專題11銳角三角函數

目錄

01理?思維導圖：呈現教材知識結構，構建學科知識體系。

02盤.基礎知識：甄選核心知識逐項分解，基礎不丟分。（3大模塊知識梳理）

知識模塊一：銳角三角函數

知識模塊二：解直角三角形

知識模塊三：解直角三角形的應用

03究?考點考法：對考點考法進行細致剖析和講解，全面提升。（9大基礎考點）

考點一：理解銳角三角函數的概念

考點二：求角的三角函數值

考點三：由三角函數求邊長

考點四：由特殊角的三角函數值求解

考點五：在平面直角坐標系中求銳角三角函數值

考點六：在網格中求銳角三角函數值

考點七：三角函數綜合

考點八：解直角三角形的相關計算

考點九：構造直角三角形求不規則圖形的邊長或面積

04破，重點難點：突破重難點，沖刺高分。（4大重難點）

重難點一：運用解直角三角形的知識解決視角相關問題

重難點二：運用解直角三角形的知識解決方向角相關問題

重難點三：運用解直角三角形的知識解決坡角、坡度相關問題

重難點四：12345模型

05辨?易混易錯：點撥易混易錯知識點，夯實基礎。（2大易錯點）

易錯點1：未在直角三角形中求銳角三角函數的值

易錯點2：誤認為三角函數值與三角形各邊的長短有關

銳角A的正弦，余弦，正切，合稱zA的銳角三角函數

/.NA的對邊?

〃正弦—A4=斜邊新

銳角三角函數定義/《NA的鄰邊b

卜余弦斜邊C

\.NA的對邊.1

知識梳理4

\IEWti,nA=^a-=b

由Rt-的已知元素求未知元素

解直角三角形雙―三融

銳、元素/

—兩個銳角

角

三

角同名函數利用單調性比

比較兩個函數值的大小

函互余函數利用互余關系化為同名函數

數\兌角,7

30°45°60°

畝數

JLJ2

sina也

學法指導2~22

2

cosa2立

222

皂

tana16

特殊角的三角函數值3

三角函數的定義中，沒有注意邊與邊的對應關系

學習誤區特殊角的值記錯

正弦、余弦的互換關系記錯（沒考慮到互余關系）

盒

知識模塊一：銳角三角函數

知識點一：正弦，余弦，正切

正弦：在RtZ\ABC中，NC=90。，把銳角A的對邊a與斜邊c的比叫做

NA的對邊a

NA的正弦，記作sinA,

斜邊c

余弦：在Rt^ABC中，NC=90。，把銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做

NA的鄰邊b

ZA的余弦，記作cosA,即cosA=

斜邊c

正切：在Rt^ABC中,NC=90A的對邊a

的正切，記作tanA‘貝"tanA=第翳=*

【注意】1）正弦、余弦、正切是在直角三角形中進行定義的，本質是兩條線段的比，因此沒有單位，只與

角的大小有關，而與直角三角形的邊長無關.

2）根據定義求三角函數值時，一定根據題目圖形來理解，嚴格按照三角函數的定義求解，有時需要通過輔

助線來構造直角三角形.

3）tad/表示tan/?tan/,可以寫成（tan/）2,不能寫成tanA2（正弦、余弦相同）.

知識點二：銳角三角函數

銳角三角函數：銳角A的正弦、余弦、正切都是NA的三角函數.（其中：0<NA<90°）

取值范圍:在RtZ\ABC中，NC=90°,由于直角邊一定比斜邊短，故有如下結論：0<sinA<l,0<cosA<1,

tanA>Q.

增減變化：當0°<ZA<90°,sinA,tanA隨/A的增大而增大，cosA隨NA的增大而減小.

【補充】利用銳角三角函數值的增減變化規律可比較銳角的大小.

知識點三：特殊角的三角函數值

利用三角函數的定義，可求出30°、45°、60°角的各三角函數值，如下表所示：

三角函數值特殊角

30°45°60°

sina￡

V3

2~T~T

cosaj_

V3V22

~TT

tana

V3V3

Vi

知識點四：銳角三角函數的關系

在Rt^ABC中，若/C為直角，則/A與/B互余時，有以下兩種關系:

1）同角三角函數的關系：

①平方關系：sin2A+cos2A=1；

②商數關系：tanA=^=?

cosA

2）互余兩角的三角函數關系：

①互余關系：

sinA=cos（90°-ZA）=cosB,即一個銳角的正弦值等于它的余角的余弦值.

sinB=sin（90°-NA）=cosA,即一個銳角的余弦值等于它的余角的正弦值.

