難點(diǎn)09與圓有關(guān)的計(jì)算常考題型

（5大熱考題型）

麴型盤點(diǎn)N

題型一：正多邊形和圓

題型二：與弧長有關(guān)的運(yùn)算

題型三：與扇形面積有關(guān)的計(jì)算

題型四：不規(guī)則圖形的面積計(jì)算

題型五：與圓錐有關(guān)的計(jì)算

.精淮提分

題型一：正多邊形和圓

【中考母題學(xué)方法】

【典例1】（山東青島?中考真題）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于。，點(diǎn)M在A8上，則NCME的度數(shù)

C.45°D.60°

【答案】D

【分析】先求出正六邊形的中心角，再利用圓周角定理求解即可.

【詳解】解：連接OC、OD、OE,如圖所示:

???正六邊形ABCDEF內(nèi)接于O,

：.ZCOD=受=60°,貝IJNCOE=120°,

6

/.ZCME=^ZCOE=60°,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形的中心角、圓周角定理，熟練掌握正〃多邊形的中心角為當(dāng)是解答的關(guān)鍵.

【典例2】（2023?上海?中考真題）如果一個(gè)正多邊形的中心角是20。，那么這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為.

【答案】18

【分析】根據(jù)正〃邊形的中心角的度數(shù)為360。+〃進(jìn)行計(jì)算即可得到答案.

【詳解】根據(jù)正n邊形的中心角的度數(shù)為360。+〃，

貝"=360+20=18,

故這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為18,

故答案為：18.

【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形內(nèi)角和中心角的知識，掌握中心角的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵.

【變式1-1］（2024.內(nèi)蒙古?中考真題）如圖，正四邊形ABCD和正五邊形CEFGH內(nèi)接于O,AD和砂相

交于點(diǎn)M，則ZAMF的度數(shù)為（）

A.26°B.27°C.28°D.30°

【答案】B

【分析】本題考查了圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)，圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理，對頂角的性質(zhì)，直角三角

形的性質(zhì)，連接OC、OE、OD,設(shè)CO與所相交于點(diǎn)N,由圓的內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)可得NCOD=90。，

ZCOE=72°,即得/DOE=NCOD—NCOE=18。，即可由圓周角定理得/DCE=L/DOE=9。，進(jìn)而由三

2

角形內(nèi)角和定理得NDNM=NaVE=63。，再由直角三角形兩銳角互余得到==27。，正確作

出輔助線是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：連接OC、OE、OD,設(shè)CD與族相交于點(diǎn)N,

正四邊形ABCD和正五邊形CEFGH內(nèi)接于1。，

ZCOD=360°+4=90°,ZCOE=360°+5=72°,

???ZDOE=ZCOD-ZCOE=90°-72°=18°,

ZDCE=-ZDOE=1x18°=9°,

22

（5-2）x180°

ZCEF=——1--------=108°，

5

???ACNE=180°-108°-9°=63°,

:?/DNM=/CNE=63°,

ZADC=90°,

???ZDMN=90°-63°=27°,

??.ZAMF=ZDMN=27°,

故選：B.

【變式1-2］（2024.內(nèi)蒙古通遼.中考真題）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，原點(diǎn)。為正六邊形ABCDE尸的中心,

k

所〃x軸，點(diǎn)E在雙曲線y=-（%為常數(shù)，左＞0）上，將正六邊形ABCDE廠向上平移6個(gè)單位長度，點(diǎn)。恰

X

好落在雙曲線上，則上的值為（）

A.473B.3A/3C.2A/3D.3

【答案】A

【分析】本題主要考查了求反比例函數(shù)解析式，正六邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等

等，過點(diǎn)E作即，x軸于連接OE,可證明一是等邊三角形，則OE=OD,OH=DH=^OH,

進(jìn)而得到E8=￥OZ）,設(shè)8=2m,則OH=m，HE=73m,則網(wǎng)加，屈），D（2m,0）,即可得到點(diǎn)（2加，石）

在雙曲線上，再由點(diǎn)E也在雙曲線上，得到％=2%/=根.耳，據(jù)此求解即可.

【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)E作可，x軸于連接OE,

???原點(diǎn)。為正六邊形ABCDEF的中心，

360°

/.OE=OD,ZEOD=——=60°,

6

.?.一O即是等邊三角形，

DE=OD,

,：EHLOD,

：.OH=DH=-OD,

2

/.EH=^DE--DH2=—OD,

2

設(shè)OD=2m,則O"=〃7,HE=0n,

/.,D（2/71,0）,

,/將正六邊形ABCDEF向上平移6個(gè)單位長度，點(diǎn)。恰好落在雙曲線上，

.?.點(diǎn)（2%,有）在雙曲線上,

又?.?點(diǎn)E也在雙曲線上，

k=2m?6=m?y/3m，

解得根=2或機(jī)=0（舍去），

k=2m-^3=4^3,

故選：A.

