PAGE1（北師大版）七年級下冊數(shù)學《第3章概率的初步》知識點一知識點一感受可能性隨機事件：在一定條件下進行可重復試驗時，有些事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，這樣的事件稱為隨機事件.不可能事件：在一定條件下進行可重復試驗時，有些事件一定不會發(fā)生，這樣的事件稱為不可能事件.必然事件：在一定條件下進行可重復試驗時，有些事件一定會發(fā)生，這樣的事件稱為必然事件.◆一般地，描述真理或客觀存在的事實的事件是必然事件；描述違背真理或客觀存在的事實的事件是不可能事件.知識點知識點二事件發(fā)生的可能性的大小◆1.隨機事件發(fā)生的可能性是有大小的；◆2.不同的隨機事件發(fā)生的可能性的大小有可能相同.◆3.要比較隨機事件的可能性大小，可以按如下步驟進行：(1)確定：明確“決定不同隨機事件發(fā)生的要素”；(2)計算：計算每一個要素的數(shù)量；(3)結論：比較數(shù)量的多少，判斷可能性的大小.知識點知識點三頻率及其穩(wěn)定性◆1.頻率反映了事件發(fā)生的頻繁程度◆2.頻率越大，該事件發(fā)生越頻繁，這就意味著該事件發(fā)生的可能性也越大，因此，在大量重復試驗的條件下，頻率可以用來近似地表示該事件發(fā)生的可能性的大小.◆3.一般地，在大量重復的試驗中，一個隨機事件發(fā)生的頻率會在某一個常數(shù)附近擺動，這個性質稱為頻率的穩(wěn)定性.◆4.頻率反映了該事件發(fā)生的頻繁程度，頻率越大，該事件發(fā)生越頻繁，這就意味著該事件發(fā)生的可能性也越大，因而，我們就用這個常數(shù)來表示該事件發(fā)生的可能性的大小.知識點知識點四用隨機事件的頻率估計概率◆1、概率的定義一般地，對于一個隨機事件A，我們把刻畫其發(fā)生可能性大小的數(shù)值，稱為隨機事件A發(fā)生的概率，記為P(A)．◆2、一般地，在大量重復的試驗中，我們可以用事件A發(fā)生的頻率來估計事件A發(fā)生的概率.注意：每次試驗必須在相同條件下進行，試驗次數(shù)越大，得到的頻率就越接近概率，規(guī)律就越明顯，此時可以用頻率的穩(wěn)定值估計事件發(fā)生的概率．但試驗次數(shù)較小時，事件A發(fā)生的頻率不能用來估計事件A發(fā)生的概率．知識知識五等可能事件的概率◆1、設一個試驗的所有可能的結果有n種，每次試驗有且只有其中的一種結果出現(xiàn).如果每種結果出現(xiàn)的可能性相同，那么我們就稱這個試驗的結果是等可能的.◆2、等可能事件的兩個基本特點：有限性、等可能性.◆3、概率的計算一般地，在一次試驗中，如果共有有限個可能發(fā)生的結果，并且每種結果發(fā)生的可能性都相等，用m表示一個指定事件A包含的結果數(shù)，n表示試驗可能出現(xiàn)的所有結果的總數(shù)，那么事件A發(fā)生的概率可利用下面的公式計算：P(A)=mn◆4、概率的范圍當事件A是必然事件時，P(A)=1；當事件A是不可能事件時，P(A)=0；當事件A隨機事件時，0＜P(A)＜1總結：（1）任何事件A發(fā)生的概率P(A)都是0和1之間(包括0和1)的數(shù)，即0≤P(A)≤1（2）事件發(fā)生的可能性越大，它的概率越接近1；反之，事件發(fā)生的可能性越小，它的概率越接近0.◆5、求概率的一般步驟：1.先列舉出所有等可能出現(xiàn)的總結果數(shù)n；2.再列舉出所求事件可能出現(xiàn)的結果數(shù)m；3.求所求結果數(shù)與總結果數(shù)之比.題型一判斷事件的類型解題技巧提煉隨機事件：在一定條件下進行可重復試驗時，有些事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，這樣的事件稱為隨機事件.不可能事件：在一定條件下進行可重復試驗時，有些事件一定不會發(fā)生，這樣的事件稱為不可能事件.必然事件：在一定條件下進行可重復試驗時，有些事件一定會發(fā)生，這樣的事件稱為必然事件.1．（2025?順城區(qū)模擬）下列事件中，屬于必然事件的是（）A．任意畫一個三角形，其外角和是360° B．打開電視，正在播放跳水比賽 C．經過有交通信號的路口時遇見綠燈 D．若a＞b，則ac＞bc【分析】根據(jù)必然事件的定義逐項判斷即可求解．【解答】解：A、任意畫一個三角形，其外角和是360°，是必然事件，選項說法正確，符合題意；B、打開電視，正在播放跳水比賽，是隨機事件，選項說法錯誤，不符合題意；C、經過有交通信號的路口時遇見綠燈，是隨機事件，選項說法錯誤，不符合題意；D、若a＞b，當c＞0時，則ac＞bc；當c＜0，則ac＜bc；當c＝0，則ac＝bc，∴該選項事件是隨機事件，選項說法錯誤，不符合題意；故選：A．【點評】本題考查了必然事件，掌握三角形的外角和定理、不等式的性質是解題的關鍵．2．（2024春?海州區(qū)期末）下列事件中，是不可能事件的是（）A．明天會下雨 B．淋雨會感冒 C．明天太陽從西方升起 D．注射青霉素會過敏【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷即可．【解答】解：A、“明天會下雨”是隨機事件，不符合題意；B、“淋雨會感冒”是隨機事件，不符合題意；C、“明天太陽從西方升起”是不可能事件，符合題意；D、“注射青霉素會過敏”是隨機事件，不符合題意；故選：C．【點評】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．3．（2024秋?魏縣期末）下列事件不屬于隨機事件的是（）A．打開電視正在播放新聞聯(lián)播 B．某人騎車經過十字路口時遇到紅燈 C．拋擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面朝上 D．若今天星期一，則明天是星期二【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷即可．【解答】解：A、打開電視正在播放新聞聯(lián)播是隨機事件；B、某人騎車經過十字路口時遇到紅燈是隨機事件；C、拋擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面朝上是隨機事件；D、若今天星期一，則明天是星期二是必然事件；故選：D．【點評】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．4．（2024秋?惠州期末）下列詩句所描述的事件中，是不可能事件的是（）A．手可摘星辰 B．黃河入海流 C．大漠孤煙直 D．魚戲蓮葉東【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷相應事件的類型即可．