2025年高考數學總復習《數列》專項測試卷及答案

（考試時間：120分鐘；試卷滿分：150分）

學校:姓名：班級：考號：

第I卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.已知5“是數列｛aj的前〃項和，若％=1,S“=ga"+],則（）

A.數列｛4｝是等比數列B.數列｛%｝是等差數列

C.數列⑸｝是等比數列D.數列母｝是等差數列

2.意大利著名數學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發現有這樣一列數：1,1,2,3,5,8,13,…，其中從第三

個數起，每一個數都等于它前面兩個數的和,人們把這樣的一列數所組成的數列｛凡｝稱為“斐波那契數列”.若

把該數列｛%｝的每一項除以3所得的余數按相對應的順序組成新數列抄“｝,則數列他,｝的前2024項和是（

A.2275B.2276C.2277D.2278

3.已知等比數列｛q｝的前”項積為S,,若Su=2",則〃（）

A.16B.8C.6D.4

4.已知數列｛%｝的前n項和為,an+1=S.+2”14=2,則S〃=()

A.("+1)2B.

C.D.n-T

2

3n-2tn+2,n<7_tz.

5.已知數列｛2｝通項公式為%二,右對任思〃cN*,都有a?+l>an,則實數t的取值范圍

4n+94,n>7

是()

23Q-239、23

A.[3,+oo)B.e[—,-)cFz，5)D.

6.已知等差數列｛%｝中，4=100,公差d=—3,前〃項和為S〃，則下列結論中錯誤的是（

A.數列為等差數列

B.當〃二34時，S〃值取得最大

C,存在不同的正整數。兒使得S,=Sj

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D.所有滿足弓+勺=1。1?</）的正整數仃中，當，,=17,/=18時，值最大

7.若數列｛%｝滿足（〃eN*,d為常數），則稱數列｛%｝為調和數列.已知數列為調和數

列，且才+X；+…+焉22=2022,則工9+兀2014的最大值為（）

A.V2B.2C.2V2D.4

8.已知數列｛%｝的首項4=：,且“用=三1，-+—+—<2025,則滿足條件的最大整數〃=（）

A.2022B.2023C.2024D.2025

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部

選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.已知數列｛4｝中，4=1,。用=a"+2"（"eN*）,則下列結論正確的是（）

A.a4=13B.｛4｝是遞增數列C.al0<1000D.an+l=2an+1

10.已知S“是等差數列｛%｝的前〃項和，且%>0,%+4。<O，則下列選項正確的是（）

A.數列｛%｝為遞減數列B.q<。

C.s”的最大值為跖D.兒>0

11.已知數列｛4｝滿足q=1,-----=4+1-----,則電023的值可能為（）

Zan

12.對于任意非零實數x,y,函數滿足〃x+y）=，且在（0,+一）單調遞減,/（1）=1,

則下列結論正確的是（）

C.”無）為奇函數D.“X）在定義域內單調遞減

第II卷

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.各項均為正數的等比數列｛4｝的前幾項和為5“，且-4，：為，生成等差數列，若《i=l，則S,=—

14.設數列｛4｝的前"項和為S“，且nwN*,a.>a用,Sn<Ss.請寫出一個滿足條件的數列｛??｝的通項公式

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10

15.已知數列｛%｝滿足%=5,an+an+l=4n,則￡4=.

i=\

16.已知數列｛%｝滿足4=1,%M=2%+l(〃eN*),記數列7~滬一大的前”項和為若對于任

(4,+2)(%+2)

意“eN*,不等式4＞北恒成立，則實數4的取值范圍為.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

17.(10分)

已知數列｛4｝的前n項和為S“,且滿足S“=/+1.

(1)求數列｛g｝的通項公式；

(2)若數列b?=,求數列也“｝的前2〃項和心.

18.（12分）

已知等差數列｛%｝的前n項和為S“,且%+4=16,S5=30.

(1)求數列｛見｝的通項公式;

111I

⑵求證：三+不+…+不＜1

19.(12分)

〃3

數列｛4｝前〃項和s〃滿足4+1=25n+3,4=3,數列也｝滿足a=iog31t.