【變式1-3］（2024.山東東營.中考真題）我國魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提到著名的“割圓術(shù)”，

即利用圓的內(nèi)接正多邊形逼近圓的方法來近似估算，指出“割之彌細(xì)，所失彌少.割之又割，以至于不可割，

則與圓周合體，而無所失矣”.“割圓術(shù)”孕育了微積分思想，他用這種思想得到了圓周率兀的近似值為3.1416,

如圖，。的半徑為1,運(yùn)用“割圓術(shù)”，以圓內(nèi)接正六邊形面積近似估計(jì)，。的面積，可得兀的估計(jì)值為

述.若用圓內(nèi)接正八邊形近似估計(jì)。的面積，可得兀的估計(jì)值為.

【答案】20

【分析】本題考查了圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)，三角形的面積公式，勾股定理等，正確求出正八邊形的面積

是解題的關(guān)鍵.過點(diǎn)A作求得/403=360。+8=45。，根據(jù)勾股定理可得41〃+0/=042,

即可求解.

【詳解】

如圖，A3是正八邊形的一條邊，點(diǎn)。是正八邊形的中心，過點(diǎn)A作

在正八邊形中，ZAO8=360°+8=45°

AM=OM

VOA=\,AM2+OM-=OA2,解得：AM=—

2

?-SOAB=^OBXAM=^-

正八邊形為8x變=2&

4

**?2^2=]2X7T

71-2A/2

兀的估計(jì)值為20

故答案為：2忘.

【變式1-4]（2024?山東濰坊?中考真題）【問題提出】

在綠化公園時(shí)，需要安裝一定數(shù)量的自動噴灑裝置，定時(shí)噴水養(yǎng)護(hù)，某公司準(zhǔn)備在一塊邊長為18m的正方

形草坪（如圖1）中安裝自動噴灑裝置，為了既節(jié)約安裝成本，又盡可能提高噴灑覆蓋率，需要設(shè)計(jì)合適的

安裝方案.

k

說明：一個(gè)自動噴灑裝置的噴灑范圍是半徑為r(m)的圓面.噴灑覆蓋率q=：,s為待噴灑區(qū)域面積，k為

待噴灑區(qū)域中的實(shí)際噴灑面積.

圖1

【數(shù)學(xué)建模】

這個(gè)問題可以轉(zhuǎn)化為用圓面覆蓋正方形面積的數(shù)學(xué)問題.

【探索發(fā)現(xiàn)】

(1)如圖2,在該草坪中心位置設(shè)計(jì)安裝1個(gè)噴灑半徑為9m的自動噴灑裝置，該方案的噴灑覆蓋率0=

9

(2)如圖3,在該草坪內(nèi)設(shè)計(jì)安裝4個(gè)噴灑半徑均為的自動噴灑裝置；如圖4,設(shè)計(jì)安裝9個(gè)噴灑半徑

9

均為3m的自動噴灑裝置;,以此類推，如圖5,設(shè)計(jì)安裝/個(gè)噴灑半徑均為'm的自動噴灑裝置.與

n

(1)中的方案相比，采用這種增加裝置個(gè)數(shù)且減小噴灑半徑的方案，能否提高噴灑覆蓋率？請判斷并給出

理由.

(3)如圖6所示，該公司設(shè)計(jì)了用4個(gè)相同的自動噴灑裝置噴灑的方案,且使得該草坪的噴灑覆蓋率夕=1.已

知正方形ABCD各邊上依次取點(diǎn)F,G,H,E,使得AE=BF=CG=DH,設(shè)AE=尤仙），，的面積為y（n?）,

求y關(guān)于X的函數(shù)表達(dá)式，并求當(dāng)y取得最小值時(shí)『的值.

圖6

【問題解決】

（4）該公司現(xiàn)有噴灑半徑為3?的自動噴灑裝置若干個(gè)，至少安裝幾個(gè)這樣的噴灑裝置可使該草坪的噴

灑覆蓋率2=1?（直接寫出結(jié)果即可）

【答案】（1）￡；（2）不能，理由見解析；（3）y=g（x_9）2+"；當(dāng)y取得最小值時(shí)/=述；（4）9

42V722

【分析】（1）根據(jù)定義，分別計(jì)算圓的面積與正方形的面積，即可求解；

（2）根據(jù)（1）的方法求得噴灑覆蓋率即可求解；

（3）根據(jù)勾股定理求得無，，的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)圓的面積公式得出函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可

求解；

（4）根據(jù)（3）的結(jié)論可得當(dāng)圓為正方形的外接圓時(shí)，面積最小，則求得半徑為3&m的圓的內(nèi)接正方形的

邊長為6,進(jìn)而將草坪分為9個(gè)正方形，即可求解.

【詳解】（1）當(dāng)噴灑半徑為9m時(shí)，噴灑的圓面積s==%x92=8brm2.

正方形草坪的面積S=a2=182=324m2.

故噴灑覆蓋率。='=券=￡.

s3244

o

（2）對于任意的〃，噴灑面積人,="%（—）2=8brm2,而草坪面積始終為324nl?.

TT

因此，無論〃取何值，噴灑覆蓋率始終為

這說明增加裝置個(gè)數(shù)同時(shí)減小噴灑半徑，對提高噴灑覆蓋率不起作用.

（3）如圖所示，連接所，

圖6

要使噴灑覆蓋率0=1,即要求人=1,其中S為草坪面積,

人為噴灑面積.

