熱點01集合、邏輯、復數

明考情-知方向

三年考情分析2025考向預測

集合相等、元素與集合關系的判斷、集合的交集、補集，元素與集合關系的判斷、集合綜合

充要條件與函數綜合，集合與直線和圓綜合。復數的運算，題、共甄復習

共輾復數，復數的三角形式以及三角恒等變換

熱點題型解讀

避1集合的概^與表示方法

［轆7復數的卜、/

\/y［題型2集合間的基本關系

醒8■新定Z卜、\/

____________〃^■［遵3集合的

題型9復數與其它知t畸合集合、邏輯、復數

~r~7------------J［迎4摒爆數

題型10命題與其它知識綜合卜//\\

/\遜5復數的模

題型11集合與其它知/\

題型6復數的虛部

題型1集合的概念與表示方法

工-益耘i：王漁蔽三穆廠用國巔工箭滑函函晟的童苔為二Z7”

2.（2024?上海寶山二模）已知集合4={2,卜+1|,。+3},且leA,則實數。的值為.

題型2集合間的基本關系

3.（2024?上海楊浦?一模）已知集合&={。,印，則A的子集個數為.

4.（2024?上海嘉定二模）若規定集合E={0,l,2,……㈤的子集{%%，%…，冊}為E的第左個子集，其中

笈=2"|+2/+2%+……+2%,則E的第211個子集是.

5.（2024?上海?模擬預測）考慮{x|0<X<12,XGN）的非空子集8,滿足8中的元素個數等于B中的最小元素,

例如，3={4,6,8,11}就滿足此條件.則這樣的子集8共有個.

題型3集合的運算

6.（2024?上海?三模）己知集合尸={1,2},Q={1,3},M={x|xeP或xe。},則〃=（）

A.{1}B.{2}C.{3}D.{1,2,3）

7.（2024?上海?三模）已知集合4={1,3,4},B={a,a+i},若=則。=.

8.（2024?上海虹口?二模）已知集合A={x|tanx<O},B=M±1Wo1,貝1]4口8=.

9.（2024?上海?三模）若集合A={0,2,4},B={1,2,3},則AUB=.

10.（2024?上海?模擬預測）設全集U={1,2,3,4,5},集合A={2,4},則入=.

11.（2024?上海金山?二模）已知集合〃={1,3,5,7,9},N={x|2'=8},則M^N=.

12.（2024?上海浦東新?三模）已知全集。=&集合4={尤，-3彳+2訓，則無=.

13.（2024?上海.模擬預測）設集合A={力=+4”,B=3皿（x-1）<1},則=.

14.（2024?上海?三模）已知集合4=卜版一[<1},B=則408=.

題型4共輾復數

石…函記王濠NF二崔廠巨斯宜藪各武;衣際前戒黃f赭的鬼"屋…廠’

A.z+N一定是實數B.z—2一定是虛數

C.若z+彳=0,則z是純虛數D.若z—2=0,貝”是純虛數

16.（2024?上海長寧?二模）設zeC,則"z=1是"zwR"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

17.（2024?上海青浦?一模）在復平面內，復數z=l+：i（其中i是虛數單位）的共輾復數對應的點位于

2

第一象限.

題型5復數的模

18.（2024?上海?三模）設復數z=2i（2+i）,則|z|=.

19.（2024?上海?三模）已知復數z=-3+4i（i是虛數單位），則回=

題型6復數的實部與虛部

方“益蒞工王窟三稹于萱藪:篤；3丁，「莫虛藪革蒞5「益7二二

21.（2024?上海奉賢?三模）復數3+2i的虛部是.

22.（2024?上海虹口?一模）己知非零復數z滿足|2-1|=1,歸-i|=l,貝心的虛部為

題型7復數的運算

―72024.上看蔽二J廠&1選金薪j益二逼;?/二藥’算策虛數，則實數m的值為

24.（2024?上海?模擬預測）已知方程x2-2x+p=0（peR）的一個根是1+Gz，（i是虛數單位），貝1］。=

25.（2024?上海?模擬預測）復數z=貝lJzO=____.

3+41

題型8集合新定義

元癡王海籥要三置T加桌二不菲圣藁吝石王死父亍二不送會;丁精豆而下桂族:麗痂萬親手送豆;商

成一個群.

（1）封閉性，即對于任意的”,bwG,有。*6cG；

（2）結合律，即對于任意的a,6,ceG,有（a*b）*c=a*（b*c）；

（3）對于任意的a,6eG,方程x*a=b與。*y=。在G中都有解.

