概率與統(tǒng)計

一、單選題

1.連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子三次，依次記錄向上的點數(shù).記機為前兩次點數(shù)的平均值，〃為三次點數(shù)的

平均值，則，〃與〃的差的絕對值不超過g的概率是（）

A.HB.工C.1D,1

271893

2.已知三棱錐a-4A4的側(cè)棱長相等，且側(cè)棱兩兩垂直.設p為該三棱錐表面（含棱）上異于頂點A，A，A，A

的點，記。={d|d=|PA|/=l，2,3,4}.若集合。中有且只有2個元素，則符合條件的點P有（）個.

A.3B.6C.7D.10

3.信息端是信息論中的一個重要概念.設隨機變量X所有可能的取值為1,2,L,小且尸（x=1）=pj＞。

（z=l,2,?■?,?）,tp,=l,定義X的信息嫡a（尤）=-t"1嗚”，則下列判斷中正確的是（）

Z=11=1

①若Pi=-（z=l,2,--?,n）,則H（x）=logn

n2

②若"（x）=0,貝心=1；

③若”=2,則當R=g時，"（x）取得最大值

④若n=2m,隨機變量￥所有可能的取值為1,2,L,m,且P（Y=j）=Pj+%,“產(chǎn)1,2,…⑷），則H（X）＞H（Y）

A.①②B.②③C.①②④D.①②③④

4.某校在校慶期間舉辦羽毛球比賽，某班派出甲、乙兩名單打主力，為了提高兩位主力的能力，體育老師

安排了為期一周的對抗訓練，比賽規(guī)則如下：甲、乙兩人每輪分別與體育老師打2局，當兩人獲勝局數(shù)不

少于3局時，則認為這輪訓練過關(guān)；否則不過關(guān).若甲、乙兩人每局獲勝的概率分別為億，P2,且滿足

目+0=g，每局之間相互獨立.記甲、乙在〃輪訓練中訓練過關(guān)的輪數(shù)為X,若E（X）=16,則從期望的角

度來看，甲、乙兩人訓練的輪數(shù)至少為（）

A.27B.24C.32D.28

5.李華在研究化學反應時，把反應抽象為小球之間的碰撞，而碰撞又分為有效碰撞和無效碰撞，李華有3

個小球。和3個小球8,當發(fā)生有效碰撞時，匕上的計數(shù)器分別增加2計數(shù)和1計數(shù)，a,臺球兩兩發(fā)生

有效碰撞的概率均為現(xiàn)在李華取三個球讓他們之間兩兩碰撞，結(jié)束后從中隨機取一個球，發(fā)現(xiàn)其上計

數(shù)為2,則李華一開始取出的三個球里，小球“個數(shù)的期望是（）個

A.1.2B.1.6C.1.8D.2

二、多選題

6.芯片時常制造在半導體晶元表面上.某企業(yè)使用新技術(shù)對某款芯片制造工藝進行改進.部分芯片由智能檢

測系統(tǒng)進行篩選，其中部分次品芯片會被淘汰，篩選后的芯片及未經(jīng)篩選的芯片進入流水線由工人進行抽

樣檢驗.記A表示事件“某芯片通過智能檢測系統(tǒng)篩選”，8表示事件“某芯片經(jīng)人工抽檢后合格”.改進生產(chǎn)工

藝后，這款芯片的某項質(zhì)量指標J服從正態(tài)分布N（5.40,0.052）,現(xiàn)從中隨機抽取〃個，這M個芯片中恰有

m個的質(zhì)量指標J位于區(qū)間（5.35,5.55），則下列說法正確的是（）（參考數(shù)據(jù)：尸〃-＜7卜0.6826,

尸（〃-3cr＜彳V〃+3b）q0.9974）

A.P（B）＞P（B|A）

B.P（A|B）＞P（A|B）

C.P（5.35＜^＜5.55）?0.84

D.P（m=45）取得最大值時，〃的估計值為54

7.某工廠對一條生產(chǎn)線上的產(chǎn)品A和B進行抽檢.已知每輪抽到A產(chǎn)品的概率為尸（0〈尸＜1）,每輪抽檢

中抽到B產(chǎn)品即停止.設進行足夠多輪抽檢后抽到A產(chǎn)品的件數(shù)與8產(chǎn)品的件數(shù)的比例為k,單輪抽檢中抽

檢的次數(shù)為羽則（）

A.若尸=；，則P（x=2）=；

B.當P=|時，尸（彳=4）取得最大值

]_pMpM

c.若一輪抽檢中X的很大取值為M,=

（1—產(chǎn)）L—r

D.左+：23恒成立

8.已知在伯努利試驗中，事件A發(fā)生的概率為。（。＜。＜1）,我們稱將試驗進行至事件A發(fā)生『次為止，試

驗進行的次數(shù)X服從負二項分布，記作X~NB（r,p）,則下列說法正確的是（）

A.若*~即[1,￡|,則p（x=Q=gj,左=1,2,3,…

B.若*~NB（r,p）,則尸=廣，k=r,r+X,r+2,---

試卷第2頁，共13頁

C.若X~NB(r,p),Y-B(n,p),則P(XW〃)=P(Y2r)