S

1。，6。2，。。3，。。4都經(jīng)過正方形的中心點(diǎn)0,

在RtAEF中，EF=2r,AE=x,

"?AE=BF=CG=DH

：.AF=18-x,

在Rt.AE尸中，AE2+AF2=EF2

：.4r2=x2+(18-x)2

.2d+(18-J

??y=Ttr=-----------7i

4

?,?當(dāng)％=9時(shí)，y取得最小值，此時(shí)4產(chǎn)=92+92

解得：廠=述

2

(4)由(3)可得，當(dāng)?。|的面積最小時(shí)，此時(shí)圓為邊長為9m的正方形的外接圓，

則當(dāng)廠=3屆時(shí)，圓的內(nèi)接正方形的邊長為受x2x3后=6m

2

10

而草坪的邊長為18m,—=3,即將草坪分為9個(gè)正方形，將半徑為30m的自動噴灑裝置放置于9個(gè)正方

6

形的中心，此時(shí)所用裝置個(gè)數(shù)最少，

???至少安裝9個(gè)這樣的噴灑裝置可使該草坪的噴灑覆蓋率夕=1

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形與圓綜合問題，二次函數(shù)的應(yīng)用；本題要求我們先理解和計(jì)算噴灑覆蓋率，然

后通過調(diào)整噴灑裝置的數(shù)量和噴灑半徑來分析噴灑覆蓋率的變化，最后在一個(gè)特定的條件下找出噴灑面積

和噴灑半徑之間的函數(shù)關(guān)系.解決此類問題的關(guān)鍵在于將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即如何將噴灑覆蓋率

的計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為面積計(jì)算和函數(shù)求解問題.同時(shí)，在解決具體問題時(shí)，需要靈活運(yùn)用已知的數(shù)學(xué)知識，

如圓的面積公式，正方形面積公式，以及函數(shù)解析式求解等.最后，還需要注意將數(shù)學(xué)計(jì)算結(jié)果還原為實(shí)

際問題的解決方案.

【中考模擬即學(xué)即練】

1.（2024?云南昭通?一模）如圖，正八邊形內(nèi)接于（O,連接04,03,則NAO3的度數(shù)為（）

【答案】C

【分析】本題考查正多邊形的性質(zhì).根據(jù)題意，由正八邊形內(nèi)接于，::。知，4403=360。+8=45。.

【詳解】解：，正八邊形內(nèi)接于

.-.Zy4C?=360°4-8=45°.

故選：C.

2.（2024?河北?模擬預(yù)測）如圖，正六邊形A3CDEF和正六邊形G印血均以點(diǎn)。為中心，連接

AG,BH,CI,DJ,EK,FL（A,G,X三點(diǎn)共線），若C7=2,〃=3,則正六邊形A3cDE/的邊長為（）

【答案】C

【分析】本題考查正多邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，30。直角三角形的性質(zhì)，連接。4,OB,OG,OH,

根據(jù)正六邊形的性質(zhì)證明△AOG2△30”,得到NAGO=/氏/。=120。，BH=AG,即可得到2,I,H三

點(diǎn)共線，同理可得C,I,J三點(diǎn)共線，D,K,J三點(diǎn)共線，且。=川=2,然后在三角形C/D中計(jì)算即可.

【詳解】連接。4,OB,OG,OH,過。作于

AF

???正六邊形ABCDE/和正六邊形均以點(diǎn)。為中心，

AOG=OH,OA^OB,ZLGH=ZGHI=XIJK=120°,ZAOB=ZGOH=Z60°,

ZAOG=ZBOH=Z60°-ZBOG,/。印=N"GO=N60。，

:.^AOG^ABOH,

AZAGO=ZBHO9BH=AG,

VA,G,"三點(diǎn)共線，

???ZAGO=180°-ZHGO=120°,

??.ZAGO=ZBHO=120°f

：.NB//O+NO印=180。，

：.B,I,H三點(diǎn)共線，

同理可得C,I,J三點(diǎn)共線，D,K,/三點(diǎn)共線，且C/=D/=2,

??.NG?=60。，

VC/1W,

AZJMD=ZCMD=90°,/JDM=30。,

JAf=g"=l，DM=^/jD2-JM2=V22-I2=A/3>

?:CI=2,IJ=3,

：.CM=CI+IJ-JM^4,

：.CD=^IDM2+CM-=,+（6j=M，

即正六邊形ABCDEF的邊長為M,

故選：c.

3.（2024?山西太原?模擬預(yù)測）如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于O,CP與［O相切于點(diǎn)C,則NBCP的度

數(shù)為（）

C.144°D.162°

【答案】C

【分析】連接OC,OB,OD,首先根據(jù)正多邊形的性質(zhì)得到4co=(5—2-180。=]08。,然后證明出

OBC^OZ)C(SSS),得到NOC3=NOCO=；N5CD=54。，然后切線的性質(zhì)得到NOC尸=90。，進(jìn)而求解

即可.

