2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案（全國(guó)版）

第六章圖形的變化

6.1尺規(guī)作圖

備考指南＞

考點(diǎn)分布考查頻率命題趨勢(shì)

考點(diǎn)1基本尺規(guī)作圖及相幾何作圖題分尺規(guī)作圖和無(wú)刻度作圖，是全國(guó)中考的

☆☆

應(yīng)判斷熱點(diǎn)內(nèi)容，更是全國(guó)中考的必考內(nèi)容。每年都有一些

考生因?yàn)橹R(shí)殘缺、基礎(chǔ)不牢、技能不熟、答欠規(guī)范

等原因?qū)е率Х帧?/p>

從考點(diǎn)頻率看，尺規(guī)作圖是幾何作圖的基礎(chǔ)，也是高

考點(diǎn)2無(wú)刻度直尺作圖☆頻考點(diǎn)、必考點(diǎn)，所以必須熟練尺規(guī)作圖，而無(wú)刻度

作圖是近幾年的新考法，有幾個(gè)省市著重考查此類題

型。從題型角度看，以解答題為主，分值8分左右，

著實(shí)不少！但選擇題、填空題考查幾何作圖題也不少。

☆☆☆代表必考點(diǎn)，☆☆代表?？键c(diǎn)，☆星表示中頻考點(diǎn)。

yI知識(shí)清單〉

考點(diǎn)1.基本尺規(guī)作圖及相應(yīng)判斷

1.由作角平分線過(guò)程求解。這類作圖主要考查了角平分線的性質(zhì)定理和尺規(guī)作圖,勾股定理、菱形

判定等知識(shí)。

2.由作垂直平分線過(guò)程求解。這類作圖主要考查了垂直平分線的作法和性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì)和

三角形內(nèi)角和定理，掌根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)等。

考點(diǎn)2.無(wú)刻度直尺作圖

1.網(wǎng)格中有一線的無(wú)刻度作圖。這類作圖主要考查作圖-對(duì)稱變換，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等

知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題。

2.網(wǎng)格中有一三角形的無(wú)刻度作圖。這類作圖主要考查格點(diǎn)作圖，平行四邊形的判定及性質(zhì)，勾

股定理，全等三角形、相似三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)圖芨的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。

3.網(wǎng)格中有四邊形的無(wú)刻度作圖。這類作圖主要考查了復(fù)雜作圖、位似圖形、勾股定理、平行四邊

形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握尺規(guī)作圖的常見(jiàn)作法是解題關(guān)鍵。

4.特殊圖形中的無(wú)刻度作圖。這類作圖主要考查了作圖一復(fù)雜作圖，解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基

本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖捱解成基本作圖，逐步操作，也考查了全等

三角形的判定與性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)等。

5.平行四邊形中的無(wú)刻度作圖。這類作圖主要考查作圖-復(fù)雜作圖、平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟

練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)。

6.矩形、菱形、正方形中的無(wú)刻度作圖。這類作圖主要考查了復(fù)雜作圖，掌握特殊平行四邊形的性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵。

【提示】幾何作圖題分尺規(guī)作圖和無(wú)刻度作圖，是全國(guó)中考的熱點(diǎn)內(nèi)容，更是全國(guó)中考的必考內(nèi)容。

每年都有一些考生因?yàn)橹R(shí)殘缺、基礎(chǔ)不牢、技能不熟、答欠規(guī)范等原因?qū)е率Х帧?/p>

1.從考點(diǎn)頻率看，尺規(guī)作圖是幾何作圖的基礎(chǔ)，也是高頻考點(diǎn)、必考點(diǎn)，所以必須熟練尺規(guī)作圖，

而無(wú)刻度作圖是近幾年的新考法，有幾個(gè)省市著重考查此類題型。

2.從題型角度看，以解答題形式出現(xiàn)的情況成為常態(tài)，分值8分左右。

K考點(diǎn)梳理I）

考點(diǎn)1.基本尺規(guī)作圖及相應(yīng)判斷

【例題1】（2024深圳）在如圖的三個(gè)圖形中，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，能判斷射線平分/B4c

的是（）

A

B

【答案】B

【解析】本題考查了尺規(guī)作圖，全等三角形的判定與性質(zhì)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是理解作法、掌握角平分

線的定義.利用基本作圖對(duì)三個(gè)圖形的作法進(jìn)行判斷即可.在圖①中，利用基本作圖可判斷A。平分

NBAC；在圖③中，利用作法得AE=AR=,可證明_ARWgoAEN,有

ZAMD^ZAND,可得ME=NF,進(jìn)一步證明式ZW）尸，得DM=DN,繼而可證明

△ADM咨AADN,得/MAD=NNAD,得到AD是/B4c的平分線；在圖②中，利用基本作

圖得到。點(diǎn)為的中點(diǎn)，則AD為邊上的中線.

【詳解】在圖①中，利用基本作圖可判斷A。平分NB4C；

在圖③中，利用作法得A￡=ARAM=AN,

在AAFM和AAEN中，

AE=AF

<ABAC=ABAC,

AM=AN

.ARW烏AETV(SAS),

ZAMD=ZAND,

AM-AE=AN-AF

:.ME=NF

在，"DE和..NDF中

ZAMD=ZAND

<ZMDE=ZNDF,

ME=NF

.?.MDE^NDF(AAS),

DM=DN,

"AD=AD,AM=AN,

ADM^ADN(SSS),

ZMAD^ZNAD,

；?A。是的平分線；

在圖②中，利用基本作圖得到。點(diǎn)為的中點(diǎn)，則A。為邊上的中線.

