2025年中考數學第一次模擬考試（河南卷）

全解全析

第I卷

一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合

題目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑）

1.下列各數中，屬于有理數的是（

A.2無C.V3D.0

【答案】D

【分析】此題主要考查了實數概念，正確掌握相關定義是解題關鍵.

直接利用有理數以及無理數的定義分別分析即可得出答案.

【詳解】解：A、2n屬于無理數，故A選項不符合題意;

B、正屬于無理數，故B選項不符合題意;

C、百屬于無理數，故C選項不符合題意;

D、0屬于有理數，故D選項符合題意;

故選：D.

2.某同學學習了正方體的表面展開圖后，在如圖所示的正方體的表面展開圖上寫下了“傳承紅色文化”六個

()

C.文D.色

【答案】A

【分析】本題考查了正方體的展開圖形，根據正方體的平面展開圖中，相對面的特點是之間一定相隔一個

正方形求解即可得到答案;

【詳解】解：???正方體的平面展開圖中，相對面的特點是之間一定相隔一個正方形,

???在此正方體上與“承''字相對的面上的漢字是“化”,

故選：A.

3.我國的北斗衛星導航系統中有一顆中高軌道衛星，它的高度大約是2150000m.小明將數據2150000用

科學記數法表示為2.15x10",則〃的值是（）

A.-6B.-7C.6D.7

【答案】C

【分析】本題考查科學記數法，根據科學記數法的表示方法求解即可.科學記數法的表示形式為axlO"的形

式，其中1引0|<0,〃為整數.解題關鍵是正確確定。的值以及”的值.

【詳解】解：數據2150000用科學記數法表示為2.15x106.

■.n的值是6.

故選：C.

4.如圖，圓。是△ABC的外接圓，已知45=/，NC=45。,則圓。的半徑0區的長為（）

C

【答案】B

【分析】本題考查了圓周角定理，勾股定理，連接根據圓周角定理可得乙4。8=90。，即可得到

為等腰直角三角形，利用勾股定理即可解答，正確作出輔助線是解題的關鍵.

【詳解】解：如圖，連接

C

■：AO=BO,

為等腰直角三角形,

AO2+BO2=AB2,

即2么。2=2,解得/。=1（負值舍去），

故選：B.

5.下列計算正確的是（）

A.3ab+lab=5abB.a2-a3=a6C.a6-i-a2=a3D.（a2）3a5

【答案】A

【分析】本題考查合并同類項，同底數幕的乘法和除法，幕的乘方，掌握運算法則是解題的關鍵.

【詳解】解：A、3ab+lab-5ab,計算正確；

B、a2-a3=a5,原計算錯誤;

C、a6^a2=a4,原計算錯誤；

D、（.2）3=/,原計算錯誤；

故選A.

6.已知關于x的方程（"+3*+工+/+2旭-3=0的一根為0,另一根不為0,則加的值為（）

A.1B.-3C.1或-3D.以上均不對

【答案】A

【分析】首先將根為。代入方程解得加的值，然后利用根的判別式進行判斷小的范圍，再根據二次項系數

不能為0,從而得到所求的加的值.

【詳解】解：\,關于x的方程（加+3）/+x+/+2〃7-3=0的一根為0,

.'.（??+3）x02+0+m2+2m-3=0,

即m2+2m-3=0,

解得：加=1或-3.

當機=1時，方程為4X2+X=0,

解之得不=0,X2=-y,符合題意；

當m=-3時，方程為x=0,

方程只有一個根，不符合題意；

???加=1,

故選：A.

7.在一次兌換盲盒的游戲中，規定：在不透明的袋子中，放置3個黃球，2個紅球，這些小球除顏色以外

其他完全相同，攪勻后隨機摸出兩個球，若摸到的兩個球顏色相同，便能得到一次兌換盲盒的機會，則參

與者每次摸球得到兌換盲盒機會的概率是（）

A.-B.；C.—D.—

8255

【答案】C

【分析】本題考查了畫樹狀圖法或列表法求等可能情形下的概率計算；畫樹狀圖法或列表法，利用概率計

算公式尸=—,即可求解；能理解放回與不放回的區別是解題的關鍵.