【詳解】如圖所示，連接OC,OB,OD

???四邊形ABCD￡是正五邊形

（5-2）x180°

J/BCD=——1--------=108°

5

VOB=OD,OC=OC,BC=DC

??.，Q5C均ODC(SSS)

ZOCB=ZOCD=-/BCD=54°

2

???c尸與。相切于點(diǎn)C,

JOC.LCP

：.ZOCP=90°

：.ZBCP=ZBCO+ZOCP=540+90°=144°.

故選：c.

【點(diǎn)睛】此題考查了正多邊形和圓，全等三角形的性質(zhì)和判定，圓切線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確

作出輔助線.

4.(2024?湖南益陽?模擬預(yù)測)如圖，正五邊形ABCDE的邊長為5,以頂點(diǎn)A為圓心，A3的長為半徑畫圓，

則圓與正五邊形重疊部分（圖中陰影部分）的面積為（）

B.7.5KC.8兀D.IOTT

【答案】B

【分析】本題考查正多邊形和圓，扇形面積的計(jì)算.根據(jù)正五邊形的內(nèi)角和定理求出正五邊形的一個(gè)內(nèi)角

的度數(shù)，再根據(jù)扇形面積的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：.五邊形ABCDE是正五邊形,

.（5-2）x180°

..=-----------------------=1Uo,

5

2

。108^-x515匚

3百鏘——TC-7,

扇形3602

故選：B.

5.（2024?福建泉州?模擬預(yù)測）如圖，等邊三角形ABC和正方形DEFG均內(nèi)接于O,若EF=2,則BC的

長為（）

C.V5D.y/6

【答案】D

【分析】本題考查了正多邊形與圓，準(zhǔn)確掌握正多邊形及圓的相關(guān)性質(zhì)并能準(zhǔn)確計(jì)算是解題關(guān)鍵.連接OE、

OF、OB、OC,過點(diǎn)。作于點(diǎn)H,利用所求出圓的半徑，再求出和,利用30。

直角三角形性質(zhì)和勾股定理求出3"，即可求出BC.

【詳解】解：連接OE、OF,OB、OC,過點(diǎn)。作W13C于點(diǎn)以，如圖，

A

?.?正方形。E/G內(nèi)接于。，

NEO尸=360°;4=90°,

VOE=OF,EF=2,

?*-OE=OF=舊

/?OB=OC=也,

?.?等邊三角形ABC內(nèi)接于O,

...ZfiOC=360°-3=120°,

VOB=OC,OHJ.BC,

：.BH=CH,?BOH?COH60?,

OH=-OB=—,

22

BH=y/OB2-OH2=—,

2

/.BC=2BH=A/6,

故選：D.

6.（2024?廣東?模擬預(yù)測）《墨子?天志》記載：“輪匠執(zhí)其規(guī)、矩，以度天下之方圓."知圓度方，感悟數(shù)學(xué)

之美.如圖，以正方形ABCD的對角線交點(diǎn)為位似中心，作它的位似圖形AB'C'D',若四邊形HB'C'D'的外

接圓半徑為4,AB'-.AB=2:1,則正方形的周長為.

【答案】8立

【分析】此題考查了位似圖形的性質(zhì)，正多邊形和圓的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是掌握以上知

識點(diǎn).設(shè)位似中心為。，連接OA,OB',首先得到。4'=08'=4,然后利用勾股定理求出

A'B'=y/OA'+OB'=4^,然后根據(jù)位似圖形的性質(zhì)得到A3=20，進(jìn)而求解即可.

【詳解】解：如圖所示，設(shè)位似中心為。，連接OA,OB'

正方形AB'CD'的外接圓半徑為4,

：.OA=OB'=4,ZAOB=90°

：.A'B'=y/OA'+OB'=4&

AB':AB=2:1,

AB=20

4AB=8A/2.

正方形ABCD的周長為872.

故答案為：8e.

二與弧長有關(guān)的運(yùn)算

題型二：與弧長有關(guān)的運(yùn)算

【中考母題學(xué)方法】

【典例1】（2024.江蘇鎮(zhèn)江?中考真題）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形,以點(diǎn)A為圓心，A3長為半徑

畫弧，交BC邊于點(diǎn)E,連接AE,AB=1,ZD=60°,貝UBE的長/=（結(jié)果保留兀）.

【分析】本題考查弧長的計(jì)算，平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是判定A4BE是等邊三

角形，得到NS4E=6O。.

由平行四邊形的性質(zhì)推出N3=NO=60。，判定.母是等邊三角形，得到/叱=60。，由弧長公式即可求

出嬴的長.

【詳解】解：，四邊形ABC。是平行四邊形，

.\ZB=ZD=6Q0,

由題意得：AB=AE,

ABE是等邊三角形，

.\ZBAE=60°,

AB=1,

,60%xl1

/=------=-71：.

1803

故答案為：■

【典例2】（2024.吉林長春.中考真題）一塊含30。角的直角三角板ABC按如圖所示的方式擺放，邊A3與

直線/重合，AB=12cm.現(xiàn)將該三角板繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)C'落在直線/上，則點(diǎn)A經(jīng)過

的路徑長至少為cm.（結(jié)果保留"）

【答案】87r

【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、弧長公式等知識點(diǎn)，掌握弧長公式成為解題的關(guān)鍵.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得//WC=NA'3C=60。,即N/的=120°,再根據(jù)點(diǎn)A經(jīng)過的路徑長至少為以B為圓心,

以A3為半徑的圓弧的長即可解答.

