD-451G2中，〃為棱CG的中點(diǎn)，則點(diǎn)C到平面/期的距離為

()

A.5B.V2C.1D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用等體積轉(zhuǎn)化求點(diǎn)到平面的距離.

【詳解】由條件可知，45J_平面BCCB，u平面BCC&I,所以Z8，8/,

BM=^BC2+CM2=V5,

設(shè)點(diǎn)C到平面ABM的距離為h,由VM_ABC=VC_ABM,

所以』xLx2x2xl='x1x2xV^z,解得：h=-.

32325

G

故選：D

7.做一個(gè)木梯需要7根橫梁，這7根橫梁的長度從上到下成等差數(shù)列，現(xiàn)有長為1.5m的一根木桿剛好可

以截成最上面的三根橫梁，長為2m的一根木桿剛好可以截成最下面的三根橫梁，那么正中間的一根橫梁

的長度是（）

13752

A.—mB.—rnC.—mD.lm

241283

【答案】B

【解析】

12

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得%=5，a6=~,利用2%=為+4可得結(jié)果.

【詳解】記7根橫梁的長度從上到下成等差數(shù)列｛4｝（14〃W7/eN）,

由題意得，/+%+。3=1,5，a5+a6+a7=2,

12

3a2=1.5,3a$=2,故％=,，“6=§，

77

：2%=%+0，；?%=一，即正中間的一根橫梁的長度是一m.

1212

故選：B.

8.設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為0,拋物線C:/=2.（P>0）的焦點(diǎn)為足M為線段OE的中點(diǎn)，過點(diǎn)M且垂直于x

軸的直線與拋物線C的一個(gè)公共點(diǎn)為。，若△ODE的周長為8,則p的值為（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【解析】

【分析】利用拋物線的方程及已知條件可以求得點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為（■及=司，再利用拋物線的定義,

得到口的長度，最后利用△0。斤的周長列出關(guān)于。的方程，從而求解.

【詳解】

v拋物線的方程為/=2px{p>0)，

.-.F(1,0),：.\OF\=^,

為線段OE的中點(diǎn)，.?.M(K,0),

4

???過點(diǎn)M且垂直于x軸的直線為x=B,，點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為￡,

44

???點(diǎn)。在拋物線上，，根據(jù)拋物線的定義，|。咒|="+"=2,

''424

由題意可知=制，

???△0”的周長為8,，|。。+|所+|0月=8,即￥+學(xué)+言=8,

=4.

故選：B.

9.已知點(diǎn)幺(西,弘)，5(x2,j2),直線/:ox+6y+c=0,記點(diǎn)/到直線/的距離為4,點(diǎn)B到直線I的

距離為刈，則"4>"2"是"1+奶|>|"2+勿2卜的()

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【解析】

【分析】利用點(diǎn)到直線的距離公式表示4,乙，通過舉反例可確定答案.

,\axy+c|\ax2-^-by2+c|

【詳解】由題意得，」

4；，J'2一

ax

由4〉&得，\\+byx+c|>\ax2+by2+c|,

令ax】+by1=4,4工2+6%=-5,c=1,則\axY+by1+c|=5,|ox2+by2+c|=4,

滿足|啊+byx+c\>\ax2+by2+c\,但|啊+by]\<\ax2+by2\,故充分性不成立；

令axx+byl=-5,ax2+by2=4,c=1,滿足\axx+by^>\ax2+by2\,

但,西+勿]+c|=4,卜々+A8+。|=5，|?^i+byx+c|<|ox2+by2+c|,dx<d2,故必要性不成立.

所以“《〉&"是"|啊+byx\>\ax2+"21”的既不充分也不必要條件.

故選：D.

10.在平面直角坐標(biāo)系中，圓C截x軸所得弦長為1,截y軸所得弦長為2,則這樣的圓C的面積（）

A.有最大值，有最小值B,有最大值，無最小值

C.無最大值，有最小值D.無最大值，無最小值

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)。（根,〃），根據(jù)半徑相等建立等量關(guān)系可得機(jī)2=?,則圓C半徑為1,根據(jù)“2范

圍可得結(jié)果.

