專題8二次函數

L一般地，如果yax2+bx+c（a,b,c是常數，a?0）,那么y叫作x的二次函數.其中，_________是二次項，

________是一次項_________是常數項.

2.二次函數的圖象的性質：二次函數的圖象是對稱軸是.⑴若a>0,當_______時，丫隨*

的增大而增大；當_________時，y隨x的增大而減小；當_________時,函數有最小值，為.⑵若a<0,當一

時,y隨x的增大而減小；當________時，y隨x的增大而增大；當______時，函數有最大值，為

3.二次函數y^ax2+bx+c（a,b,c是常數,a/））中,a,b,c的含義:a的符號與______有關,時拋物線開

口向上--------時拋物線開口向下；b的符號與對稱軸有關，對稱軸為%=-白,先根據開口方向確定a的符號，

2a

再根據對稱軸的確定b的符號；C的符號與拋物線和的交點有關，拋物線和y軸的交點坐標為—

當拋物線和y軸正半軸相交時當拋物線和y軸負半軸相交時,.

4.二次函數與一元二次方程的關系:一元二次方程的解是其對應的______的圖象與x軸的交點坐標的

_；一元二次方程中的_______可以判定二次函數的圖象與x軸是否有交點,當__________時,圖象與x軸有

；當________時，圖象與X軸有；當_______時，圖象與X軸_______.

5.二次函數的平移法則:.

6.二次函數的解析式有三種形式：（1）一般式:；（2）頂點式::⑶交點式：.若已知拋物線上任

意三點，通常選擇利用待定系數法列來解；當已知拋物線的或時,常設其解析

式為頂點式來解；結合題設的具體情況，亦可選擇頂點式的為所求函數的解析式；當已知拋物線與x軸有一

時，則選擇設函數解析式為來解.

7.用二次函數解決實際問題

（1）二次函數常用來解決最優化問題，這類問題實際上就是求函數的_______值.

（2）二次函數的應用包括以下幾個方面：分析和表示不同背景下實際問題中變量之間的______關系；運用二次

函數的知識解決實際問題中的______值.

實戰演練

1.拋物線.y=2(X+9)2—3的頂點坐標是()

A.(9,-3)B.(-9,-3)

C.(9,3)D,(-9,3)

2.點A(m-l,yi),B(m,y2)都在二次函數y=(x-+n的圖象上.若yi<y2,,則m的取值范圍為()

3

A.m>2B.m>-

2

3

C.m<lD.-<m<2

2

3.已知拋物線y=ax2+bx+c(a,b,c是常數,0<a<c)經過點(1,0),有下列結論：

①2a+b<0;

②當x>l時，y隨x的增大而增大；

③關于x的方程ax2+bx+(b+c)=0有兩個不相等的實數根.

其中，正確結論的個數是()

A.OB.lC.2D.3

4.如圖，二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸相交于A(-l,0),B兩點，對稱軸是直線x=l,下列說法正確

B.當x>-l時，y的值隨x值的增大而增大

C.點B的坐標為(4,0)

D.4a+2b+c>0

5.拋物線的函數表達式為y=3(%-2)2+1,,若將x軸向上平移2個單位長度，將y軸向左平移3個單位長度，

則該拋物線在新的平面直角坐標系中的函數表達式為()

4y=3(x+l)2+3

B.y=3(%-5)2+3

C.y=3(x-5)2-1

Dy=3(x+l)2—1

6.下表中列出的是一個二次函數的自變量x與函數y的幾組對應值：

X-2013

y6-4-6-4

下列各選項中，正確的是()

A.這個函數的圖象開口向下

B.這個函數的圖象與x軸無交點

C.這個函數的最小值小于-6

D.當x>l時，y的值隨x值的增大而增大

7.二次函數y=ax2-2ax+c(a>0)的圖象過A(-3,yi),B(-l,y2),C(2,y3),D(4,y4)四個點,下列說法一定正確的

是()

A.若yiy2>。，則yiy2>0

B.若yiy4>0廁y2y3>o

C.若y2y4<0,則yiy3<0

D.若y3y4<。，則yiyz<o

8.“聞起來臭，吃起來香”的臭豆腐是長沙特色小吃.臭豆腐雖小，但制作流程卻比較復雜，其中在進行加工煎炸

臭豆腐時，我們把“焦脆而不糊”的豆腐塊數的百分比稱為“可食用率”.在特定條件下，“可食用率”P與加工煎炸時間

t(單位：分鐘)近似滿足的函數關系為：p^at2+bt+c(a豐O,a,b,c是常數)，如圖記錄了三次實驗的數據根據上述

函數關系和實驗數據，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳時間為()

A.3.50分鐘B.4.05分鐘

C.3.75分鐘D.4.25分鐘

9.設拋物線y=x2+(a+l)x+a,其中a為實數.