D.若X~NB(r,p),則當左取不小于亍的最小正整數(shù)時，P(X=Z:)最大

9.信息贈常被用來作為一個系統(tǒng)的信息含量的量化指標，從而可以進一步用來作為系統(tǒng)方程優(yōu)化的目標或

者參數(shù)選擇的判據(jù).在決策樹的生成過程中，就使用了嫡來作為樣本最優(yōu)屬性劃分的判據(jù).信息論之父克勞

德?香農(nóng)給出的信息燧的三個性質(zhì)：①單調(diào)性，發(fā)生概率越高的事件，其攜帶的信息量越低；②非負性，信

息焙可以看作為一種廣度量，非負性是一種合理的必然；③累加性，即多隨機事件同時發(fā)生存在的總不確

定性的量度是可以表示為各事件不確定性的量度的和.克勞德?香農(nóng)從數(shù)學上嚴格證明了滿足上述三個條件

的隨機變量不確定性度量函數(shù)具有唯一形式H(X)=￡log?￡,令C=1,設隨機變量X所有取值為1,

1=1

2,3,n,且尸(X=i)=月>0(i=l,2,3,...,〃)，￡4=1,則下列說法正確的有()

Z=1

A.〃=1時，H(X)=O

B.〃=2時，若則"(X)的值隨著A的增大而增大

C.若［=鳥=/，Pm=2Pk(kN2,kwN),則坦x)=2-與

D.若〃=2加，隨機變量y的所有可能取值為1,2,…，a且

尸(y=>)=尸(X=X)+尸(X=2/n+l—力，(/=1,2,…,m),^ljH(X)<H(Y)

io.在探究m+切”的展開式的二項式系數(shù)性質(zhì)時，我們把二項式系數(shù)寫成一張表，借助它發(fā)現(xiàn)二項式系數(shù)

的一些規(guī)律，我們稱這個表為楊輝三角(如圖1),小明在學完楊輝三角之后進行類比探究，將(l+x+x?的

展開式按X的升累排列，將各項系數(shù)列表如下(如圖2)：

(a+b)1.......11(1+x+x2)1.......111

(a+b)2.......121(1+x+x2)2.......12321

(a+b)3.......1331(1+x+x2)3.......1367631

(a+b)4.......14641(1+x+x2)4.......14101619161041

圖1圖2

上表圖2中第”行的第相個數(shù)用表示，即(l+x+/)”展開式中無，"的系數(shù)為D；,則()

A.D；=15

2n(n+l)

B.D=

C.D：：；=+D：+(l<Zr<2n-l,^eN,)

=

D.O2024C2024—D2024c2024+D2024c2024—152024^2024^2024^2024°

三、填空題

H.一只口袋裝有形狀、大小完全相同的3只小球，其中紅球、黃球、黑球各1只.現(xiàn)從口袋中先后有放

回地取球2”次且每次取1只球，X表示2〃次取球中取到紅球的次數(shù)，當X為奇數(shù)時，Y=X；

當X為偶數(shù)時，Y=o,則X的數(shù)學期望為（用力表示），y的數(shù)學期望為（用W表示）.

12.不斷地拋擲一枚硬幣，若連續(xù)出現(xiàn)2次正面向上，則甲獲勝，游戲結(jié)束；若累計出現(xiàn)4次正面向上，

且未出現(xiàn)連續(xù)2次正面向上，則乙獲勝，游戲結(jié)束；若連續(xù)2次正面向上和累計4次正面向上同時發(fā)生了，

則甲乙平局，游戲結(jié)束.在沒有發(fā)生平局的條件下，乙獲勝的概率為—.

13.某校高三1班10名同學、高三2班20名同學、高三3班10名同學參加“強國有我”演講比賽，采用隨

機抽簽的方式確定出場順序，每位同學依次出場，記“高三1班全部學生完成比賽后，高三2班和高三3班

都有學生尚未完成比賽”為事件A,則事件A發(fā)生的概率為.

14.某人有兩把雨傘用于上下班，如果一天上班時他在家而且天下雨，只要有雨傘可取，他將拿一把去辦

公室，如果一天下班時他在辦公室而且天下雨，只要有雨傘可取，他將拿一把回家.如果天不下雨，那么他

1?

不帶雨傘.假設每天上班和下班時下雨的概率均為不下雨的概率均為且與過去情況相互獨立.現(xiàn)在兩

把雨傘均在家里，那么連續(xù)上班兩天，他至少有一天淋雨的概率為.

15.已知甲、乙兩個不透明的箱子中分別裝有3個黑球和2個白球（球之間除顏色外無差異），現(xiàn)規(guī)定從甲

箱中任取1球放入乙箱，搖勻后再從乙箱中任取1球放入甲箱稱為1次操作.若已知3次操作后，甲箱中仍有3個

黑球，則其第1次操作后甲箱中仍有3個黑球的概率為：；設第3次操作后甲箱中黑球個數(shù)為X,

則E（X）=.

16.編號為1,2,3,4的四個小球，有放回地取三次，每次取一個，記機表示前兩個球號碼的平均數(shù)，記〃表

示三個球號碼的平均數(shù)，則m與"之差的絕對值不超過0.2的概率是.