【詳解】解：：將該三角板繞點(diǎn)3順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)C'落在直線/上，

ZABC=ZABC=60°，即AABA=120°,

?萬?

點(diǎn)A經(jīng)過的路徑長至少為12:0°。:12=8兀.

lol）

故答案為：87r.

【變式2-1］（2024?江蘇宿遷?中考真題）如圖，已知正六邊形ABCDEF的邊長為2,以點(diǎn)E為圓心，EF長

為半徑作圓，則該圓被正六邊形截得的°b的長為

【分析】本題主要考查了正多形的內(nèi)角和和內(nèi)角以及弧長公式，根據(jù)六邊形ABCDEF是正六邊形，根據(jù)正

多邊內(nèi)角和等于(〃-2)x180。，求出內(nèi)角NDE尸，再根據(jù)弧長公式即可得出答案.

【詳解】解：???六邊形ABCDE廠是正六邊形,

（6-2）x180°

ZDEF=-----』------=120。

6

DF二七247r

180

故答案為：號-.

【變式2-2](2024.甘肅蘭州.中考真題)“輪動發(fā)石車”是我國古代的一種投石工具，在春秋戰(zhàn)國時(shí)期被廣

泛應(yīng)用，圖1是陳列在展覽館的仿真模型，圖2是模型驅(qū)動部分的示意圖，其中i",eN的半徑分別是

1cm和10cm,當(dāng)順時(shí)針轉(zhuǎn)動3周時(shí)，eN上的點(diǎn)尸隨之旋轉(zhuǎn)廢，貝！]〃=

圖1

【答案】108

【分析】本題主要考查了求弧長.先求出點(diǎn)P移動的距離，再根據(jù)弧長公式計(jì)算，即可求解.

【詳解】解：根據(jù)題意得：點(diǎn)P移動的距離為3義2萬xl=6萬cm,

.n°x7ixl0

><=6萬,

180

解得：n=108.

故答案為：108

【變式2-3](2024?山東濟(jì)寧?中考真題)如圖，VABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(1,3),3(3,4),C(1,4).

yfk

6—；—；—；—；—；—

］一_；一；7一八_；一：

O123456x

(1)將VABC向下平移2個(gè)單位長度得△ABC」畫出平移后的圖形，并直接寫出點(diǎn)用的坐標(biāo)；

⑵將△A4G繞點(diǎn)耳逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得42c2.畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，并求點(diǎn)G運(yùn)動到點(diǎn)G所經(jīng)過的路徑長.

【答案】⑴作圖見解析，即3,2)

⑵作圖見解析，兀

【分析】本題考查了作圖一平移變換和旋轉(zhuǎn)變換，弧長公式，解題的關(guān)鍵熟練掌握平移和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，

(1)利用平移的性質(zhì)作出對應(yīng)點(diǎn)，再連線即可，

(2)利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)分別作出對應(yīng)點(diǎn)，再連線，Q運(yùn)動到點(diǎn)a所經(jīng)過的路徑長即為弧長即可可求解

【詳解】(1)解：△AB。1如下圖所示:

(2)解：&與C?如上圖所示:

TTXB.C,X90°7ix2x90o

G運(yùn)動到點(diǎn)G所經(jīng)過的路徑為:-----—-----=----------=71

180180

【變式2-4X2024.遼寧?中考真題)如圖，。是VABC的外接圓，A3是G。的直徑，點(diǎn)。在8c上，AC=BD，

E在班的延長線上，ZCEA=ZCAD.

cI)

(1)如圖1,求證：CE是，：。的切線；

(2)如圖2,若NCEA=2/DAB,OA=8,求BO的長.

【答案】(1)見詳解

⑵2%

【分析】(1)連接CO,則4=N2,故N3=N1+N2=2N2,由AC=BO,得到N4=N2,而NACB=90。,

貝lJ/C4D+2/2=90°,由NCE4=NG4D,得NCE4+2N2=90°,因此NCE4+N3=90°,故NECO=90。,

則CE是。的切線；

90°

(2)連接CO,。。，可得N3=2N2=2N4=NCE4,則/3=/6￡4=虧=45。，故N4=22.5。，由BD=BD，

得“03=2/4=45。，那么2。長為=2萬.

loU

OC=OB,

：.N1=N2,

???N3=ZL+N2=2N2,

,**AC=BD^

：.N4=N2,

???A5為直徑，

ZACB=90°,

???NC4T>+N4+N2=90。，即NCW+2N2=90。，

NCEA=NCAD,

：.ZCEA+2Z2=90°,

???NCE4+N3=90。，

NECO=90。，

C.OCLCE,

???CE是。的切線；

（2）解：連接CO,DO,

由⑴得N3=2N2=2N4,

ZCEA=2ZDAB,

：.NCE4=N3,

NECO=90。,

90°

???Z3=ZC￡A=——二45。，

2

??.N4=22.5。，

BD=BD，

：.ZDO5=2/4=45。，

???BD長為：竺衛(wèi)竺=2萬.