【解答】解：A、手可摘星辰是不可能事件，符合題意；B、黃河入海流是必然事件，不符合題意；C、大漠孤煙直是隨機事件，不符合題意；D、魚戲蓮葉東是隨機事件，不符合題意；故選：A．【點評】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．5．（2024春?歷城區(qū)期末）下列事件屬于必然事件的是（）A．負數(shù)大于正數(shù) B．經過紅綠燈路口，遇到紅燈 C．拋擲硬幣時，正面朝上 D．任意畫一個三角形，其內角和是180°【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷即可．【解答】解：A、負數(shù)大于正數(shù)，是不可能事件，不符合題意；B、經過紅綠燈路口，遇到紅燈，是隨機事件，不符合題意；C、拋擲硬幣，正面朝上，是隨機事件，不符合題意；D、任意畫一個三角形，其內角和是180°，是必然事件，符合題意，故選：D．【點評】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念，熟知必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件；不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件；不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件是解題的關鍵．6．（2024春?寶安區(qū)校級期末）下列事件：（1）陰天會下雨；（2）隨機擲一枚均勻的硬幣，正面朝上；（3）12名同學中有兩人的出生月份相同；（4）2021年奧運會在東京舉行，其中不確定事件有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)隨機事件，必然事件，不可能事件的特點，即可解答．【解答】解：（1）陰天會下雨，是隨機事件，屬于不確定事件；（2）隨機擲一枚均勻的硬幣，正面朝上，是隨機事件，屬于不確定事件；（3）12名同學中有兩人的出生月份相同，是隨機事件，屬于不確定事件；（4）2021年奧運會在東京舉行，是必然事件，屬于確定事件，上列事件，其中不確定事件有3個，故選：C．【點評】本題考查了隨機事件，熟練掌握隨機事件，必然事件，不可能事件的特點是解題的關鍵．7．（2024春?紫金縣期末）在下列事件中，屬于隨機事件的個數(shù)為（）①標準大氣壓下，加熱到100℃時，水沸騰；②籃球隊員在罰球線上投籃一次，未投中；③擲一次骰子，向上一面的點數(shù)是6；④任意畫一個三角形，其內角和是360°；⑤經過有交通信號燈的路口時，遇到紅燈；⑥射擊運動員射擊一次，命中靶心．A．2 B．3 C．4 D．5【分析】結合選項中所給的事件，運用隨機事件的定義分析即可得到答案．【解答】解：①標準大氣壓下，加熱到100℃時，水沸騰，是必然事件，不符合題意；②籃球隊員在罰球線上投籃一次，未投中，是隨機事件，符合題意；③擲一次骰子，向上一面的點數(shù)是6，是隨機事件，符合題意；④任意畫一個三角形，其內角和是360°，是不可能事件，不符合題意；⑤經過有交通信號燈的路口時，遇到紅燈，是隨機事件，符合題意；⑥射擊運動員射擊一次，命中靶心，是隨機事件，符合題意．其中屬于隨機事件的個數(shù)是4個．故選：C．【點評】本題主要考查的是隨機事件的判定問題，掌握隨機事件指在一定條件下可能發(fā)生、可能不發(fā)生的事件，其概率介于0～1之間是關鍵．還考查了三角形內角和定理．題型二判段可能性的大小解題技巧提煉本題主要考查可能性的大小，解題的關鍵是掌握隨機事件發(fā)生的可能性（概率）的計算方法．1．（2024春?漣水縣校級月考）從一副撲克牌中任意抽取1張，則下列事件中發(fā)生的可能性最小的是（）A．這張牌是“A” B．這張牌是“紅心” C．這張牌是“大王” D．這張牌是“紅色的”【分析】分別求出抽出各種撲克的數(shù)量，即可比較出各種撲克的可能性大?。窘獯稹拷猓簭囊桓睋淇伺浦小癆”有4張，“紅心”有13張，“大王”有1張，“紅色的”有27張，∵27＞13＞4＞1，∴這張牌是，“大王”的可能性最小，故選：C．【點評】本題考查的是可能性大小的判斷，解決這類題目要注意具體情況具體對待．用到的知識點為：可能性等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．2．（2024秋?潼南區(qū)期末）不透明的袋子中有2個紅球、10個黃球，這些小球除顏色外無其他差別．隨機模取1個小球后放回，連續(xù)摸取5次，每次摸取到的都是黃球，下列說法正確的是（）A．第6次摸取到的一定是黃球 B．第6次摸取到的可能還是黃球 C．第6次摸取到的一定是紅球 D．第6次摸取到紅球的可能性更大【分析】根據(jù)可能性的大小求解即可．【解答】解：根據(jù)題意，第6次摸取到的球可能是黃球，也可能是紅球，由于黃球的個數(shù)明顯大于紅球，所以摸取到黃球的可能性更大，故選：B．【點評】本題主要考查可能性的大小，解題的關鍵是掌握隨機事件發(fā)生的可能性（概率）的計算方法．3．（2024?瑤海區(qū)一模）某路口紅綠燈的時間設置如下：直行綠燈40秒，左轉綠燈20秒，紅燈60秒，黃燈3秒．出租車經過該路口，遇到哪一種燈的可能性最大（）A．直行綠燈 B．左轉綠燈 C．紅燈 D．黃燈【分析】根據(jù)在這幾種燈中，每種燈時間的長短，即可得出答案．【解答】解：因為紅燈持續(xù)的時間最長，所以出租車經過該路口，遇到紅燈的可能性最大．故選：C．【點評】此題考查了可能性的大小，解決這類題目要注意具體情況具體對待，用到的知識點為：可能性等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．4．（2024?榕江縣校級二模）盒子里有10張卡片（除卡片正面上的圖片不一樣，其他都一樣），其中有6張卡片上印有黃果樹瀑布，3張卡片上印有梵凈山，1張卡片上印有西江千戶苗寨．小星從中隨機摸出一張卡片，準備去卡片上的地方游玩，則下列說法正確的是（）A．一定會去梵凈山 B．去黃果樹瀑布的可能性最大 C．不可能去西江千戶苗寨 D．去三個地方的可能性一樣【分析】直接根據(jù)概率公式解答即可．【解答】解：∵盒子里有10張卡片（除卡片正面上的圖片不一樣，其他都一樣），其中有6張卡片上印有黃果樹瀑布，3張卡片上印有梵凈山，1張卡片上印有西江千戶苗寨，∴隨機摸出一張卡片，準備去卡片上的地方游玩，去黃果樹瀑布的可能性是610去梵凈山的可能性是310去西江千戶苗寨的可能性是110∵610∴去黃果樹瀑布的可能性最大．故選：B．【點評】本題考查的是可能性的大小，熟記概率公式是解題的關鍵．5．（2024秋?江北區(qū)期末）從一個裝有6個紅球、4個藍球、2個白球和1個黑球的袋子中，隨機摸出一個球（除顏色外其余均同），下列事件中發(fā)生可能性最小的是（）A．