例如，整數集Z關于整數的加法（+）構成群，因為任意兩個整數的和還是整數，且滿足加法結合律，對

于任意的所Z,方程尤+a=6與＞=6都有整數解；而實數集R關于實數的乘法（x）不構成群，因為

方程Oxy=1沒有實數解.

以下關于"群"的真命題有（）

①自然數集N關于自然數的加法（+）構成群；

②有理數集Q關于有理數的乘法（x）構成群；

③平面向量集關于向量的數量積「）構成群；

④復數集C關于復數的加法（+）構成群.

A.0個；B.1個；C.2個；D.3個.

27.（2023?上海徐匯?三模）對任意數集A={q,%,/},滿足表達式為y=爐+/一工一1且值域為A的函數個

數為P.記所有可能的P的值組成集合8,則集合5中元素之和為.

28.（24-25高三上?上海?期中）設4={0,1},集合。={（%,科…,0J%，尤2,…，尤3“eA},對于。中的任意兩

個兀素a=（3,％2,…，“384）、尸=（%，%，''、/84），定乂

%

a*?=（占+%-芭%）+（尤?+%—^2y2）+…+（%384+為84-384%84），設“、VGQ,若"*a+v*v=384,則a*v

的最小值為.

題型9復數與其它知識綜合

29.（2024二海襄賢.一超還直,而1,。建春前誦，我Z=i（T-藥,z?=12+WiJ應由/有別有Z「Z2,

其中i為虛數單位，則鬲，區的大小為.

30.（2024?上海楊浦?一模）已知實數。>0,i是虛數單位，設集合A=1z|z=w+：,|M>l,weC,zec1,集

合3=同2-1+胃=4,2€€：｝,如果3=貝!的取值范圍為.

題型10命題與其它知識綜合

￡「一益蕩’王藩蔡己三隹V三贏下二瀛7客運看日茬三茬其a近訪承6訪袤前：…

AB=AC=2y/2,ABAC=90-,二面角尸—3C-A的大小為45。，則對以下兩個命題，判斷正確的是（）

①三棱錐。-ABC的體積為:；②點尸形成的軌跡長度為2#兀.

A.①②都是真命題

B.①是真命題，②是假命題

C.①是假命題，②是真命題

D.①②都是假命題

32.（2024?上海?模擬預測）定義一個集合O,集合中的元素是空間內的點集，任取6鳥,鳥€。，存在不全

為。的實數4,4,4，使得4礪1+4涯1+4砥=6.已知（i,o,o）e。，則（o,o,i）任。的充分條件是（）

A.（0,0,0）e。B.（-1,0,0）€。

C.（0,1,0）eQD.（0,0,-l）eQ

33.（2024?上海?三模）在平面直角坐標系x°y中，雙曲線和、口的中心在原點，焦點都在x軸上，且口與

「2不重合.記口、L的離心率分別為，、%,貝「6=?2”是"「與心沒有公共點"的（）條件

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

34.（2024?上海閔行?二模）已知/（x）=sinx,集合「=｛（x,y）|2〃x）+/（y）=0,x,ye。｝,

Q=｛（x,y）|2/（x）+/（y）>0,x,yer>｝.關于下列兩個命題的判斷，說法正確的是（）

命題①：集合r表示的平面圖形是中心對稱圖形；

命題②：集合o表示的平面圖形的面積不大于苦.

A.①真命題；②假命題B.①假命題；②真命題

C.①真命題；②真命題D.①假命題；②假命題

35.（2024?上海浦東新?三模）"-2<x<2"是“k+2|+k-2區4”的（）條件

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

36.（2024?上海青浦,二模）若無窮數列｛%｝滿足：存在正整數T,使得=4對一切正整數〃成立，則稱｛%｝

是周期為T的周期數列.