則①③可得出射線A。平分NB4C.故選：B.

【變式練1］（2024長(zhǎng)春一模）如圖，在ABC中，根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，下列說(shuō)法不一定正確

A.AF=BFB.AE=-AC

2

C.ZDBF+ZDFB=90°D.ZBAF=ZEBC

【答案】B

【解析】根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，可得。E垂直平分AB,BE是NA3C的角平分線，根據(jù)垂直平分線的

性質(zhì)和角平分線的定義，直角三角形兩銳角互余，等邊對(duì)等角的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，可得。/垂直平分AB,BE是NA3C的角平分線，

AF=BF,ZBDF=90°,ZABF=ZCBE,

ZABF=ZBAF,/DBF+ZDFB=90°,

ZBAF=ZEBC,

綜上，正確的是A、C、D選項(xiàng)，故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線和角平分線作圖，垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的定義，直角三角

形兩銳角互余，等邊對(duì)等角的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

【變式練2］（2024江蘇連云港一模）如圖，在中，ZABC=150°.利用尺規(guī)在BC、BA

上分別截取鹿、BF，使BE=BE；分別以E、R為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在

2

NC6A內(nèi)交于點(diǎn)G；作射線BG交。。于點(diǎn)〃.若AZ>=g+l,則3H的長(zhǎng)為.

【答案】桓

【解析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)〃作于由作圖方法可知,平分443C,即可證明NC38=NCH2,

得到3=50=6+1，從而求出HM,CM的長(zhǎng)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，即可利用勾股定理求出

的長(zhǎng).

【詳解】如圖所示，過(guò)點(diǎn)H作即W_LBC于

由作圖方法可知，BH平分乙4BC,

?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

?*.5C=AD=V3+1,AB//CD，

：.ZCHB=ZABH,ZC=18O°-ZABC=3O°,

ZCBH=ZCHB,

:.CH=BC=6+L

:?HM=-CH

22

：.CM=《CH?-CM?=,

2

J3-I

：.BM=BC-CM=——,

2

?*-BH=^HM2+BM2=72,

故答案為：日

DC

4^-------------------------------

FB

【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的尺規(guī)作圖，平行四邊形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì),

勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定等等，正確求出CH的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵.

【變式練3】（2024山東煙臺(tái)一模）如圖，。。是AABC的外接圓，ZABC=45°.

（1）請(qǐng)用尺規(guī)作出。。的切線AQ（保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）在（1）的條件下，若反與切線AD所夾的銳角為75。，。。的半徑為2,求BC的長(zhǎng).

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）273

【解析】【分析】（1）連接。A,過(guò)點(diǎn)4作AQLAO即可；

（2）連接OC.先證明NACB=75。，再利用三角形內(nèi)角和定理求出NCAB,推出N80C=120。,

求出C”可得結(jié)論.

【詳解】（D解：如圖，切線即為所求；

'.'AD是切線，

：.OA±AD,

：.ZOAD=90°,

'：/DAB=75°,

：.ZOAB=15°f

u

：OA=OBf

：.ZOAB=ZOBA=15°f

：.N8O4=150。，

???ZBCA=|ZAOB=75°f

ZABC=45°,

JZBAC=180°-45°-750=60。,

???ZBOC=2ZBAC=120°,

*.*O3=OC=2,

JZBCO=ZCBO=30°,

OHLBC,

CH=BH=OC,cos30°=6,

：.BC=2^/3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了作圓的、三角形的外接圓、切線的判定和性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，

解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.

考點(diǎn)2.無(wú)刻度直尺作圖

【例題2】(2024武漢市)如圖是由小正方形組成的3x4網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn).一ABC

三個(gè)頂點(diǎn)都是格點(diǎn).僅用無(wú)刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成四個(gè)畫(huà)圖任務(wù)，每個(gè)任務(wù)的畫(huà)線不得超過(guò)三

(1)(2)

(1)在圖(1)中，畫(huà)射線A。交于點(diǎn)。，使A。平分A5C的面積;

(2)在(1)的基礎(chǔ)上，在射線AD上畫(huà)點(diǎn)E,使NECB=NAC5；

(3)在圖(2)中，先畫(huà)點(diǎn)E使點(diǎn)A繞點(diǎn)廠順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。到點(diǎn)C,再畫(huà)射線A尸交于點(diǎn)G；

(4)在(3)基礎(chǔ)上，將線段AB繞點(diǎn)G旋轉(zhuǎn)180°,畫(huà)對(duì)應(yīng)線段(點(diǎn)A與點(diǎn)M對(duì)應(yīng)，點(diǎn)B

與點(diǎn)N對(duì)應(yīng)).

【答案】(1)作圖見(jiàn)解析

(2)作圖見(jiàn)解析(3)作圖見(jiàn)解析

(4)作圖見(jiàn)解析

【解析】【分析】本題考查了網(wǎng)格作圖.熟練掌握全等三角形性質(zhì)，平行四邊形性質(zhì)，等腰三角形性

質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵.

(1)作矩形對(duì)角線印交于點(diǎn)D,做射線AD,即可；

(2)作OP〃3C,射線尸于點(diǎn)。，連接CQ交A。于點(diǎn)E,即可；

(3)在AC下方取點(diǎn)凡使AF=CF=逐，△ACF是等腰直角三角形，連接b,AF>AF

交BC于點(diǎn)G,即可；

(4)作OP〃3C,交AG于點(diǎn)作ST〃AG,交BC于點(diǎn)、N,連接肱V,即可.