⑴求數列｛%｝和也｝的通項公式；

(2)對任意機eN*,將數歹U｛2｝中落入區間(m，因+J內項的個數記為曦，求數列｛%｝前加項和Tm.

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20.(12分)

已知數列｛%｝的前"項和為S,,且滿足J=等％,4=1.

(1)求數列｛4｝的通項公式；

2%,〃為偶數

⑵設數列也｝滿足2=。“+2a、小在料，求數列也｝的前2〃項和七.

---------1-----n------2,〃不可繳

.a.見+2

21.(12分)

已知等比數列｛%｝的公比4>0,且4*1,首項q=1,前”項和為S”.

⑴若/2,且名為定值，求q的值；

(2)若%>%+]+2q,("eN*)對任意心2恒成立，求q的取值范圍.

22.(12分)

設數列｛%｝的前w項和為S.,己知％=3,2Sn-3an+3=0.

(1)證明數列｛%｝為等比數列；

(2)設數列｛%｝的前〃項積為I,若叫”2幻⑸-2%+5)/.二對仟意“『N*恒成立,求整數九的最大值.

￡1唱4"+1

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參考答案

第I卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.己知S“是數列｛%｝的前〃項和，若4=1,Sn=^an+l,則（）

A.數列｛4｝是等比數列B.數列｛4｝是等差數列

C.數列⑸｝是等比數列D.數列6｝是等差數列

【答案】C

【解析】因5.=；〃向①可得，當〃上2時，②，于是，由①-②可得：—用一;。，，

即%=?%+「4%，可得^1=3,因％=1,在S“=9x中，取〃=1,可得%=2y=2,即&=2/3,

故數列｛里｝不是等比數列，選項A,B錯誤；

又因當〃wN*時，都有。用=S,+「S”,代入中，可得,=:⑸.「S,）,整理得：滬=3,

223〃

故數列｛s“｝是等比數列，即選項C正確，D錯誤.

故選：C.

2.意大利著名數學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發現有這樣一列數：U,2,3,5,8,13,…，其中從第三

個數起，每一個數都等于它前面兩個數的和,人們把這樣的一列數所組成的數列｛%｝稱為“斐波那契數列”.若

把該數列｛4｝的每一項除以3所得的余數按相對應的順序組成新數列他,｝,則數列｛2｝的前2024項和是（）

A.2275B.2276C.2277D.2278

【答案】C

【解析】1,1,2,3,5,8,13,…,

除以3所得余數分別為1,1,2,0,2,2,1,0；1,1,2,0,2,2,1,0...,

即也｝是周期為8的周期數列，

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因為2024=8x253,

b］+Z?2+,??+4=9,

所以數列也｝的前2024項和為253x9=2277.

故選：C

3.已知等比數列｛%｝的前〃項積為S,,若力=2",則的；=()

A.16B.8C.6D.4

【答案】B

【解析】設等比數列｛%｝的公比為4,則。%=41=吸，則％=2,

所以a4d==4=8.

q

故選：B.

n+l

4.已知數列｛4｝的前w項和為S“，an+1=Sn+2,4=2,貝”"=()

A.+B.(?+1)-2^

C.〃.2"TD.n-T

【答案】D

【解析】因為%M=S,+2"M,則S,+「S,=S”+2向，整理得箝一*=1,

又％=2,則11,

因此數列］上｝是首項為1,公差為1的等差數列，

q

則爰=l+(〃-l)xl=",所以s"="-2'.

故選：D.

5.已知數列｛%｝通項公式為%=］："一：7+2管7,若對任意“wN*,都有4田>。“，則實數，的取值范圍

［4〃+94,幾〉7

是()

23923923

A.tG［3,4-00)B.%?［五，2)C./￡(五Q)D，［石，十°°)

【答案】C

2

【解析】當幾￡｛1,2,3,4,5,6｝時,an+i-an=3(n+l)一2,(〃+1)+2-3/+2優一2=6〃+3-2,>0恒成立，

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所以2t<6〃+3對〃e｛1,2,3,4,5,6卜恒成立，故2f<93fg,