17.在一定的環(huán)境下，某種食品的保質(zhì)期為正整數(shù)X,根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，它近似滿足以下規(guī)律：對任意正整

數(shù)”，保質(zhì)期恰好為”的該食品在所有保質(zhì)期不小于”的該食品中的占比為10%.記該食品的保質(zhì)期為〃為事

件4,該食品的保質(zhì)期不小于〃為事件則尸（與）=,尸（4"5）=.

18.某高中高二（1）班10名學生、高二（2）班10名學生、高二（3）班20名學生參加“少年強則國強”

演講比賽，比賽采用隨機抽簽的方式確定出場順序，每位學生依次出場.記“高二（1）班全部學生完成比

賽后,高二（2）班和高二（3）班都有學生尚未完成比賽”為事件A,則事件A發(fā)生的概率為.

試卷第4頁，共13頁

19.某校高三年級有w(〃>2,"wN*)個班，每個班均有5+30)人,第1k(左=1,2,3,…個班中有6+10)個

女生，余下的為男生.在這"個班中任取一個班，再從該班中依次取出三人，若第三次取出的人恰為男生的

Q

概率是否，貝!!"=.

20.在如圖斜方格陣中，一機器人從中心方格0出發(fā)，每次運動可以跨越機器人所在方格的一條邊(如第1

次運動，機器人可以運動到2,Q2,2或2)?若機器人走出斜方格陣視為“失敗”，反之視為“成功”，則

運動2025次后機器人“成功”的概率為.

四、解答題

21.設A是一個整數(shù)集，若A，4,…,4,是A的子集，且4=4口4口…口4“，4cA=0,j<m,

且iwj,則稱集合A，4,…，4,是集合A的一個劃分.定義，MeN*,正整數(shù)上使集合

A={M,M+1,M+2,L,M+4劃分成A，4,4,且使A，4，4中各集合的所有元素之和都相等，稱

為M劃分.

(1)求必劃分;

(2)證明：集合A={1,2,L,2025}可以蛆劃分；

(3)若河=2?3V左eN*,集合A能劃分的概率為鼻，證明：匕<g.

22.有A,B,C,D,E,F,G,7/八名運動員參加乒乓球賽事，該賽事采用預賽，半決賽和決賽三

輪淘汰制決定最后的冠軍、八名運動員在比賽開始前抽簽隨機決定各自的位置編號，已知3~〃這七名運

動員互相對決時彼此間的獲勝概率均為;，A運動員與其它運動員對決時，A獲勝的概率為每場對決

23

沒有平局，且結(jié)果相互獨立.

冠軍

決賽I----------------L----------------

半決賽I————-1

預賽Lirirnrn

①②③④⑤⑥⑦⑧

(1)求這八名運動員各自獲得冠軍的概率；

(2)求8與A對決過且最后獲得冠軍的概率；

(3)求8與C對決過且最后獲得冠軍的概率.

23.口袋中有大小相同、質(zhì)地均勻的3個白球和3個黃球.甲乙兩人進行摸球游戲，規(guī)則如下：每次摸2個

球，觀察顏色后放回，若顏色相同時，則摸球人繼續(xù)摸球；否則由對方摸球.第一次由甲開始摸球，記第〃

次由甲摸的概率是匕.

⑴求鳥,A；

(2)證明：數(shù)列｛匕-；>是等比數(shù)列，并求匕.

24.通過拋擲骰子產(chǎn)生隨機數(shù)列｛%｝,具體產(chǎn)生方式為:若第左代=1,2,3,…㈤次拋擲得到點數(shù)4=1,2,3,4,5,6),

則g=i.記數(shù)列｛%｝的前n項和為S“,X”為S,除以4的余數(shù).

(1)若〃=2,求S?=4的概率；

(2)若〃=2,比較尸儂2=0)與尸(X?=3)的大小,說明理由；

4li0

(3)若”=20,設(x+尤?+尤3+尤+X，+a，')=Z?o+bxx+b2x"H-----1-Z>120x,試確定該展開式中各項系數(shù)與事件

SLj(jeN+l7-<120)的聯(lián)系，并求X20=0的概率.

25.為了合理配置旅游資源，管理部門對首次來武漢旅游的游客進行了問卷調(diào)查，據(jù)統(tǒng)計，其中(的人計

劃只參觀黃鶴樓，另外|■的人計劃既參觀黃鶴樓又游覽晴川閣，每位游客若只參觀黃鶴樓，則記1分；若

既參觀黃鶴樓又游覽晴川閣，則記2分.假設每位首次來武漢旅游的游客計劃是否游覽晴川閣相互獨立，

視頻率為概率.

(1)從游客中隨機抽取2人，記這2人的合計得分為X,求X的分布列和數(shù)學期望；

(2)從游客中隨機抽取“人記這w人的合計得分恰為”+1分的概率為匕，求以;

i=l

(3)從游客中隨機抽取若干人逐個統(tǒng)計,記這些人的合計得分出現(xiàn)“分的概率為%,求數(shù)列｛%｝的通項公式.