【小問(wèn)1詳解】

如圖，作線段包，使四邊形是矩形，印交BC于點(diǎn)、D,做射線A。，點(diǎn)。即為所求作；

【小問(wèn)2詳解】

如圖，作OP〃3C,作ARLO尸于點(diǎn)。，連接CQ交A。于點(diǎn)E,點(diǎn)E即為作求作;

【小問(wèn)3詳解】

如圖，在AC下方取點(diǎn)尸，使AR=CE=J?,連接。下，連接并延長(zhǎng)A尸，A尸交于點(diǎn)G,

點(diǎn)、F,G即為所求作;

A

【小問(wèn)4詳解】

如圖，作OP〃3C,交射線AG于點(diǎn)M,作ST〃AG,交BC于點(diǎn)、N,連接MN,線段即為

所求作.

【變式練1］（2024湖南長(zhǎng)沙一模）如圖是7x6的正方形網(wǎng)格，已知格點(diǎn)△ABC（頂點(diǎn)在小正方形頂

點(diǎn)處的三角形稱為格點(diǎn)三角形），請(qǐng)僅用無(wú)刻度直尺完成下列作圖（要求保留作圖痕跡，不要求寫作

⑴圖1中，在邊上找一點(diǎn)作線段使得“一?行

3

（2）圖2中，在AB邊上找一點(diǎn)E,作線段CE,使得SACE=WSM-

【答案】（1）見(jiàn)解析⑵見(jiàn)解析

【分析】本題考查作圖一應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖、三角形的面積、相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是

理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.

（1）取線段的中點(diǎn)。，連接°,則點(diǎn)。即為所求.

（2）取格點(diǎn)/，N,使AM:3N=3:2,且AM〃3N,連接MN,交AB于點(diǎn)E,連接區(qū)，則點(diǎn)E即

為所求.

【詳解】（1）

解：如圖1,取線段A3的中點(diǎn)D,連接

則點(diǎn)。即為所求;

(2)

N,使4W:8N=3:2,且AM〃氏V,

連接例N,交AB于點(diǎn)E,連接CE,

則△AME-ABNE,

AEAM3

貝ljBEBN2,

S^ACE'SgcE=3.2

??-5MC￡=|sMfiC

則點(diǎn)E即為所求.

【變式練2](2024廣州一模)如圖是由小正方形組成的網(wǎng)格，四邊形.8的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，僅

用無(wú)刻度的直尺在所給定的網(wǎng)格中按要求完成下列畫(huà)圖，畫(huà)圖過(guò)程用虛線表示，畫(huà)圖結(jié)果用實(shí)線表示.

(1)在圖1中，先以點(diǎn)A為位似中心，將四邊形縮小為原來(lái)的萬(wàn)，畫(huà)出縮小后的四邊形AAG2,

再在AB上畫(huà)點(diǎn)E,使得平分四邊形ABC。的周長(zhǎng)；

(2)在圖2中，先在AS上畫(huà)點(diǎn)/，使得CF=BC,再分別在AD,AB上畫(huà)點(diǎn)M,N,使得四邊形BCMN

是平行四邊形.

【答案】（1）見(jiàn)詳解（2）見(jiàn)詳解

【分析】（1）取鉆、A。、AD的中點(diǎn)瓦、6、2,然后順次連接即可；根據(jù)勾股定理可得旗=5,

AD=CD=242,結(jié)合圖形可知3c=3,故AB+BC=8,取格點(diǎn)尸，使得P3=AB=5,則有

ZBAP=NBPA,連接AP,再取點(diǎn)°,連接CQ,此時(shí)可有AC=P8=4,AC//PB,即四邊形人尸℃

為平行四邊形，則有CQ〃4尸，易得NBQE=NBPA,NBEQ=NBAP,所以NBEQ=/BQE,易得

BE=BQ=l連接OE,則。E平分四邊形ABCD的周長(zhǎng)；

⑵取格點(diǎn)G,H,J,使得CG=3,GH=4,HJ=3,連接GJ交A2于尸，易證明ABC”GJH,

所以/"GJ=/C4B,結(jié)合NB+NC4B=90。，可得NG+/B=90。，即BGF為直角三角形，因?yàn)?/p>

CG=BC=3,根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”，可得CF=3C；在網(wǎng)格中取點(diǎn)K,

連接CK交AD于點(diǎn)則CK〃AB,過(guò)點(diǎn)/作MN〃3C,交AB為點(diǎn)、N,即可獲得答案.

【詳解】（1）解：如下圖，四邊形A4G2,線段OE即為所求；

（2）如下圖，CF,四邊形3QWN即為所求.

【變式練3】（2024深圳一模）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，E為AD的中點(diǎn)，僅用無(wú)刻度的直

尺作圖:

⑴在上取點(diǎn)M,使四邊形為平行四邊形;

（2）在CD的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)F,使四邊形及）外為平行四邊形.

【答案】（1）見(jiàn)詳解（2）見(jiàn)詳解

【分析】（1）連接4C,交BD于點(diǎn)0,連接E0并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)旭則點(diǎn)M即為所求，因?yàn)樗倪呅?/p>

ABCD為平行四邊形，則/場(chǎng)〃又因?yàn)镋為的中點(diǎn)，0為8。的中點(diǎn)，所以BA,即

EM//AB,所以四邊形"ME為平行四邊形；

（2）連接班并延長(zhǎng)交。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接AF,則點(diǎn)F即為所求，因?yàn)樗倪呅稳伺_(tái)⑦為平行四

邊形，則用〃回，所以=又因?yàn)镋為A。的中點(diǎn)，所以AE=DE,且ZAEB=NDEF,

所以△MEgADbE（AAS）,即45=。尸，所以四邊形83/弘為平行四邊形.