②倒數關系：tanA?tanB=1

知識模塊二：解直角三角形

知識點一：解直角三角形

定義：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五個元素，即三條邊和兩個銳角.由直角三角形中的已知

元素，求出其余未知元素的過程，叫做解直角三角形.

在解直角三角形的過程中，一般要用到下面一些關系：

1）直角三角形的五個元素：邊：a、b、c,角：NA、ZB.

2）三邊之間的關系：a2+b2=c2（勾股定理）.

3）兩銳角之間的關系：ZA+ZB=90°.

4）邊角之間的關系：sinA=-,sinB=-,cosA=-,cosBtanA=-,tanB=-.

ccccba

【補充】三角函數是連接邊與角的橋梁.

5）面積公式5=工次?=」防（h為斜邊上的高）.

22

知識點二：解直角三角形的常見類型

已知條件解法步驟圖示

斜邊和一直角邊（如c,a）由sinA=2,求ZA,ZB=90°-ZA,b=4c2-a2A

c

兩

邊兩直角邊（如a,b）由tanA=：,求Z_A,NB=90°—NA,c=ylCl2+/72

bb

ZB=90°—NA,a=c*sinA,b=c?cosA

斜邊和一銳角（如c,ZA）口

—■CB

邊

一直角邊和一銳角（如a,ZA）ZB=90°—ZA,b=---,c=---

tanAsinA

角b

另一直角邊和一銳角（如b,ZA）ZB=90°—ZA,a-/7*tanA,c=-------

cosA

【注意】已知兩個角不能解直角三角形，因為有兩個角對應相等的兩個三角形相似，但不一定全等，因此

其邊的大小不確定.

【總結】在直角三角形中，除直角外的五個元素中，已知其中的兩個元素（至少有一條邊），可求出其余的

三個未知元素（知二求三）.

【已知一邊一角的記憶口訣】有斜求對用正弦，有斜求鄰用余弦，無斜求對（鄰）用正切.

知識模塊三：解直角三角形的應用

知識點一：仰角、俯角

視角：視線與水平線的夾角叫做視角.

仰角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角.

俯角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線下方的角叫做俯角.

【注意】仰角和俯角是相對于水平線而言的，在不同的位置觀測，仰角和俯角是不同的.

知識點二：坡度、坡角

坡度：坡面的鉛直高度h和水平寬度1的比叫做坡面的坡度（或坡比），記作i=1

坡角：坡面與水平面的夾角a叫做坡角.

【注意】坡度與坡角是兩個不同的概念，坡角是兩個面的夾角，坡度（用字母i表示）是比；兩者之壓間的

關系是i=與坡角越大，坡度越大.

知識點三：方位角、方向角

方位角：從某點的指北方向線按順時針轉到目標方向的水平角叫做方位角，如圖①中，目標方向PA,PB,

PC的方位角分別為是40°,135°,245°.

方向角：指北或指南方向線與目標方向線所成的小于90。的水平角，叫做方向角，如圖②中的目標方向線

0A,OB,0C,OD的方向角分別表示北偏東30°,南偏東45°,南偏西80°,北偏西60°.特別如：東南方

向指的是南偏東45°,東北方向指的是北偏東45°,西南方向指的是南偏西45°,西北方向指的是北偏西

45

知識點四：解直角三角形實際應用的一般步驟

①弄清題中名詞、術語，根據題意畫出圖形，建立數學模型；

②將條件轉化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關系，把實際問題轉化為解直角三角形問題；當有些圖

形不是直角三角形時，可適當添加輔助線，把它們分割成直角三角形或矩形.

③選擇合適的邊角關系式，使運算簡便、準確；

④得出數學問題的答案并檢驗答案是否符合實際意義，從而得到問題的解.

【常見類型】航海、建橋修路、測量樓高、塔高等.

費者逝者法

考點一：理解銳角三角函數的概念

1.（2022?吉林長春?中考真題）如圖是長春市人民大街下穿隧道工程施工現場的一臺起重機的示意圖，該

起重機的變幅索頂端記為點A,變幅索的底端記為點B,A0垂直地面，垂足為點D,BC1AD,垂足為點C.設

^ABC=a,下列關系式正確的是（）

AC

DC.sina=——

BCABACAB

【答案】D

【分析】根據正弦三角函數的定義判斷即可.