又當〃>7,〃eN時，4=4〃+94為單調遞增的數列，

故要使對任意〃wN*,都有見+1>。“，貝！］/>%，BP4x8+94>3x72-14f+2,

解得經與，

14

綜上可得女華23卷9）,

故選:C

6.已知等差數列｛%｝中，^=100,公差d=-3,前"項和為S,,,則下列結論中錯誤的是（）

A.數列為等差數列

B.當〃=34時，S.值取得最大

C.存在不同的正整數"，使得S產S,

D.所有滿足q+%=10Ki</）的正整數。中，當，=17,j=18時，。臼值最大

【答案】C

【解析】5,=叫+"（1"=-，2+堊〃,得2=-1〃+孚，數列［&］為等差數列，A正確；

"1222〃22InJ

當S”的對稱軸為"=—20?3。33.8,因為“eN*,所以當“=34時，5“值取得最大，B正確；

6

203

因為當S,,的對稱軸為九=>~33.8,且〃eN*,因此不存在整數對稱點，即不存在不同的正整數,使得

6

S［=Sj,C錯誤；

由題可知（=103-3〃,%+%=103-3i+103-3/=101（i<j）,解得i+j=35,

%%=（103-3z）（103-3j）=10609+9ij-309（z+j）,化簡可得4%=-9『+315i—206,

根據二次函數性質可知當，=17.5時，。臼取最大值，因為ieN*,所以當i=17,j=18時，值最大，D正

確.

故選：C.

7.若數列｛““｝滿足一―一'=1（"cN*,d為常數），則稱數列｛““｝為調和數列.已知數列［為調和數

列，且d+%；+%；H-----）君022=2022,則％9+%2014的最大值為（）

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A.0B.2C.2A/2D.

【答案】B

【解析】數列為調和數列，故心一片=d,所以優｝為等差數列，

由尤;+后+只+…+422=2022,所以(年+無盆卜2022=2022,

2

玉+%2022=2,以％9+*2014=2,X。+工2014=2N2%^%20149%^20：<1,

由于(％9+%2014)2=4+考014+2X9X2014=2+2%9^2014<4,

當且僅當%=%014時等號成立，故與+%2014的最大值為2,

故選:B

已知數列｛%｝的首項，且a。：

8.q=±?+i=77,-+—+<22,則滿足條件的最大整數”=(

A.2022B.2023C.2024D.2025

【答案】C

3a12a+112所以-T

【解析】因為%+i五海，所以工;===五15

所以數列工-1是等比數列，首項為百T二§,公比為!,

[anJ53

所以'T'xtJlzxGJ，即《=2x]：+1，

而當“cN*時，S“單調遞增,

又因為S2024=2025<2025，且S2025>2025，

所以滿足條件的最大整數”=2024.

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故選：c.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部

選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.已知數列｛%｝中，4=1,。用=a“+2”（"eN*）,則下列結論正確的是（）

A.4=13B.｛%｝是遞增數列C.%,<1000D.an+i=2an+\

【答案】BD

【解析】由,=%+2",可得翳=；.墨+；,則瑞一「；華一1）,

又由4=1,可得與_1=一（，所以數列]墨表示首項為-g,公比為g的等比數列，

所以緊1=-產=-（1，所以%=2"一1,

由&=2、1=15,所以A不正確；

由％包一%=2向一1-2"+1=2">0,即4M>。“，所以｛%｝是遞增數列，所以B正確；

由％0=21°-1=1023>1000,所以C錯誤；

由為+1=2向-1,2a?+l=2-2--2+l=2"+1-l,所以%=24+1,所以D正確.

故選：BD.