1.（2024河北?。┯^察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，可得線段加＞一定是,ABC的（）

C.中位線D.中線

【答案】B

【解析】本題考查的是三角形的高的定義，作線段的垂線，根據(jù)作圖痕跡可得5。，AC,從而可得

答案.

由作圖可得：BD±AC,

.,?線段3D一定是_ABC的高線；故選B

2.（2024四川成都市）如圖，在YABCD中，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)B為圓心，以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑

作弧，分別交B4,于點(diǎn)N；②分別以M,N為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，

2

兩弧在NA5C內(nèi)交于點(diǎn)。；③作射線80,交A。于點(diǎn)E，交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)若CD=3,

DE=2,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

F

A.ZABE=ZCBEB.BC=5

BE5

C.DE=DFD.-=-

EF3

【答案】D

【解析】本題考查角平分線的尺規(guī)作圖、平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定以及相似性質(zhì)與判定

的綜合.先由作圖得到所為/A3C的角平分，利用平行線證明NAEB=NABE,從而得到

AE=AB=CD=3,再利用平行四邊形的性質(zhì)得到5C=A￡>=AE+團(tuán)=3+2=5,再證明

BE3

A/A7?7?°°ADF.F,分別求出=—,DF=2>則各選項(xiàng)可以判定.

EF2

【詳解】由作圖可知，g分為/A5C的角平分，

AZABE=ZCBE,故A正確；

1/四邊形A3CD為平行四邊形,

AD=BC,AB=CD,ADBC,

,：AD/7BC

/?ZAEB=ZCBE,

ZAEB=ZABE，

AE=AB—CD=3,

BC=AD=AE+ED=3+2=5,故B正確;

?：AB=CD,

/.ZABE=ZF,

'：ZAEB=ZDEF,

AAEB^ADEF,

.BEABAE

'~EF~~DF~~ED'

?BE33

,EF-DF-2)

BF3

:.——=-,DF=2,故D錯(cuò)誤;

EF2

,/DE=2,

:?DE=DF,故C正確，故選：D.

3.（2024武漢市）小美同學(xué)按如下步驟作四邊形A3CD：①畫(huà)NWW；②以點(diǎn)A為圓心，1個(gè)單

位長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交AM,AN于點(diǎn)B,D；③分別以點(diǎn)3,。為圓心，1個(gè)單位長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，

兩弧交于點(diǎn)C；④連接BC,CD,BD.若Z4=44。，則NCBD的大小是（）

【答案】C

【解析】本題考查了基本作圖，菱形的判定和性質(zhì)，根據(jù)作圖可得四邊形A3CD是菱形，進(jìn)而根據(jù)

菱形的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】解：作圖可得A5=AT>=5C=￡>C

四邊形A3CD是菱形，

ADBC,NABD=NCBD

VZA=44°,

ZMBC=ZA=44°,

：.ZCBD=1（180°-ZMBC）=1（180°-44°）=68°,故選：C.

4.（2024湖南?。┤鐖D，在銳角三角形ABC中，A。是邊上的高，在胡，上分別截取線

段BE,BF，使BE=BF；分別以點(diǎn)E,P為圓心，大于工ER的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，在/ABC內(nèi)，

2

兩弧交于點(diǎn)尸，作射線成，交AD于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)M作肱V1AB于點(diǎn)N.若MN=2,AD=4MD,

貝U=.

c

p

ANEB

【答案】6

【解析】本題考查了尺規(guī)作圖，角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)作圖可知3尸平分/A5C,根據(jù)角平

分線的性質(zhì)可知八做=MN=2,結(jié)合AZ）=4M。求出AD,AM.

詳解】作圖可知成平分/A5C，

；A。是邊上的高，MN±AB,MN=2,

：.MD=MN=2,

AD=AMD,

??AD—8,

AM=AD-MD=6,故答案為：6.

5.（2024黑龍江齊齊哈爾）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)。為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交x

軸正半軸于點(diǎn)交y軸正半軸于點(diǎn)N,再分別以點(diǎn)M,N為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩

弧在第一象限交于點(diǎn)X,畫(huà)射線OH,若〃（2a—?jiǎng)t。=.

【解析】此題主要考查了角平分線的尺規(guī)作圖和性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，根據(jù)作圖方法可得點(diǎn)H

在第一象限的角平分線上，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和第一象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)符號(hào)可得答案.

【詳解】根據(jù)作圖方法可得點(diǎn)H在第一象限角平分線上；點(diǎn)〃橫縱坐標(biāo)相等且為正數(shù)；

"2d—1=a+1,

解得：。=2.

6.（2024貴州?。┤鐖D，在〃15c中，以點(diǎn)A為圓心，線段的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交BC于點(diǎn)D,

連接AD.若AB=5,則AD的長(zhǎng)為.

A

【答案】5

【解析】本題考查了尺規(guī)作圖，根據(jù)作一條線段等于已知線段的作法可得出AZ）=A3,即可求解.

由作圖可知：AD=AB,

?：AB=5,

：.AD=5.