⑴若a“=sin[&+g]（其中正整數機為常數，〃eN,〃Nl）,判斷數列｛。“｝是否為周期數列，并說明理由；

⑵若%=%+sina“（“eN,〃21）,判斷數列｛七｝是否為周期數列，并說明理由；

⑶設也｝是無窮數列，已知。用=4+sin4（"eN,〃Nl）.求證："存在使得｛6｝是周期數列”的充要條件

是"仍“｝是周期數列

37.（2024?上海松江?二模）設S”為數列｛%｝的前”項和，有以下兩個命題：①若｛%｝是公差不為零的等差

數列且丘N,左22,則卯$2…$21=0是勺出??q=。的必要非充分條件；②若｛%｝是等比數列且左eN,

k>2,則S「邑…又=。的充要條件是4+%+1=。.那么（）

A.①是真命題，②是假命題B.①是假命題，②是真命題

C.①、②都是真命題D.①、②都是假命題

38.（2024?上海?模擬預測）已知數列｛4｝不是常數列，前，項和為S“，且4>0.若對任意正整數力，存在

正整數加，使得寓,則稱｛。"｝是"可控數列現給出兩個命題：①存在等差數列｛4｝是"可控數列"；

②存在等比數列｛%｝是"可控數列則下列判斷正確的是（）

A.①與②均為真命題B.①與②均為假命題

C.①為真命題，②為假命題D.①為假命題，②為真命題

39.（2024?上海虹口?一模）設數列｛%｝的前四項分別為4、的、%、&，對于以下兩個命題，說法正確的是

（）.

①存在等比數列｛4｝以及銳角a,使｛sina,cosa,tana｝=｛4,a2，%｝成立.

②對任意等差數列｛4｝以及銳角a,均不能使椀1名（：05（//011（/,￡：0匕｝=｛%,%,。344｝成立.

A.①是真命題，②是真命題B.①是真命題，②是假命題

C.①是假命題，②是真命題D.①是假命題，②是假命題

40.（2024?上海青浦?一模）對于數列｛4｝,設數列｛4｝的前?項和為S,,給出下列兩個命題:①存在函

數y=/（x），使得S“=于（%）:②存在函數y=g（x）,使得〃=,則①是②的（）.

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

41.（2024?上海徐匯?一模）已知數列｛《,｝的前〃項和為S,,,設。=&（〃為正整數）.若存在常數使得

n

任意兩兩不相等的正整數i,上左，都有[-/）&+（/-左兌+（左-九.=c,則稱數列｛%｝為“輪換均值數列".現有

下列兩個命題：①任意等差數列｛%｝都是"輪換均值數列”.②存在公比不為1的等比數列也,｝是"輪換均值

數列”.則下列說法正確的是（）

A.①是真命題，②是假命題

B.①是假命題，②是真命題

C.①、②都是真命題

D.①、②都是假命題

題型11集合與其它知識綜合

42.（2024?上海?三模）設集合U=標,刈尤2+/70,%€11,丫€可，點/3的坐標為（無丫），滿足"對任意36）€（7,

都有依+到+向一僅配4+尸〃的點尸構成的圖形為Q,滿足"存在（a,b）eU,使得

|亦+力|+向-知的點P構成的圖形為對于下述兩個結論：①R為正方形以及該正方形內

部區域；②5的面積大于32.以下說法正確的為（）.

A.①、②都正確B.①正確，②不正確

C.①不正確，②正確D.①、②都不正確

43.（2024?上海?三模）設集合A=｛l,a,b｝,集合3=，卜孫+十，尤,yeA,xwj,對于集合8有

下列兩個結論：①存在a和6,使得集合B中恰有5個元素；②存在a和b,使得集合B中恰有4個元素.則

下列判斷正確的是（）

A.①②都正確B.①②都錯誤C.①錯誤，②正確D.①正確，②錯誤

44.（2024?上海奉賢一模）己知集合Af=｛用，片…,￡｝,〃22,力€]\[是由函數丁=88%,彳€[0,2句的圖象上

兩兩不相同的點構成的點集，集合5=回。=函?而"=0,1,2,…,〃，心2,"Nj,其中《（0,1）、^（71,-1）.若

集合S中的元素按照從小到大的順序排列能構成公差為d的等差數列，當de時，則符合條件的點集M

的個數為.

限時提升練

一、單選題

1.（2024?上海靜安?一模）設a/cR,貝〃a+6>0"是"a>0且6>0”的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分又非必要條件

2.（2024?上海虹口?一模）已知ae（0,7i）,貝『'sin（兀-a）=："是"cose=""的（）條件.