m

【詳解】解：列表如下

黃1黃2黃3紅1紅2

黃1（黃1,黃2）（黃1,黃3）（黃1,紅1）（黃1,紅2）

黃2（黃2,黃1）（黃2,黃3）（黃2,紅1）（黃2,紅2）

黃3（黃3,黃1）（黃3,黃2）（黃3,紅1）（黃3,紅2）

紅1（組，黃1）（紅1,黃2）（紅1,黃3）（紅1,紅2）

紅2（紅2,黃1）（紅2,黃2）（紅2,黃3）（紅2,紅1）

共有20種等可能結果，其中摸到的兩個球顏色相同的有8種結果,

二摸到的兩個球顏色相同的概率：尸*=1；

故選：C.

8.如圖，二次函數了=。/+加+￡：的圖象與｝；軸交于點/（0,2）,其對稱軸是直線x=；,則不等式

a/+b%+cv2的解集是（）

A.x<0B.x<-l^x>2C.0<x<lD.xWO或

【答案】D

【分析】本題主要考查了二次函數與不等式之間的關系，二次函數的對稱性，先根據對稱性求出點（1,2）也

在改二次函數圖象上，再根據函數圖象即可得到答案.

【詳解】解：???二次函數了="2+瓜+。的圖象與丁軸交于點/（0,2）,其對稱軸是直線x=；,

???點（1,2）也在改二次函數圖象上，

.??由函數圖象可知，當了42時，x<O^x>l,

不等式ax?+6x+c42的解集是x<0或,

故選：D.

9.如圖，在平面直角坐標中，正方形N58與正方形3EFG是以原點。為位似中心的位似圖形，且相似比

為:，點/,B,E在x軸上，若正方形3E尸G的邊長為12,則C點坐標為（）

//

//

—211L-----------------------?

O\ABEX

A.（4,4）B.（5,4）C.（6,4）D.（8,4）

【答案】C

【分析】本題主要考查了位似變換以及相似三角形的判定與性質，正確得出4。的長是解題關鍵.直接利用

位似圖形的性質結合相似比得出/D的長，進而得出,進而得出的長，即可得出答案.

【詳解】解：???正方形45co與正方形成尸G是以原點。為位似中心的位似圖形，且相似比為，

AD〃BG,

BG3

???BG=12,

/.AD=BC=4,

???AD//BG,

:.△OADsAOBG,

.OA-1

,?—―，

OB3

,0A-1

-4+OA~3f

解得：04=2,

OB=6,

點坐標為：（6,4）,

故選：C.

10.在測浮力的實驗中，將一長方體石塊由玻璃器皿的上方，向下緩慢移動浸入水里的過程中，彈簧測力

計的示數尸拉力（N）與石塊下降的高度x（cm）之間的關系如圖所示.（溫馨提示：當石塊位于水面上方時，

F拉力=G重力；當石塊入水后，心力=G重力-心力.）則以下說法正確的是（）

A.當石塊下降3cm時，此時石塊在水里

B.當6WxW10時，尸拉力（N）與x（cm）之間的函數表達式為與=g無+不

o4

C.石塊下降高度8cm時，此時石塊所受浮力是1N

22

D.當彈簧測力計的示數為3N時，此時石塊距離水底§cm

【答案】D

【分析】根據函數圖象待定系數法求得線段45的解析式，進而逐項分析判斷即可求解.

【詳解】由題圖可知，石塊下降到6cm時，石塊正好接觸水面，故選項A錯誤；

當時，設力5所在直線的函數表達式為

F=kx+b（kw0）,

4=6左+6

則〈，

[2.5=10后+6

_3

k=

-8

解得＜

25

b=

T

?.?尸=_3='+?25,故選項B錯誤;

84

當石塊下降的高度為8cm時，即x=8時,

八一，8+竺二

844

?「G加水=4N，

13

：.F=4--=0.75N,故選項C錯誤；

4

325

當尸=3,即3=--%+—,

84

解得x=g，

??.石塊距離水底的距離為16-菖=gem,

故選項D正確，

故選：D.

第n卷

二、填空題(本大題共5個小題，每小題3分，共15分)

11.若分式丁二有意義，則x的取值范圍是________.