DU180

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，切線的判定，直角三角形的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，弧長公式等，正

確添加輔助線是解決本題的關(guān)鍵.

【中考模擬即學(xué)即練】

1.（2024?浙江溫州?一模）點(diǎn)A、B、。在（。上的位置如圖所示，ZA=70°,。的半徑為3,則8c的長

C.-7TD.7九

2

【答案】B

【分析】本題主要考查了弧長計(jì)算公式，圓周角定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握弧長公式，先根據(jù)圓周角定

理求出NBOC=2x70°=140°,然后根據(jù)弧長計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：；NA=70。，

NBOC=2ZA=2x70°=140°,

.V1以.4，140x3卒7

?.BC1的長為：?二=，，

故選：B.

2.（2024?湖南?模擬預(yù)測）如圖,用一個(gè)半徑為6cm的滑輪將物體G向上拉升,若物體G的上升速度為^cm/s,

上升的時(shí)間為4s,假設(shè)繩索（粗細(xì)不計(jì)）與滑輪之間沒有滑動，則圖中線段OP在這段時(shí)間內(nèi)掃過的面積（單

位：cm2）是（）

A.2兀B.3兀C.471D.6加

【答案】C

JTO

【分析】本題考查了弧長公式以及扇形面積公式，先得出物體G的上升距離是：x4=qMcm）,再設(shè)點(diǎn)尸

〃2

旋轉(zhuǎn)路徑所對的圓心角為"，列式一；x2萬x6=2x二萬，解出"=40。，最后運(yùn)用扇形面積公式列式計(jì)算，

3603

即可作答.

【詳解】解：???物體G的上升速度為mTTcm/s,上升的時(shí)間為4s,

6

7TQ

物體G的上升距離是=x4=：Mcm）,

63

則在這個(gè)時(shí)間內(nèi)，設(shè)點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)路徑所對的圓心角為〃，

n_,_2

??x2萬x6=2x一兀,

3603

解得冏=40。，

二線段。尸在這段時(shí)間內(nèi)掃過的面積=粵;x7x6=4》（cm?）,

故選：C.

3.（2024?陜西商洛?模擬預(yù)測）傳統(tǒng)服飾日益受到關(guān)注，如圖①為明清時(shí)期女子主要裙式之一的馬面裙，如

圖②馬面裙可以近似地看作扇形的一部分，其中AZ）的長度為（米，裙長鈿=Q8米，圓心角

NAOD=Z8OC=60。，則08的長為（）

圖①

A.1米

【答案】B

【分析】本題考查了弧長公式.由題意知，心=嗎”=:乃，求得。4=1，得到03=1.8米即可.

從“1803

?、4h-n-A77I口H?八I,60兀,OA1

［詳斛］解：由超思知，I=———；—=不兀、

AD1803

解得OA=1,

???裙長A5為0.8米，

???05=1.8米，

故選：B.

4.（2024.四川眉山.二模）7個(gè)半徑均為一的硬幣兩兩外切，如圖所示，若將左邊第一個(gè)硬幣沿著剩下硬幣

的圓周滾動一圈回到原來的位置（其余6個(gè)硬幣固定不動），那么這個(gè)硬幣在滾動時(shí)圓心移動的路徑長為（）

33

【答案】C

【分析】本題主要考查了弧長的計(jì)算的應(yīng)用等知識點(diǎn)，根據(jù)題意確定運(yùn)動路徑是由由4個(gè)孤1與8個(gè)孤2

組成，然后利用弧長公式計(jì)算即可得解，熟練掌握弧長的計(jì)算是解決此題的關(guān)鍵.

該硬幣圓心路徑由4個(gè)孤1與8個(gè)孤2組成,

???由圓半徑相等得，AB=AC=BC=2r,

???VABC為等邊三角形，

???ZABC=ABAC=ZCAB=60°,

AZZMC=120°,NCBE=60。，

..,i/1204,,,,602

??3弧nT1的長二——7vx2r=—7rr,弧3nT2的長=——7i^lr=-7ir,

18031803

4232

總路徑長=一?rx4+—%rx8=—冗T,

333

故選：C.

5.（2023?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?一模）已知一弧長為10刀切，此弧所對圓心角為120。，則此弧所在圓的半徑為.

cm

【答案】15

【分析】根據(jù)弧長公式進(jìn)行求解即可.此題考查了弧長公式，/=r篝ijrr，其中"是圓心角度數(shù)，，為半徑,

lot）

熟練掌握弧長公式是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：設(shè)扇形所在圓的半徑為Mm,

EI120"［八

則不限=1。萬，

解得7=15,

故答案為：15.

6.（2024?浙江溫州?三模）在半徑為18cm的圓上有一段弧，弧長是12%cm,則該弧所對的圓周角的度數(shù)

為.

【答案】60。/60度

【分析】考查了弧長的計(jì)算，解答本題關(guān)鍵是熟練掌握弧長的計(jì)算公式，及公式字母表示的含義.