A.充要B.充分非必要C.必要非充分D.既非充分又非必要

3.（24-25高三上?上海,期中）設定義域為。的兩個函數/（x）,g（x）,其值域依次是可和給出下列

四個命題：

①"a>d"是"/&）>g?）對任意士,％e。恒成立"的充要條件；

②"a>d"是"）>g（%）對任意占,％eD恒成立”的充分不必要條件；

③"a>d"是叮⑴>g（x）對任意xe。恒成立”的充要條件；

@"a>d"是b3>g（x）對任意xe。恒成立”的充分不必要條件；

下列選項中正確的是（）

A.①③B.②③C.①④D.②④

4.（24-25高三上?上海?期中）己知集合”=｛（x,y）ly=〃x）｝,若對于任意實數對（和存在

（x2,^2）eM,使占毛+%%=。成立，則稱集合M是"垂直對點集".給出下列四個集合：

②“二限刈產晦耳；

=\^x,y）\y=2x-2\

④M=｛（x,y）|y=sinx+1｝；

其中是"垂直對點集"的序號的個數為（）

A.0B.1C.2D.3

5.（24-25高三上?上海寶山?開學考試）群論，是代數學的分支學科，在抽象代數中.有重要地位，且群論的

研究方法也對抽象代數的其他分支有重要影響，例如一般一元五次及以上的方程沒有根式解就可以用群論

知識證明.群的概念則是群論中最基本的概念之一，其定義如下：設G是一個非空集合，"."是G上的一個代

數運算，如果該運算滿足以下條件：

①對任意的",beG,有aSwG；

②對任意的a,4ceG,有（a.b>c=a-（6.c）；

③存在eeG,使得對任意的aeG,有e-a=a-e=a,e稱為單位元；

④對任意的aeG,存在6eG,使=稱。與6互為逆元.

則稱G關于新構成一個群.則下列說法正確的有（）

A.G=｛0,1,2｝關于數的乘法構成群

B.自然數集N關于數的加法構成群

C.實數集R關于數的乘法構成群

D.G={a+&6|a,beZ}關于數的加法構成群

6.（24-25高三上?上海?階段練習）若非空實數集X中存在最大元素M和最小元素加，則記A（X）=M-

下列命題中正確的是（）

A.已知X={-l,l},y={0/},且A（x）=A（y）,則。=2

B.已知X=H〃尤）2g（x）,尤目-1,1]},若A（x）=2,則對任意都有〃x）?g（x）

C.已知X=[a,a+2],Y={y|y=d,尤ex},則存在實數a,使得A（F）＜1

D.已知X=[a,a+2],Y=[b,b+3],則對任意的實數。，總存在實數6,使得A（XuY）=3

7.（22-23高三上?上海徐匯?期中）對正整數〃，記（={1,2,3,…,〃}記=[戈|加e/“，心若匕的子集A中

任意兩個元素之和不是整數的平方，則稱A為"破曉集".那么使匕能分成兩個不相交的破曉集的并集時，〃

的最大值是（）

A.13B.14C.15D.16

二、填空題

8.（2024?上海?模擬預測）對于復數z=l+2i（i是虛數單位），Imz=.

9.（2024?上海?模擬預測）己知集合4=卜1六＜。1,B={-1,0,1）,則4口3=.

10.（2024?上海?三模）已知全集。=11,集合A=同龍2-2.―3＞。},貝l],=.

7—

11.（2024?上海普陀?模擬預測）對于復數不一=i（i是虛數單位），則ImW=.

12.（2024?上海寶山?一模）設i為虛數單位，若3-2）+（2々-1＞為純虛數，則實數。=.

13.（2024?上海徐匯?一模）已知陰，〃為空間中兩條不同的直線，44為兩個不同的平面，若mu%c=〃，

則就/〃是加〃〃的條件.（填："充分非必要"、"必要非充分"、"充要"、"既非充分又非必要”中的一

個）

14.（2024?上海?模擬預測）若集合4={#=1082》},3=＜yy=g）",則4口3=.

15.（2024?上海靜安?二模）已知i是虛數單位，復數z=g一是純虛數，則實數機的值為.

16.（2024?上海普陀?二模）設等比數列{%}的公比為q（〃NL〃eN）,貝廣12電，%，2%成等差數歹！J"的一個

充分非必要條件是.

2

17.（2024?上海?模擬預測）已知虛數z,其實部為1,且z+—=m（加eR）,則實數機為.

Z

18.（2024?上海長寧?一模）已知￡：2工+題2》42,/：彳＜7",若。是夕的充分條件，則實數機的取值范圍

是.

19.（2024?上海徐匯?一模）已知復數4和復數Z2滿足z+z2=3+4iZ-言=-2+i（i為虛數單位），貝U

片-#.

