考前突破01規律探究（3大必考題型）60題

題型一：數式規律探究

題型二：圖形規律探究

題型三：點坐標的規律探究

.精淮提分

題型一：數式規律探究

【中考母題學方法】

1.（2024?山東日照?中考真題）在數學活動課上，老師給出了一個數字構造游戲：對于給定的一列有序數字，

在每相鄰兩個數之間插入這兩數的和，形成新的一列有序數字.現有一列數：2,4,進行第1次構造，得到

新的一列數：2,6,4,第2次構造后,得到一列數：2,8,6,10,4,...,第"次構造后得到一列數：2,再,％,馬…，4/，

記%=2+再+3+X3+…+々+4.某小組經過討論得出如下結論，錯誤的是（）

A.?3=84B.2為偶數C.。"+i=3a“-6D.k=2n-l

2.（2024?寧夏?中考真題）觀察下列等式：

第1個：1X2-2=22X0

第2個：4x3-3=32xl

第3個：9X4-4=42X2

第4個：16X5-5=52X3

按照以上規律，第〃個等式為.

3.（2024?山東濰坊.中考真題）將連續的正整數排成如圖所示的數表.記qJ）為數表中第i行第/列位置的數

字，如%2）=4,%,2）=8,%,4）=22.若%“㈤=2024,則加=,n=.

T

1T5

14

lOfIlf12fl320

I

25<—24<—23<—22<—21

I

26f27f28f29f…

【中考模擬即學即練】

4.（2025?山東臨沂?一模）南宋數學家楊輝在其著作《詳解九章算法》中揭示了（。+。）""為非負整數）展

開式的項數及各項系數的有關規律如下，后人也將下表稱為“楊輝三角〃.

（〃+匕）°=1

（a+力）=a+b

（a+Z;）2=a2+2ab+b2

（a+Z?）3=d+301b+3ab2+b3

（a+Z?）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+Z?4

322345

（々+6）5=05++io^&+10ab+5ab+b

1

11

121

1331

14641

15101051

則（a+b）2°24展開式中所有項的系數和是.（結果用指數嘉表示）

5.（2024?重慶江津?二模）一個四位自然數〃，如果滿足各個數位上的數字互不相同，它的千位數字與個位

數字之差為2,百位數字與十位數字之差為2,則稱這個數"為“雙喜數”.對于一個“雙喜數"，，記/伽）=行.例

“=6314,因為6—4=2,3-1=2,所以6314是“雙喜數"，尸（6314）=*^=574.貝|/（8426）=；

若一個四位自然數優是"雙喜數"，且粵是整數，則滿足條件的根的最大值為.

6.（2024?湖北黃岡?模擬預測）我國南宋時期數學家楊輝于1261年寫下的《詳解九章算法》，書中記載的圖

表給出了（“+6）"展開式的系數規律.

1..........（4+人）°=1

11..........（fl+Z?）1=a+b

121（a+/＞）2=a2+2ab+b2

1331（a+Z?）=+3a~6++Z?'

當代數式V-9X2+27X-27的值為8時，則x的值為.

7.（2024-Lh東濱州?三模）如圖，在RtAAOBi中，0A=。耳=1,ZA.OB,=90°,以用的斜邊4用為

直角邊作等腰直角三角形AAABI，再以Rta&A用的斜邊4用為直角邊作等腰直角三角形△AB/?,...同樣

的作法，作下去可以依次得到一組等腰直角三角形44。耳，△&月星，^A3B2B3,△A4B3星，…，耳，

則第〃個等腰直角三角形△4,紇T紇的面積為.

8.（2024?重慶銅梁?一模）在中國文化中，"6"被視為完美的數字，因為它寓意和諧、順遂和圓滿，因此，"66"

可以被解讀為雙倍順遂或更加完美.一個四位自然數加=礪，若各個數位上的數字均不為0.且滿足|7

I=66.則稱這個四位數M為"雙順數”.例如：對于9226,同92-26|=66,09226是"雙順數"；對于2689,

0|26-89|=63^66,回2689不是"雙順數”.則最大的“雙順數"是；如果將一個"雙順數"M=時

的千位數字與十位數字交換，百位數字與個位數字交換后得到四位數AT=/，并且規定:

"回="F.若與1是整數，則符合條件的〃的最小值是——

1

（?湖南岳陽?模擬預測）已知

9.20241=1,~1,貝（j

——+n'人」

an-l

10.（2023?遼寧錦州?三模）設VABC的面積為1,如圖①，將邊2C、AC分別2等分，、A?相交于

點O,AABO的面積記為跖；如圖②，將邊BC、AC分別3等分，BE-相交于點O,AABO的面積

記為§2；……，依此類推，貝US2023=

題型二：圖形規律探究

【中考母題學方法】

11.（2024?黑龍江牡丹江?中考真題）如圖是由一些同樣大小的三角形按照一定規律所組成的圖形，第1個

圖有4個三角形.第2個圖有7個三角形，第3個圖有10個三角形......按照此規律排列下去，第674個圖

中三角形的個數是（）

△

△△△△

△△△△△△△

△△△△△△△△△

第1個第2個第3個

A.2022B.2023C.2024D.2025

12.（2024?山東濟寧?中考真題）如圖，用大小相等的小正方形按照一定規律拼正方形.第一幅圖有1個正

方形，第二幅圖有5個正方形，第三幅圖有14個正方形......按照此規律，第六幅圖中正方形的個數為（）

A.90B.91C.92D.93

13.（2024?四川巴中?中考真題）如圖，是用12個相似的直角三角形組成的圖案.若。4=1,則OG=（）

64

C.—D.2

2727

14.（2024?青海?中考真題）如圖是由火柴棒擺成的圖案，按此規律擺放，第（7）個圖案中有個火柴

15.（2024?西藏?中考真題）如圖是由若干個大小相同的"O"組成的一組有規律的圖案，其中第1個圖案用了

2個9",第2個圖案用了6個9",第3個圖案用了12個"。"，第4個圖案用了20個"。"，......,依照此

規律，第"個圖案中的個數為（用含”的代數式表示）.

ooooo

OOOOooooo

OOOOOOOooooo

OOOOOOOOOooooo

第1個第2個第3個第4個

16.（2024?山東泰安?中考真題）如圖所示，是用圖形"。"和"?"按一定規律擺成的"小屋子”.按照此規律繼續

擺下去，第個"小屋子"中圖形"。"個數是圖形"?"個數的3倍.

o

OOOO

OCDOOOOO

OOODOOCOOOOOOOO

oOOOOOOOOOooooo

OOOOOOOOooooo

ooOOOOOOOoo

OOOOooooo

(1)(2)(3)(4)⑸

【中考模擬即學即練】

17.（2024?浙江嘉興?一模）為美化市容，某廣場要在人行雨道上用大小相同的灰、白兩色的廣場磚鋪設圖

案，設計人員畫出的一些備選圖案如圖所示，圖1灰磚有1塊，白磚有8塊；圖2灰磚有4塊，白枝有12

塊；以此類推；若所選的圖中灰磚有64塊，則白磚有（）塊

28.（2025?湖南婁底?一模）觀察圖形，若有六邊形2024個，則需火柴棍根.

19.（2025?山西長治?模擬預測）如圖是一組有規律的圖案，它們是由大小相同的"<>"組成的，第1個圖案中

有3個"O,第2個圖案中有9個“弋〉"，第3個圖案中有18個"弋，>"......按此規律，第"個圖

案中有個（用含"的代數式表示）

題型三：點坐標的規律探究

【中考母題學方法】

20.（2023?山東煙臺?中考真題）如圖，在直角坐標系中，每個網格小正方形的邊長均為1個單位長度，以

點尸為位似中心作正方形尸AAA，正方形尸4AA，…，按此規律作下去，所作正方形的頂點均在格點上，

其中正方形尸A4A的頂點坐標分別為尸（-3,o）,A（-2,1）/（TO）,A（-2,-1）,則頂點A。。的坐標為（）

A.（31.34）B.（31,-34）C.（32,35）D.（32,0）

21.（2024?湖北武漢?中考真題）如圖，小好同學用計算機軟件繪制函數》=/一3/+3了-1的圖象，發現它

關于點（1,0）中心對稱.若點4（。1，％）,4（02%），美（0.3,%），……，4（19%），4。（2,%。）都在函數

圖象上，這20個點的橫坐標從0.1開始依次增加0.1,則%+%+%+……+W+%。的值是（）

B.-0.729C.0D.1

22.（2024?四川巴中?中考真題）如圖,是用12個相似的直角三角形組成的圖案.若。4=1,則OG=（）

A125百12564D,咨

B.----C.—

,64642727

23.（2023?山東東營?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，直線/:>=氐-6與X軸交于點4,以。4

為邊作正方形點G在y軸上，延長G耳交直線/于點4，以G4為邊作正方形432GG，點G在y

軸上，以同樣的方式依次作正方形ABJGG，…，正方形402332023c2023C2022,則點與⑼的橫坐標是.