10.已知S“是等差數列｛4｝的前"項和，且%>0,%+4）<。，則下列選項正確的是（）

A.數列｛4｝為遞減數列B.?8<0

c.s”的最大值為跖D.514>0

【答案】ABC

【解析】設等差數列｛%｝的公差為力

由于丹>0,。5+%0<°，故％+。8=。5+。10<0，

貝I]%<。，B正確；

〃則數列｛““｝為遞減數列，A正確，

由以上分析可知4,電，…，%>。，〃28時，an<0,

故S”的最大值為跖，C正確；

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百4=14（4；%）=14（%；q。）＜0,D錯誤，

故選：ABC

11.已知數列｛qJ滿足q=1,才—=。用一一，則電儂的值可能為（）

ZZ〃〃+1an

【答案】AD

【解析】由守一/-=%+「'可得"""1="""用一1二(%%T(2%-4)=0,

22an+1an2an+lan

故44+1T=°或2。用一%=0,

當a“a“+iT=0時,則見。“+1=1,因此q=1,故=1,出＜磔=1，

2022

若2°田-%=0時，則｛%｝為等比數列，且公比為則%523=I

故選：AD

12.對于任意非零實數x,y函數〃x）滿足+y）=2號'），且〃x）在（0,+e）單調遞減，"1）=1,

則下列結論正確的是（）

2023

B.22023_2

Z=1

C.“X）為奇函數D./（x）在定義域內單調遞減

【答案】AC

【解析］令x=y=；

所以是以=2為首項’2為公比的等比數列,

20232(1—22023)=22024

故27一2,故B錯誤;

Z=171-2-

由題意，函數“X）的定義域為（-8,0）U（0,+8）,關于原點對稱,

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“x)/(-2龍)

令y=-2x,則/(-x)=

〃x)+/(-2x)'

/(-x)

令-x代換x，y,則/(-2尤)=

2/(-x)2

由兩式可得f(-x)=------化簡可得〃r)=V(x),所以/(X)為奇函數，故C正確;

因為〃x)在(0,+8)單調遞減，函數為奇函數，可得f(x)在(-8,0)上單調遞減，

但是不能判斷"X)在定義域上的單調性，例如/(x)=J,故D錯誤.

X

故選：AC

第n卷

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.各項均為正數的等比數列｛4｝的前"項和為S"，且-q,:小，%成等差數列，若q=1，則S4=

【答案】15

【解析】設等比數列｛q｝的公比為4,

因為-q,；出，〃3成等差數列，

3

以2x—Q?=-%+%，

3

以2xz%q=-a1+q/,

因為4=1,且各項均為正數，

所以解得q=2,

4

所以邑=二1-2三=15.

1-2

故答案為：15

14.設數列｛%｝的前〃項和為S?,且weN*,a,>an+1,S?<Ss.請寫出一個滿足條件的數歹U｛%｝的通項公式

【答案】8-77(答案不唯一)

【解析】因為"則數列｛%｝遞減，又S“VS8,即Sg最大，所以4=8-〃符合.

故答案為：8-n(答案不唯一)

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15.已知數列｛。“｝滿足。3=5,an+an+l=An,則.

Z=1

【答案】4082

【解析】因為%+。“包=4”,

所以+。2=4,。2+〃3=8,

又生=5,所以。2=3,%=1,

因為4+%+i=4〃，所以氏+1+4+2=4〃+4,

兩式相減得"〃+2-"八-4，

所以｛%｝的所有奇數項成等差數列，首項為1,公差為4,

｛%｝的所有偶數項成等差數列，首項為3,公差為4,

〃一1

所以當w為奇數時，fl?=l+(^-+l-l)x4=2?-l,

V!—2

當〃為偶數時，為=3+(三一+1-l)x4=2"l,

綜述：。〃=2幾-1(neN*),

所以％=2x2'—l=2'+i—1,

211

ioO_9x?

所以Z&,=22-1+23-1+-..+2"-1=(22+23+-..+2“)-10=一^——10=212-14=4082.

i=i1-2

故答案為：4082.

16.已知數列｛4｝滿足q=1,an+l=2an+l(n^),記數列7—滬~k的前〃項和為若對于任

(4+2)(+2)

意〃cN*,不等式上>(恒成立，則實數左的取值范圍為

【答案】［―,+°°)

【解析】由題設。用+1=2(。“+1),而q+l=2,貝￡4+1｝是首項、公比都為2的等比數歹

所以/+1=2",則4=2"-1,

所以4+1=2〃=」______1

(%+2)(%+2)(2"+1)(2嗎1)2"+12K+1+r

ETI11111111*.

則小五r幣+幣一互1+…+a在〃eN上恒成立，

要使不等式左>北恒成立，只需左Ng,所以實數人的取值范圍為g,+8).