試卷第6頁，共13頁

26.某校高一學生共有500人，年級組長利用數(shù)字化學習軟件記錄每位學生每日課后作業(yè)完成的時長，期

中考試之后統(tǒng)計得到了如下平均作業(yè)時長n與學業(yè)成績m的數(shù)據(jù)表：

平均作業(yè)時長W（單位：小時）[1,1.5)[1.5,2)[2,2.5)[2.5,3)[3,3.5)

學業(yè)成績優(yōu)秀：90<77/<10011437435

學業(yè)成績不優(yōu)秀：0W〃zW90136137102187

（1）填寫如下2x2歹U聯(lián)表，試判斷：是否有95%的把握認為學業(yè)成績優(yōu)秀與日均作業(yè)時長不小于2小時且小

于3小時有關(guān)？

時長”2<n<3其他總計

優(yōu)秀

不優(yōu)秀

總計

⑵常用”3同=

尸國力表示在事件A發(fā)生的條件下事件8發(fā)生的優(yōu)勢，在統(tǒng)計中稱為似然比.已知該校

高一學生女生中成績優(yōu)秀的學生占比25%,現(xiàn)從所有高一學生中任選一人，A表示“選到的是男生”，B表

示“選到的學生成績優(yōu)秀”，若“叫A）=0.2,求P（A）.

n(ad-bc)2

附：Z2,P(Z2>3,841)?0.05.

(o+b)(c+d)(q+c)(0+d)

27.（1）某公司為提升員工身體素質(zhì)，鼓勵員工參與“健康幫，活力無限”健身打卡活動.公司統(tǒng)計了開展活

動后近5個月員工因健身而使身體指標（如體脂下降、心肺功能提升等）明顯改善的人數(shù).統(tǒng)計結(jié)果如下:

月份X12345

身體指標明顯改善人數(shù)y33026020014090

若身體指標明顯改善人數(shù)丫與月份變量x（月份變量x依次為L2,3,4,5,…）具有線性相關(guān)關(guān)系，請預測第6

個月身體指標明顯改善的大約有多少人?

（2）公司將參與健身打卡活動的員工分成了X、KZ三組進行健身競賽，其規(guī)則：競賽發(fā)起權(quán)在任何一組,

該組都可向另外兩組發(fā)起競賽，首先由x組先發(fā)起競賽，挑戰(zhàn)丫組、z組的概率均為若X組挑戰(zhàn)y組,

則下次競賽發(fā)起權(quán)在y組.若競賽發(fā)起權(quán)在y組，則挑戰(zhàn)x組、z組的概率分別為:和J；若競賽發(fā)起權(quán)在

44

Z組，則挑戰(zhàn)X組、y組的概率分別為3和:；

①經(jīng)過3次挑戰(zhàn)賽后，求競賽發(fā)起權(quán)在y組的次數(shù)M的分布列與數(shù)學期望；

②定義：已知數(shù)列｛4｝,若對于任意給定的正數(shù)￡(不論它多么小)，總存在正整數(shù)N。，使得當〃〉乂時,

A|<￡(A是一個確定的實數(shù))，則稱數(shù)列｛%｝為“聚點數(shù)列”，A稱為數(shù)列｛%｝的聚點.經(jīng)過〃次競賽后，

競賽發(fā)起權(quán)在X組的概率為凡，證明數(shù)列｛4｝為“聚點數(shù)列”，并求出聚點A的值.附：回歸方程9=浪+3中

斜率和截距的最小二乘估計公式分別為A=上匕————=號------，a=y-bx.

一之x；_nx2

Z=1Z=1

28.在數(shù)軸的坐標原點放置一個機器人，它每過1秒都將以g的概率向數(shù)軸正方向或負方向移動1個單位

長度，機器人每次經(jīng)過-2或3時都會向雷達發(fā)送一次信息，且雷達會瞬間收到.設事件｛4｝表示“機器人的

前"次移動均未向雷達發(fā)送信息”.

⑴求尸(4),尸(4)；

(2)已知①②兩個結(jié)論：①尸(4+2%)<：②設｛X“｝(〃eN*)是一列無窮個事件，若存在正數(shù)N,對于任意

的“均有t>(X,)<N,則“｛X“｝中只有有限個事件同時發(fā)生”的概率為1.

Z=1

⑴證明：1>(4,)<3事件；“雷達會收到信息”的概率為1；

i=l

(ii)求機器人首次發(fā)送信息時所在位置為3的概率.

29.正四面體A-38某個頂點處有一粒子Q,粒子。的運動規(guī)律如下：粒子。每經(jīng)過一個時間單位，有;

的概率仍停留在原頂點，也有可能沿著棱從原頂點移動到另外的頂點，而且移動到另外三個頂點的任何一

個都是等可能的.已知在時刻f=0時，粒子。在頂點A處，若在時刻7=〃時，粒子。在頂點A處記為事件4,

記此時事件4發(fā)生的概率為Pn(A).

⑴求0(A)；

⑵求p?(A),并判斷數(shù)列｛4(A)｝的單調(diào)性；

⑶記〃=P.(A)4+I(A),求證：—+

試卷第8頁，共13頁

30.某校舉辦了一次安全知識競賽，競賽分為預賽與決賽，預賽通過后才能參加決賽.預賽從8道題中任選

4道作答，答對3道及以上則進入決賽，否則被淘汰.

⑴若這8道題中甲同學能答對其中4道，記甲在預賽中答對的題目個數(shù)為X,求X的分布列并計算甲進入

決賽的概率.