(1)若拋物線經過點(-1,m),則m=

⑵將拋物線y=/+(a+l)x+a向上平移2個單位，所得拋物線頂點的縱坐標的最大值是

10.單板滑雪大跳臺是北京冬奧會比賽項目之一，舉辦場地為首鋼滑雪大跳臺，運動員起跳后的飛行路線可以看

作是拋物線的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標系，從起跳到著陸的過程中，運動員的豎直高度y(單位：

m)與水平距離x(單位：m)近似滿足函數關系y=a(%-ft)2+fc(a<0).

某運動員進行了兩次訓練.

(1)第一次訓練時，該運動員的水平距離x與豎直高度y的幾組數據如下：

水平距離x/m02581114

豎直高度y/m20.0021.4022.7523.2022.7521.40

根據上述數據，直接寫出該運動員豎直高度的最大值，并求出滿足的函數關系y=a(%-hY+fc(a<0);

⑵第二次訓練時，該運動員的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數關系y=-0.04(%-9)2+23.24記該運動

員第一次訓練的著陸點的水平距離為dl,第二次訓練的著陸點的水平距離為d2,則dld2(填或

11.如圖，在平面直角坐標系中,拋物線y--|x2+bx+c與x軸交于點A(4,0),與y軸交于點B(0,3).

(1)求拋物線的函數表達式；

(2)點P為直線AB上方拋物線上一動點，過點P作PQ，x軸于點Q,交AB于點M,求PM+QM的最大值

及此時點P的坐標；

12.在一條筆直的滑道上有黑、白兩個小球同向運動，黑球在A處開始減速，此時白球在黑球前面70cm處.

黑球白球

Q

A

小聰測量黑球減速后的運動速度v(單位：cm/s)、運動距離y(單位：cm)隨運動時間t(單位：s)變化的數據，整

理得下表.

運動時間t/s01234

運動速度v/cm/s109.598.58

運動距離y/cm09.751927.7536

小聰探究發現，黑球的運動速度V與運動時間t之間成一次函數關系，運動距離y與運動時間t之間成二次函

數關系.

(1)直接寫出v關于t的函數解析式和y關于t的函數解析式(不要求寫出自變量的取值范圍)；

(2)當黑球減速后運動距離為64cm時，求它此時的運動速度；

(3)若白球一直以2cm/s的速度勻速運動，問黑球在運動過程中會不會碰到白球？請說明理由.

13.已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象經過(-2,1),(2,-3)兩點.

(1)求b的值；

⑵當0-1時，該函數的圖象的頂點的縱坐標的最小值是________；

⑶設(m,0)是該函數的圖象與x軸的一個公共點.當時，結合函數的圖象，直接寫出a的取值范圍.

14.在平面直角坐標系中，拋物線y=d+2mx+2m2-爪的頂點為A.

(1)求頂點A的坐標(用含有字母m的代數式表示)；

⑵若點B(2,yB),C(5,yc)在拋物線上，且yB>yc,則m的取值范圍是________；(直接寫出結果即可)

⑶當1WXW3時，函數y的最小值等于6,求m的值.

15.某工廠計劃在每個生產周期內生產并銷售完某型設備，設備的生產成本為10萬元/件.

⑴如圖，設第x(0<xS20)個生產周期設備售價z萬元/件，z與x之間的關系用圖中的函數圖象表示.求z關于x

的函數解析式(寫出x的范圍)；

(2)設第x個生產周期生產并銷售的設備為y件,y與x滿足關系式y=5x+40(0<xW20).在(1)的條件下，工廠第幾個

生產周期創造的利潤最大？最大為多少萬元？(利潤=收入-成本)

售價

11Z萬元/件

16

14

第x個

1220周期

壓軸預測

1.若點A(1m),B(3,m)在同一個函數圖象上，這個函數可能為

A.y=(x—I)2+9B,y=(%+I)2+9

C,y=(%+3)2-9D,y=(%-2)2-9

2.已知二次函數y=-/+2久+3,當自變量x的值滿足a<x<2時，函數y的最大值與最小值的差為1,則a的

值可以為(

A--

2

3.已知二次函數y=ax+bx+c的圖象與x軸交于3,0),(xz,0)兩點,且滿足-1<打<0,1<x2<2,則下列

說法正確的個數是

①a+b+c<0;

②b<0;

@abc>0;

豐

④若a城+bx3=axl+6孫(久3孫)廁0<<2.