根據(jù)弧長的計(jì)算公式：/=y黑iTrr（弧長為/,圓心角度數(shù)為"，圓的半徑為r）,代入即可求出圓心角的度數(shù).

lot）

【詳解】根據(jù)弧長的公式/=黑

lol）

?〃;rxl8

得z到Kll：12萬=------

180

解得“=120。,

故圓周角為60°

故答案為：60°.

7.（2024?山東濟(jì)南?一模）如圖1,我國是世界上最早制造使用水車的國家.如圖2是水車舀水灌溉示意圖，

水車輪的輻條（圓的半徑）長約為6米，輻條盡頭裝有刮板，刮板間安裝有等距斜掛的長方體形狀的水

斗，當(dāng)水流沖動水車輪刮板時(shí)，驅(qū)使水車徐徐轉(zhuǎn)動，水斗依次舀滿河水在點(diǎn)A處離開水面，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)150。

上升至輪子上方8處，斗口開始翻轉(zhuǎn)向下，將水傾入木槽，由木槽導(dǎo)入水渠，進(jìn)而灌溉，那么水斗從A處（舀

水）轉(zhuǎn)動到5處（倒水）所經(jīng)過的路程是米.（結(jié)果保留萬）

【答案】5萬

【分析】本題考查了弧長的計(jì)算，根據(jù)弧長公式進(jìn)行計(jì)算，即可解答，熟練掌握弧長公式是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由題意得：150；：x6=5.（米），

水斗從A處（舀水）轉(zhuǎn)動到8處《到水）所經(jīng)過的路程是5萬米，

故答案為：5萬.

8.（2023?四川綿陽?模擬預(yù)測）如圖，正三角形的高是3厘米，正方形的邊長是正三角形的2倍，木塊從圖

①的位置開始，沿著木樁的邊緣滾動，滾動過程如圖②，圖③所示，木塊滾動一周后回到原位置，那么正

三角形正中心的點(diǎn)A經(jīng)過的路徑長度為（1=3）.

【分析】本題考查了弧長的計(jì)算、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).找出點(diǎn)A軌跡是解題的關(guān)鍵.利用弧長公式，可以解決問

題.

【詳解】解：如圖,

?:A和4都是正三角形的中心,

Z^oc=N&OD=1X60。=30°,

2

.?.NAO4=120。，四個(gè)角上的弧所對圓心角為2404=210。，04=04=1*3=2,

第1次滾動，點(diǎn)A運(yùn)動軌跡是以圓心。、圓心角150。，AO為半徑的弧44，

第2次滾動，是以圓心。、圓心角為210。，0a半徑的弧4A接下來運(yùn)動類似,

如圖中虛線，

____.,,,,,....(120^-x2210萬?2)44

A點(diǎn)運(yùn)動的路z徑長度=4|+=—^?44.

IioUloU)J

故答案為：44.

9.(22-23九年級上?浙江紹興?期末)如圖，在。中，C。是直徑，弦ABLCD,垂足為點(diǎn)E,連接AC,

AD.

D

⑴求證：ZC=ZBAD.

⑵若NC=30。，OC=3,求A8的長度.

【答案】(1)見解析

(2)2%,見解析

【分析】本題考查垂徑定理，圓周角定理及推論，弧長計(jì)算；連接輔助線，從而運(yùn)用圓周角定理及推論得

到角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

(1)連接CB,由垂徑定理，得AD=BD，由圓周角定理推論知/3CD=NACD，NBCD=NBAD,所以

ZACD=ZBAD.

（2）如圖，連接Q4,OB,由圓周角定理可推出NAO8=2NACB=120。，根據(jù)弧長公式計(jì)算求解.

【詳解】（1）證明：連接CB,

D

是直徑，弦ABLCD,

,"AD=BD-

:.ZBCD=ZACD.

又「ZBCD=ZBAD.

：.ZACD=ZBAD；

(2)解：如圖，連接。4,0B,則NAO5=2NACB,

-AD=BD^

：.ZACD=/BCD,

：.ZACB=2ZACD=60°,

ZAOB=120°

1202

AB的長度=即"=/3乃2萬.

loUJ

題型三：與扇形面積有關(guān)的計(jì)算

【中考母題學(xué)方法】

【典例1】（2024?廣東深圳?中考真題）如圖，在矩形ABC。中，BC=y/2AB,。為BC中點(diǎn)，OE=AB=4,

則扇形EOP的面積為

【分析】本題考查了扇形的面積公式，解直角三角形.利用解直角三角形求得=45。，ZCOF=45°,

得到NE8=90。，再利用扇形的面積公式即可求解.

【詳解】解：：=,AB=4,

BC=46，

為2C中點(diǎn)，

OB=OC=LBC=2近,

2

?/OE=4,

在RJO3E中，cosZBOE=—=—=—,

OE42

NBOE=45°,

同理/CO9=45°,

ZEOF=180°-45°-45°=90°,

on^-.42

???扇形EOF的面積為=41,

360

故答案為：4

【典例2］（2024.山東青島?中考真題）如圖，ABC,。是O上的點(diǎn)，半徑OA=3,AB=C0，ND3C=25。,

連接49,則扇形495的面積為（）

55

C.一兀D.