【詳解】-BCLAC,

.?.△ABC是直角三角形,

,-Z-ABC=a,

.AC

.,?sina=一,

AB

故選：D.

【點睛】本題考查了正弦三角函數的定義.在直角三角形中任意銳角乙4的對邊與斜邊之比叫做乙4的正弦，

記作sinzA.掌握正弦三角函數的定義是解答本題的關鍵.

2.（2024?天津紅橋?一模）如圖，在RtAABC中，乙48c=90。，。為邊45上一點，過點O作。E1AC,垂足

為凡則下列結論中正確的是（）

A.sinA=—B.cosA=—C.tanA=—D.tanA=—

ABADADBC

【答案】B

【分析】本題考查解直角三角形，關鍵是掌握銳角三角函數定義.由銳角的三角函數定義，即可判斷.

【詳解】解：?.?DE1ZC,

???^AED=Z.ABC=90°,

A、sinA=故A不符合題意；

B、結論正確，故B符合題意；

C、tan/=?,故C不符合題意；

D、tanH=些，故。不符合題意.

AB

故選：B.

3.（2024廣州市模擬預測）在RtAABC中，NC=90。，各邊都擴大2倍，則銳角A的三角函數值（）

A.擴大2倍B.不變C.縮小3D.擴大3

【答案】B

【分析】本題考查的是銳角三角函數的定義，三角形相似的判定和性質，解題的關鍵是掌握銳角三角函數

的定義，三角形相似的判定和性質，根據三角形相似的判定，可以確定各邊擴大后的三角形與原三角形相

似，再根據相似三角形的性質可知銳角A的度數不變，所以銳角A對應的三角函數值就不變.

【詳解】解：因為各邊擴大后的三角形與原三角形相似，銳角A的度數不變，銳角A對應的三角函數值就

不變.

故選：B.

考點二：求角的三角函數值

1.（2022?江蘇常州?中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，zX=^ABC=90°,DB平分A4DC.若2D=1,

CD=3,則sin/ABD=.

【答案】亭

6

【分析】過點。作BC的垂線交于E,證明出四邊形ABED為矩形，△BCC為等腰三角形，由勾股定理算出DE=

V5,BD=V6,即可求解.

【詳解】解：過點。作的垂線交于E,

???Z.A=Z.ABC=90°,

???四邊形為矩形，

??.DE//AB,AD=BE=1,

???乙ABD=Z-BDE,

???8。平分匕/OC,

???Z-ADB=乙CDB,

-AD//BE,

???Z-ADB=乙CBD,

?.乙CDB=cCBD

CD=CB=3,

AD=BE=1,

CE=2,

???DE=y/DC2-CE2=V9^4=V5,

???BD=y/DE2+BE2=V5+1=V6

./Dn□BE1V6

???smZ-BDE=—=-p=——，

BDV66

???sinZ-ABD=—,

6

故答案為：咚.

6

【點睛】本題考查了銳角三角函數、矩形、等腰三角形形、勾股定理、平行線的性質，解題的關鍵是構造

直角三角形求解.

2.（2024?四川雅安?中考真題）如圖，把矩形紙片A8CD沿對角線BD折疊，使點C落在點￡處，BE與AD交

于點F,若4B=6,BC=8,貝Ijcos乙4BF的值是.

【分析】本題主要考查矩形的性質、折疊的性質、勾股定理等知識，熟練掌握相關知識點是解題關鍵.

折疊問題優先考慮利用勾股定理列方程，證BF=DF,再利用Rt△4BF求出邊長，從而求解即可.

【詳解】解：???折疊,

Z.DBC=乙DBF,

,??四邊形ABC。是矩形,

ADWBC,AD=BC=8,

???Z.ADB=乙DBC,

???乙DBF=Z.ADB,

??.BF=DF,

??.AF=AD-DF=8-BF,

在RtUBF中，AB2+AF2=BF2,

???62+(8-BF}2=BF2,

解得BF=與

4nLAB24

???cosZ-ABF=——=——

BF25

故答案為：黃

3.（2024?江西?中考真題）將圖1所示的七巧板，拼成圖2所示的四邊形ABCD,連接AC,貝Man4CAB=

圖2

【分析】本題考查了等腰直角三角形的性質，正方形的性質，勾股定理，三角函數，如圖1,設等腰直角△MNQ

的直角邊為a,利用圖形的位置關系求出大正方形的邊長和大等腰直角三角形的直角邊長，進而根據正切的

定義即可求解，掌握等腰直角三角形和正方形的性質是解題的關鍵.