摸出紅球 B．摸出藍球 C．摸出白球 D．摸出黑球【分析】找到個數(shù)最少的球即可確定正確的選項．【解答】解：∵所有的球中黑球最少，∴摸出黑球的可能性最小，故選：D．【點評】本題考查了可能性的大小，解題的關鍵是分別求得各個選項中事件發(fā)生的概率．6．（2024春?南京期末）下列選項中，發(fā)生可能性最大的是（）A．從一副撲克牌中任意抽取1張，這張牌是“大王” B．拋擲1枚質地均勻的骰子，向上一面的點數(shù)是偶數(shù) C．隨機調查1位青年，他是6月出生 D．一個不透明袋子中裝有1個紅球和2個黃球（除顏色外均相同），摸出一個球是黃球【分析】根據(jù)概率公式先求出各自的概率，然后進行比較，即可得出答案．【解答】解：A、從一副撲克牌中任意抽取1張，這張牌是“大王”的概率是154B、拋擲1枚質地均勻的骰子，向上一面的點數(shù)是偶數(shù)的概率是36C、隨機調查1位青年，他是6月出生的概率是112D、一個不透明袋子中裝有1個紅球和2個黃球（除顏色外均相同），摸出一個球是黃球的概率是23∵23∴發(fā)生可能性最大的是D．故選：D．【點評】此題考查了基本概率的計算及比較可能性大小，用到的知識點為：可能性等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．7．（2023?河北）有7張撲克牌如圖所示，將其打亂順序后，背面朝上放在桌面上，若從中隨機抽取一張，則抽到的花色可能性最大的是（）A．（黑桃） B．（紅心） C．（梅花） D．（方塊）【分析】根據(jù)概率公式分別求出各花色的概率判斷即可．【解答】解：∵抽到黑桃的概率為17，抽到紅心的概率為37，抽到梅花的概率為17∴抽到的花色可能性最大的是紅心，故選：B．【點評】本題考查了可能性的大小，熟練掌握概率公式是解題的關鍵．題型三由可能性的大小求值解題技巧提煉主要考查的是可能性大小，用到的知識點為：可能性等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比，從而求出對應的值．1．（2024?桃城區(qū)校級開學）在一個盒子中有形狀大小完全相同的10個紅球，8個綠球，和一些黑球，每次從中拿出一個球，結果拿出綠球的可能性小于13A．6 B．7 C．8 D．無法確定【分析】先求出摸出綠球的可能性恰好為13時球的總個數(shù)為24個，那么當每次從中拿出一個球，結果拿出綠球的可能性小于1【解答】解：∵8÷1∵每次從中拿出一個球，結果拿出綠球的可能性小于13∴當球的總個數(shù)大于24個，∴黑球的數(shù)量要大于24﹣10﹣8＝6（個），∴至少有7個黑球，故選：B．【點評】本題主要考查了可能性的大小，熟知概率公式是解題的關鍵．2．（2024春?都昌縣期末）在一個不透明的布袋中裝有若干個只有顏色不同的小球，如果袋中紅球4個，黃球3個，其余的為綠球，從袋子中隨機摸出一個球，“摸出黃球”的可能性為14A．12 B．5 C．4 D．2【分析】設袋中綠球的個數(shù)有x個，根據(jù)概率公式列出算式，求出x的值即可得出答案．【解答】解：設袋中綠球的個數(shù)有x個，根據(jù)題意得：34+3+x解得：x＝5，答：袋中綠球的個數(shù)有5個；故選：B．【點評】此題考查了概率公式，如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種可能，那么事件A的概率P（A）=m3．（2024?西鄉(xiāng)塘區(qū)校級開學）一個正方體的六個面分別涂上紅、黃、綠三種顏色，任意挪一次，黃色朝上的次數(shù)最多，紅色和綠色朝上的次數(shù)一樣多，可能有個面涂了黃色．【分析】根據(jù)可能性的大小與數(shù)量的多少有關，要黃色朝上的次數(shù)最多，所以涂黃色面最多；紅色和綠色朝上的次數(shù)一樣多，所以涂紅色和綠色的面一樣多，據(jù)此解答即可．【解答】解：一個正方體的六個面分別涂上紅、黃、綠三種顏色，任意拋一次，黃色朝上的次數(shù)最多，紅色和綠色朝上的次數(shù)一樣多．如果每種顏色朝上的數(shù)量都一樣多，則紅、黃、綠各涂2個面，但現(xiàn)在黃色朝上的次數(shù)最多，而紅色和綠色朝上的次數(shù)要一樣多，因此只能是紅色、綠色各1個面，黃色涂4個面．故答案為：4．【點評】本題考查可能性，明確可能性的大小與數(shù)量的多少有關是解題的關鍵．4．（2023春?姑蘇區(qū)校級期末）在一個不透明的袋子中裝有僅顏色不同的12個小球，其中紅球4個，黑球8個．（1）先從袋子中取出m（m＞1）個紅球，再從袋子中隨機摸出1個球，將“摸出黑球”記為事件A．請完成下列表格：事件A必然事件隨機事件m的值（2）從袋子中取出n個紅球并搖勻，隨機摸出1個球是黑球的可能性大小是89，求n【分析】（1）當袋子中全部為黑球時，摸出黑球才是必然事件，否則就是隨機事件；（2）利用概率公式列出方程，求得m的值即可．【解答】解：（1）當袋子中全為黑球，即先從袋子中取出4個紅球時，再從袋子中隨機摸出1個球，摸到黑球是必然事件；∵m＞1，當摸出2個或3個紅球時，摸到黑球為隨機事件，事件A必然事件隨機事件m的值42或3故答案為：4；2或3．（2）依題意，得812?n解得n＝3，所以n的值為3．【點評】本題考查的是概率的求法．如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種可能，那么事件A的概率P（A）=m5．（2024春?丹徒區(qū)期中）在一個不透明的袋子中裝有僅顏色不同的12個小球，其中紅球4個，黑球8個．（1）進行如下的實驗操作：先從袋子中取出m（m＞1）個紅球后，再從袋子中剩余的球中隨機摸出1個球，此時將“第二次摸出的1個球是黑球”記為事件A．①若事件A是必然事件，則m的值是；②若事件A是隨機事件，則m的值是；（2）從袋子中取出n個紅球，再從袋子中剩余的球中隨機摸出1個球，若第二次摸到的1個球是黑球的可能性大小是45，求n【分析】（1）由必然事件和隨機事件的定義即可得出答案；（2）由概率公式得出方程，解方程即可．【解答】解：（1）當m的值為4時，事件A是必然事件；當m的值為2或3時，事件A是隨機事件；故答案為：4，2或3；（2）依題意，得812?n解得：n＝2，經檢驗，n＝2是原方程的解，且符合題意，∴n的值為2．【點評】此題考查的是概率公式以及必然事件、隨機事件等知識，用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．題型四求可能性的大小解題技巧提煉要比較隨機事件的可能性大小，可以按如下步驟進行：(1)確定：明確“決定不同隨機事件發(fā)生的要素”；(2)計算：計算每一個要素的數(shù)量；(3)結論：比較數(shù)量的多少，判斷可能性的大小.1．