24.（2023?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）如圖,在平面直角坐標系中，點A在y軸上，點B在X軸上，OA=OB=4,

連接AB,過點O作，AB于點A,過點A,作1x軸于點Bi；過點Bt作用&，于點&,過點&作

4層，x軸于點B?；過點當作坊4LAB于點&,過點&作人3自，工軸于點層；…；按照如此規律操作下

去，則點&）23的坐標為.

k

25.（2024?山東青島?中考真題）如圖，點A，a，A，…，4，電為反比例函數丫=；優>0）圖象上的點，其橫

坐標依次為1,2,3,…,〃，”+1.過點A，A，A3，L，4作X軸的垂線，垂足分別為點耳,也,4，???，%;過點4作

44,4用于點耳，過點&作4與，44于點鳥，…，過點4+1作A用紇，4%于點紇.記△ABH的面

積為耳,2\A坊43的面積為Sz，…,△44,4+1的面積為s“.

，51+S2+S3+--.+SM=

（用含〃的代數式表示）;

(2)當左=3時,Sj+S2+S34-----FSn=（用含〃的代數式表示）.

【中考模擬即學即練】

26.（2024?河北石家莊?二模）如圖，一只小螞蟻在平面直角坐標系中按圖中路線進行“爬樓梯"運動，第1

次它從原點運動到點（1,0）,第2次運動到點（1,1）,第3次運動到點（2,1）...按這樣的規律，經過第2024次運

動后，螞蟻的坐標是（）

A.(1011,1010)B.(1011,1011)C.(1012,1011)D.(1012,1012)

27.（2024?山東威海?二模）如圖，矩形。LBC為臺球桌面示意圖.小球起始位置在（3,0）處，沿圖中所示的

方向擊球，小球的運動軌跡如圖所示，當小球第2024次碰到球桌邊時，小球的位置在（）

A.(0,3)B.(1,4)C.(5,0)D.(8,3)

28.（2024?新疆喀什?二模）如圖，正方形ABCD的頂點AQ1）,3（1,0）,延長。C交x軸于點31,作正方形

DBCR,延長2G交x軸于點與，作正方形R星G2,…，按照這樣的規律，點2期的縱坐標為（）

29.（2024?河南商丘?二模）在如圖所示的平面直角坐標系中，有一個由等邊三角形A3c和以A3為直徑的

半圓組成的"冰淇淋"形圖案，且點A,B在無軸上，點C在y軸上，AB=4,過點A作AD,AC交半圓于點

D,將該“冰淇淋"形圖案繞點C逆時針旋轉，每次旋轉45。，則第98次旋轉結束時，點。的坐標是（）

B,卜3君,1+2⑹

C.D.(-3A/3,-1-2A/3)

30.（2024?山東濟寧?二模）如圖，在平面直角坐標系中有一邊長為1的正方形Q4BC,邊。A,OC分別在

無軸、y軸上，如果以對角線為邊作第二個正方形038?,再以對角線。片為邊作第三個正方形。耳32c2,

照此規律作下去，則點與口的坐標為（）

A.（21012,0）B,（21012,21012）C,（22024,22024）D.（-22O24,O）

31.（2024?河南洛陽?三模）如圖，在平面直角坐標系中，大正方形A3。是由四個全等的直角三角形和一

個小正方形組成的"趙爽弦圖"，正方形ABCD的中心與原點。重合，軸，正方形ABCD的面積為5,

正方形EFGH的面積為1,將ACDG繞點。順時針旋轉，每次旋轉90。，則第2024次旋轉結束時，點G的

坐標為（）

32.（2024?四川達州?二模）如圖，在平面直角坐標系中，等邊VAOB,點A的坐標為（T,。），每一次將VAOB

繞著點。順時針方向旋轉60。，同時每邊擴大為原來的2倍，第一次旋轉后得到第二次旋轉后得

到"。鳥，…，依次類推，則點4。”的坐標為（）

A.(-22024,0)B.(-22023,0)C.(22024,22024V3)D.(22023,22023V3)