如圖，圓C與X軸交于48兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）,與V軸交于瓦尸兩點(diǎn)（點(diǎn)尸在點(diǎn)￡的上方）,

設(shè)C（根,〃），則線段48中點(diǎn)坐標(biāo)為（私0）,線段斯中點(diǎn)坐標(biāo)為（0,〃）

■：\AB\=X\EF\=2,：.B\m+1,0j,F（0,?+l）,

33

整理得〃2-/=—,即/=77?+—,

44

,3

由機(jī)220得，3一,

4

22

...圓C的半徑|。回=+g—機(jī)1+（0-?）=^+1>1，即圓C的半徑無最大值，有最小值1,

...圓C的面積無最大值，有最小值.

故選：C.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用半徑相等分析出圓心橫、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，結(jié)合范圍即可

得到答案.

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題，共5小題，每小題5分，共25分.

11.等比數(shù)列｛%｝滿足：的=-2,%=4,則數(shù)列｛%｝的前5項(xiàng)和是.

【答案】11

【解析】

【分析】代入等比數(shù)列的基本量，即可求首項(xiàng)和公比，再代入等比數(shù)列的前"項(xiàng)和.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為4,公比為4,

a,q=-2

所以424，所以%=1,q=-2,

=4

所以良=11.

故答案為：11

丫2

12.雙曲線--y2=1的離心率為___________，漸近線方程為____________.

4

【答案】①.行；②.y=±2;

22

【解析】

【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程先確定a,hc的值，再利用離心率和漸近線的定義求出即可.

【詳解】由題可得雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，且a=2/=1,°=右，

所以雙曲線的離心率為?=￡=也，漸近線方程為y=±?x=土土.

a2a2

故答案為：；y=±-'.

22

13.已知￡,瓦",2均為空間向量，其中￡=(1,0,0),S=(0,1,0),c=(0,0,1),若從￡,瓦工,2這4個(gè)向量

中任取3個(gè)向量，均能構(gòu)成空間中的一組基底，則向量7的坐標(biāo)可以為.

【答案】(1,2,3)(答案不唯一)

【解析】

【分析】由題意得｛Z,64可以構(gòu)成空間的單位正交基底，設(shè)1=(x/,z),則2=￡+韜+2入根據(jù)空

間向量基本定理及平面向量基本定理可得結(jié)果.

【詳解】va=(1,0,0),S=(0,1,0),c=(0,0,l),：.a-b=b-c=a-c=Q>

aLb,b_LC,Q_Lc，

,五斗可以構(gòu)成空間的單位正交基底，

設(shè)1=(x,y,2),則7=xa+yB+zc,

,:仄a,~i),c,d這4個(gè)向量中任取3個(gè)向量，均能構(gòu)成空間中的一組基底，

d與a,b,c中的任意兩個(gè)向量均不共面，

根據(jù)平面向量基本定理可得x/，z均不為零，

.,?向量2的坐標(biāo)可以為(1,2,3)(答案不唯一).

故答案為：(123)(答案不唯一).

14.某景觀亭(如圖1)的上部可視為正四棱錐S-4BC。(如圖2).已知Z5長為4米，且平面

平面SBC,則頂點(diǎn)S到直線AB的距離為米；正四棱錐S-ABCD的側(cè)面積為

____________平方米.

圖1

【答案】①.2721672

【解析】

【分析】根據(jù)平行關(guān)系，構(gòu)造直二面角的平面角，根據(jù)幾何關(guān)系，即可求解.

【詳解】設(shè)平面S4。和平面SBC交于過點(diǎn)S的直線/,

因?yàn)?C///。，平面S4O,NQu平面S4O,

所以8C//平面S4￡>,5Cu平面SBC,且平面S5CI平面54。=/,

所以BC///,

取ZD,5c的中點(diǎn)M,N,連結(jié)SM,SN,MN,

SMVAD,SNLBC,即SAU/,SNLI,

因?yàn)槠矫妗?。，平面SBC,

所以&WLSN,且皿0=SN,MN=4,

所以SM=SN=26，

所以點(diǎn)S到4B的距離為20；

故答案為：20；16/

15.關(guān)于曲線C“：x"—y"=l,〃eN*，給出下列四個(gè)結(jié)論:

①對任意〃eN*，曲線G與直線>=x沒有公共點(diǎn)；

②對任意〃eN*，曲線G上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為R；

③對任意〃eN*，曲線G為軸對稱圖形；

④當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，曲線c“與x軸、了軸所圍成區(qū)域的面積為s,,則S.<S"+2<L

其中所有正確結(jié)論的序號是.