(2)決賽需要回答3道同等難度的題目，若全部答對則獲得一等獎，獎勵200元；若答對2道題目則獲得二

等獎，獎勵100元；若答對1道題目則獲得三等獎，獎勵50元；若全部答錯則沒有獎勵.假定進入決賽的同

學答對每道題目的概率均為。(0＜。＜1),且每次答題相互獨立.

(i)記進入決賽的某同學恰好獲得二等獎的概率為/(0),求的最大值；

(ii)某班共有4名學生進入了決賽，若這4名同學獲得總獎金的期望值不小于325元，求此時P的取值范

圍.

31.信息熠是信息論中的一個重要概念.設隨機變量X的所有可能取值為1,2,…，〃且

P(X=0=A＞0(Z=1,2,...,?),fp,=1,定義X的信息嫡“(X)=工p,1暇Pi.

i=lz=l

⑴證明：當且僅當〃=1時，H(X)=0；

⑵若〃=3,且如「“=旦(左=1,2),比較“(X)與1的大小；

(3)重復拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，如果正面朝上則繼續(xù)拋，如果反面朝上就立即停止，且拋20次后即使沒

有出現(xiàn)反面朝上也停止，若將停止時拋擲硬幣的次數(shù)記為X,求“(X).

32.如圖，某興趣小組在坐標紙網(wǎng)格中設計了一款跳棋游戲.規(guī)則如下：游戲參與者以0(0,0)為出發(fā)點，每

擲一次均勻硬幣，若擲出正面，則沿小正方形的對角線向右上方移動一格；若擲出反面，則沿小正方形的

(1)求甲走完第3步后，到達點A(3,-l)的概率；

(2)若甲向右上方走一步得5分，向右下方走一步得0分，當他走完第4步后，得分為X,求X的分布列及

數(shù)學期望；

⑶甲和乙都從0(0,0)出發(fā),走到點3(5,1)的位置，設走完第i步后，甲位于點片(與/)，乙位于點耳(44),

其中14*5且i€N*.若對任意1viv5且他N*都有?2珥,則認為甲獲勝，求甲獲勝的概率.

33.隨機游走在空氣中的煙霧擴散、股票市場的價格波動等動態(tài)隨機現(xiàn)象中有重要應用.在平面直角坐標

系中，粒子從原點出發(fā)，每秒向左、向右、向上或向下移動一個單位.且向四個方向移動的概率均為:?例

如在1秒末，粒子會等可能地出現(xiàn)在(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1)四點處

(1)設粒子在第2秒末移動到點(羽田記刈的取值為隨機變量X,求X的分布列和數(shù)學期望E(x)；

⑵記第〃秒末粒子回到原點的概率為P“.

①求。2，。4；

②已知￡(C)2=G“，求P2”.

k=0

34.信息在傳送中都是以字節(jié)形式發(fā)送，每個字節(jié)只有0或1兩種狀態(tài)，為保證信息在傳送中不至于泄露，

往往需要經(jīng)過多重加密，若48是含有一個字節(jié)的信息，在加密過程中，會經(jīng)過兩次加密，第一次加密

時信息中字節(jié)會等可能的變?yōu)?。?，且0,1之間轉(zhuǎn)換是相互獨立的，第二次加密時，字節(jié)中。或1發(fā)生

變化的概率為0,若A,B的初始狀態(tài)為0,1或1,0,記通過兩次加密后A,2中含有字節(jié)1的個數(shù)為X.

(1)若兩次加密后的A，2中字節(jié)1的個數(shù)為2,且。=g，求48通過第一次加密后字節(jié)1的個數(shù)為2的概

率；

(2)若一條信息有〃5>1,〃€?4*)種等可能的情況且各種情況互斥，記這些情況發(fā)生的概率分別為億，P2，P3,

L,Pn,則稱"=/(。1)+〃。2)+…(其中/(x)=Tlog2X)為這條信息的信息廊試求A,2通過

兩次加密后字節(jié)1的個數(shù)為X的信息嫡a；

(3)將一個字節(jié)為0的信息通過第二次加密，當字節(jié)變?yōu)?時停止，否則重復通過第二次加密直至字節(jié)變?yōu)?/p>

1,設停止加密時該字節(jié)通過第二次加密的次數(shù)為y(y=i,2,3,證明：￡(r)<1.

35.甲乙兩人各有張卡片，每張卡片上標有一個數(shù)字，甲的卡片上分別有數(shù)字1,3,5,21,

乙的卡片上分別標有數(shù)字2,4,6,…，2”.兩人進行〃輪比賽，在每輪比賽兩人各自從自己持有的卡片中

隨機選擇一張，并比較所選卡片上的數(shù)字大小，數(shù)字大的得1分，數(shù)字小的得0分，然后各自棄置此輪所

選卡片(棄置的卡片在此后的輪次中不能使用設〃輪比賽后甲的總得分為X.

(1)當〃=2,3,4,5時，請寫出八輪比賽后X的分布列(不需要計算過程.不需要列表)：

(2)設數(shù)列｛〃“｝滿足：==P(X=〃一2)(九之2),且已知。6=57,%=120,a8=247,a9=502.

n\

試卷第10頁，共13頁

(i)當時，請你直接猜想。,與。用，的遞推關(guān)系式(不要推理過程，直接給出答案)；

(ii)結(jié)合(i)中的遞推關(guān)系，請你求出"輪比賽后甲的總得分X不低于2的概率.