2x-l

【答案】

【分析】根據若分式有意義則分式的分母不等于0列式計算即可.

【詳解】根據題意得，2尤-1工0,解得

故答案為XX：.

—2x+1Wx—1

12.不等式組：L,I,八的解集是________.

2x-l<-(x+4)

27

【答案】-<%<2/2>x>-

【分析】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取

小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵.

—2,x+14x-1①

【詳解】解：L,1,八

2x-l<-(x+4)?

解不等式①得：x>-,

解不等式②得：x<2,

2

???不等式組的解集為：-<x<2.

2

故答案為：—<x<2.

13.某校抽測了某班級的10名學生競賽成績（均為整數），從低到高排序如下：占,%，/，%，/，4,

吃，/，/，玉o,如果/=83,x7=86,該組數據的中位數是85,貝！1%5=?

【答案】84或85

【分析】本題考查了求中位數，正確理解中位數的定義是解題的關鍵.由中位數的定義可知，號=85,

再根據匕=83,X1=86,即可得出答案.

【詳解】由已知，10個成績從低到高排列，居中的兩個成績為毛和工6,且該組數據的中位數是85,

x4=83,x7=86,

..X5=84,X6=86,回X5=85,工6=85,

故答案為：84或85.

14.如圖，在中，AO=AB,點8在x軸上，C、。分別為CM、05的中點，連接CD,E為CD上任

意一點，連接/E、BE,反比例函數了=勺工<0）的圖象經過點A,若“BE的面積為6,則左的值為.

【答案】-12

【分析】本題考查了反比例函數圖象、等腰三角形以及中位線的性質、三角形面積，解題的關鍵是靈活運

用等腰三角形的性質.

根據等腰"OB,中位線CD得出ADLOB,邑.=S^AOD=4,應用用的幾何意義求匕

【詳解】如圖：連接

A/08中，AO=AB,05在x軸上，C、O分別為/民。8的中點,

.-.AD10B,AB\\CD

S-ABE=S"0。=6，

故答案為：-12.

15.如圖，點尸為矩形/BCD對角線NC上異于/、C的一個動點，過點P作尸E14D于點￡,點F為點/

關于PE的對稱點，連接PRFC,若48=6,BC=8,當△CP尸為直角三角形時，/￡的長為.

【分析】根據△C2尸為直角三角形，即NCFP為直角，從而證明/CFD+/PE4=90°,得NCFD=

ABAC,證得△")9s4cA4,根據相似三角形的性質計算得到。尸的長度，再用AD長度減去。尸后根據

軸對稱的性質可得4E的長.

【詳解】解：①當/CEP=90°時，

:△PC尸為直角三角形，

AZCFP=90°,

ZCFD+ZPFA=90°,

???四邊形/BCD為矩形，

AZCAB+ZPAF=90°,

??,?點4與點尸關于尸￡對稱,

：.PE=PA,EF=EA,

：./PFA=NPAF,

：.ZCAB=ZCFDf

在△CBN和△CD/中

J/B=/D

[ZCAB=ZCFD

:?△CBAs^CDF,

.BCAB

^~CD~~DF"

?：AB=CD=6,BC=8,

.8__^

"6~DF9

即=乙9,

2

：.AE=y(AD-DF)

VZACB=ZCAF,ZB=ZACF=90°,

???AACBsAFAC,

AC_BC

~AF~7C

：.AF=—25

2

?"卜若

故答案為：;7或25

44

三、解答題（本大題共8個小題，共75分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

16.（10分）計算：

(i)-(-i)+O+I

m2-1

⑵"撲m

【答案】（1）8；

⑵一

用一1

【分析】此題考查了立方根和負整數指數幕，分式的混合運算，解題的關鍵是掌握以上運算法則.

（1）首先計算立方根和負整數指數幕，然后計算加減;

（2）根據分式的混合運算法則求解即可.

【詳解】（1）一（一1）+/+

=1—2+9

二8；

_m+1m

m+

1

m—1

17.（9分）每年夏季全國各地總有未成年人因溺水而喪失生命，令人痛心疾首.今年某校為確保學生安全,

開展了“遠離溺水?珍愛生命”的防溺水安全知識競賽.現從該校七、八年級中各隨機抽取10名學生的競賽成

績（百分制）進行整理、描述和分析（成績得分用工表示，共分成四組：A80<x<85,5.85<x<90,

C90Kx<95,￡>.95<x<100）,下面給出了部分信息：

七年級10名學生競賽成績是：99,80,99,86,99,96,90,100,89,82.