（2024秋?平谷區(qū)期末）不透明的袋子中裝有3個紅球，2個白球，這些球除顏色外無其他差別，隨機從袋子中摸出一個球，則摸出紅球的可能性大小為（）A．12 B．23 C．25【分析】用紅球的個數(shù)除以球的總數(shù)即可．【解答】解：摸出紅球的可能性為33+2故選：D．【點評】本題考查了可能性的大小，用到的知識點為：可能性大小等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．2．（2024秋?義烏市期中）投擲4次硬幣，有3次反面朝上，1次正面朝上，那么，投擲第5次硬幣正面朝上的可能性是（）A．15 B．12 C．34【分析】根據(jù)硬幣正面朝上，反面朝上的可能性相等即可求解．【解答】解：投擲4次硬幣，有3次反面朝上，1次正面朝上，那么，投擲第5次硬幣正面朝上的可能性是12故選：B．【點評】考查了可能性的大小，用到的知識點為：可能性等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．3．（2024?保定二模）“二十四節(jié)氣”是中華上古農耕文明的智慧結晶，被國際氣象界譽為“中國第五大發(fā)明”．在一個不透明的盒子中裝了6張關于“二十四節(jié)氣”的卡片，其中有3張“立春”，2張“立秋”，1張“冬至”，這些卡片除了畫面內容外其他都相同，從中隨機摸出一張卡片，恰好是“立秋”的可能性為（）A．12 B．13 C．16【分析】根據(jù)在一個不透明的盒子中裝了6張關于“二十四節(jié)氣”的卡片，其中有2張“立秋”，進行計算即可得出答案．【解答】解：∵在一個不透明的盒子中裝了6張關于“二十四節(jié)氣”的卡片，其中有2張“立秋”，∴從中隨機摸出一張卡片，恰好是“立秋”的可能性為26故選：B．【點評】本題考查了根據(jù)概率公式求概率，掌握概率等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比是解題關鍵．4．（2024秋?鼓樓區(qū)校級月考）一個不透明的口袋中裝有3個紅球、1個黃球，每次任意摸1個球再放回袋中，小明摸了三次摸到的都是紅球，那么第四次摸到黃球的可能性是（）A．100% B．14 C．13 【分析】用黃球的個數(shù)除以總球的個數(shù)即可得出答案．【解答】解：∵不透明的口袋中裝有3個紅球、1個黃球，共有4個球，∴摸到黃球的可能性是14故選：B．【點評】本題考查可能性的大小，用到的知識點為：可能性等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．5．（2024?鼓樓區(qū)校級開學）在一個盒子中有除顏色外均相同的10個紅球，8個綠球和一些黑球，從里面拿出一個球，拿出綠球的可能性小于13，那么至少有【分析】根據(jù)拿出綠球的可能性大小得出球的總數(shù)，進而解答即可．【解答】解：∵8個綠球，綠球的可能性小于13∴球的總數(shù)大于24，∴至少有25﹣10﹣8＝7個黑球．故答案為：7．【點評】此題考查可能性，關鍵是根據(jù)拿出綠球的可能性大小得出球的總數(shù)解答．題型五用頻率估計概率解題技巧提煉一般地，在大量重復的試驗中，我們可以用事件A發(fā)生的頻率來估計事件A發(fā)生的概率.1．（2024秋?惠來縣期末）一個口袋中裝有分別寫有“富強”“和諧”字的小球共20個，它們除此之外完全相同，將口袋中的球攪拌均勻后從中隨機摸出一個球記下上面的字后，再放回口袋中攪勻，不斷重復這過程，發(fā)現(xiàn)摸到“富強”球的頻率穩(wěn)定在0.65左右，則估計這個口袋中“富強”球的個數(shù)為（）A．13個 B．14個 C．6個 D．7個【分析】利用了用大量試驗得到的頻率可以估計事件的概率，可得摸到“富強”球的概率為0.65，即可得出答案．【解答】解：估計這個口袋中“富強”球的個數(shù)為20×0.65＝13（個）．故選：A．【點評】本題主要考查利用頻率估計概率，大量重復實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．2．（2024秋?渝中區(qū)期末）某林業(yè)局將一種樹苗移植成活情況繪制成如圖所示的統(tǒng)計圖，由此可估計移植這種樹苗，成活的概率約為（）A．1 B．0.95 C．0.9 D．0.85【分析】由圖可知，成活頻率在0.9上下波動，故可估計這種樹苗成活的頻率穩(wěn)定在0.9，成活的概率估計值為0.9．【解答】解：這種樹苗成活的頻率穩(wěn)定在0.9，成活的概率估計值約是0.9．故選：C．【點評】本題考查了利用頻率估計概率，大量重復實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．3．（2024秋?南岸區(qū)期末）一個不透明的盒子中裝有若干紅球，為了估計紅球的數(shù)量，但又不能將球倒出來數(shù)，現(xiàn)放入5個黑球，所有的紅球和黑球除顏色外其余均相同．每次充分混合后從中隨機摸出一個球，記下顏色后放回．經過大量重復摸球試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到黑球的頻率穩(wěn)定在0.25附近，則盒子中紅球的個數(shù)約為（）A．30 B．25 C．20 D．15【分析】由經過大量重復摸球試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到黑球的頻率穩(wěn)定在0.25附近，即可估計摸到黑球的概率，再利用概率公式計算即可．【解答】解：設紅球的個數(shù)為x個，∵經過大量重復摸球試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到黑球的頻率穩(wěn)定在0.25附近，∴摸到黑球的概率為0.25，∴5x+5解得：x＝15，經檢驗x＝15是原方程的根，∴盒子中紅球的個數(shù)約為15個．故選：D．【點評】此題主要考查了利用頻率估計概率，根據(jù)大量反復試驗下頻率穩(wěn)定值即概率得出是解題關鍵．4．（2024秋?揭西縣期末）一個不透明的袋子里裝有4個白球和若干個黑球，這些球除顏色外都相同．從袋子中隨機摸一個球，記下顏色后放回攪勻，不斷重復上面的過程，并繪制了如圖所示的統(tǒng)計圖．估計袋子里黑球的個數(shù)為（）A．16 B．18 C．20 D．22【分析】根據(jù)統(tǒng)計圖找到摸到白球的頻率穩(wěn)定到的常數(shù)，再根據(jù)大量重復試驗中事件發(fā)生的頻率等于事件發(fā)生的概率求解即可．【解答】解：觀察發(fā)現(xiàn)：隨著實驗次數(shù)的增加頻率逐漸穩(wěn)定到常數(shù)0.2附近，∴估計摸到白球的概率為0.2，∴共有小球4÷0.2＝20（個），∴估計袋子里黑球的個數(shù)為20﹣4＝16（個）．