7.（2024河南?。┤鐖D，在中，CD是斜邊A5上的中線，BE//加交AC的延長(zhǎng)線

于點(diǎn)E.

（1）請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作NECM,使NECM=NA,且射線CM交班于點(diǎn)尸（保留作圖

痕跡，不寫作法）.

（2）證明（1）中得到的四邊形CD3F是菱形

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析

【解析】【分析】本題考查了尺規(guī)作圖，菱形的判定，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)

鍵是：

（1）根據(jù)作一個(gè)角等于已知角的方法作圖即可；

（2）先證明四邊形CD3F是平行四邊形，然后利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得出

CD=BD=-AB,最后根據(jù)菱形的判定即可得證.

2

【小問(wèn)1詳解】

解：如圖，

證明：，：NECM=ZA,

：.CM//AB,

?：BE//DC,

，四邊形CDBF是平行四邊形，

?.?在RtZvlBC中，CD是斜邊A3上的中線，

CD=BD=-AB,

2

：.平行四邊形CDBF是菱形.

8.（2024四川達(dá)州）如圖，線段AC、相交于點(diǎn)。.且AB〃CD,4石_1_班）于點(diǎn)￡.

（1）尺規(guī)作圖：過(guò)點(diǎn)。作3D的垂線，垂足為點(diǎn)尸、連接"、CE；（不寫作法，保留作圖痕跡，

并標(biāo)明相應(yīng)的字母）

（2）若AB=CD,請(qǐng)判斷四邊形AEB的形狀，并說(shuō)明理由.（若前問(wèn)未完成，可畫(huà)草圖完成此

問(wèn)）

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）四邊形是平行四邊形，理由見(jiàn)解析

【解析】【分析】本題主要考查了平行四邊形的判定，垂線的尺規(guī)作圖，全等三角形的性質(zhì)與判定:

（1）先根據(jù)垂線的尺規(guī)作圖方法作出點(diǎn)居再連接釬、CE即可；

⑵先證明ABO—CDO（ASA）,得到Q4=OC,再證明AE〃CF,ZAEO=ZCFO=90°,

進(jìn)而證明，AOE%COF（AAS）,得到AE=C尸，即可證明四邊形AEB是平行四邊形.

【小問(wèn)1詳解】

解：如圖所示，即為所求;

【小問(wèn)2詳解】

解：四邊形AECE是平行四邊形，理由如下：

AB//CD,

：.ZB=ZD,NOAB=NOCD,

又,：AB=CD,

：.-CDO（ASA）,

OA=OC,

VAE1BD,CFLBD,

：.AE//CF,ZAEO=ZCFO=90°,

又：ZAOE=ZCOF,

.AOE^COF（AAS）,

：.AE=CF,

四邊形AEB是平行四邊形.

9.（2024廣西）如圖，在一ABC中，ZA=45°,AOBC.

（1）尺規(guī)作圖：作線段A5的垂直平分線/,分別交A3,AC于點(diǎn)DE：（要求：保留作圖痕跡,

不寫作法，標(biāo)明字母）

（2）在（1）所作的圖中，連接BE,若AB=8,求班的長(zhǎng).

【答案】（1）見(jiàn)詳解（2）40

【解析】（1）分別以42為圓心，大于'A3為半徑畫(huà)弧，分別交A3,AC于點(diǎn)E,作直線DE，

2

則直線/即為所求.

⑵連接5E,由線段垂直平分線的性質(zhì)可得出=由等邊對(duì)等角可得出NEBA=NA=45°,

由三角形內(nèi)角和得出N3E4=90°,則得出,ABE為等腰直角三角形，再根據(jù)正弦的定義即可求出

施;的長(zhǎng).

【小問(wèn)1詳解】

解：如下直線/即為所求.

【小問(wèn)2詳解】

VOE為線段A5的垂直平分線,

；?BE=AE，

ZEBA=ZA=45°,

NBE4=90。，

,ABE為等腰直角三角形,

???sinA*=g

AB2

BE=AB--=8x—=4^

22

【點(diǎn)睛】本題主要考查了作線段的垂線平分線，線段的垂線平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角

形內(nèi)角和定理以及正弦的定義.掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

10.（2024廣州）如圖，Rt^ABC中，ZABC^90°.

（1）尺規(guī)作圖：作AC邊上的中線30（保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）在（1）所作的圖中，將中線30繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到。0,連接A。，CD.求證:

四邊形A3CD是矩形.

【答案】（1）作圖見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析

【解析】（1）解：如圖，線段3。即為所求；

???由作圖可得：AO=CO,由旋轉(zhuǎn)可得：BO=DO,

.??四邊形ABCD為平行四邊形，

:ZABC=9Q°,

.??四邊形A3CD為矩形.

11.（2024福建省）如圖，已知直線4/2.

______________________________A

______________________________11

（I）在所在的平面內(nèi)求作直線/,使得/,412,且/與乙間的距離恰好等于/與4間的距離；

（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）在（1）的條件下，若與，2間的距離為2,點(diǎn)A5c分別在上，且）45。為等腰直角三

角形，求的面積.

（2）ABC的面積為1或』.