20.（2024?上海?三模）已知集合4=｛尤|y=）口-1｝,8=｛尤|y=lg（2-x）｝則4=3=.

21.（24-25高三上?上海?期中）設A，4,A3,L,4是均含有2個元素的集合，且Ac4=0,

4nA+i=0（?=1,2,3,---,6）,記2=…口4，則8中元素個數的最小值是.

22.（22-23高三上?上海浦東新?開學考試）對開區間/=（。8），定義|/|=6-。，當實數集合M為〃段（〃為

正整數）互不相交的開區間人/”…、/”的并集時，定義1加1=￡%］，若對任意上述形式的（0,2乃）的子集A,

k=\

總存在此Z,使得A訓4其中A*=,x|xeA,|tan"小〈四-1,,則X的最大值為.

三、解答題

23.（23-24高三上,上海?開學考試）已知集合A=｛q,%，…，a“｝中的〃個元素都是正整數（">2,〃eN）,

且4若對任意的x，yeA,且尤力y,都有則稱集合A具有性質M.

（1）判斷集合人=｛1,2,3,4｝是否具有性質M,并說明理由；

11n-1

⑵已知集合A具有性質求證：------2不-；

%an25

⑶已知集合A具有性質求集合A中元素個數的最大值，并說明理由.

熱點01集合、邏輯、復數

明考情-知方向

三年考情分析2025考向預測

集合相等、元素與集合關系的判斷、集合的交集、補集，元素與集合關系的判斷、集合綜合

充要條件與函數綜合，集合與直線和圓綜合。復數的運算，題、共甄復習

共輾復數，復數的三角形式以及三角恒等變換

熱點題型解讀

避1集合的概^與表示方法

［轆7復數的卜、/

\/y［題型2集合間的基本關系

醒8■新定Z卜、\/

____________〃^■［遵3集合的

題型9復數與其它知t畸合集合、邏輯、復數

~r~7------------J［迎4摒爆數

題型10命題與其它知識綜合卜//\\

/\遜5復數的模

題型11集合與其它知/\

題型6復數的虛部

題型1集合的概念與表示方法

工-益耘i：王漁蔽三穆廠用國巔工箭滑函函晟的童苔為二Z7”

【答案】｛紅,黃｝;

【知識點】列舉法表示集合

【分析】根據集合的定義即可求解.

【詳解】中國國旗上所有顏色組成的集合為｛紅,黃｝.

故答案為：｛紅，黃｝.

2.（2024?上海寶山?二模）已知集合4=｛2,卜+1"+3｝,且leA,則實數。的值為.

【答案】0

【知識點】根據元素與集合的關系求參數

【分析】根據給定條件，利用元素與集合的關系，結合集合元素的性質求解即得.

【詳解】由集合A={2,|a+l|,a+3},且IwA,得|。+1|=1或a+3=l,解得。=0或。=-2,

當a=0時，A={2,1,3},符合題意，

當。=-2時，=1且。+3=1,與集合元素的互異性矛盾，

所以實數。的值為0.

故答案為：0

題型2集合間的基本關系

3.（2024?上海楊浦?一模）已知集合&={。力},則A的子集個數為.

【答案】4

【知識點】判斷集合的子集（真子集）的個數

【分析】利用子集概念列舉出即可得到答案.

【詳解】集合4={。，此則集合A的子集有：0,{a},{b},{a,b}

所以集合A的子集個數有4個.

故答案為：4.

4.（2024?上海嘉定二模）若規定集合E={0,1,2,……上}的子集…為E的第k個子集,其中

k=2a'+2吆+2%+……+2%,則E的第211個子集是.

【答案】{0,14,6,7}

【知識點】集合新定義、求集合的子集（真子集）

【分析】正確理解k的含義，左=211時，即要先求出滿足2"<211,2向>211的”=7,即E的第211個子集

應含有的元素，計算出211-27=83,再要求滿足冬<83,2向>83的〃=6,即E的第211個子集應含有的元

素，如此類推即得.

【詳解】H27=128<211,28=256>211,則E的第211個子集必包含7,此時211-128=83；

又因2,=64<83,27=128>83,則E的第211個子集必包含6,此時83-64=19；

又2*=16<19,25=32>19,則E的第211個子集必包含%此時19-16=3；

又2i=2<3,2?=4>3,則E的第211個子集必包含1；而2°=L

綜上所述，E的第211個子集是{0,1,4,6,7}.