【詳解】解：如圖1，設等腰直角AMNQ的直角邊為a,則MQ=Via,小正方形的邊長為a,

??.MP=2a,

；.EM=J(2a)2+(2a)2=2缶,

：.MT=EM=2V2a,

-'-QT=2V2a—V2a=V2a,

如圖2,過點C作CHd.AB的延長線于點H,貝=BH=CD,

由圖(1)可得，AB=BD=2V2a,CD=V2a+V2a=242a,

■.CH=2&a,BH=2五a,

-,-AH=2>/2a+2V2a=4近a,

??.tanW8=*慧=[

故答案為：

考點三：由三角函數求邊長

1.（2023?湖南婁底?中考真題）如圖，點E在矩形A8CD的邊CD上，將△>!￡）￡沿2E折疊，點。恰好落在邊BC

上的點尸處，若BC=10.sinzXFB=1,貝ijDE=

【答案】5

【分析】利用矩形的性質及折疊的性質可得力。=AF=10,EF=ED,可得力B=AF-sin〃FB=10x：=8,

BF=y/AF2-AB2=6,設DE=x,貝!JCE=CD-DE=8-x,利用勾股定理可得=CF2+CE2,進而

可得結果.

【詳解】解：???四邊形4BCD是矩形，

:2B=NC==90°,AB=CD,AD=BC=10,

根據折疊可知，可知AD=AF=10,EF=ED,

貝i|,在RtAAB尸中，AB^AF-sinzXFB10x1=8,貝iJCO=8,

：.BF=VXF2-AB2=6,貝!|C尸=BC-BF=4,

設DE=x,則CECD-DE=8-x,

在RtACEF中，EF2=CF2+CE2,即：x2-(8-x)2+42,

解得：x=5,

即：DE=5,

故答案為：5.

【點睛】本題考查矩形的性質、折疊的性質、解直角三角形，靈活運用折疊的性質得到相等線段是解決問

題的關鍵.

2.(2024?山東青島?中考真題)如圖，AABC中，BA=BC,以8c為直徑的半圓。分別交AB,AC于點。，

E,過點E作半圓。的切線，交48于點跖交的延長線于點N.若。N=10,COSNABC=點則半徑0C的

長為.

【分析】本題主要考查了切線的性質，解直角三角形，等邊對等角，平行線的性質與判定等等，解題的關

鍵在于證明NEON=乙4BC,根據等邊對等角推出〃=AOEC,則可證明48||0E得到NEON=AABC,再

由切線的性質得到N0EN=90°,則解Rt△EON求出。E的長即可.

【詳解】解:如圖所示，連接OE,

A

?-Z-A=Z-BCA,Z.OCE=Z-OEC,

??/-A=Z-OEC,

-.AB||OE,

"EON=AABC,

???MN是。。的切線，

■.Z.OEN=90°,

.??在Rt△EON中，cos乙EON=cos^ABC=空=三，

ON5

■■■OE=^ON=6,

二半徑OC的長為6,

故答案為：6.

3.（2023?山東?中考真題）如圖，△力BC是邊長為6的等邊三角形，點D,E在邊BC上，若ND4E=30。,

tan^EAC=則BD=.

【答案】3-V3

【分析】過點A作A”_LBC于”，根據等邊三角形的性質可得NBAC=60。，再由4H，BC,可得NB4D+

ADAH=30°,再根據NB4D+NE4C=30°,可得=NE力C,從而可得tanAEMH=tan/EAC=%利

用銳角三角函數求得4"=4B-sin6(T=3b,再由警=失=；,求得DH=百，即可求得結果.

AH3V33

【詳解】解：過點A作2H18C于H,

:是等邊二角形,

MB=AC=BC=6,乙BAC=60°,

-AH1BC,

.ZBAH=-Z-BAC=30°,

2

工乙BAD+Z.DAH=30°,

-Z.DAE=30°,

.ZBAD+^EAC=30°,

???"/”=￡.EAC,

i

.,.tanzDXH=tanZ.EAC=

3

"BH=-AB=3,

2

???AH=AB-sin60°=6x—=3V3,

2

DH_DH_1

二布=乘=7

■■.DH=V3,

：.BD=BH-DH=3-?