【答案】（1）見(jiàn)解析;

2

【解析】本題主要考查基本作圖，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定，勾股定理以及分類討論思想:

(1)先作出與的垂線，再作出夾在4,4間垂線段的垂直平分線即可；

(2)分/加。=90°,45=4。；ZABC=9Q°,BA^BC■,ZACB=90。,C4=三種情況，結(jié)

合三角形面積公式求解即可

【小問(wèn)2詳解】

①當(dāng)ABAC=90°,AB=AC時(shí)，

r

I.k.l2,直線4與6間的距離為2,且/與乙間的距離等于/與4間的距離，根據(jù)圖形的對(duì)稱性可

知：BC-2，

:.AB=AC=yfl^

分別過(guò)點(diǎn)AC作直線4的垂線，垂足為

:.ZAMB^ZBNC=90°.

ik,ik，直線4與4間的距離為2,且/與4間的距離等于I與z2間的距離,

:.CN=2,AM=1.

ZMAB+ZABM=90°,ZNBC+ZABM=9Q°,

:.ZMAB=ZNBC,:.AAMB%ABNC,

:.BM=CN=2.

在Rt.ABH中，由勾股定理得AB?=4欣2+加欣2,

:.AB=y/5■

③當(dāng)44。8=90。,。4=。8時(shí)，同理可得，5ABe=1?

12.（2024甘肅臨夏）根據(jù)背景素材，探索解決問(wèn)題.

平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正六邊形A3CDEF

背

六等分圓原理，也稱為圓周六等分問(wèn)題,是一個(gè)古老而經(jīng)典的幾何問(wèn)題,

景

旨在解決如何使用直尺和圓規(guī)將一個(gè)圓分成六等份的問(wèn)題.這個(gè)問(wèn)題由

素

歐幾里得在其名著《幾何原本》中詳細(xì)闡述.

材

a

知

點(diǎn)c與坐標(biāo)原點(diǎn)。重合，點(diǎn)。在x軸正半軸上且坐標(biāo)為（2,0）

條

件

操①分別以點(diǎn)C,。為圓心，CD長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)P；

作②以點(diǎn)P為圓心，PC長(zhǎng)為半徑作圓；

步③以CD的長(zhǎng)為半徑，在0尸上順次截取DE=EF=FA=AB；

0(C)Dx

驟④順次連接。石，EF,FA,AB,BC,得到正六邊形A3CDEF.

問(wèn)題解決

任

根據(jù)以上信息，請(qǐng)你用不帶刻度的直尺和圓規(guī)，在圖中完成這道作圖題（保留作圖痕跡，不寫

務(wù)

作法）

任

務(wù)將正六邊形A3CDEF繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,直接寫出此時(shí)點(diǎn)E所在位置的坐標(biāo)：______.

【答案】任務(wù)一：見(jiàn)解析；任務(wù)二：（4,0）

【解析】本題考查尺規(guī)作圖，弧、弦、圓心角的關(guān)系，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵.

任務(wù)一:根據(jù)操作步驟作出P，再根據(jù)弧、弦、圓心角的關(guān)系，分別作出DE=EF=AF=AB=CD,

即得出DE=EF=FA=AB，最后順次連接即可；

任務(wù)二：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知DE'=OD=2,即得出OE=DE'+OD=4,即此時(shí)點(diǎn)E所在位置的

坐標(biāo)為（4,0）.

【詳解】解：任務(wù)一：如圖，正六邊形A3CDEF即為所作；

任務(wù)二：如圖,

OE'=DE'+OD=4,

：.E'（4,0）.

13.（2024甘肅威武）馬家窯文化以發(fā)達(dá)的彩陶著稱于世，其陶質(zhì)堅(jiān)固，器表細(xì)膩，紅、黑、白彩共

用，彩繪線條流暢細(xì)致，圖案繁緡多變，形成了絢麗典雅的藝術(shù)風(fēng)格，創(chuàng)造了一大批令人驚嘆的彩陶

藝術(shù)精品，體現(xiàn)了古代勞動(dòng)人民的智慧.如圖1的彩陶紋樣呈現(xiàn)的是三等分圓周，古人用等邊三角形

三點(diǎn)定位的方法確定圓周的三等分點(diǎn)，這種方法和下面三等分圓周的方法相通.如圖2,已知；。和

圓上一點(diǎn)作法如下：

①以點(diǎn)M為圓心，O河長(zhǎng)為半徑，作弧交（。于A,8兩點(diǎn)；

②延長(zhǎng)交C0于點(diǎn)C；

即點(diǎn)A,B,C將。的圓周三等分.

彩陶紋樣三點(diǎn)定位法三等分圓周

圖1圖2

（1）請(qǐng)你依據(jù)以上步驟，用不帶刻度的直尺和圓規(guī)在圖2中將I。的圓周三等分（保留作圖痕跡，

不寫作法）；

（2）根據(jù)（1）畫(huà)出的圖形，連接A5,AC,BC,若，:，。的半徑為2cm,則一ABC的周長(zhǎng)為

cm.

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）66

【解析】【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作圖的基本步驟解答即可；

（2）連接40,設(shè)A3,。加的交點(diǎn)為2得到的＞，0W，根據(jù)10的半徑為2cm,是直徑，

ABC是等邊三角形，計(jì)算即可.

本題考查了尺規(guī)作圖，圓的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握尺規(guī)作圖的方法和圓的性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

【小問(wèn)1詳解】

根據(jù)基本作圖的步驟，作圖如下:

則點(diǎn)A,B,C是求作的（：。的圓周三等分點(diǎn).

【小問(wèn)2詳解】

連接40,設(shè)AB,O河的交點(diǎn)為，

根據(jù)垂徑定理得到ADLOM,

的半徑為2cm,MC是直徑，是等邊三角形,

NC4M=90°,ZCMA=ZB=60°,MC=4cm,

AC=MCsinZCMA=sin60°x4=2石(cm),

(ABC的周長(zhǎng)為AB+BC+AC=6y/3(cm),

故答案為：673.