36.一盒子中共有7個大小質(zhì)地相同的球，其中4個1號球，3個2號球.從盒子中一次隨機取出兩個球,

如果取出的球是2號球，則將它放回盒子中；如果取出的球是1號球，則不放回盒子中，另補一個2號球

放入袋中.重復進行上述操作”次后，盒子中所有球的號碼之和記為

(1)(為何值的概率最大？

(2)求隨機變量心的分布列；

(3)求隨機變量Tn的數(shù)學期望召(北)關(guān)于n的表達式.

37.繼2023年電子競技首次作為正式競賽項目登上杭州亞運會舞臺后，2024年國際奧委會宣布首屆奧林

匹克電子競技運動會將于2025年在沙特阿拉伯王國舉辦.這意味著電子競技作為虛擬體育正式成為奧運

會項目的一部分.為迎接電子競技行業(yè)這一里程碑式的時刻，甲、乙兩俱樂部計劃按照現(xiàn)今體育比賽中的

賽制舉辦友誼賽.在體育比賽中有兩種常見賽制：一種是(2〃-1)局”勝制，例如一場比賽有5局，率先勝

3局一方獲勝，本場比賽結(jié)束；另一種是(2〃+1)局〃+1勝制，例如一場比賽有7局，率先勝4局一方獲勝,

本場比賽結(jié)束.

⑴若采用5局3勝制，甲俱樂部每場比賽獲勝的概率為0.8；若采用7局4勝制，甲俱樂部每場比賽獲勝的

概率為0.9.已知甲、乙俱樂部采用這兩種賽制各進行了mQweN*)場比賽，試自行繪制2x2列聯(lián)表，并根

據(jù)小概率值a=0.010的獨立性檢驗，來推斷賽制是否對甲隊獲勝的場數(shù)有影響；

(2)設甲俱樂部每局比賽獲勝的概率均為p(0<p<；),且每局比賽都能決出勝負，沒有平同：①若兩俱樂

部采用5局3勝制比賽，記事件A：“甲俱樂部只要取得3局比賽的勝利比賽結(jié)束且甲獲勝”，事件“兩

俱樂部賽滿5局，甲俱樂部至少取得3局比賽勝利且甲獲勝”，試證明：P(A)=P(B)；

②若甲、乙兩俱樂部創(chuàng)造一種全新的賽制，約定比賽規(guī)則為：共進行2"局，贏得局數(shù)大于n局的俱樂部

獲勝.若甲俱樂部每局比賽獲勝的概率試判斷進行幾局比賽時，甲俱樂部獲勝的概率最大，并說明

O

理由.

a0.100.050.0250.010

Xa2.7063.8415.0246.635

附：*=,"八,、〃八,其中M=a+b+c+d.

(a+6)(c+d)(a+c)(b+d)

38.馬爾可夫鏈是因俄國數(shù)學家安德烈?馬爾可夫得名，其過程具備“無記憶”的性質(zhì)，即第”+1次狀態(tài)的概

率分布只跟第1次的狀態(tài)有關(guān)，為了避免就餐聚集和減少排隊時間，某校開學后，食堂從開學第一天起，每

餐只推出即點即取的米飯?zhí)撞秃兔媸程撞?已知某同學每天中午會在食堂提供的兩種套餐中選擇，己知他

第一天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿樯唬耙惶爝x擇了米飯?zhí)撞秃笠惶炖^續(xù)選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿榍耙惶?/p>

34

選擇面食套餐后繼續(xù)選擇面食套餐的概率為如此往復.

(1)求該同學第二天中午選擇米飯?zhí)撞偷母怕剩?/p>

(2)記該同學第n天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿镻?；

①證明：］勺-|｝為等比數(shù)列;

②當“22時，匕《機恒成立，求加取值范圍.

39.衛(wèi)生檢疫部門在進行病毒檢疫時常采用“逐一檢測”或“混采檢測”(隨機地按啟人一組平均分成〃組，然

后將各組％個人的血樣混合再化驗.如果混管血樣呈陰性，說明這k個人全部陰性；如果混管血樣呈陽性,

說明其中至少有一人的血樣呈陽性，就需要對每個人再分別化驗一次).已知某種病毒性疾病在某地的患病

該地患病總?cè)藬?shù)

率(患病率=)為。.

該地總?cè)藬?shù)

(1)當左=5時，已知某組混管血樣呈陽性，且這5人中只有1人患病.

(i)將該組每個人的血液逐個化驗，直到查出患病人員為止.用X表示所需化驗次數(shù)，求X的期望;

(ii)先從該組中取3人的血液混在一起化驗，若呈陽性，則對這3人的血液再逐個化驗，直到查出患病人

員；若不呈陽性，則對剩下的2人再逐個化驗，直到查出患病人員.用y表示所需化驗次數(shù)，求y的期望;

⑵已知某次“混采檢測”的血樣總數(shù)為20000,p=2.5%,k>10,記檢驗總次數(shù)為Z,當E(Z)W1OOOO時,

求k的最大值.(參考公式及數(shù)據(jù)：nCl=mC^(l<n<m),￡制1-打尸*=1,lnO.975?-0.0253,

i=0

ln2?0.6931,ln3?1.0986,ln5?1.6094,Inll?2.3979)

40.生物研究工作中，統(tǒng)計鳥類主要是研究鳥類種群數(shù)量和分布規(guī)律，其中固定半徑樣點法是一種常見的

統(tǒng)計方法，即記錄以觀測者為圓心的一定半徑范圍內(nèi)所有鳥類個體，然后用鳥類統(tǒng)計數(shù)和樣點總面積來計

算鳥類密度的數(shù)量統(tǒng)計方法.