八年級10名學生的競賽成績在。組中的數據是：94,90,94.

八年級抽取的學生競賽

成績扇形統計圖

七、八年級抽取的學生競賽成績統計表

年級七年級八年級

平均數9292

中位數93b

眾數99100

方差5250.4

根據以上信息，解答下列問題：

⑴直接寫出上述圖表中6的值；

(2)根據以上數據，你認為該校七、八年級中哪個年級學生掌握防漏水安全知識較好？請說明理由(一條理

由即可)；

(3)該校七、八年級共720人參加了此次競賽活動，估計參加此次競賽活動成績優秀(xN90)的學生人數是

多少？

【答案】⑴。=40,6=94

(2)八年級，理由見解析

(3)468人

【分析】(1)根據中位數和扇形統計圖即可得到結論；

(2)根據八年級的中位數和眾數均高于七年級于是得到八年級學生掌握防溺水安全知識較好;

(3)利用樣本估計總體思想求解可得.

【詳解】(1)解：a=(l-20%-10%--)xl00=40,

???八年級10名學生的競賽成績的中位數是第5和第6個數據的平均數,

,94+94?

b=--------=94；

2

(2)解：八年級學生掌握防溺水安全知識較好，理由如下(寫出其中一條即可):

①七、八年級學生的競賽成績平均分相同，八年級學生成績的中位數94高于七年級學生成績的中位數93；

②七、八年級學生的競賽成績平均分相同，八年級學生成績的眾數100高于七年級學生成績的眾數99；

（3）解：???七年級10名學生中，成績在C,。兩組中有6人，八年級10名學生中，成績在C,。兩組中有

7人，

.-.6+7=13（人）.

13

.-.—X720=468（人）.

20

答：參加此次競賽活動成績優秀（x290）的學生人數是468人.

18.（9分）如圖，為了測量國旗臺上旗桿的高度，小華在點/處利用測角儀測得旗桿底部。的仰角為

27。,然后他沿著正對旗桿的方向前進0?5m到達點B處，此時利用測角儀測得旗桿頂部E的仰角

為6。°,已知點B,C在同一水平直線上，測角儀/歹的高為Im,DE」AB于點、C,旗桿底部。到

地面的距離0C為3m,求旗桿DE的高度.（結果精確到0.1m.6"1.73,cos27°^0.89,

tan27°?0.51,sin27°?0.45）

E

【答案】3.9m

【分析】本題考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題，三角函數的定義；延長印交EC于點”，求得

DM=2,jW=1（x+2）,FM?3.92,根據=列方程求解即可.

3

【詳解】解：如圖，延長尸N交EC于點

E

:.DM=DC-CM=2.設。￡=x,貝i]E"=x+2.

在Rt^EAW中，MN=EM=^(x+2),

tan6003

在RtAFDM中，FM=DM—?3.92,

tan27°0.51

由FN=FM-MN得,3.92一CG+2)=O,5.

3

解得x*3.9.

答：旗桿。E的高度約為3.9m.

19.(9分)如圖，在矩形中，AB<BC,E為4D上一點，且BE=4D.

(1)請用無刻度的直尺和圓規作出/C5E的平分線.(保留作圖痕跡，不寫作法)

(2)在(1)中所作的角平分線與的延長線交于點?，連接CF.猜想四邊形8EFC是什么四邊形？并證

明你的猜想.

【答案】(1)見解析

(2)四邊形3E尸C是菱形.證明見解析

【分析】本題考查作圖一基本作圖、矩形的性質、角平分線的定義、菱形的判定，熟練掌握矩形的性質、

角平分線的定義、菱形的判定是解答本題的關鍵.

(1)根據角平分線的作圖方法作圖即可.

(2)結合矩形的性質、角平分線的定義、菱形的判定可得結論.

【詳解】⑴解：如圖，旅即為所求.

證明：?.巖/平分/CBE,

/.ZCBF=/EBF.