故選：A．【點評】本題主要考查利用頻率估計概率，大量重復實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．5．（2024秋?成都期末）某小組在“用頻率估計概率”的實驗中，統(tǒng)計了某種結果出現(xiàn)的頻率，繪制了如圖所示的折線統(tǒng)計圖，那么符合這一結果的實驗最有可能的是（）A．擲一枚質地均勻的硬幣，落地時結果是“正面向上” B．擲一個質地均勻的正六面體骰子，落地時朝上的面點數(shù)是6 C．在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機出的是“石頭” D．袋子中有1個白球和2個黃球，只有顏色上的區(qū)別，從中隨機取出一個球是黃球【分析】分別計算出每個事件的概率，其值約為0.16的即符合題意；【解答】解：A、擲一枚質地均勻的硬幣，落地時結果是“正面向上”的概率為12B、擲一個質地均勻的正六面體骰子，落地時面朝上的點數(shù)是6的概率為16C、在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小小明隨機出的是“石頭”的概率為13D、袋子中有1個白球和2個黃球，只有顏色上的區(qū)別，從中隨機取出一個球是黃球的概率23故選：B．【點評】本題主要考查概率的計算和頻率估計概率思想，注意這種概率的得出是在大量實驗的基礎上得出的，不能單純的依靠幾次決定．6．（2024秋?合陽縣期末）一個不透明的口袋中有紅球和黑球共20個，這兩種球除顏色外無其他差別，將球攪勻后，從口袋中隨機摸出一個球，記下顏色后放回攪勻，經過大量重復試驗后發(fā)現(xiàn)摸到黑球的頻率逐漸穩(wěn)定在0.3．估計其中黑球的個數(shù)．【分析】利用頻率估計概率可得摸到黑球的概率為0.3，再利用概率公式求解可得出答案．【解答】解：∵經過大量重復試驗后發(fā)現(xiàn)摸到黑球的頻率逐漸穩(wěn)定在0.3，∴估計摸到黑球的概率為0.3，∴20×0.3＝6（個），答：估計其中黑球的個數(shù)為6個．【點評】本題考查了利用頻率估計概率：大量重復實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢，估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．7．（2024秋?寶應縣期末）在一只不透明的口袋里，裝有若干個除了顏色外均相同的小球，某數(shù)學學習小組做摸球試驗，將球攪勻后從中隨機摸出一個球記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復．如表是活動進行中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)：摸球的次數(shù)n1001502005008001000摸到白球的次數(shù)m5996b295480601摸到白球的頻率ma0.640.580.590.600.601（1）上表中的a＝，b＝；（2）“摸到白球的”的概率的估計值是（精確到0.1）；（3）如果袋中有12個白球，那么袋中除了白球外，還有多少個其它顏色的球？【分析】（1）利用頻率＝頻數(shù)÷樣本容量直接求解即可；（2）根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，當n很大時，摸到白球的頻率接近0.6；（3）根據(jù)利用頻率估計概率，可估計摸到白球的概率為0.6，然后利用概率公式計算其他顏色的球的個數(shù)．【解答】解：（1）a＝59÷100＝0.59，b＝200×0.58＝116．故答案為：0.59，116（2）“摸到白球的”的概率的估計值是0.6；故答案為：0.6（3）12÷0.6﹣12＝8（個）．答：除白球外，還有大約8個其它顏色的小球；【點評】本題考查了利用頻率估計概率：大量重復試驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．8．（2024秋?興慶區(qū)校級期末）某漁民準備將自家的魚塘轉讓出去，現(xiàn)在需要通過估計魚塘中魚的數(shù)量來估算魚塘的價值．他從魚塘中打撈了200條魚，在每一條魚身上做好標記后，把這些魚放歸魚塘，經過一段時間后，再從魚塘中打撈魚．通過多次實驗得到數(shù)據(jù)如表所示：每次打撈魚數(shù)50100200300500每次打撈魚中帶標記的魚數(shù)4111931n打撈到帶標記的魚的頻率0.080m0.0950.1030.100根據(jù)表中數(shù)據(jù)，回答下列問題：（1）表中m＝，n＝；（2）隨機從魚糖中打撈一條魚，根據(jù)表中數(shù)據(jù)估計打撈到帶標記的魚的概率為（精確到0.1）；（3）若每條魚大約40元，則這片魚塘的價值大約是多少？【分析】（1）根據(jù)頻率＝頻數(shù)÷總數(shù)求解即可；（2）利用頻率估計概率即可；（3）用200除以打撈到的魚是帶標記的魚的概率可得總條數(shù)，再計算總錢數(shù)即可．【解答】解：（1）m＝11÷100＝0.11，n＝500×0.100＝50；故答案為：0.11，50；（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)估計打撈到帶標記的魚的概率為0.1；故答案為：0.1；（3）這個魚塘中魚約有200÷0.1＝2000（條），2000×40＝80000（元），答：這片魚塘的價值大約是80000元．【點評】本題考查利用頻率估計概率，大量反復試驗下頻率穩(wěn)定值即概率．題型六利用公式求概率解題技巧提煉求概率的一般步驟：1.先列舉出所有等可能出現(xiàn)的總結果數(shù)n；2.再列舉出所求事件可能出現(xiàn)的結果數(shù)m；3.求所求結果數(shù)與總結果數(shù)之比.1．（2024?阿榮旗一模）如圖，某天氣預報軟件顯示“揚州市邗江區(qū)明天的降水概率為85%”，對這條信息的下列說法中，正確的是（）揚州市邗江區(qū)天氣12﹣16℃日出06：43日落17：18體感溫度降水概率降水量空氣質量14℃85%1.0mm優(yōu)A．邗江區(qū)明天將有85%的時間下雨 B．邗江區(qū)明天將有85%的地區(qū)下雨 C．邗江區(qū)明天下雨的可能性較大 D．邗江區(qū)明天下雨的可能性較小【分析】根據(jù)概率反映隨機事件出現(xiàn)的可能性大小，即可進行解答．【解答】解：“揚州市邗江區(qū)明天的降水概率為85%”表示“邗江區(qū)明天下雨的可能性較大”，故選：C．【點評】本題主要考查了概率反映隨機事件出現(xiàn)的可能性大小，掌握相關概念是解題的關鍵．