33.(2024?甘肅武威?三模)如圖，點A(2,0),8(0,2),將扇形沿x軸正方向做無滑動的滾動，在滾動

過程中點。的對應點依次記為點。1,點。2,點…，則Q。的坐標是()

A.(16+4%,0)B.(14+47,2)

C.(14+3￡2)D.(12+3肛0)

34.(2024?河南漂河?二模)如圖，彈性小球從點(0,2)出發，沿箭頭所示方向運動，每當小球碰到矩形。4BC

的邊時就會反彈，反彈時反射角等于入射角，當小球第1次碰到矩形的邊時對應點的坐標為(1,0),第2次

碰到矩形的邊時對應點的坐標為(3,4)......則第100次碰到矩形的邊時對應點的坐標為()

A.（1,4）B.（5,0）C.（5,4）D.（6,2）

35.(2024?河南南陽,三模)如圖，點4(1,1),點A向上平移1個單位，再向右平移2個單位，得到點4；

點4向上平移2個單位，再向右平移4個單位，得到點4；點4向上平移4個單位，再向右平移8個單位,

得到點4;…按這個規律平移得到點A。。，則點A。。的坐標為()

B.（2",2100）

36.（2024?江蘇鹽城?三模）如圖，平面直角坐標系中，△444必&44必444，-“都是斜邊在％軸上的等腰

直角三角形，點4-2,0),4(-1,-1),4（0，。），…；則根據圖示規律點&2025的坐標為（）

y八

「…「…十…-…—：5一…，；…,

■A8■",■

----------4■

匚…j.…一二一;…一:…--l---i.-.J

4。i；；

A.(-1012,0)B.(-1014,0)C.(-2,1012)D.(1014,0)

37.（2024?山東泰安?二模）含60。角的菱形42。與，AB2C2B3,A3B3C3B4,……，按如圖所示的方式放置

在平面直角坐標系宜刀中，點A，4,A3,......,和點與，B2,B3,J54,......,分別在直線y=履和x軸上.已

可以依次求出點A,4，A3,則圖中點A。2,的坐標是（）

B.(3X22023,A/3X22023)

C.3X22024,V3X22024

38.（2024?河南周口?模擬預測）如圖,在平面直角坐標系中，四邊形O4BC是菱形，NAOC=120。，點2

的坐標為（6,0）,點P在菱形Q4BC的邊上，從點。出發以每秒2個單位長度的速度，沿A-8-CfO-A…

則第2024秒時，點P的坐標為（）

A.(3,2A/3)B.(4,-2A/3)C.(3,-2^)D.(4,273)

39.（2024,黑龍江綏化?模擬預測）如圖，平面直角坐標系中，△444，△A4A，44L都是斜邊

在X軸上,斜邊長分別為1,2,3,...的等腰直角三角形，若的4人的頂點坐標分別為4（。，。），4，，，，

A（-1,0）,則依圖中所示規律，點4儂的坐標為

40.（2024?四川內江?一模）如圖，直線/:>=-氐，點4坐標為（-3,0）.過點A作X軸的垂線交直線/于點

耳，以原點。為圓心，。與長為半徑畫弧交尤軸負半軸于點4,記耳人的長為再過點&作X軸的垂線交

直線/于點與，以原點。為圓心，。生長為半徑畫弧交X軸負半軸于點43,記民&的長為。2,…，以此類推.那

么。2018的長為.

41.（2024?河南信陽?三模）將半徑為1、圓心角為60。的扇形紙片AO3按如圖所示的位置放于平面直角坐標

系中，現將扇形紙片AO3沿x軸正半軸向右作無滑動的連續滾動，點A依次落在x軸上的點4,兒，…的

位置上，則點AO24的橫坐標為.