???四邊形458是矩形，

AAD=BC,AF//BC,

ZCBF=ZEFB,

ZEBF=ZEFB,

BE=EF,

?;BE=AD,AD=BC,

BC=EF,

四邊形是平行四邊形.

?「BE=EF,

.??四邊形是菱形.

20.(9分)小晃同學借助反比例函數圖像設計一個軸對稱圖形.如圖，正方形45C。的中心與平面直角坐

標系的原點重合，邊分別與坐標軸平行，反比例函數y=5的圖象經過正方形的頂點/(2,2),以點C為圓心,

C8的長為半徑作扇形BCD,弧BD交NC于點尸；以CF為對角線作正方形CE尸G,再以點C為圓心，CE

的長為半徑作扇形ECG.

(1)求反比例函數的解析式;

⑵求弧EG的長；

【答案】⑴14

x

⑵缶

(3)24-671

【分析】（1）將/（2,2）代入y=8,可求左=4,進而可得反比例函數的解析式；

（2）由題意知，CE=0C=0A=^^=2亞，根據元=也迪，計算求解即可;

180

（3）根據S陰影=S正方形45CO—S扇形5GZ）+S正方形CEFG—S扇形ECG,計算求解即可.

【詳解】（1）解：將/（2,2）代入y=￡得，2=[,

x2

解得，k=4,

4

???反比例函數的解析式為y=—；

X

⑵解：由題意知，CE=OC=OA=722+22=2V2

..京=也*=亞萬，

180

???EG的長為血乃；

（3）解：由題意知,§陰影=S正方形NBCZ）-■S扇形BG0+S正方形CEkG-S扇形ECG

90萬.（2行『

42_22^￡

360360

=24-67，

.??圖中陰影部分面積之和為24-6兀.

21.（9分）為了慶祝中華人民共和國成立75周年，某商場購進甲、乙兩種裝飾物對商場進行布置.已知每

件甲種裝飾物的價格比每件乙種裝飾物的價格貴4元，用400元購買甲種裝飾物的件數恰好與用240元購

買乙種裝飾物的件數相同.

（1）求該商場購進甲、乙兩種裝飾物的單價各是多少元；

（2）當商場裝飾完工后，發現還剩余甲種裝飾物和乙種裝飾物共400件，且購入成本不超過3000元.為了降

低裝飾成本，商場決定將甲種裝飾物以每件13元，乙種裝飾物以每件8元的價格對外出售.如果將剩余的

這400件裝飾物全都售完，剩余甲、乙裝飾物的數量分別為多少時，商場獲得的利潤最大？最大利潤是多

少？

【答案】（1）每件甲種裝飾物的價格為10元，每件乙種裝飾物的價格為6元；

（2）剩余甲種裝飾物150件，則剩余乙種裝飾物250件，商場獲得的利潤最大，最大利潤為950元.

【分析】本題考查了分式方程的應用、一次函數的應用以及一元一次不等式的應用.

（1）設每件乙種裝飾物的價格為X元，則每件甲種裝飾物的價格為（X+4）元，根據“用400元購買甲種裝飾

物的件數恰好與用240元購買乙種裝飾物的件數相同”，即可得出關于x的分式方程，解之經檢驗后即可得

出結論；

（2）設剩余甲種裝飾物機件，則剩余乙種裝飾物（400-機）件，商場獲得的利潤為V元，根據“購入成本不

超過3000元”可得出關于加的一元一次不等式，求得加W150,再根據得到了關于機的一次函數，利用二次

函數的性質即可得出結論；

【詳解】（1）解：設每件乙種裝飾物的價格為x元，則每件甲種裝飾物的價格為（尤+4）元，

解得：x=6,

經檢驗，x=6是原方程的解，且符合題意，

.??x+4=10.

答：每件甲種裝飾物的價格為10元，每件乙種裝飾物的價格為6元；

（2）解：設剩余甲種裝飾物%件，則剩余乙種裝飾物（400-⑼件，商場獲得的利潤為了元,

根據題意得1。心+6（400-m）＜3000,

解得加W150,

貝（Iy=（13-10）m+（8-6）（400-m）=m+800,

?,J隨m的增大而增大，

.??當加=150時，V有最大值，最大值為150+800=950,

此時400-加=250,

答：剩余甲種裝飾物150件，則剩余乙種裝飾物250件，商場獲得的利潤最大，最大利潤為950元.