故答案為：{0』,4,6,7}.

5.（2024?上海?模擬預測）考慮{x|0<x<12,xeN）的非空子集B,滿足8中的元素個數等于B中的最小元素，

例如，3={4,6,8,11}就滿足此條件.則這樣的子集B共有個.

【答案】144

【知識點】集合新定義、組合數的計算

【分析】由題意，。e3,且集合8中的最小元素不能大于6,再根據集合8中的最小元素進行討論，即可

得解.

【詳解】由題意，。e3,且集合8中的最小元素不能大于6,

當集合8中的最小元素1時，這個的集合B只有{1}這1個，

當集合2中的最小元素2時，這個的集合B有C；。=10個，

當集合2中的最小元素3時，這個的集合3有C：=36個，

當集合8中的最小元素4時，這個的集合B有C；=56個，

當集合2中的最小元素5時，這個的集合B有C；=35個，

當集合8中的最小元素6時，這個的集合B有C,=6個，

所以滿足題意的子集B共有1+10+36+56+35+6=144個.

故答案為：144.

題型3集合的運算

6.(2024?工看三而已而藁合尸=h,2}',2={1,3},M={x|xe尸嬴eQ},貝i|M=()

A.{1}B.{2}C.{3}D.{1,2,3)

【答案】D

【知識點】并集的概念及運算

【分析】根據給定條件，利用并集的意義求出M即得.

【詳解】集合尸={1,2},2={1,3},M={x|xe尸或xeQ},

所以M={1,2,3}.

故選：D

7.(2024?上海?三模)已知集合A={1,3,4},B={a,a+1},若=則”.

【答案】3

【知識點】根據交集結果求集合或參數、根據集合的包含關系求參數

【分析】根據給定條件，利用交集的結果直接列式計算即得.

【詳解】集合A={1,3,4},B={a,a+\],由=得5=A,又°+1-4=1,

fa+1=4

因此，o，所以。=3.

[a=3

故答案為：3

8.(2024?上海虹口?二模)已知集合人={沖小四＜0},3=卜土2W0卜貝！jAp|6=.

【答案】

【知識點】分式不等式、解正切不等式、交集的概念及運算

【分析】先求出集合A8,再根據交集的定義即可得解.

【詳解】A={x|tanx<0}+kji<x<kit,ksZ

所以Ac3=［唱<xW2

故答案為：1%l-f<%-21

9.（2024?上海三模）若集合A={0,2,4},B={1,2,3},則4叱

【答案】{04,2,3,4}；

【知識點】并集的概念及運算

【分析】根據集合并集的定義即可求解.

【詳解】由集合的并集定義可得，因為&={。,2,4},B={1,2,3},

所以AU3={0，L2,3,4},

故答案為：{0』,2,3,4}.

10.（2024?上海?模擬預測）設全集U={1,2,3,4,5},集合A={2,4},則了=.

【答案】{1,3,5}

【知識點】補集的概念及運算

【分析】根據補集的定義可求X.

【詳解】由題設有/={1,3,5},

故答案為:{1,3,5}

11.（2024?上海金海二模）已知集合Af={1,3,5,7,9},N={x|2，=8},則加改=

【答案】{3}

【知識點】簡單的指數方程、交集的概念及運算

【分析】計算出集合N后，利用交集定義即可得.

【詳解】由雙={*|2，=8}={3},故McN={3}.

故答案為：{3}.

12.(2024?上海浦東新?三模)已知全集。=1<,集合&=卜|尤2-3元+22。},則才=.

【答案】(1,2)

【知識點】解不含參數的一元二次不等式、補集的概念及運算

【分析】先求出集合A,然后結合集合的補集運算即可求解.

【詳解】,.1U=R,4=-3x+220}={x|xN2或x'l},

則印=(1,2).

故答案為：(1,2).

13.(2024?上海?模擬預測)設集合A=卜卜=J-峰+44，3={xRogs(x-l)<1},則403=.

【答案】(1,2]

【知識點】由對數函數的單調性解不等式、交集的概念及運算

【分析】求y=J-d+4x的值域得到集合A,解不等式log3(x-l)<l得到集合5,再求交集即可.

【詳解】當尤=2時，-尤2+以有最大值4,所以—d+4xe[0,4],

y=J-尤2+4xe[0,2],所以A=[0,2],

log?(x-1)<1等價于log3(x-l)<log33,貝！]0<x-1<3,

xe(l,4),所以3=(1,4),故An3=(l,2].