(1)統(tǒng)計人員發(fā)現(xiàn)某鳥類在A區(qū)域經(jīng)常出沒，為了估計此類鳥的數(shù)量，采取固定半徑樣點法，其中鳥類密度

試卷第12頁，共13頁

（單位：只/平方米）的計算公式為P=q，P-.鳥類密度，T-.所有樣點記錄鳥類數(shù)量的平均數(shù)，S：每個

樣點區(qū)域面積，已知A區(qū)域的總面積為1.256x105平方米，每個記錄的樣點區(qū)域半徑為25米，樣點數(shù)為10

個，統(tǒng)計如下表

樣點編號12345678910

鳥類數(shù)量20211920182022252015

試估計A區(qū)域內(nèi)該鳥類的總數(shù)量？（結(jié)果保留整數(shù)）參考數(shù)據(jù)：兀。3.14.

⑵在A區(qū)域采?。?）中方法統(tǒng)計時發(fā)現(xiàn)該鳥類有兩個品種，分別記為I種和H種.由于（1）中每個樣點

記錄的該鳥數(shù)量較少，統(tǒng)計人員重新在A區(qū)域隨機捕獲了50只該鳥，再將捕獲的鳥全部放回，作為一次試

驗結(jié)果.記第i次試驗中I種的數(shù)目為隨機變量X,（i=1,2,3,…,10）.設該區(qū)域中I種的數(shù)目為II種的數(shù)

目為N.

（i）求在第1次試驗中隨機變量X1的分布列;

（ii）假設每一次試驗均相互獨立.統(tǒng)計人員完成所有試驗后，得到X,的實際取值分別為%1=1,2,3,…,10）,

其平均值〃=10,方差/=0.77.記隨機變量X=而XX-采用〃和/分別代替期望EX和方差。（X）,

1Ui=i

試給出N的估計值（結(jié)果保留整數(shù)）.

參考公式：從含/件次品的N件產(chǎn)品中，分別采用有放回和不放回的方式隨機抽取〃件，設抽取的〃件產(chǎn)

品中次品數(shù)為X,如果采取有放回抽樣，則方差D（X）=R（l-gJ；如果采取不放回抽樣，則方差為

r＞（X）=一"）?隨機變量x與y滿足E（x+y）=E（x）+.若隨機變量x與y相互獨立,

則。（乂+卜）=。（*）+。（丫）.

《概率與統(tǒng)計》參考答案

題號12345678910

答案ADDABBCADACDABCBCD

1.A

【分析】根據(jù)題意，分析得max{2,2c-2}4a+64min{2c+2,12},再分類討論c不同取值得到所有滿足的樣

本點個數(shù)，從而利用古典概型的概率公式即可得解.

【解析】連續(xù)拋擲一枚骰子3次，共有63=216個樣本點，

設三次記錄的點數(shù)依次為〃，b,c,則帆一川=+；+c

gp|?+Z?-2c|<2,貝|J2c—24a+bW2c+2,又2Wa+bW12,

貝!]max{2,2c—2}Wa+6〈min{2c+2,12},

易知（。㈤不同的取值情況共有6x6=36種，

當c=l時，滿足2MO+644的樣本點有（1,1）,（1,2）,（1,3）,（2,1）,（2,2）,（3,1）,共3+2+1=6個；

同理，當c=2時，滿足2Wa+bW6的樣本點有5+4+3+2+1=15個；

當c=3時，滿足4Wa+6W8的樣本點有4+5+5+4+3+2=23個；

當c=4時，滿足6<a+6W10的樣本點有2+3+4+5+5+4=23個；

當c=5時，滿足8的樣本點有0+1+2+3+4+5=15個；

當c=6時，滿足10?々+?！?2的樣本點有（4,6）,（5,5）,（5,6）,（6,4）,（6,5）,（6,6）,共1+2+3=6個;

上但4k+且2x（6+15+23）11

故所求概率為P=------------=—.

21627

故選：A.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解決的關(guān)鍵在于，利用絕對值不等式的解法分析得的不等關(guān)系，從而得解.

2.D

【分析】設4=|，弭分P到兩個頂點的距離。一樣，到另外兩個頂點的距離b一樣，且。工6,和P到其中

三個頂點的距離c一樣，到另一個頂點的距離為e,且ewe,兩種情況，結(jié)合對稱性，列舉出滿足題設的所

有尸點，即可得答案.