故答案為：3—

【點睛】本題考查等邊三角形的性質、銳角三角函數，熟練掌握等邊三角形的性質證明ADA"=NE4C是解

題的關鍵.

考點四：由特殊角的三角函數值求解

1.（2024?山東青島?中考真題）計算：V18+Q）"1-2sin45°=.

【答案】2A/2+3/3+2V2

【分析】本題主要考查了二次根式的加減計算，負整數指數幕和求特殊角三角函數值，先計算特殊角三角

函數值，負整數指數幕和化簡二次根式，再根據二次根式的加減計算法則求解即可.

【詳解】解：V18+(I)-1-2sin45°

lV2

=3v2+3-2x

=372+3-72

=2V2+3,

故答案為：2或+3.

2.(2023?山東?中考真題)計算：|百—2|+25比60。-2023。=.

【答案】1

【分析】根據先計算絕對值，特殊角的三角函數值，零指數哥，再進行加減計算即可.

【詳解】解：一2|+2sin60。一2023°

lV3

=2-V3+2X——1

=1

故答案為：L

【點睛】本題考查了實數的運算，掌握絕對值、特殊角的三角函數值、零指數幕的運算是解題的關鍵.

3.(2022?黑龍江綏化?中考真題)定義一種運算；sin(cr+￡)=sincrcos/?+cosasin0,sin(cr—0)=sinacos￡—

cosasiny?.例如：當a=45。邛=30。時，sin(45°+30°)=—x—+—x-=恒21,貝!]sinl5。的值為_____.

22224

【答案】①

4

【分析】根據sin(a-S)=sinacosS-cosasin^代入進行計算即可.

【詳解】解：sinl5°=sin(45°-30°)

=sin45°cos30°—cos45°sin30°

V2V3V21

二—X---------X-

2222

_V6_V2

~44

_V6—V2

4?

故答案為：

【點睛】此題考查了公式的變化，以及銳角三角函數值的計算，掌握公式的轉化是解題的關鍵.

考點五：在平面直角坐標系中求銳角三角函數值

1.（2024?江蘇宿遷?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點A在直線y=上，且點A的橫坐標為4,

直角三角板的直角頂點C落在無軸上，一條直角邊經過點A,另一條直角邊與直線。力交于點3,當點C在x

軸上移動時，線段4B的最小值為______.

【答案】Y

【分析】利用一次函數求出點A的坐標，利用勾股定理求出。4當點C在x軸上移動時，作48與29關于AC

對稱，且49交x軸于點D,由對稱性質可知，AB'=AB,^BAC=^DAC,當ABTx軸于點。時，AB=

=+最短，記此時點C所在位置為C',作。ElAB于點E,有=E。，設DC，==巾，

則OL=。。一DC，=4-爪，利用銳角三角函數sin〃l。。=器=,=：建立等式求出小，證明△（；，￡）夕一

t^ADC,再利用相似三角形性質求出夕￡）,最后根據2B=4夕=AD+9。求解，即可解題.

【詳解】解：,??點A在直線y=：x上，且點A的橫坐標為4,

.,.點A的坐標為（4,3）,

OA——5,

當點C在x軸上移動時，作與4次關于4c對稱，且49交x軸于點。，

由對稱性質可知，AB'=AB

當，x軸于點。時，AB=AB'^AD+B'D最短,記此時點C所在位置為C',

由對稱性質可知，Z.BAC=Z.DAC,

作C'E_L48于點E,有。C'=EC',

設DC'=EC=m,則OC'=OD-DC=4-m,

scEC'AD3

???smZ-AOD=—7=—=-

OC'OA5

m_3

4-m5

解得m=I，

經檢驗血=|是方程的解,

■：AAC'D+Z-DC'B'=90°,ADAC+PLAC'D=90°,

???乙DC'B'=Z.DAC,

???AC'DB'=/.ADC=90°,

AAC'DB'-'△ADC',

B'D_DC'

DC'~AD

,3

B'D_2

--3

2

解得B,D,

2-1q

??.AB=ABr=3+-=—

44

故答案為請

【點睛】本題考查了軸對稱性質，勾股定理，銳角三角函數，相似三角形性質和判定，角平分線性質，垂

線段最短，一次函數圖象上點的坐標特征，解題的關鍵是根據軸對稱性質和垂線段最短找出最短的情況.