2．（2024?茅箭區(qū)一模）已知拋一枚均勻硬幣正面朝上的概率為12A．大量反復拋一均勻硬幣，平均100次出現(xiàn)正面朝上50次 B．連續(xù)拋一均勻硬幣10次都可能正面朝上 C．連續(xù)拋一均勻硬幣2次必有1次正面朝上 D．通過拋一均勻硬幣確定誰先發(fā)球的比賽規(guī)則是公平的【分析】概率值只是反映了事件發(fā)生的機會的大小，不是會一定發(fā)生．不確定事件就是隨機事件，即可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，發(fā)生的概率大于0并且小于1．【解答】解：A、大量反復拋一均勻硬幣，平均100次大約出現(xiàn)正面朝上50次，故A正確；B、連續(xù)拋一均勻硬幣10次都可能正面朝上，故B正確；C、連續(xù)拋一均勻硬幣2次可能1次正面朝上，故C錯誤；D、通過拋一均勻硬幣確定誰先發(fā)球的比賽規(guī)則是公平的，故D正確；故選：C．【點評】概率是反映事件發(fā)生機會的大小的概念，只是表示發(fā)生的機會的大小，機會大也不一定發(fā)生，機會小也有可能發(fā)生．3．（2024春?海安市期末）在一個不透明的袋子中裝有1個黃球，2個紅球，3個黑球，這些球除顏色外其他都相同，從袋子中隨機取一個球，是紅球的概率為（）A．23 B．12 C．13【分析】根據(jù)概率的求法，找準兩點：①全部情況的總數(shù)；②符合條件的情況數(shù)目；二者的比值就是其發(fā)生的概率．【解答】解：∵一個不透明的布袋中裝有1個黃球，2個紅球和3個白球，∴共有1+2+3＝6（個），∴從布袋中隨機摸出一個球是白球的概率為26故選：C．【點評】本考查概率的求法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種可能，那么事件A的概率P（A）=m4．（2024春?太原期末）第33屆夏季奧運會將于2024年7月26日——8月11日在法國巴黎舉行，如圖的五張卡片（除正面圖案外完全相同）分別印有巴黎奧運會的項目圖標：籃球、跳水、賽跑、騎行和花樣游泳，其中跳水和花樣游泳是水上項目，現(xiàn)將五張卡片背面朝上放置，打亂后隨機抽取一張，抽到卡片上的圖標恰好是水上項目的概率是（）A．15 B．13 C．12【分析】用水上項目的個數(shù)除以卡片的總數(shù)即可．【解答】解：∵共5張卡片，其中水上項目有：跳水和花樣游泳共2個，∴打亂后隨機抽取一張，抽到卡片上的圖標恰好是水上項目的概率是25故選：D．【點評】本題考查了用列舉法求概率，解題的關鍵是熟練掌握概率公式，一般地，如果在一次試驗中，有n種可能的結果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件A包含其中的m種結果，那么事件A發(fā)生的概率為P（A）=mn且0≤P（5．（2024?遵義二模）三張背面完全相同的卡片上，正面分別畫有“等邊三角形，圓，平行四邊形”，現(xiàn)將三張卡片背面朝上洗勻，從中隨機抽取一張卡片，抽到卡片上所畫圖形是軸對稱圖形的概率為（）A．23 B．13 C．1【分析】直接利用軸對稱圖形的性質結合概率求法直接得出答案．【解答】解：∵等邊三角形，圓，平行四邊形中，等邊三角形，圓，都是軸對稱圖形，∴從中隨機抽取一張，卡片上的圖形是軸對稱圖形的概率是23故選：A．【點評】此題主要考查了中心對稱圖形的性質和概率求法，正確把握中心對稱圖形的定義是解題關鍵．6．（2024春?碭山縣期末）在一個不透明的口袋中裝有白、紅、黑三種顏色的小球，其中白球3個，紅球5個，黑球4個，它們除了顏色外其他都相同．（1）從中隨意摸出一個球，摸出球的可能性最大．（2）“摸到黑球”是事件，“摸到黃球”是事件．（填“不可能”“必然”或“隨機”）（3）求摸出的小球不是白球的概率．【分析】（1）根據(jù)可能性的概念求解即可；（2）根據(jù)隨機事件和不可能事件的定義判斷即可；（3）根據(jù)概率公式即可得到答案．【解答】解：（1）∵有白球3個，紅球5個，黑球4個，紅球的個數(shù)最多，∴從中隨意摸出一個球，摸出紅球的可能性最大；故答案為：紅；（2）“摸到黑球”是隨機事件，“摸到黃球”是不可能事件；故答案為：隨機，不可能；（3）∵從袋中隨機地摸出1個球，共12種情況，不是白球的有9個，∴摸出的小球不是白球的概率為912【點評】本題考查概率的公式和隨機事件，掌握概率的計算方法是正確解答的關鍵．7．（2024春?新城區(qū)校級期末）一個不透明的袋子中裝有紅、黃、白三種顏色的球共100個，它們除顏色外都相同，其中紅球有30個，黃球數(shù)量比白球的3倍多10個．（1）從袋中摸出一個球是紅球的概率是；（2）求從袋子中摸出一個球是白球的概率；（3）取走10個球（其中沒有黃球），求從剩余的球中摸出一個球是黃球的概率．【分析】（1）紅球的個數(shù)除以紅、黃、白三種顏色球共有的個數(shù)即可得出紅球的概率；（2）設白球有x個，得出黃球有（3x+10）個，根據(jù)題意列出方程，求出白球的個數(shù)，再除以總的球數(shù)即可；（3）先求出取走10個球后，還剩的球數(shù)，再根據(jù)紅球的個數(shù)，除以還剩的球數(shù)即【解答】解：（1）根據(jù)題意得：30÷100＝0.3，故答案為：0.3；（2）設白球有x個，則黃球有（3x+10）個，根據(jù)題意得：x+3x+10＝100﹣30，解得x＝15．則摸出一個球是白球的概率為15÷100＝0.15；（3）因為取走10個球后，還剩90個球，其中黃球的個數(shù)沒有變化，黃球的個數(shù)＝15×3+10＝55（個），所以從剩余的球中摸出一個球是黃球的概率是5590【點評】此題考查了概率公式：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種可能，那么事件A的概率P（A）=m8．（2024春?白銀區(qū)校級期末）為了培養(yǎng)學生的科技創(chuàng)新能力，我校開展“科技創(chuàng)新展”活動．如圖是某班級根據(jù)同學們上交的各類作品（每個人只交一個作品），繪制的統(tǒng)計表．作品類型小制作小發(fā)明科技繪畫其他數(shù)量（個/件）1410188請根據(jù)上表提供的信息，回答下列問題：（1）如果從這個班的所有作品中，隨機選擇一個作品進行點評，那么正好選中“小發(fā)明”的概率是多少？（2）如果準備在“小發(fā)明”和“小制作”的作者中隨機選擇一名作為本班作品的“解說員”，求正好選中“小發(fā)明”的作者的概率是多少？【分析】（1）根據(jù)題意先得到總個數(shù)，再根據(jù)概率公式可計算出概率；（2）先求出兩種的總個數(shù)，再求出概率．