【解析】設4=|，科情況如下：

①尸到兩個頂點的距離。一樣，到另外兩個頂點的距離b一樣，且

由4，4，4,4具有對稱性，不妨討論4=〃，4=4,

答案第14頁，共49頁

滿足題意的尸應同時在線段AAQAA3的中垂線面和三棱錐表面上,

即為其中垂面交線與三棱錐表面的交點，如圖幾鳥兩點,

同理，4=4，d3=14和4=&，%=4也各有2個滿足題意的尸點，故共6個；

②尸到其中三個頂點的距離C一樣，到另一個頂點的距離為e,且ewe,

若尸到4,4的距離一樣，即4=&=〃，則P為過△444外心的垂線與三棱錐表面的交點，如圖A和

A（舍）；

若P到A和4,&,4中的兩個距離一樣，由4,4,&,4具有對稱性,

不妨討論4=4=痣，則尸為過△4A4外心的垂線與三棱錐表面的交點，如圖舄,

同理，4=43=“4和4=%=〃也各有1個滿足題意的P點，共4個;

綜上，共有10個滿足題意的點.

故選：D

【點睛】關(guān)鍵點點睛：依據(jù)題意將問題分成尸到兩個頂點的距離“一樣，到另外兩個頂點的距離人一樣，且

答案第15頁，共49頁

awb,和P到其中三個頂點的距離。一樣，到另一個頂點的距離為e,且ewe兩類為關(guān)鍵.

3.D

【分析】對于①，計算出“(%)=-〃?匕og2'=log2〃；對于②，由O<P,<1得到化log2P,<。，故H(x)>0,與

nn

H(x)=O矛盾，②正確；對于③，若〃=2,則Pi+P2=l，"(尤)=-[pJogzPi+(1-Pi)」og2(l-口)]，構(gòu)造函數(shù)

/(P)=-[plog2P+(l-P)log2(l-P)]，Ovpvl,求導得到其單調(diào)性，得到當p=g時/(P)最大，故③正確；對

loPlm0

于④，表達出"(F),作差得到H(y)-H(x)=Alog2—B—+0210g2---+---+P2m§2<,

A+PimP2+P2*lPl,n+Pl

故H(x)>H(y),得到④正確.

1?1111

【解析】①若口=—1=1,2,…，則H(x)=-Z-log2-=TTog2-=log2〃，故①正確；

②假設“22,因為尸(X=i)=p,>0(i=l,2,…,〃)，￡R=1,所以。<p,<1,

Z=1

1O0

所以p,log2R<0G=1,2,…,〃)，所以H(x)=-^A§2A>,

1=1

這與H(x)=0矛盾，所以假設不成立，

而當〃=1時，易得H(x)=0,所以〃=1,故②正確；

③若n=2,則Pi+P2=1,

H(x)=-(pjlog2Pi+p2log2p2)=-[Alog2A+(l-/?,)-log2(l-pj],

設/(。)=一[。1。82〃+(1-。)1鳴(1一。)]，Ovpvl,

「1一1]夕

則/(，)二-10g/7+^?----10g(l-j7)+(l-/7)--—-=-lOg--,

2pin22(1-p)ln2\21-p

令r(p)<o,得丁匕>1,解得:<p<i,此時函數(shù)單調(diào)遞減，

1-P2

令/(P)>O,。(舌<1，解得。<P<；,此時函數(shù)/X。)單調(diào)遞增，

所以當p=；時f(p)最大，所以當口時，"(%)取得最大值，故③正確；

④由題意知，P(Y=1)=A+p2m,P(Y=2)=p1+p2m_l,P(y=3)=p3+p2m_2,P(Y=m)=pm+pm+1,

?1?W)=-[(A+P2,“)bg2(Pi+PG+…+(R“+P,”+i)log式Pm+口“+1)]，

又H(X)=-(p,log2pi+p210g2p2+---+pmlog2pm+---+p2mlog2p2m),

H(Y)-H(X)=Pllog2-星—+p210g2———+…+P2m^g2P2m

Pl+PimPl+P2,n-1Pim+Pl

答案第16頁，共49頁

又一^<1,——<1,L,上一<1,

P1+P2”，Pz+PlXPl+P2m

：.H(Y)-H(X)<0,：.H(X)>H(Y),故④正確.

綜上，正確說法的序號為①②③④，

故選：D.

【點睛】方法點睛：函數(shù)新定義問題的方法和技巧：

(1)可通過舉例子的方式，將抽象的定義轉(zhuǎn)化為具體的簡單的應用，從而加深對信息的理解；

(2)可用自己的語言轉(zhuǎn)述新信息所表達的內(nèi)容，如果能清晰描述，那么說明對此信息理解的較為透徹；

(3)發(fā)現(xiàn)新信息與所學知識的聯(lián)系，并從描述中體會信息的本質(zhì)特征與規(guī)律；

(4)如果新信息是課本知識的推廣，則要關(guān)注此信息與課本中概念的不同之處，以及什么情況下可以使用

書上的概念.

4.A

【分析】先求得每一輪訓練過關(guān)的概率，利用二項分布的期望列方程，結(jié)合基本不等式以及二次函數(shù)的性

質(zhì)求得正確答案.

【解析】設每一輪訓練過關(guān)的概率為P,

則P=P；A+XC；X凸X(1-)+/XC；XRX(1-口)

=+2。|0(跖+。2)=-3p；H+2"必X[=-3p；區(qū)+1Pl。2，

0<p42J=1，當且僅當p[=幺=|時等號成立.

?4

函數(shù)y=-3d+]無的開口向上，對稱軸為x=§,

所以0<-3p；p；+§。也，

12312⑼