2.(2024.吉林長春.中考真題)在平面直角坐標系中，點。是坐標原點，拋物線y=x2+2x+c(c是常數)

經過點(-2,-2).點/、8是該拋物線上不重合的兩點，橫坐標分別為血、-m,點C的橫坐標為-5租，點C的

縱坐標與點4的縱坐標相同，連結48、AC.

(1)求該拋物線對應的函數表達式;

(2)求證：當小取不為零的任意實數時，tan/CAB的值始終為2；

(3)作4C的垂直平分線交直線AB于點D,以AD為邊、4c為對角線作菱形力DCE,連結DE.

①當DE與此拋物線的對稱軸重合時，求菱形力DCE的面積；

②當此拋物線在菱形2DCE內部的點的縱坐標y隨X的增大而增大時，直接寫出小的取值范圍.

【答案】⑴y=x2+2x—2

(2)見詳解

⑶①S菱形ADCE=9；@mW-3或一1<m<0或0<mW4-V13

【分析】(1)將(―2,—2)代入y=/+2x+c,解方程即可；

2

(2)過點B作BH1AC于點H,由題意得4(??1,巾2+2m—2),B(—m,m—2m—2),則=\yA—yB|=4|m|,

AH=\xA—xB\=2\m\,因止匕tan/CAB=瑞=2；

(3)①記力C,DE交于點C(-5m,/+2m-2),而對稱軸為直線x=-1,則帶處=一1,解得:巾=5

則4M=|,AC=3,由tanNC4B=^=掣=2,得0M=3,則DE=6,因此S菱形48E=%

②分類討論，數形結合，記拋物線頂點為點R則F(-1,-3),故菱形中只包含在對稱軸右側的拋物線，當

巾>0時，符合題意；當相繼續變大，直至當直線CD經過點/時，符合題意，過點尸作FQ14C于點。，

由NCAD=乙FCQ,得到—+2--2-，3)=2,解得：m=4-履或m=4+V13(#),故0<mW4-V13,

當m>4-舊時，發現此時菱形包含了對稱軸左側的拋物線，不符合題意；當m<0時，符合題意：當加

繼續變小，直至點A與點P重合，此時爪=一1,故一13m<0；當/"繼續變小，直線4E經過點P時，也

符合題意，過點/作FQ14C于點。，同上可得，—^—=2,解得：7n=-3或m=-l(舍)，當

機繼續變小時，仍符合題意，因此m<-3,故根的取值范圍為：m<一3或一1<m<0或0VmW4-V13.

【詳解】(1)解：將(一2,—2)代入y=/+2%+c,

得：4—4+c=-2,

解得：%=-2,

???拋物線表達式為：y=/+2%—2；

(2)解：過點8作于點H,貝！!乙4"8=90。，

由題意得：A(m,m2+2m—2),8(—犯病—2m—2),

???

BH=\yA-yB\=4|m|,AH=\xA-xB\=2|m|,

???在Rt△AHB中，tan/CZB=—=^=2；

AH2\m\

(3)解：①如圖，記AC,DE交于點

由題意得，C(—5m,m2+2m—2),

,l,b2.

由---=---=—1,

2a2

得：對稱軸為直線：X=-1

,??四邊形4DCE是菱形，

.?.點A、C關于DE對稱，AC=2AM,DE=2DM,

???DE與此拋物線的對稱軸重合，

-m+5m

--------=—1a,

2

解得：m=|,

1

：'XA=29

'-AM=--(—1)=-

2、，2

?-AC—3,

「A「DMDM「

,-'tanZ-CAB=—=—r-=2,

AM-2

：.DM=3,則DE=6,

1

二S菱形4DCE=/EX4C=9;

②記拋物線頂點為點R把％=-1代入y=/+2%-2,得：y=—3,

；.F(-1,-3),

,?,拋物線在菱形2DCE內部的點的縱坐標y隨x的增大而增大,

???菱形中只包含在對稱軸右側的拋物線,

當機繼續變大，直至當直線CD經過點尸時，符合題意，如圖:

過點/作FQ14C于點。,

???四邊形4DCE是菱形,

-'-DA=DC,

'-Z-CAD=乙FCQ,

.,?tanzFCQ=tanZ-CAD=^=2,

.病+2171-2-(-3)_Q

,,--l-(-5m)—-，

解得：zn=4-VH^m=4+Vl^(舍)，

??.0<m<4—V13,

當4-舊時，如圖，發現此時菱形包含了對稱軸左側的拋物線，不符合題意;

當相繼續變小，直至點A與點月重合，此時771=-1,符合題意，如圖:

當叫繼續變小，直至直線4E經過點尸時，也符合題意，如圖:

過點F作FQ1AC于點Q,同上可得,

tanzFXQ='=2,

TH^+2771—2—(—3)

=2,

-1-771

解得：m=-3或m=-1(舍)，

當相繼續變小時，仍符合題意，如圖:

綜上所述，利的取值范圍為：mW-3或-1W巾<0或0<mW4-

【點睛】本題考查了拋物線與幾何的綜合，菱形的性質，待定系數法求函數解析式，求銳角的正切值，正

確理解題意，利用數形結合的思想，找出臨界狀態是解決本題的關鍵.

3.(2024?西藏?中考真題)在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+3(a30)與x軸交于4(一1,0),3(3,0)

(2)如圖(甲)，設點C關于直線/的對稱點為點。，在直線/上是否存在一點尸，使PA-PD有最大值？若

存在，求出PA-P。的最大值；若不存在，請說明理由；

(3)如圖(乙)，設點M為拋物線上一點，連接MC,過點M作MN1CM交直線/于點N.若tan/MCN=|,

求點M的坐標.

【答案】(l)y=-/+2%+3

(2)P4-PD存在最大值；最大值為VTU

(3)點M的坐標為(-1,0)或向或(|,空或(3,0)

【分析】(1)把4(一1,0),8(3,0)代入拋物線求出°、6的值，即可得出拋物線的解析式；

(2)先求出點C的坐標為(0,3),連接PC、PD.PA,根據軸對稱的性質得出PC=PD,PA-PC=PA-PD,

得出當PA—PC最大時，PA—PD最大，根據當點A、C、尸三點在同一直線上時，P4—PC最大，即當點尸

在點P'時，PA-PD最大,求出最大值即可；

(3)過點M作EO||y軸，過點C作CO，0E于點￡>,過點N作NE10E于點E,設點M的坐標為：

(m,-m2+2m+3),得出DM=|—m2+2m+3-3|=\—m2+2m\,NE=|m-1|,證明△CDMMEN,

得出”從而得出+2m\=2\m-1|,分四種情況：當zn<0時，當0<mW1時，當1<mW

NEMN3

2時，當?n〉2時，分別求出點M的坐標即可.

【詳解】(1)解：把4(一1,0),8(3,0)代入y=a/+匕％+3(。w0)得：

(d—力+3=0

19。+3b+3=0'

解得：憶:，

2

???拋物線的解析式為：y=-x+2x+3;

(2)解：P4-PD存在最大值；

把x-0代入y=—x2+2x+3得:y=3,

二點C的坐標為(0,3),

■■,y=—x2+2久+3=—(x-I)2+4,

???拋物線的對稱軸為直線久=1,

連接PC、PD、PA,如圖所示：

???點C關于直線/的對稱點為點。，點尸在直線/上,

：.PC=PD,

：.PA-PC=PA-PD,

???當P4—PC最大時，P4—PD最大，

當點A、C、尸三點在同一直線上時，PA-PC最大,即當點尸在點P'時，P4-PD最大,

.?.P4-PD最大值為：AC=Vl2+32=V10.