【解答】解：（1）由表格可得，數(shù)量總個數(shù)為：14+10+18+8＝50（個），∵“小發(fā)明”的數(shù)量有10個，∴如果從這個班的所有作品中，隨機選擇一個作品進行點評，那么正好選中“小發(fā)明”的概率是：1050（2）由題可得，“小發(fā)明”的數(shù)量有10個，“小制作”的數(shù)量有14個，這兩種一共有：10+14＝24（個），∴正好選中“小發(fā)明”的作者的概率為：1024【點評】本題考查了概率公式，統(tǒng)計表，解題的關鍵是掌握相關知識的靈活運用．題型七利用概率公式求值解題技巧提煉求概率的一般步驟：1.先列舉出所有等可能出現(xiàn)的總結果數(shù)n；2.再列舉出所求事件可能出現(xiàn)的結果數(shù)m；3.然后利用概率的值求字母的值.1．（2025?海淀區(qū)校級開學）學校招募“弦外之音”項目組成員參加實踐活動，項目組共10人，分兩批確定：第一批確定了7人，第二批確定了1名男生，2名女生．現(xiàn)從項目組全體成員中隨機抽取1人承擔宣傳聯(lián)絡任務，若抽中男生的概率為35A．2 B．3 C．4 D．5【分析】設第一批次確定的人員中女生的人數(shù)為x人，則第一批次確定的人員中男生的人數(shù)為（7﹣x）人，根據(jù)題意可列方程為7?x+110=3【解答】解：設第一批次確定的人員中女生的人數(shù)為x人，則第一批次確定的人員中男生的人數(shù)為（7﹣x）人，∵抽中男生的概率為35∴7?x+110解得x＝2，∴第一批次確定的人員中女生的人數(shù)為2人．故選：A．【點評】本題考查概率公式，熟練掌握概率公式是解答本題的關鍵．2．（2024秋?南昌期末）在一個不透明的盒子中裝有6個白球，若干個黃球，它們除顏色不同外，其余均相同．若從中隨機摸出一個球是白球的概率是13，則黃球的個數(shù)為【分析】設黃球的個數(shù)為x個，然后根據(jù)概率公式列方程，解此分式方程即可求得答案．【解答】解：一個不透明的盒子中裝有6個白球，若干個黃球，從中隨機摸出一個球是白球的概率是13，設黃球的個數(shù)為x根據(jù)題意得：6x+6解得：x＝12，經檢驗，x＝12是原分式方程的解，∴黃球的個數(shù)為12個．故答案為：12．【點評】此題考查了概率公式，解答本題的關鍵是熟練掌握概率的求法．3．（2024春?高新區(qū)期末）某路口東西方向交通信號燈的設置時間為：紅燈20秒，綠燈27秒，黃燈m秒．張師傅隨機地由東向西開車到達該路口．（1）張師傅遇到紅燈的概率大還是遇到綠燈的概率大？為什么？（2）若張師傅遇到紅燈的概率為25【分析】（1）根據(jù)概率公式判斷即可；（2）根據(jù)概率公式計算即可．【解答】解：（1）∵紅燈20秒，綠燈27秒，27＞20，∴張師傅遇到綠燈的概率大；（2）∵張師傅遇到紅燈的概率為25∴2020+27+m解得m＝3，經檢驗，m＝3是方程的解，答：黃燈每次開啟3秒．【點評】本題考查了概率公式，熟練掌握概率公式是解題的關鍵．4．（2024春?鹽湖區(qū)期末）張大爺承包的魚塘，今年計劃投放三種魚苗，其中鯉魚1200條，草魚400條和部分鯽魚，如果從水中隨意打撈一條，撈出草魚的概率是16（1）求從水中隨意撈出一條是鯽魚的概率；（2）張大爺了解到買草魚的老百姓也比較多，于是計劃再投放m條草魚，使隨意撈出的一條魚是草魚的概率為13，請求出m【分析】（1）先根據(jù)草魚的概率求出總數(shù)，再利用概率公式進行計算即可；（2）根據(jù)概率公式，列出方程進行求解即可．【解答】解：（1）400÷1P(撈出鯽魚)答：從水中隨意撈出一條是鯽魚的概率為13（2）400+m=1解得m＝600．答：m的值為600．【點評】本題考查概率公式，關鍵是概率公式的熟練應用．5．（2024秋?泗陽縣期末）在一個不透明的盒子里裝有除顏色外完全相同的紅、白、黑三種顏色的球．其中紅球3個，白球5個，黑球7個．（1）求任意摸出一個球是黑球的概率；（2）小明從盒子里取出m個白球（其他顏色球的數(shù)量沒有改變），使得從盒子里任意摸出一個球是紅球的概率為14，請求出m【分析】（1）根據(jù)簡單事件的概率計算公式求解即可；（2）先根據(jù)摸出紅球的概率求得從盒子里取出m個白球后的球的總數(shù)，進而可得m值．【解答】解：（1）因為紅球3個，白球5個，黑球7個，所以盒子中球的總數(shù)為：3+5+7＝15（個），所以任意摸出一個球是黑球的概率為715（2）因為任意摸出一個球是紅球的概率14所以盒子中球的總量為：3÷所以可以將盒子中的白球拿出15﹣12＝3（個），所以m＝3．【點評】本題考查了概率公式，解題的關鍵是熟練掌握概率公式．6．（2024秋?花溪區(qū)校級期中）一個不透明的袋中裝有20個只有顏色不同的球，其中5個黃球，8個黑球，7個紅球．（1）求從袋中摸出一個球是黃球的概率；（2）現(xiàn)從袋中取出若干個黑球，攪勻后，使從袋中摸出一個球是黑球的概率是13【分析】（1）直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先設從袋中取出x個黑球，根據(jù)概率公式計算出答案．【解答】解：（1）∵一個不透明的袋中裝有20個只有顏色不同的球，其中5個黃球，8個黑球，7個紅球，∴從袋中摸出一個球是黃球的概率為：520（2）設從袋中取出x個黑球，根據(jù)題意得：8?x20?x解得：x＝2，經檢驗，x＝2是原分式方程的解，所以從袋中取出黑球的個數(shù)為2個．【點評】此題考查了概率公式的應用．注意用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．題型八游戲的公平性問題解題技巧提煉游戲對雙方公平是指雙方獲勝的可能性相同，即若游戲雙方獲勝的概率相同，則游戲對雙方公平；否則，游戲對雙方不公平.1．（2024春?沙坡頭區(qū)校級期末）在“五?四”青年節(jié)中，全校舉辦了文藝匯演活動．小麗和小芳都想當節(jié)目主持人，但現(xiàn)在只有一個名額．小麗想出了一個辦法，她將一個轉盤（均質的）均分成6份，如圖所示．游戲規(guī)定：隨意轉動轉盤，（1）指針指到1的可能性是多少？（2）若指針指到3，則小麗去；若指針指到2，則小芳去．若你是小芳，會同意這個辦法嗎？為什么？【分析】（1）直接根據(jù)轉盤判斷即可；（2）游戲是否公平，關鍵要看是否游戲雙方各有50%贏的機會，本題中只要計算出指針指到2和指針指到3概率是否相等，求出概率比較，即可得出結論．【解答】解：（1）轉盤（均質的）均分成6份，其中1占1份，∴指針指到1的可能性是16（2）不會同意．因為轉盤中有兩個3，一個2，這說明小麗去的可能性是26=1所以游戲不公平．【點評】本題考查的是游戲公平性的判斷．判斷游戲公平性就要計算每個事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平．