考點(diǎn)2.無(wú)刻度直尺作圖

1.（2024天津市）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)AEG均在格點(diǎn)上.

（2）點(diǎn)E在水平網(wǎng)格線上，過(guò)點(diǎn)AE,尸作圓，經(jīng)過(guò)圓與水平網(wǎng)格線的交點(diǎn)作切線，分別與尸

的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)中，點(diǎn)M在邊上，點(diǎn)N在邊A3上，點(diǎn)P在邊AC上.請(qǐng)用不

刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫(huà)出點(diǎn)M,N,尸，使AMNP的周長(zhǎng)最短，并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)尸

的位置是如何找到的（不要求證明）.

【答案】①.72②.圖見(jiàn)解析，說(shuō)明見(jiàn)解析

【解析】【分析】此題考查了勾股定理、切線的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)題意正確作圖是解題的關(guān)鍵.

（1）利用勾股定理即可求解；

（2）根據(jù)圓的相關(guān)性質(zhì)和網(wǎng)格特點(diǎn)進(jìn)行作圖即可.

【詳解】（1）由勾股定理可知，AG=VF+F=V2，

故答案為：亞

（2）如圖，根據(jù)題意，切點(diǎn)為M；連接ME并延長(zhǎng)，與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)/1；取圓與網(wǎng)格線的交點(diǎn)

。和格點(diǎn)//,連接并延長(zhǎng),與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)“2；連接MIM2，分別與ABAC相交于點(diǎn)N,P,

D,E,。均在格點(diǎn)上.圖①中已畫(huà)出四邊形A3CD,圖②中已畫(huà)出以0E為半徑的.0,只用無(wú)刻

度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按要求畫(huà)圖.

（1）在圖①中，面出四邊形A3CD的一條對(duì)稱軸.

（2）在圖②中，畫(huà)出經(jīng)過(guò)點(diǎn)E的:。的切線.

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析

【解析】【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)與判定，切線的判定，畫(huà)對(duì)稱軸

等等：

（1）如圖所示，取格點(diǎn)E、F,作直線石尸，則直線石廠即為所求；

（2）如圖所示，取格點(diǎn)G、H,作直線G",則直線G"即為所求.

【小問(wèn)1詳解】

解：如圖所示，取格點(diǎn)￡、F,作直線麻，則直線所即為所求；

易證明四邊形A3CD是矩形，且E、尸分別為ABCD的中點(diǎn)；

【小問(wèn)2詳解】

解：如圖所示，取格點(diǎn)G、H,作直線G",則直線G"即為所求；

易證明四邊形OG777是正方形，點(diǎn)E為正方形OG7H的中心，則OELGH.

3.（2024江西省）如圖，AC為菱形ABCD的對(duì)角線，請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺按要求完成以下作圖（保

留作圖痕跡）

（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)B作AC的垂線；

（2）如圖2,點(diǎn)E為線段A3的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作AC的平行線.

【答案】（1）作圖見(jiàn)解析；（2）作圖見(jiàn)解析.

【解析】【分析】（1）作直線3￡＞，由菱形的性質(zhì)可得比＞，AC,即3D為AC的垂線；

（2）連接CE并延長(zhǎng)，與DA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)作直線因?yàn)辄c(diǎn)E為線段AB的中點(diǎn)，

所以=因?yàn)锳"〃5C,所以NEAM=NEBC,NEMA=NECB,故可得

AAEM學(xué)ABEC，得到旌=CE,所以四邊形ACW為平行四邊形，即5加〃4。；

本題考查了菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，掌握菱形的性質(zhì)及平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

【小問(wèn)1詳解】

解:如圖，3D即為AC所求；

【小問(wèn)2詳解】

考點(diǎn)L基本尺規(guī)作圖及相應(yīng)判斷

1.如圖，在AABC中，AB=AC,ZA=36°,由圖中的尺規(guī)作圖得到的射線與AC交于點(diǎn)Q,則以下推斷

錯(cuò)誤的是（）

B.AD=BDC.ZADB=108°D.CD=-AD

2

【答案】D

【解析】根據(jù)作圖過(guò)程可得BD平分NABC,然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題.

'：AB=AC,ZA=36°,

ZABC=ZACB=-(180°-36°)=72°,

2

根據(jù)作圖過(guò)程可知：8。平分NABC,

ZABD=ZDBC=-ZABC=36°,

2

ZB￡）C=180o-36°-72o=72°,ZADB=ZDBC+ZACB=36°+72°=108°,故選項(xiàng)C成立；

ZBDC=ZACB=12°,

：.BD=BC,故選項(xiàng)A成立；

ZABD=ZA=36°,

：.AD=BD,故選項(xiàng)B成立；

沒(méi)有條件能證明Cr>=LAD,故選項(xiàng)D不成立；故選：D.

2

【點(diǎn)睛】考查了作圖-基本作圖，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握基本作圖方法.

2.（2021湖北黃石）如圖，在RI/XABC中，ZACB=90°,按以下步驟作圖：①以B為圓心，任意

長(zhǎng)為半徑作弧，分別交54、于M、N兩點(diǎn)；②分別以M、N為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作

2

弧，兩弧相交于點(diǎn)尸；③作射線3尸，交邊AC于。點(diǎn).若AB=10,BC=6,則線段CD的長(zhǎng)為（）

TD-T

【答案】A

【解析】利用基本作圖得2。平分NABC,過(guò)D點(diǎn)作。于E,如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到

則r>E=DC,再利用勾股定理計(jì)算出AC=8,然后利用面積法得到工?r>EX10+LcDX6=<X6><8,

222

最后解方程即可.

