2025年高考數學解密之圓與方程

一.選擇題（共10小題）

1.（2024?廣西模擬）已知圓的方程為丁+〉2-2尤=o,M（x,y）為圓上任意一點，則匕口的取值范圍是（

x-1

）

A.l-y/3,我B.[-1,1]C.（-00,-A/3]|^|[A/3,+oo）D.[1,+oo）U（-oo,-1]

2.（2024?香坊區校級模擬）已知圓G+y=4,圓C2：/+丁-4x-4y+4=0,兩圓的公共弦所在直

線方程是（）

A.x+y+2=0B.x+y—2=0C.x+y+1=0D.x+y—1=0

3.（2024?昌平區模擬）若圓x2+8x+y2-6y+〃z=0與無軸，y軸均有公共點，則實數機的取值范圍是（

）

A.（-co,9]B.（-co,16]C.[9,25）D.[16,25）

4.（2024?河池模擬）古希臘數學家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》中有這樣一個結論：平面內與兩點

距離的比為常數4（2/1）的點的軌跡是圓，后人稱這個圓為阿波羅尼斯圓.已知點。（0,0）,動點

P（x,y）滿足型乂=@,若點p的軌跡與圓C:Y+y2+6x+2y=r2-10（r>0）有且僅有三條公切線，則

|PA\2

「二（）

A.-B.1C.2D.3

2

5.（2024?山東模擬）已知直線/:y=fcc+A-l和曲線。:犬+;/-2彳-2|丫|=0有公共點，則實數左的取值

范圍為（）

A.[2-6,2+A/3]B.陷-2,1]C.[-1,2+73]D.[-1,1]

6.（2024?江西模擬）若點（1,1）在圓-彳-。=0的外部，則°的取值范圍為（）

A.（-1,1）B.（；,1）C.D.（l,+oo）

7.（2024?全國）圓龍2+（y+2）2=4與圓（尤+2）2+口一1）2=9交于4,B兩點，則直線的方程為（）

A.2x—3y+2=0B.3x+2j+2=0C.3x+2y—2=0D.2x—3y—2=0

8.（2024?北京）圓/+/一2尤+6y=0的圓心至lJx-y+2=0的距離為（）

A.0B.2C.3D.3A/2

9.(2024?和平區二模)過直線y=x上的點P作圓C:(x+3)2+(y-5)2=4的兩條切線4,4，當直線上

4關于直線y=x對稱時，點尸的坐標為()

A.(1,1)B.(|,|)C.(|,|)D.(|,|)

10.(2024?樂山三模)已知圓O:無2+9=16,點尸(_2,g+M),點E是/:2尤-y+16=0上的動點，過E

作圓。的切線，切點分別為A,B,直線鉆與EO交于點M,則|"/|的最小值為()

.3R3A/5?5A/5n3M

2222

二.多選題(共5小題)

11.(2024?青島模擬)已知動點N分別在圓G：(x-l)2+(y-2)2=^DC2：a-3)2+(y-4)2=3上,動

點P在x軸上，貝|()

A.圓C2的半徑為3

B.圓G和圓C?相離

C.|PM|+|PN|的最小值為2M

D.過點尸作圓C1的切線，則切線長最短為有

12.(2024?金安區校級模擬)已知圓C:f+y2-4x-5=0,點P(a,6)是圓C上的一點，則下列說法正確

的是()

A.圓C關于直線x-3y-2=0對稱

B.已知4(1,一2),8(5,0),貝。|出|2+|28『的最小值為32-12夜

C.2。+6的最小值為2-3百

D.的最大值為一

a+34

13.(2024?洪山區校級模擬)已知A?,y),B(X2,%)是圓O:無?+必=1上兩點，則下列結論正確的是

()

A.若點O到直線的距離為工，貝IJ|AB|=G

2

B.若AAO3的面積為則44。8=工

43

C.若石尤?+乂%=g，則點。到直線他的距離為與

D.|玉+%-1|的最大值為拒+1,最小值為0-1

2

14.（2024?江西模擬）設圓。:（犬-1）2+（）;-1）2=3,直線/:3x+4y+3=0,P為/上的動點，過點P作圓C

的兩條切線上4、PB,切點為A、B,M、N為圓上任意兩點，則下列說法中正確的有（）

A.|PA|的取值范圍為［1,+oo）

B.四邊形E4cB面積的最大值為百

C.滿足NAPB=60。的點P有兩個

D.AC鉆的面積最大值為研

4

15.（2024?日照模擬）已知尸（西，K）,。（々，必）是曲線。：7l2-6丁+6y2+|爐+6,_3|=21上不同的兩

點，O為坐標原點，貝1（）

A.累+人的最小值為3

B.2張1才+以―1）2+―d+（乂+1）24

C.若直線y=fcc+3與曲線C有公共點，則左c（-oo,-半］U［半，+00）

D.對任意位于y軸左側且不在x軸上的點P,都存在點Q,使得曲線C在P,。兩點處的切線垂直

三.填空題（共5小題）

16.（2024?蓮湖區校級三模）己知點4（8,-6）與圓C:/+y2=25,P是圓C上任意一點，貝小4尸|的最小

值是.

17.（2024?撫州模擬）若直線/:y=2尤與圓C:f+y2-2尤-3=0交于A,3兩點，貝U|AB|=.

18.（2024?浦東新區二模）已知圓G：/+V—2依+/一1=。（。＞0）,圓C2：f+y2_4y-5=0,若兩圓相

交，則實數a的取值范圍為一.