212

【答案】A

【分析】本題考查了圓周角定義，扇形的面積，連接OC、OD,由圓周角定理可得NCOD=2/Z）3c=50。,

進(jìn)而得NAOB=/COD=50。，再根據(jù)扇形的面積計(jì)算公式計(jì)算即可求解，掌握圓周角定理及扇形的面積計(jì)

算公式是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：連接OC、OD,則/COD=2/DBC=50。,

?AB=CD

：.ZAOB=ZCOD=50°,

_50XKx32_5

扇形Aos3604"，

【變式3-1］（2024?山東東營.中考真題）習(xí)近平總書記強(qiáng)調(diào)，中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化是中華民族的根和魂.東

營市某學(xué)校組織開展中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化成果展示活動，小慧同學(xué)制作了一把扇形紙扇.如圖，04=20cm,

OB=5cm,紙扇完全打開后，外側(cè)兩竹條（竹條寬度忽略不計(jì)）的夾角/AOC=120。.現(xiàn)需在扇面一側(cè)繪

）cm2.

A.—71B.757rC.125TID.15071

3

【答案】C

【分析】將山水畫所在紙面的面積轉(zhuǎn)化為大小兩個(gè)扇形的面積之差即可解決問題.本題主要考查了扇形面

積的計(jì)算，熟知扇形面積的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由題知,

120-7T-202400

S扇形OAC==71\cm

360-----3

120?萬S25

S扇形050=---------=——%cm2

3603'

所以山水畫所在紙面的面積為：—^-y^=125^（cm2）.

故選：C.

【變式3-2］（2024.河南.中考真題）如圖，。是邊長為4若的等邊三角形A8C的外接圓，點(diǎn)。是BC的

中點(diǎn)，連接CD.以點(diǎn)。為圓心，8。的長為半徑在I。內(nèi)畫弧，則陰影部分的面積為（）

A

D

A.—B.47tC.史凡D.167r

33

【答案】C

【分析】過。作DE，3c于E,利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)求出NBDC=120。，利用弧、

弦的關(guān)系證明團(tuán)》=8,利用三線合一性質(zhì)求出85=32。=26,N8DE=：NBOC=60。，在中,

利用正弦定義求出BD,最后利用扇形面積公式求解即可.

【詳解】解：過。作DEL3c于E,

A

D

?；）。是邊長為4班的等邊三角形ABC的外接圓,

/.BC=4A/3-4=60°,ZSDC+ZA=180°,

ZB￡)C=120°,

:點(diǎn)。是BC的中點(diǎn),

:?BD=CD，

：.BD=CD,

BE=-BC=2y/3,NBDE=L/BDC=60。,

22

BE

BD=

sinZBDE黑=4

.120/42167r

??3陰影==<

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，扇形面積公式，解直

角三角形等知識，靈活應(yīng)用以上知識是解題的關(guān)鍵.

【變式3-3]（2024.河北?中考真題）扇文化是中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的組成部分，在我國有著深厚的底蘊(yùn).如

圖，某折扇張開的角度為120。時(shí)，扇面面積為S、該折扇張開的角度為〃。時(shí)，扇面面積為S“，若m=T，

3

則與〃關(guān)系的圖象大致是（）

->

n

【分析】本題考查正比例函數(shù)的應(yīng)用，扇形的面積，設(shè)該扇面所在圓的半徑為R,根據(jù)扇形的面積公式表示

出兀R2=3S,進(jìn)一步得出5〃=處=3*，再代入加=今即可得出結(jié)論.掌握扇形的面積公式是解題的關(guān)

360120S

鍵.

【詳解】解：設(shè)該扇面所在圓的半徑為R,

120nR2nR2

S

360~~3~

,nR2=3S,

,??該折扇張開的角度為“。時(shí)，扇面面積為s“,

n

??3“=-=------x

360360

nS

二二九1

120=----n

S120120

正是〃的正比例函數(shù),

Vn>0,

它的圖像是過原點(diǎn)的一條射線.

故選：C.

【中考模擬即學(xué)即練】

1.（2024?云南?模擬預(yù)測）已知扇形的弧長為4萬cm,面積為24;rcm2,則此扇形的圓心角為度.

【答案】60

【分析】本題考查求扇形的圓心角，根據(jù)扇形的面積公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：設(shè)扇形的半徑為「，圓心角的度數(shù)為

由題意，得：~x=24TT,

.1=12,

zz=60；

故答案為：60.

2.（2024?北京?三模）已知一個(gè)扇形的面積是12兀，弧長是2兀，則這個(gè)扇形的半徑為.

【答案】12

【分析】本題考查扇形面積公式S=根據(jù)扇形面積公式直接代入求解即可得到答案.

【詳解】解：；一個(gè)扇形的面積是12兀，弧長是21，

12^-=—x2^r,

2

解得：r=12,

故答案為：12.

3.（2024?黑龍江大慶?中考真題）如圖所示的曲邊三角形也稱作“萊洛三角形”，它可以按下述方法作出：作

等邊三角形ABC；分別以點(diǎn)A,B,C為圓心，以4B的長為半徑作BC，AC，AB.三段弧所圍成的圖形

就是一個(gè)曲邊