【答案】①③④

【解析】

【分析】對①：將〉=X代入曲線C”,可得該方程無解；對②：舉出反例即可得；對③：分對〃為奇數(shù)與力

為偶數(shù)進(jìn)行討論，分別驗(yàn)證當(dāng)(X/)在曲線G上時(shí)，(-y,-x)與(-羽力是否在曲線G上即可得；④：分

別令x=0、v=0求出對應(yīng)》、X的值即可得曲線G與X軸、丁軸所圍成區(qū)域，再通過計(jì)算曲線G與G+2

上橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對值的大小關(guān)系及其與1的關(guān)系即可得其面積關(guān)系.

【詳解】對①：令>=》，則y"=0wl,故曲線G與直線y=x沒有公共點(diǎn)，故①正確；

對②：當(dāng)〃=2時(shí)，有V—「=1,則》2=1+/21,故②錯(cuò)誤；

對③：若〃為奇數(shù)，則對點(diǎn)(―X),有(―月―(―4=/—V=l,

故對任意點(diǎn)(X/)在曲線C"上，點(diǎn)(-y,-x)也在曲線G上，

此時(shí)曲線Q關(guān)于直線>=一%對稱，

若“為偶數(shù),則對點(diǎn)(-XJ),<(-%)"-/=xB-/=l,

故對任意點(diǎn)(x,y)在曲線C“上，點(diǎn)(-羽田也在曲線C“上，

此時(shí)曲線C“關(guān)于直線>=0對稱，故③正確；

對④：當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，令x=0,則y=—l,令y=0,則x=l,

故曲線G與X軸、y軸分別交于點(diǎn)(1,0)、(0,-1),

故S,即為曲線C"在的部分與X軸、>軸所圍成圖形面積，

對曲線G與Q+2上橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)《X,心二T)、B(X,飛斕2_1),

當(dāng)xe(0,l)時(shí)，有x",則也"-1〉咪"-1，

有￡—1>x"+2_1e(-1,0),貝ij他"_i>他"+2_],

則Vx"-1-"埒￡+2_1>咪"_1_"也"+2_1>0,

即當(dāng)x6(0,1)時(shí)，1>"也"+2一1>—],

即Vx"-1<聞x"+2_l<],

即在久e(0,1),曲線C“與曲線C?+2上橫坐標(biāo)相同的點(diǎn),

曲線G上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對值都小于曲線Q+2上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對值,

且兩者的絕對值都小于1,則sn<5,2+2<1x1=1,故④正確.

故答案為：①③④.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)定睛：本題最后一問關(guān)鍵點(diǎn)在于得到曲線G與x軸、了軸所圍成區(qū)域?yàn)榍€G在

》《［0』的部分與》軸、了軸所圍成圖形，則可通過比較曲線G與曲線C+2相同橫坐標(biāo)情況下的縱坐標(biāo)

的大小關(guān)系，得到其面積關(guān)系.

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.從某小區(qū)隨機(jī)抽取了100戶居民進(jìn)行了網(wǎng)費(fèi)調(diào)查，將他們的網(wǎng)費(fèi)分成6組：［50,100),［100,150),

,并整理得到如下頻率分布直方圖:

(2)已知該小區(qū)共2000戶，估計(jì)該小區(qū)中網(wǎng)費(fèi)落在區(qū)間［200,300)內(nèi)的戶數(shù)；

(3)假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的左端點(diǎn)值代替，估計(jì)該小區(qū)的戶均網(wǎng)費(fèi).

【答案】(1)0.0044；

(2)960戶；(3)189元.

【解析】

【分析】(1)利用頻率和為1列方程求參數(shù)即可；

(2)根據(jù)頻率直方圖求出區(qū)間［200,300)的頻率，進(jìn)而求出對應(yīng)戶數(shù);

(3)根據(jù)直方圖確定各區(qū)間的頻率，結(jié)合已知求該小區(qū)的戶均網(wǎng)費(fèi).