(3)解：過點〃作E01y軸，過點。作C010E于點。，過點N作NE10E于點如圖所示:

???CM1MN,

：/CMN=90°,

MN2

??.tanzMC/V=—=

CM3

設點M的坐標為：（科一m2+26+3）,

:.DM=\—m2+2m+3—3|=\—m2+2m|,NE=|m-1|,

,?2CMN=乙NEM=Z.CDM=90°,

??/DCM+Z,CMD=乙CMD+乙NME=90°,

???乙DCM=乙NME,

??.△CDMMEN,

tNE_MN_2

"DM~CM~39

\m-l\_2

\-m2+2m\3'

.,.2|—m2+2m|=3|m-1|,

當THWO時，-m2+2niW0,m—1<0,貝！J：

2m2—4m=3—3m,

解得：7nl=-1,m2=|（舍去），

此時點M坐標為：（-1,0）；

當0<mW1時，一血2+2m>0,m—1<0,貝lj：

—2m24-4m=3—3m,

解得：ZH1=3（舍去），巾2=/

此時點M坐標為：&自）；

當1<mW2時，一血？+2m>0,m—1>0,貝lj：

—2m2+4m=3m—3,

解得：nii=|,m2——1（舍去），

此時點M坐標為：（|,號；

當m>2時，一7n2+27n<0,m—1>0,貝（J：

2m2-4m=3m—3,

解得：=3,m2=|（舍去），

此時點〃坐標為：（3,0）；

綜上分析可知：點M坐標為：（-1,0）或&號或（I，?或（3,0）.

【點睛】本題主要考查了二次函數的綜合應用，求二次函數解析式，軸對稱的性質，兩點間距離公式，解

直角三角形的相關計算，解一元二次方程，相似三角形的判定和性質，解題的關鍵是數形結合，熟練掌握

相關的判定和性質，注意進行分類討論.

考點六：在網格中求銳角三角函數值

1.（2024?內蒙古包頭?模擬預測）如圖，在邊長為1的正方形網格中，點4、B、C、D、E都在小正方形格點

的位置上，連接4B,CD相交于點P,根據圖中提示所添加的輔助線，可以求得tan/BPC的值是（）

A.-B.—C.2D.V5

25

【答案】c

【分析】本題考查了三角函數，勾股定理,平行線的性質，解題的關鍵是數形結合.由題得：COIIBE,乙AED=

45°,/.BED=45°,根據勾股定理求出ZE=2&，BE=&,進而求出tan/ABE=2,即可求解.

【詳解】解：由題得，CDIIBE,AAED=45°,ABED=45°,

.-.乙BPC=^ABE,/.AEB=90°,

???AE=V22+22=2V2,BE=712+12=V2,

.?.在Rt△力BE中，tan4力BE=竺=莘=2,

貝lltan/BPC=tanZJlBE=2,

故選：c.

2.（2024?湖北武漢.模擬預測）如圖，是由小正方形組成的7x6網格，每個小正方形的頂點叫做格點，4ABe

的三個頂點都是格點.僅用無刻度的直尺在給定網格中完成畫圖，畫圖過程用虛線表示.

⑴在圖1中，將線段AB繞點A逆時針旋轉90。得到線段力M；在4c上畫點N,使tan/ABN="

4

（2）在圖2中，。是BC上任意一點，先畫4。的中點E,再在上找到一點兄使得乙4FB=NCFE.

【答案】（1）見解析

（2）見解析

【分析】（1）根據旋轉的性質可得線段2M,借助網格中平行線可得比例線段，從而求解.

（2）利用矩形MBM4性質，可得4。=80,四邊形4HCG是平行四邊形，AO'=CO',即可求解.

本題考查作圖——旋轉變換，軸對稱變換、平行線的性質，解直角三角形，熟練掌握相關知識是解答本題

的關鍵.

【詳解】（1）解：如圖1,根據旋轉的性質可得線段4M,取格點P,Q,連結PQ交4M于點O,

此時券號，則需建

口口

即——AO=A-O=3-

AMAB4

連結。B交AC于點N,

3

???tan乙4BN=tan乙48。=一，

4

則點N即為所求.

圖1

(2)解：如圖2,連結MN,交AB于點0,

?.?四邊形MBM4是矩形，

AO=B0,

AC與HG交于點O,

???四邊形4HCG是平行四邊形,

AO'=CO',

連結。。'交4。于點E,點E即為所求.

連結BL、KP交于點Q,連結CB'、DC'交于點Q',

連結QQ'交G'D于點連結49交BC于點R

點尸即為所求.

MA

LP

圖2

3.(2024?湖北武漢.模擬預測)如圖是由邊長為1的小正方形構成的網格，點4D、E、尸在格點上，點2、

C是直線EF與網格線的交點.請用無刻度的直尺在給定網格中完成下列畫圖，畫圖過程用虛線表示，畫圖

(1)如圖1,將線段EF繞著點E逆時針旋轉90。得到線段EM,在線段4