4.運動場上，小明投球時，發現籃球軌跡最高點距離地面3米，小明距離最高點的水平距離為1米，籃球落地

處距離小明3米，那么你能計算出小明投籃的最高點距離地面為多少米嗎？

5.如圖已知二次函數y=a久2圖象與直線y=-x+2交于點A(-2,m),點B.

⑴求m,a的值;

(2)求點B坐標；

⑶連接OA,OB,求AAOB的面積.

參考答案

1.ax2bxc

2拋物線x

=~Y2a

石、、b,bb4ac—b2

(1)X>---X<---X=---------

2a2a2a4a

c、、b,bb4ac-b2

(2)%>-----X<---X=---------

2a2a2a4a

3.開口方向a>0a<0位置y軸(0,c)c>0c<0

4.二次函數橫坐標—4acA>0兩個交點△=()一個交點△<()沒有交點

5.左加右減上加下減

6.(l)y=ax2+bx+c(a,b,c是常數聲和)

(2)y=a(x-h)2+k(a,h,k是常數,a彳O)

(3)y=a(x-狎)?(久-％2)。,打,久2是常數，a/))一般式三元一次方程組頂點對稱軸特殊形式兩個交點

交點式

7.(1)最大(小)(2)二次函數最大(小)

1.B【解析】本題考查拋物線的頂點坐標.拋物線y=2(%+9)2-3的頂點坐標是(-9,-3),故選B.

2

2.B【解析】本題考查二次函數的性質、解不等式?點)和點B(m,y2)都在二次函數y=(x-l)+n

22222

的圖象上，=(m-1-I)+n=(m-2)+n,y2=(m—l)+n.v<y2,(m-2)+n<(m-l)+

n,gp((m-2)2-(m-l)2<0,,整理得-2m+3<0,；.m>去故選B.

3.C【解析】本題考查二次函數的圖象與性質、一元二次方程根的判別式.對于①?拋物線經過點((1,0),，a

+b+c=0..?.2a+b<0,故①正確;對于②，若點(1,0)在拋物線的對稱軸的左邊時，在點(1,0)到頂點這段拋物線

上，y隨x的增大而減小,故②錯誤；對于③,,.,a+b+c=0,；.b+c=-a,...原方程可化為(ax2+bx-a=0.b2+

4a2>0,.?.方程(a久2+陵+3+°)=o有兩個不相等的實數根，故③正確綜上所述，正確的結論是①③，共有2個

故選c.

4.D【解析】本題考查二次函數的圖象與性質.

選項逐項分析正誤

A???拋物線開口向下,/.a<0

由圖象可知，當x>-l時，在對稱軸的右

B

邊，y隨X的增大而減小

C，?,點A(-l,0)和點B關于直線x=l對稱,?,.點B的坐標為(3,0)X

D由題可知，當x=2時,y=4a+2b+c>0?

故選D.

5.C【解析】本題考查二次函數的圖象與性質、函數圖象的平移變換住題意可知，將x軸向上平移2個單位

長度，即將函數圖象向下平移2個單位長度；同理，將y軸向左平移3個單位長度，即將函數圖象向右平移3個單

位長度?拋物線的表達式為y=3(x—2)2+1,.?.平移后的函數表達式為.y=3(久-2-3)2+1-2,即為y=3(x-

5y—1,故選C.

6.C【解析】本題考查二次函數的圖象和性質.：當x=0和x=3時，函數值y相等，，二次函數的圖象關于直

線X=，寸稱，，對稱軸為X=1，.??當久=3時，函數y最小值小于-6,且拋物線開口向上，A選項錯誤，C選項

正確;函數y經過(26),(0,-4),.??其圖象與x軸有交點，B選項錯誤；當x>l時，y的值隨x的增大先減小后增大，D

選項錯誤，故選C.

7.C【解析】本題考查二次函數的圖象和性質.??》=a尤2—2a久+c=a(x-I)2-a2+c,:拋物線的對稱軸為.

x=l,.四點中距離對稱軸遠近關系為A>D>B>C,言>(),.,.拋物線開口向上,.5>yi>y2>y3,當yi>y4>y2>

0>乃時,yiyz>o,y3y4<o,且yjVA>o,y2y3<0,故選項A,B,D錯誤;當yi>y4>0>y2>y3時,y?<0,yiy3

<0,故選項c正確，故選c.