解：由作法得8。平分NABC,

過(guò)。點(diǎn)作于E,如圖，則r>E=DC,

=22=

在RtZWBC中，ACI/AB-BC7102-62=8,

sAABD+SABCD=SMBC，

/.A.DEX10+—?C￡）X6=AX6X8,

222

即5CD+3CD=24,

:,CD=3.

故選：A.

EM

3.如圖，已知直線AB和AB上的一點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)C作直線AB的垂線，步驟如下:

第一步：以點(diǎn)C為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑作弧，交直線AB于點(diǎn)D和點(diǎn)E；

第二步：分別以點(diǎn)D和點(diǎn)E為圓心，以。為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)F；

第三步：作直線CF,直線CF即為所求.

ACBA'DCE/B

第一步第二步第三步

下列關(guān)于。的說(shuō)法正確的是（）

A.aDEB.aW工DEC.a>—DED.。＜—DE

2222

【答案】C

【解析】根據(jù)過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線的步驟，結(jié)合三角形三邊關(guān)系判斷即可.

由作圖可知，分別以點(diǎn)。和點(diǎn)E為圓心，以。為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)此時(shí)。>工。后.

2

【點(diǎn)睛】本題考查作圖-基本作圖，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.

4.如圖，在△ABC中，以A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交AB、AC于點(diǎn)M、N；再分別以M、

N為圓心，大于上的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)P；連結(jié)A尸并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)。.則下列說(shuō)法正

2

確的是（）

A.AD+BD<ABB.AD一定經(jīng)過(guò)△ABC的重心

C.ZBAD=ZCADD.AD一定經(jīng)過(guò)△ABC的外心

【答案】C

【解析】根據(jù)題意判斷是N2AC的角平分線，可知C正確，根據(jù)重心和外心定義可知3、￡>選項(xiàng)

錯(cuò)誤，根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊可知A錯(cuò)誤.

由題可知AD是NR4C的角平分線，

A、在中，AD+BD>AB,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，不符合題意；

B、ZVIBC的重心是三條中線的交點(diǎn)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，不符合題意；

C、是/BAC的角平分線，.?./BADn/CAD,故選項(xiàng)C正確，符合題意;

D、ZkABC的外心是三邊中垂線的交點(diǎn)，故選項(xiàng)。錯(cuò)誤，不符合題意.

5.如圖，等腰△A08中，頂角4108=40°,用尺規(guī)按①到④的步驟操作：

①以。為圓心，0A為半徑畫(huà)圓；

②在OO上任取一點(diǎn)尸（不與點(diǎn)A,B重合），連接4尸；

③作的垂直平分線與。。交于M,N；

④作A尸的垂直平分線與。。交于E,F.

結(jié)論I：順次連接M,E,N,P四點(diǎn)必能得到矩形；

結(jié)論II：。。上只有唯一的點(diǎn)P,使得S扇形FOM=S扇形AO以

對(duì)于結(jié)論I和II,下列判斷正確的是（）

A.I和n都對(duì)B.I和n都不對(duì)c.I不對(duì)n對(duì)D.I對(duì)II不對(duì)

【答案】D

【解析】如圖，連接EM,EN,MF.NF.根據(jù)矩形的判定證明四邊形是矩形，再說(shuō)明

^ZAOB,可知（II）錯(cuò)誤.

解：如圖，連接EM,EN,MF.NF.

?：OM=ON,OE=OF,

四邊形MENF是平行四邊形，

,:EF=MN,

二四邊形MENF是矩形，故（I）正確，

觀察圖象可知NMOF豐ZAOB,

扇形尸扇形AOB，故（II）錯(cuò)誤，故選：D.

6.如圖，線段A3是半圓。的直徑。分別以點(diǎn)A和點(diǎn)。為圓心，大于工人。的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交

2

于M,N兩點(diǎn)，作直線交半圓。于點(diǎn)C,交AB于點(diǎn)、E,連接AC,BC,若AE=1,則

的長(zhǎng)是()

A2gB.4C.6D.3拒

【答案】A

【解析】【分析】根據(jù)作圖知CE垂直平分AC,即可得AC=OC,AE=OE=1,根據(jù)圓的半徑

得AC=2,AB=4,根據(jù)圓周角的推論得NACB=90°,根據(jù)勾股定理即可得

BC=ylAB2-AC2=2A/3-

【詳解】根據(jù)作圖知CE垂直平分AC,

/.AC=(9C,AE=OE=1,

：.OC=OB=AO=AE+EO=2,

AC=OC=AO=AE+EO=2,

即=49+30=4,

:線段AB是半圓。的直徑，.?.NACB=90°,

在HtACS中，根據(jù)勾股定理得，

BC=VAB2-AC2="-a?=2也,故選A?

【點(diǎn)睛】本題考查了圓，勾股定理，圓周角推論，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識(shí)點(diǎn).

7.已知線段AB,按如下步驟作圖：①作射線AC,使ACLAB；③以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑作弧;

④過(guò)點(diǎn)E作A3于點(diǎn)尸，則AP：AB=()

c.i：aD.i：V2

【解析】直接利用基本作圖方法得出AP=PE,再結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)表示出AEA