【小問1詳解】

1-50x(0.0012+0.0024x2+0.0036+0.0060)_

由該頻率分布直方圖，得》=Q0Q44

50

【小問2詳解】

在樣本中，網(wǎng)費(fèi)落在區(qū)間［200,300)內(nèi)的頻率為(0.0060+0.0036)x50=0.48,

所以估計(jì)該小區(qū)中網(wǎng)費(fèi)落在區(qū)間［200,300)內(nèi)的戶數(shù)約為2000x0.48=960戶.

【小問3詳解】

由⑴可知，這六個(gè)組的頻率分別為0.06,0.12,0.22,0.30,0.18,0.12.

因?yàn)橥M中每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的左端點(diǎn)值代替，

估計(jì)該樣本的平均值約為

50x0.06+100x0.12+150x0.22+200x0.30+250x0.18+300x0.12=189.

所以估計(jì)該小區(qū)的戶均網(wǎng)費(fèi)為189元.

17.已知圓C:x?+J?+47+4-a=0(a〉0)與x軸相切.

(1)求圓C的圓心坐標(biāo)及半徑；

(2)直線/：2x+y—2=0與圓C交于4,B兩點(diǎn),求線段4B的長.

【答案】(1)圓心坐標(biāo)為(0,-2),半徑長為2

(2)-V5

5

【解析】

【分析】(1)首先化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再根據(jù)半徑與圓心坐標(biāo)的關(guān)系，即可求解；

(2)首先計(jì)算圓心到直線的距離，再代入弦長公式，即可求解.

【小問1詳解】

配方得C:x2+(y+2)2=a,(a>0)

由此可得圓心坐標(biāo)為(0,-2).

因?yàn)閳AC與x軸相切，

所以圓心到x軸的距離為2=?.

所以半徑長為2.

【小問2詳解】

因?yàn)橹本€/：2x+y—2=0與圓C交于N,8兩點(diǎn),

,_-2-24r

所以圓心C到直線/的距離為d=,=-A/5.

V22+l25

由(I)可知/=口=4,

cL164/-

所以14sl=2s]r2—d1=2./4---=—V5

V55

18.如圖，在長方體4BCD-481G2中，DA=DC=1,DDl=2.

(1)求證：ZCL平面。84；

(2)若點(diǎn)尸是線段。片的中點(diǎn)，求平面尸4月與平面￡石片的夾角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵亞

5

【解析】

【分析】(1)利用正方形及長方體的幾何特征可證線線垂直，由此可得線面垂直.

(2)以。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算兩個(gè)平面的法向量，利用兩平面夾角的向量公

式計(jì)算可得結(jié)果.

【小問1詳解】

由題意得，四邊形48CD為正方形，ZC工50.

：J.平面48C。，2。匚平面48。),；.2。，551,

,；BD,BB[u平面DBB[,BDcBB[=B,

.../CL平面。881.

【小問2詳解】

如圖，以。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則。(0,0,0),2(1,0,0),C(0,l,0),4(1,0,2),用(1,1,2),

—.---.—■11

-.Ac44=(o,i,o),尸片=(Q，3，i).

由(1)得，正是平面。BA的一個(gè)法向量.

設(shè)平面尸4片的一個(gè)法向量為。=(x,y,z),

y=o,

n-=0,

則《—即《11八

n-PB=0,—x+—y+z=0.

x、22-

令x=2,得V=0,z=-l,故1=(2,0,—1).

,一?\n-AC|-2|_V10

設(shè)平面尸4瓦與平面。8片的夾角為。，則cos。=|cos(H,AC)\=

-

\n\L4C?72x755

平面尸4片與平面DBBX的夾角的余弦值為眄.

5

19.已知數(shù)列｛4｝滿足：/+。3=3,a2+a4=9.

(1)若數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，求｛%｝的通項(xiàng)公式以及前〃項(xiàng)和5“；

(2)若數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，求｛%｝的通項(xiàng)公式.