8.C【解析】本題考查二次函數的應用.將圖象中的三個點(3,0.8),(4,0.9),(5,0.6)代入函數關系.pat2+bt+c

9a+3b+c=0.8,(a=—0.2,

中得卜6a+4b+c=0.9,解得b=1.5,所以函數關系式為p=-0.2t2+1.5t-1.9..由題意可知，加工煎炸臭豆

腐的最佳時間應為拋物線頂點的橫坐標t=-白=--^―=3.75,則當t=3.75分鐘時，為最佳時間，故選C.

9.(1)0；(2)2【解析】本題考查二次函數的性質、函數圖象的平移.⑴將代入y=產+(a+1灰+見得m

=l--(a+l)+a=0;(2)原拋物線頂點的縱坐標為"言過=三詈1,向上平移2個單位長度后的縱坐標為

出普+2=把等=3*8,當a=i時，所得拋物線頂點的縱坐標存在最大值，最大值為2.

10.(1)23.20,y=-0.05(x-8)2+23.20(2)<

(1)由表格中的數據確定拋物線的頂點坐標，從而可得h,k的值，k的值即為運動員豎直高度的最大值，再將(0,

20.00)代入函數關系式即可求出a的值，據此可得函數關系式；(2)設著陸點的縱坐標為t,分別代入第一次和第二

次的函數關系式，求出著陸點的水平距離，比較大小即可作出判斷.

解:⑴由題知，拋物線的頂點坐標為(8,23.20),所以h=8,k=23.20,

即該運動員豎直高度的最大值為23.20m.

根據表格中的數據可知，當x=0時,y=20.00代入y=a。—8)2+23.20,,得20.00=64a+23.20,解得a=-0.05,

所以函數關系式為y=-0.05(x-8)2+23.20.

(2)<.

由題意，設著陸點的縱坐標為t(t<20.00),

則第一次訓練時，t=-0.05(%-8)2+23.20,

解得%=8±720(23.20-t),

由圖知，第一次訓練著陸點的水平距離

由=8+.20(23.20-t),

第二次訓練時,t=-0.04(x-9)2+23.24,

解得x=9土[25(23.24-t),

由圖知，第二次訓練著陸點的水平距離

出=9+05(23.24-t).

因為20(23.20-t)<25(23.24-t),

所以&<d2.

11.⑴y=-R+I+3⑵4,(吟)

(1)將點A,B的坐標分別代入拋物線解析式，解出b,c的值即可求解；(2)根據待定系數法求出直線AB的解

析式，設出P點的坐標(t為待定系數)，進而得出點M的坐標，用含t的式子表示出PM,MQ的長，利用勾股定

理及銳角三角函數的定義用含t的式子表示出AM的長，進而表示出PM+g4M利用二次函數的性質可得答案.

解:⑴；拋物線y=-1%2+bx+c經過點A(4,0),B(0,3),

...;12+4%c=0,解得

1c=3.(c=3.

???拋物線的函數表達式為y=-1x2+|x+3.

(2)；直線AB經過點A(4,0),B(0,3),

；?直線AB的函數表達式為y=-1%+3.

設P(-W+9+3),

則M(“六+3),其中0<t<4,

???PM=--t2+-C+3-Ct+3)=--t2+3t,MQ=--t+3.

44\4/44

VAO=4,BO=3,.\AB=V32+42=5.

n〃AcMQOB3

sinzMi4Q=——=—==，

yAMAB5

AM=^MQ=-?+5.

???PM+-AM=--t2+3t+-(--L+5]=--t2+-t+6l)2+—.

545V4J424vy4

3

v0<t<4,——<0,

4

/.t=i時，取得最大值，最大值為?此時,點的坐標為(1,

PM+U□MI4PZ

12.(l)u=-1t+10,y=-it2+10t

(2)6cm/s(3)不會,理由略

(1)根據表中數據由待定系數法即可求得兩函數解析式；(2)把y=64代入函數解析式求得時間t,再由t的值即

可求解；(3)根據題意建立兩球距離與時間的函數關系式，再根據函數的性質即可求解.

解：(l)v=--t+10,y=--t2+10t.

(2)依題意，得64.-it2+10t=64.

/.t2-40t+256=0.

解得.tz=S,t2=32.

當h=8時,v=6;

當t2=32時,v=-6(舍).

答:黑球減速后運動64cm時的速度為6cm/s.

(3)設黑白兩球的距離為wcm.

w=70+2t-y=|t2-8t+70=i(t-16)2+6.