42.（2024?四川內江?二模）如圖，一zAiA"（"為正整數）均為等邊三

角形，它們的邊長依次是2,4,6,2n,頂點A，&,4…,A,均在y軸上，點。是所有等邊三角形的中

43.（2024?四川德陽?二模）如圖，在平面直角坐標系中，點A在y軸上，點B在x軸上，04=08=4,連

接AB,過點。作。ALAB于點A，過點4作A4軸于點瓦；過點B］作耳&LAB于點入，過點人作

4與，苫軸于點與；過點與作坊4,A3于點4,過點A3作4鳥軸于點名;…；按照如此規律操作下

44.（2024?山東東營?模擬預測）含60。角的菱形A^C也，452GB3，423c3用，…，按如圖所示的方式放

置在平面直角坐標系xOy中，點A>4>/…，和點片，B],ByB4,分別在直線y=履和x軸上.已

知4（2,0）,5（4,0）,則點4必的坐標是

45.（2024,山東棗莊?二模）在平面直角坐標系中，直線/：'=尤-3與x軸交于點A，如圖所示依次作正方形

A4G。、正方形A/zGG、…、正方形AECCi，使得點444、…在直線/上，點G，c2,G、…在y

軸正半軸上，則點層物的橫坐標是

46.（2024?山東德州?二模）如圖，在平而直角坐標系中，有若干個橫、縱坐標均為整數的點，其順序按圖

中方向排列，第1個點的坐標為。，0）,第2個點的坐標為（2,0）,第3個點的坐標為（2,1）.…根據這個規

律，第2024個點的坐標為.

47.(2024?山東泰安?二模)如圖，在平面直角坐標系中，有若干個整數點，其順序按圖中"-"方向排列，如

(0,1),(-1,2),(0,2),(1,2),(2,3),(1,3),(0,3),......，根據這個規律探索可得第2024個點的坐標是.

48.(2024,山東東營?二模)在直角坐標系中，點A從原點出發，沿如圖所示的方向運動，到達位置的坐標

依次為：4(i,o),A,。」)，A(-M),A(-LT),A(2,-1),4(2,2)...,則&期的坐標為.

八y

/16

A15

4

AnAu

3

44

—2-

VV44.

4M八

->

-3->1OX

45K4

A9F>--A-\Q---

>

43

A14

-4

49.(2024?山東泰安?二模)如圖，在平面直角坐標系中，將沿％軸向右滾動到△△耳G的位置，再到

VA3C的位置依次進行下去，若已知點A(4,0),5(0,3),AB=5則G024的坐標為.

50.(2024?山東淄博?二模)如圖，四邊形。44。，瓦4不。2，芻4名。3，紇一14紇。〃都是

正方形，對角線。旦，紇T紇都在％軸上(〃是整數，且心1),點2，Q，。3,

BXB2,B2B3,B3B4,…,

k

04，Q,在反比例函數y=?》＞。)的圖象上.若己知正方形OABQ的面積為2,則點e2024的坐標為.

51.（2024?山東泰安?二模）如圖，在直角坐標系中，等腰直角三角形44。，4昆4,43員打，…按如

圖所示的方式放置,其中點4,4,4,…，4均在一次函數丁=履+6的圖象上，點4，%用，…,里均在X軸上.若

點B］的坐標為（1,0），點B］的坐標為（3,0）,則點4024的坐標為.

52.（2024?廣東珠海?三模）如圖，在平面直角坐標系xOy內，動點M第！.次從點A/。（-3,-2）運動到Mx（—2,0）,

第2次運動到陷（-M）,第3次運動到M（°，3），第4次運動到機（1,2）,第5次運動到M（2,-l）,第6

次運動到M6（3,-2）,第7次運動到M1（4,0）......依此規律，第2024次運動到M2024的坐標是.

53.（2024?江蘇鹽城?模擬預測）在平面直角坐標系中，VAOB為等邊三角形，點A的坐標為（1,0）.把VAOB

按如圖所示的方式放置，并將VAO3進行變換：第一次變換將VAOB繞著原點。順時針旋轉60。，同時邊長

擴大為VAO3邊長的2倍，得到片；第二次旋轉將片繞著原點。順時針旋轉60。，同時邊長擴大

為“104邊長的2倍,得到△兒叫，….依次類推，得到△怎23。%)23，則點&23的坐標為

動點P在平面直角坐標系中按圖中箭頭所示方向運動，第1次從原點運

動到點(-U),第2次接著運動到點(-2,0),第3次接著運動到點(-3,2),按這樣的運動規律，經過第2024

次運動后，動點尸的坐標是.

yjk

(-1,1)

(-8,0)(-6,0)(-4,0)(-2,0)ox

55.(2024?山東東營?模擬預測)如圖，在平面直角坐標系中，點A在y軸上，點8在x軸上，OA=OB=4,

連接48,過點。作于點％,過點劣作片瓦，x軸于點與；過點