93

【答案】(1)a=3n——，S,=-/-3〃(〃eN*)

22

3"

⑵an=一

10

【解析】

【分析】(1)利用等差數(shù)列的性質(zhì)和公式求首項(xiàng)和公差，即可求通項(xiàng)公式和前〃項(xiàng)和公式，即可求解;

(2)根據(jù)等比數(shù)列的公式和性質(zhì)求首項(xiàng)和公比，即可求通項(xiàng)公式.

【小問1詳解】

因?yàn)閿?shù)列｛4｝是等差數(shù)列，

所以2d=(tz2+a^)-(ax+03)=6.

所以d=3.

所以%+%=2%+2d=3,

即2%+2x3=3,

3

解得ax——.

2

3

所以數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式%=-萬+(〃—1)?3,

9

即—3〃—,

2

[31

所以數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和Sn=nax+——V)d=——/?+——1),3,

3

2

即Sn=—n-3n(neN*).

【小問2詳解】

因?yàn)閿?shù)列｛%｝是等比數(shù)列，

所以

ax+%

由+。3=3,

得囚+a1q2=3,

即可+9q=3,

3

解得力=而.

3V

所以a=2.3〃T=

“1010

數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為%=土.

22

20.已知橢圓。：三+云=l（a〉b〉0）的離心率為并且經(jīng)過點(diǎn)（2,0）.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）直線/：歹=左0—3）（左/0）與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)48,點(diǎn)M是線段48的中點(diǎn)，直線/］過點(diǎn)

M,且與直線/垂直.記直線t與y軸的交點(diǎn)為N.請問：是否存在直線/,使得|48|=|九的？若存在，

求出直線/的方程；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）工+匕=1

43

（2）存在，后x—4y—3指=0或后x+4y—3指=0

【解析】

【分析】（1）利用待定系數(shù)法求橢圓方程；

（2）首先將直線/的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示弦長|48|,再求點(diǎn)M的坐標(biāo)，根據(jù)直線4的

方程求點(diǎn)N的坐標(biāo)，表示|〃M，根據(jù)14gl=MM，求直線/的方程，即可求解.

【小問1詳解】

22

由題意橢圓C:01=l（a〉b〉0）的離心率為7,并且經(jīng)過點(diǎn)（2,0）,

ab

cl

可知一=—,a=2,所以。=1.

a2

所以62—a1—c2=4-1=3.

22

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為—+^-=1.

43

【小問2詳解】

設(shè)/（%，%），^（馬，%），M（x0,y0）.

y=k{x-3）

聯(lián)立<整理得（4公+3）x2-24k2x+36k2-12=0,

3x2+4/=12'

3

A=242左4_4（4左2+3）（36左2-12）=-240k2+144〉0,F<-.

24k2_36左2—12

從而

X1+x24左2+3'“I%-4左2+3?

/24k2Y4x（36左2—12）

|幺回=\lk~+1XX]+—J=J1+左~

4X%2、止+3J4左2+3

4^-15k2+9

=J1+'2X----------

4r+3

%1+%2_12左2

因?yàn)镸是線段48的中點(diǎn)，所以飛=

2-4左2+3'

9斤’12k29k、

則為=左(％-3)=-P故M

74左2+3'—4左2+3,

19左1(12左2

直線4的方程為了一％=—3、一％),即〉+“節(jié)=一不卜一瓦和

1f12k2、9k3k

令x=0,得>=_：0-

4左2+3,4左2+3442+3{4F+3

9k3k丫

所以pw|=4左2+3—4左2+3J-432+3

欲使|4g|=MM，只需護(hù)不義4，T5、+9=12用"2+i,

442+34左2+3

解得d|,滿足要求/<|.所以』手

故存在滿足要求的直線/,其方程為y=土手（X—3），

即y[6x-4y-3A/6=0或^6x+4y-3A/6=0.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用坐標(biāo)表示弦長，利用直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示弦

長.

21.設(shè)〃為正整數(shù)，集合4={a|a=（廿2,…，圖）46QI），（左=1，2,…，必，對于集合4中的任意元

素a=（再,》2,…%）和#=（九%，…,以），記[*夕=西然+》2州一1+…+X”％.設(shè)紇是4的子集，且滿

足：對于8“中的任意兩個(gè)不同的元素a,p,都有a*￡=0,則稱集合8“具有性質(zhì)尸（〃）.

（1）當(dāng)"=4時(shí)，若a