[>0,二當t=16時,w的值最小為6,

黑、白兩球的最小距離為6cm，大于0,黑球不會碰到白球.

另解1:當0=0時，*2_8t+70=。，判定方程無解.

另解2：當黑球的速度減小到2cm/s時，如果黑球沒有碰到白球，此后，速度低于白球速度，不會碰到白球.先

確定黑球速度為2cm/s時，其運動時間為16s,再判斷黑白兩球的運動距離之差小于70cm.

13.(l)b=-l(2)1(3)a<0或a>'

(1)將已知點的坐標代入二次函數，列出三元一次方程組，兩式相減，可直接求出b的值；(2)根據(1)中結論得

到a與c的等量關系，代入頂點坐標公式，構造關于頂點縱坐標的不等式，即可求解；(3)根據題意得x=-l和x=3

時函數值一正一負，即可求解.

解:⑴把點(21),(2,-3)代入y=ax2+bx+c,

彳曰11=4a—2b+c,

寸l-3—4a+2b+c,

兩式相減彳導4=-4b,

解得b=-l.

⑵1.

把b=-l代入4a-2b+c=l,

得4a+2+c=l,

4ac—b2,1..1

頂點縱坐標為-----=c-\------=c+14H---------14.

4ac+lc+1

Vc>-l,/.c+l>0.

下證對于任意的正數a,b,都有a+b>14ab.

2__

(V^-迎)=a+b—24ab>0,

a4-Z)>2y[ab,,當a=b時取等號，

???c+l+^y—1)2J(c+1)?^^-1，

即c+1H------1NL

c+l

???頂點縱坐標的最小值為1.

(3)a<0或a>

由4a-2+c=-3得c=-4a-l.

當x=-l和x=3時函數值一正一負,

/.(a+l-4a-l)(9a-3-4a-l)<0,

-3a(5a-4)<0,

a(5a-4)>0,

a>g或a<0.

14.(l)(-m,m2-m)(2)m<-3.5

(3)m=?2或zn=可t

(1)根據配方法或頂點公式法即可求得頂點坐標；

(2)根據開口方向、函數的增減性確定對稱軸位置，從而求出m的取值范圍;(3)分三種情況討

論x取何值時，y有最小值6，代入函數y中，解方程即可求值.

解:(1)解法一：

y=%2+2mx+2m2—m=(%+m)2—m2+2m2—m=(%+m)2+m2—m.

工頂點A(—mfm2—Tri).

解法二：X=一券=一科

4x1x(2m2—m)—(2m)27

y=------------------------=—m.

,4x1

工頂點A的坐標為({-mm2-m).

(2)m<-3.5.

⑶分三種情況討論：

①-mgl,即m>-l.

當x=l時,y=6.

1+2m+2m2—m=6.

解方程，得根1=竽，根2=-乎(不符合題意，舍去).

x=~m

第①種情況草圖

②l<-m<3BP-3<m<-l.

當x=-m時,y=6.

???m2—m=6.

解方程，得=-2,m2=3（不符合題意,舍去）.

m=-2.

x=-m

第②種情況草圖

③-m>3即m<-3.當x=3時,y=6.

9+6m+2m2—m=6.

解方程，得m.=-1,m2=-%均不符合題意，舍去).

綜上所述：m=-2或m=可—.

x=-m

第③種情況草圖

16,(0<%<12)

3+19.(12<久W20)

(2)工廠在第14個生產周期創造的利潤最大，最大是605萬元.

⑴分0<x<12,12<x<20兩種情況求z關于x的函數解析式；(2)根據自變量取值范圍確定利潤W的函數關系式，

結合一次函數與二次函數的圖象與性質即可求得最大利潤.

解:⑴由圖可知，當0<x<12時,z=16.

當12<x<20時,z是關于x的一次函數，設z=kx+b,則&+仁得k=—：,b=19,

1

即z=--x+19,

???z關于x的函數解析式為

(OVJ?4⑵

之一\]

--}z+19.(12<r420)

4

(2)設第x個生產周期工廠創造的利潤為W萬元.

①0<xW12時，

W=(16-10)x(5x+40)=30x+240,

當x=12時，

W最大值=30x12+240=600(萬元).

②12<xW20時，

WZ=Qx+19-10)x(5%+40)

=--%2+35%+360

4

=-氫％-14尸+605,

當x=14時W品仙=605(萬元).

取

綜上所述，工廠在第14個生產周期創造的利潤最大，最大是605萬元.

壓軸預測

1.A【解析】本