故答案為：(1,2].

14.(2024?上海?三模)己知集合&={刈工一1|<1},B=則Ap3=.

【答案】。,2)

【知識點】幾何意義解絕對值不等式、分式不等式、交集的概念及運算

【分析】首先解絕對值不等式與分式不等式求出集合A、B,再根據交集的定義計算可得.

【詳解】由|尤-1|<1,BP-1<X-1<1,解得0<x<2,

所以A={X|x_q<l}={x[0<x<2},

由上<1,即」<0,等價于(1—%)工<0,解得了>1或1<0,

xx

所以B=,/<1，=(一8,0)“1,+8),

所以Ac3=(l,2).

故答案為：(1,2)

題型4共輾復數

石…，石五王濠訪二稹廠巨訪夏藪；莉二/許莉蕭注定褊的鬼"屋…廠’

A.z+彳一定是實數B.z—彳一定是虛數

C.若z+三=0,則z是純虛數D.若z—5=0,貝”是純虛數

【答案】A

【知識點】共軌復數的概念及計算、根據復數加減運算結果求復數特征

【分析】根據復數的加減法，結合虛數和純虛數的定義即可逐一求解.

【詳解】設z=a+歷，"aeR,貝！|』=a-歷,故2+彳=2。為實數，故A正確，

對于B,z-z=2bi,當6=0時，此時z-2為實數，故B錯誤，

對于C,z+彳=2“=0,貝!|。=0,當8=0時，止匕時z為實數，C錯誤,

對于D,z-z=2bi=0,貝防=0,則z是實數，故D錯誤，

故選：A

16.（2024?上海長寧?二模）設zeC,則"z=J'是"zwR"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【知識點】共軌復數的概念及計算、充要條件的證明

【分析】由充分條件和必要條件的定義結合復數的定義求解即可.

【詳解】設z=a+歷，則z=a-歷，

由z=W可得6=。，所以z=aeR,充分性成立，

當zeR時，即z=a,貝!Jz=a，滿足z=z,

故"z=W"是"ZcR"的充要條件.

故選：C.

17.（2024?上海青浦?一模）在復平面內，復數z=l+gi（其中i是虛數單位）的共輾復數對應的點位于

第一象限.

【答案】四

【知識點】共軌復數的概念及計算、判斷復數對應的點所在的象限

【分析】求出復數的共軌復數即可得解.

【詳解】因為z=l+2i,

所以彳=l-；i,

所以復數N對應的點在第四象限.

故答案為：四

題型5復數的模

18.（2024?上海?三模）設復數z=2i（2+i）,則|z|=.

【答案】2君

【知識點】復數代數形式的乘法運算、求復數的模

【分析】根據復數的乘法運算可得z=-2+4i,結合復數的幾何意義計算即可求解.

【詳解】由題意知，z=2i（2+i）=4i-2=-2+4i,

所以同=J（-2y+4。=2靖.

故答案為：2百

19.（2024?上海?三模）已知復數z=-3+4i（i是虛數單位），則|z卜

【答案】5

【知識點】求復數的模

【分析】直接利用復數的模的公式求解

【詳解】因為復數z=-3+4i,所以目=疹百=5,

故答案為：5

題型6復數的實部與虛部

56：7元五:王窟三鹿T君芋直藪!富；3Tz翼展藪簞應二二

【答案】2

【知識點】求復數的實部與虛部

【分析】根據給定條件，直接求出復數的虛部即得.

【詳解】復數Z=l+2z.的虛部為2,所以Imz=2.

故答案為：2

21.（2024?上海奉賢?三模）復數3+2i的虛部是.

【答案】2

【知識點】求復數的實部與虛部

【分析】根據復數虛部的定義即可得解

【詳解】復數3+2i的虛部是2.

故答案為：2.

22.（2024?上海虹口?一模）己知非零復數z滿足==貝心的虛部為

【答案】-1

【知識點】由復數模求參數、共朝復數的概念及計算

【分析】設2=。+歷（abwO）,根據復數的模得到方程組，解得即可.

【詳解】設2=。+歷（abwO）,則]=a_bi，

因為|z-l|=l,|z-i|=l,所以＜?“一毯+￡；1,解得I："或[：=：（舍去）,

荷+（_-以=1[b=-l[b=0

所以z=l—i,貝!|z的虛部為_1.