用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．2．（2024春?佛山期末）如圖，一個均勻轉盤被平均分成10等份，分別標有1，2，…，10這10個數(shù)字，轉動轉盤，當轉盤停止轉動時，指針指向的數(shù)字即為轉出的數(shù)字（若指針指向分界處則無效，需重新轉動）．兩人進行猜數(shù)游戲：甲猜“是大于6的數(shù)”，乙猜“不是大于6的數(shù)”，誰贏得這個游戲的可能性更大？請說明理由．【分析】分別求出各種情況下獲勝的概率，比較得出答案．【解答】解：乙猜“不是大于6的數(shù)”獲勝的可能性更大．理由如下：共有10種等可能出現(xiàn)的結果數(shù)，其中“是大于6的數(shù)”的有4種，“不是大于6的數(shù)”的有6種，因此“是大于6的數(shù)”可能性是40%，“不是大于6的數(shù)”的可能性是60%，因此，乙猜“不是大于6的數(shù)”獲勝的可能性更大．【點評】本題考查可能性的大小，用到的知識點為：可能性等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．3．（2024春?順德區(qū)校級期末）某商場促銷，設有兩種抽獎方式：方式一：如圖1，有一枚均勻的正二十面體形狀的骰子，其中的1個面標有“1”，2個面標“2”，3個面標有“3”，4個面標有“4”，5個面標有“5”，其余的面標有“6”．將這個骰子擲出后，若“6”朝上則獲獎；方式二：如圖2，一個均勻的轉盤被等分成12份，分別標有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，這12個數(shù)字，轉動轉盤，當轉盤停止后，若指針指向的數(shù)字為3的倍數(shù)則獲獎．請通過計算說明選擇何種抽獎方式的獲獎機會更大？【分析】分別計算兩種方式獲獎的概率，然后通過比較概率的大小進行判斷．【解答】解：方式一：P(“6”朝上)方式二：P(指針針指向的數(shù)字3的倍數(shù))因14所以，選擇方式二抽獎方式的獲獎機會更大．【點評】本題考查了概率公式：隨機事件A的概率P（A）＝事件A可能出現(xiàn)的結果數(shù)除以所有可能出現(xiàn)的結果數(shù).4．（2024春?鳳翔區(qū)期末）如圖，一個均勻的轉盤被平均分成10等份，分別標有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10這10個數(shù)字．轉動轉盤，當轉盤停止后，指針指向的數(shù)字即為轉出的數(shù)字．兩人參與游戲：一人轉動轉盤，另一人猜數(shù)，若所猜數(shù)字與轉出的數(shù)字相符，則猜數(shù)的人獲勝，否則轉動轉盤的人獲勝．猜數(shù)的規(guī)則從下面三種中選一種：（1）猜“是奇數(shù)”或“是偶數(shù)”；（2）猜“是3的倍數(shù)”或“不是3的倍數(shù)”；（3）猜“是大于6的數(shù)”或“不是大于6的數(shù)”．如果輪到你猜數(shù)，那么為了盡可能獲勝，你將選擇哪一種猜數(shù)方法？怎樣猜？請說明理由！【分析】分別求出各種情況下獲勝的概率，比較得出答案．【解答】解：（1）共有10種等可能出現(xiàn)的結果數(shù)，其中“是奇數(shù)”的有5種，“是偶數(shù)”的也有5種，因此“是奇數(shù)”“是偶數(shù)”的可能性都是50%，（2）共有10種等可能出現(xiàn)的結果數(shù)，其中“是3的倍數(shù)”的有3種，“不是3的倍數(shù)”的7種，因此“是3的倍數(shù)”可能性是30%，“不是3的倍數(shù)”的可能性是70%，（3）共有10種等可能出現(xiàn)的結果數(shù)，其中“是大于6的數(shù)”的有4種，“不是大于6的數(shù)”的有6種，因此“是大于6的數(shù)”可能性是40%，“不是大于6的數(shù)”的可能性是60%，因此，猜數(shù)者選擇“不是3的倍數(shù)”，這樣獲勝的可能性為70%，獲勝的可能性最大．【點評】本題考查隨機事件發(fā)生的概率，理解概率的意義，掌握概率的計算方法是正確解答的前提．題型九轉盤中的概率問題解題技巧提煉轉盤問題中的概率計算可轉化為圓心角的度數(shù)問題.即P(指針落在某扇形內)=該扇形所對圓心角的度數(shù)/360°=該扇形所占圓的份數(shù)/總份數(shù)1．（2024秋?萊蕪區(qū)期末）如圖，將轉盤八等分，分別涂上紅、綠、藍三種顏色，則轉動的轉盤停止時，指針落在紅色區(qū)域的概率為（）A．14 B．38 C．12【分析】用紅色區(qū)域的個數(shù)除以所有區(qū)域的個數(shù)的和即可求得答案．【解答】解：∵共分成了8部分，其中紅色區(qū)域有3部分，∴指針落在紅色區(qū)域的概率為38故選：B．【點評】此題主要考查了幾何概率，利用符合題意數(shù)據(jù)與總數(shù)的比值＝概率求出是解題關鍵．2．（2024秋?鹿城區(qū)期末）如圖，一個圓形轉盤被分成紅、黃、藍三個扇形，其中紅、藍扇形的圓心角度數(shù)分別為150°，90°，轉動轉盤，停止后指針落在黃色區(qū)域的概率是（）A．16 B．14 C．13【分析】求出黃色部分所占整體的幾分之幾即可．【解答】解：黃色部分所在的圓心角的度數(shù)為360°﹣150°﹣90°＝1200°，因此黃色部分所占整體的120360=1故選：C．【點評】本題考查幾何概率，求出相應部分所占整體的幾分之幾是解決問題的關鍵．3．（2024春?長安區(qū)期末）如圖，是一個游戲轉盤，紅、黃、藍三個扇形的圓心角度數(shù)分別為40°、120°、200°，自由轉動轉盤，轉盤停止時，指針落在紅色區(qū)域的概率是（）A．19 B．13 C．59【分析】指針落在紅色區(qū)域的概率等于紅色區(qū)域扇形的面積與圓的面積之比，然后把面積之比轉化為圓心角的度數(shù)之比．【解答】解：由轉動轉盤，轉盤停止時，指針落在紅色區(qū)域的概率=40故選：A．【點評】本題考查了幾何概率：某事件的概率＝某事件所占有的面積與總面積之比．4．（2023秋?江南區(qū)月考）如圖所示，一個可以自由轉動的自由盤，被分成了6個相同的扇形，轉動轉盤，轉盤停止時，指針落在紅色區(qū)域的概率等于（）A．16 B．13 C．23【分析】用紅色區(qū)域的個數(shù)，除以所有區(qū)域的個數(shù)，即可求解．【解答】解：∵6個相同的扇形中，有2個紅色區(qū)域，∴轉盤停止時，指針落在紅色區(qū)域的概率等于：26故選：B．【點評】本題考查了幾何概率，解題的關鍵是理解概率與區(qū)域數(shù)量之間的關系．5．（2024秋?合川區(qū)期末）如圖，轉動質地均勻的正六邊