第12頁共17頁

故答案為：

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

17.(10分)

已知數列｛%｝的前n項和為S,,且滿足5“=+1.

(1)求數列｛4｝的通項公式；

⑵若數列由=(T)&,求數列｛2｝的前2〃項和篤

【解析】⑴因為S“=/+i,

當〃=1時，%=H=F+1=2,

當〃22時，Sn_1—+1,則=九?+1—(〃—1)—1=2〃—1,

2,n=l

當力=1時,=2幾T不成立,所以。〃二

2n—l,n>2

—2,n=\

(2)由⑴可得a=(-

(-1)"x(2n-l),n>2

所以&=-2+3-5+7-9+11-13+...+(4〃-5)-(4〃-3)+(4〃-l)

=-2+(3-5)+(7-9)+(11-13)+...+[(4n-5)-(47i-3)]+(4n-l)

=-2-2(M-l)+(4n-l)=2w-l.

18.(12分)

已知等差數列｛4｝的前n項和為S“，且的+4=1635=30.

(1)求數列｛%｝的通項公式；

111,

(2)求證：—+—+.

【解析】(1)設數列｛%｝的首項為%,公差為d.

,/、n(n—l)

L

則〃〃=%+(〃-l)d,Sn=nax+—^―d.

[2。]+6d=16[a.=2*

由%+R=16同=30,可得<0n%=2〃，“eN

[DOj+Wa=30[a=2

/、/、1111

⑵由(1),邑=2"+”5-1)=9+1),則￡=而包=/丁？

第13頁共17頁

附---1--------1-------1------=----------1-----------1-------1-----;---------=]-------1------------p...-]----------------=]------------<]

雙S|S2Sn1x22x3,i(n+l)223nn+\

19.（12分）

3

數列｛%｝前"項和S.滿足??+1=2s“+3嗎=3,數歹|J｛〃｝滿足么=log3%.

⑴求數列｛見｝和也｝的通項公式；

（2）對任意加eN*,將數列｛〃｝中落入區間（%4+i）內項的個數記為%,求數列｛g｝前加項和.

【解析】（1）q=3,a〃+i=2S〃+3①，當〃=1時，〃2=2SI+3=9,

當〃22時，=2Si+3②，

兩式①.②得an+i-an=2an,即%=3ali,

其中%=9=3%,也滿足上式，

故｛4｝是以3為首項，3為公比的等比數列，

故=q?3"T=3n；

a333n

^=log3y=log3—=3?-2；

⑵4,%）=（3b）,

令3"'<3"一2<3"'+1m>3m-1+j<n<3m+j,又“wN*，

故〃=3"i+1,3'i+2,…,3J則cm=r-3'i=2.3'i,

23加

故c:包=而7=3,所以｛%｝為等比數列，首項為9=2,公比為3,

所以王=2（1-3"）=3“_].

20.（12分）

已知數列｛%｝的前〃項和為S“，且滿足5“=丁為，4=1.

（1）求數列｛4｝的通項公式；

2%,〃為偶數

（2）設數列｛。｝滿足匕,尸%+2]4__2〃為奇數，求數列圾｝的前2"項和&.

anan+2'

【解析】（1）因為邑=17+*14，

第14頁共17頁

Yl

“22時，Sn_l=-an_l.

n

兩式相減得工=-7，

an-l”T

a2_2〃3_3Lan_n

ax，22，'an_xn-1

相乘得詈=”,所以。”=〃(心2),

當〃=1時符合上式，

所以見=〃；

2",”為偶數

(2)bn=\n+2n

---------1----------2,〃為奇數

、nn+2

22j__1

當〃為奇數時2=1+—+1——--2=2

nn+2nn+2

=22+24+---+22n+2f+---1

I3352n-l2n+l

4(1—4")4〃

1-42n+l

4,,+1-44n

----------1--------.

32n+l

21.(12分)

已知等比數列｛%｝的公比4>0,且首項q=1,前w項和為S”

⑴若小2,且也為定值，求"的值;

(2)若S“M>4+1+2%(〃eN*)對任意”22恒成立，求q的取值范圍.