故答案為：—1

題型7復數的運算

23.（2024?上海蕃安.一藤）已知i是虛薪津位，iw+ij[-2i）是純虛薪，則實薪機的值另.

【答案】-2

【知識點】已知復數的類型求參數、復數代數形式的乘法運算

【分析】根據復數的乘法運算和復數分類即可得到答案.

【詳解】（m+i）（l—2i）=〃7+2+（l-2m）i,

因為其為純虛數，則〃?+2=0且1-2切/0,解得根=一2.

故答案為：-2.

24.（2024?上海?模擬預測）已知方程/"x+puOlpeR）的一個根是1+后（i是虛數單位），則。=

【答案】4

【知識點】復數范圍內方程的根、復數代數形式的乘法運算

【分析】根據一元二次方程的復數根互為共鈍復數，再利用韋達定理結合復數的chengfa運算即可得解.

【詳解】因為方程f-2x+p=0（peR）的一個根是l+

則方程尤2—2x+p=0（peR）的另一個根是1_/,

所以（1+后）（1一曲）=0,所以p=4.

故答案為：4.

25.（2。24?上海?模擬預測）復數3貴,則z.口一

【答案】|/0.2

【知識點】共輾復數的概念及計算、復數的除法運算、復數代數形式的乘法運算

【分析】先利用復數的除法運算化簡z,再利用復數的乘法計算即可.

l+2i_（l+2i）（3-4i）_H+2i_112.

【詳解】z=--_------_--==+=1，

3+4i（3+4i）（3-4i）252525

-fll2,Y112A12141251

z?z=----1----1----------1=------1------=-----=—

（2525人2525）6256256255

故答案為：—

題型8集合新定義

26.（石亢:王海靜安.三置T礴二不菲里森節工運艾亍二不港;丁福京笳干桂版;而森4妾于演*構

成一個群.

（1）封閉性，即對于任意的a,》wG,有a*〃eG；

（2）結合律，即對于任意的a,6,ceG,有（a*b）*c=a*（b*c）；

（3）對于任意的dbcG,方程x*a=b與。*y=6在G中都有解.

例如，整數集Z關于整數的加法（+）構成群，因為任意兩個整數的和還是整數，且滿足加法結合律，對

于任意的析Z,方程尤+。=6與>=6都有整數解；而實數集R關于實數的乘法（x）不構成群，因為

方程Oxy=1沒有實數解.

以下關于"群"的真命題有（）

①自然數集N關于自然數的加法（+）構成群；

②有理數集Q關于有理數的乘法（x）構成群；

③平面向量集關于向量的數量積「）構成群；

④復數集C關于復數的加法（+）構成群.

A.0個；B.1個；C.2個；D.3個.

【答案】B

【知識點】集合新定義

【分析】根據群的定義需滿足的三個條件逐一判斷即可.

【詳解】對于①，*+3=2,在自然數集中無解，錯誤；

對于②，Oxy=l,在有理數集中無解，錯誤；

對于③，75是一個數量，不屬于平面向量集，錯誤；

對于④，因為任意兩個復數的和還是復數，且滿足加法結合律，

且對任意的a,6eC,方程x+a=6與“+y=b有復數解，正確.

故選：B

【點睛】關鍵點點睛：本題考查新定義，解題關鍵是理解新定義，用新定義解題.解題方法是根據新定義的

3個條件進行驗證，注意實數或復數運算的運算律與新定義中運算的聯系可以很快得出結論.

27.（2023?上海徐匯?三模）對任意數集4={4%嗎},滿足表達式為>一工一1且值域為A的函數個

數為P.記所有可能的P的值組成集合8,則集合5中元素之和為.

【答案】643

【分析】根據給定條件，探討函數，=三+/-X-1的性質并作出圖象，求出集合2,進而求得答案作答.

【詳解】=3x2+2x-1=(x+l)(3x-1),當x<-l或時，/>0,當一l<x<|■時，y'<0,

即函數y=尤3+尤2-1在(-oo,-l),(”)上單調遞增，在(W)上單調遞減，

132

當x=-l時，函數》=丁+/_犬-1取得極大值0,當x=§時，該函數取得極小值一力，圖象如圖:

觀察圖象知，當y=q?=L2,3)與圖像有一個公共點時，相應的x有1種取法;

當y=a,(i=l,2,3)與圖像有兩個公共點時，相應的x有2?-1=3種取法；

當y=q(i=1,2,3)與圖像有三