22.（10分）2024年8月6日，在巴黎奧運會女子10米跳臺跳水決賽中，中國選手全紅嬋以五跳共425.60

分的總成績奪得金牌.已知跳水運動員起跳后的運動軌跡可近似看作拋物線，建立如圖所示的平面直角坐

標系.

(1)某位運動員在第一次跳水中，從點/(3,10)處起跳(如圖)，她的豎直高度V(單位：m)與水平距離x

(單位：m)近似滿足函數關系式>=a(x-3.5)2+Ma<0),測得幾組數據如下表：

水平距離x/m33.544.5

豎直高度y/m10k106.25

則上的值為,滿足的函數關系式為;

(2)若該運動員在第二次跳水中，她的豎直高度V(單位：m)與水平距離x(單位：m)近似滿足函數關

系式>=-5/+40》-68,記她這兩次跳水的入水點的水平距離分別為4，4,則4%；(填

或“<”)

(3)在(2)的條件下，從該運動員起跳后到達最高點B處時開始計時，已知點3到水平面的距離為c,豎直

高度了(單位：m)與時間f(單位：s)之間近似滿足函數關系式y=-5?+c.若該運動員在達到最高點

后需要1.5s才能完成某個極具難度的動作，請通過計算說明，該運動員能否在落水前完成此動作.

【答案】(1)11.25,y=-5(x-3.5)2+11.25

(3)該運動員能在落水前完成此動作，理由見解析

【分析】本題考查二次函數的實際應用及解一元二次方程，解題的關鍵是正確的求出函數解析式.

(1)利用待定系數法求出解析式，即可；

(2)分別求出兩個解析式當y=0時，x的值，進行比較即可；

(3)先求出。的值，再求出t=1.5時的V值，進行判斷即可.

【詳解】⑴解:由表格可知,圖象過點(3,10),(4,10),(4,5,6.25),

p(3-3.5)2+A;=10

"1?(4.5-3,5)2+^=6.25'

.-.y=-5(x-3.5)2+11.25；

故答案為：3.5,y=-5(x-3.5)2+11.25；

(2)解：■,■^=-5(x-3,5)2+11.25,

當>=0時：0=-5(*-3.5>+11.25,

解得：x=5或x=2(不合題意，舍去)；

r.4=5米;

y=-5x2+40x—68,

當y=0時：一5一+40x-68=0,

解得：x=^叵+4或尤=-3叵+4(不合題意，舍去)；

55

:.d2=^^+4>5,

d1<d2,

故答案為：<；

(3)解：歹=—512+40、-68=—5(x—4y+12,

5(4,12),

/.c=12,

y=—5t2+12,

當/=1.5時，^=-5xl.52+12=0.75>0,

該運動員能在落水前完成此動作.

23.(10分)綜合與實踐

【問題初探】

(1)數學課上，李老師展示了這樣一個問題：“如圖1,在△4BC中，AB=AC,點尸是邊NC上一點，點E

是延長線上的一點，連接跖交8C于點。，若DE=DF,求證：BE=CF.”

①如圖2,小樂同學從中點的角度，給出了一種解題思路：在線段。上截取使MD=BD,連接

FM,利用兩個三角形全等和已知條件，可完成證明；

②如圖3,小亮同學從平行線的角度給出了另一種解題思路：過點E作〃/C,交置的延長線于點

M,利用兩個三角形全等和已知條件，可完成證明.

請你選擇一位同學的解題思路，寫出證明過程.

【類比分析】

(2)李老師發現以上兩位同學的做法非常巧妙，為了讓同學們更好地理解這種轉化的思想方法，李老師提出

了新的問題，請你解答.

如圖4,在△4BC中，點E在邊上，。是2C的中點，連接CE,AD,CE與40相交于點N,若

/E4D+//NC=180°,求證：AB=CN.

【學以致用】

(3)如圖5,在RtZUBC中，ABAC=90°,ZC=30°,4尸平分NA4C,點E在8/的延長線上，過點￡作

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