19.（2024?武清區校級模擬）已知直線x+y-5=0與圓C:/+y2-4x+2y+〃z=0相交于A,3兩點，且

\AB\=4,則實數〃z=.

20.（2024?和平區模擬）已知圓C以點（1,1）為圓心，且與直線如-y-2%=。（機cR）相切，則滿足以上條

件的圓C的半徑最大時，圓C的標準方程為一.

四.解答題（共5小題）

21.（2024?黑龍江模擬）己知圓C:x2-//u+y2+2（2-〃2）y+m-l=0,m^R.

（1）證明：圓C過定點；

（2）當m=0時，點尸為直線/：±+2=1上的動點，過尸作圓C的兩條切線，切點分別為A,B,求四邊

63

形PACB面積最小值，并寫出此時直線"的方程.

3

22.(2024?自貢二模)已知圓。:必+；/=25與直線/：y=3相交于點A,B.

(1)求點A,3的坐標；

(2)設P是直線/上，圓。外的任意一點，過尸點作圓O的切線PM,PN,切點為M,N,求證：經

過N兩點的直線必過定點，并求出該定點的坐標.

23.(2024?蘇州三模)己知圓O:*+y2=4,直線=直線4:y=x+匕和圓交于A,B兩點,過A,

3分別作直線4的垂線，垂足為C,D.

(1)求實數6的取值范圍；

(2)若機=T,求四邊形ABDC的面積取最大值時，對應實數6的值；

(3)若直線4)和直線BC交于點E,問是否存在實數加，使得點E在一條平行于x軸的直線上？若存在，

求出實數機的值；若不存在，請說明理由.

24.(2024?徐州模擬)將圓/+丁=2上各點的縱坐標變為原來的字(0＜幾＜2)倍(橫坐標不變)，所得

曲線為E.記尸(-2,0),2(1,0),過點尸的直線與E交于不同的兩點A,B,直線QA,QB與E分別交于

點C,D.

(1)求石的方程；

(2)設直線AB,CD的傾斜角分別為e,p.當0＜a＜工時：

2

⑺求X的值；

tan/7

⑺若夕-a有最大值，求2的取值范圍.

25.(2024?重慶模擬)設機為實數，直線y=〃zx+l和圓C:尤②-x+y2=0相交于尸，Q兩點.

(1)若尸。=孝，求機的值；

(2)點O在以尸。為直徑的圓外(其中O為坐標原點)，求機的取值范圍.

4

2025年高考數學解密之圓與方程

參考答案與試題解析

選擇題（共10小題）

1.（2024?廣西模擬）已知圓的方程為Y+9-2尤=0,M（x,y）為圓上任意一點，則二的取值范圍是（

x-1

）

A.[—-\/3,-\/3]B.[―1,1]C.（—00,—\/3]^[\/3,+oo）D.[1,+oo）k（―oo,—1]

【答案】C

【考點】直線與圓的位置關系；圓的一般方程

【專題】數學運算；計算題；直線與圓；整體思想；演繹法；邏輯推理

【分析】將原問題轉化為斜率的問題，然后考查臨界條件和直線與圓的位置關系即可求得取值范圍.

【解答】解：圓的方程即：。-1）2+產=1,匕工表示圓上的點與點（1,2）連線的斜率，

x-1

考查臨界情況，即直線與圓相切的情況：

設直線方程為：y—2二化—BPkx-y-k+2=0,

圓心到直線的距離等于半徑，即：嶼。"21=1,

解得：％=±括，則工二送的取值范圍是（ro,-6][6”）.

x-\一

故選：C.

【點評】本題主要考查直線與圓的位置關系，數形結合的數學思想等知識，屬于中等題.

2.（2024?香坊區校級模擬）已知圓￡:丁+y=4,圓C?:爐+9-4x-4y+4=0,兩圓的公共弦所在直

線方程是（）

A.x+y+2=0B.x+y—2=0C.x+y+l=0D.x+y—1=0

【答案】B

【考點】圓與圓的位置關系及其判定；兩圓的公切線條數及方程的確定

【專題】方程思想；作差法；直線與圓；數學運算

【分析】利用兩圓的方程，作差即可求得公共弦所在直線方程.

【解答】解：由圓￡:寸+丁=4,圓。2：尤2+V-4x-4y+4=0,

兩式作差得，4尤+4>-4=4,即x+y-2=0,

所以兩圓的公共弦所在直線方程是x+y-2=0.

故選：B.

5

【點評】本題考查了由兩圓方程求公共弦所在直線方程問題，是基礎題.

3.(2024?昌平區模擬)若圓x2+8x+y2-6y+M=0與x軸，y軸均有公共點，則實數機的取值范圍是(

)

A.(-co,9]B.(-co,16]C.[9,25)D.[16,25)

【答案】A

【考點】直線與圓的位置關系；圓的一般方程

【專題】直線與圓；計算題；轉化思想；數學運算；邏輯推理；綜合法

【分析】首先把圓的一般式轉換為頂點式，進一步求出實數〃7的取值范圍.

【解答】解：圓/+8工+;/一6'+加=0,整理得(x+V+(y-3>=25-〃★〃<25),

由于圓與x軸和y軸均有公共點，

所以J25-/W..3且」25-租..4且/<25；

解得九9.

故實數機的取值范圍為(-00,9].

故選：A.

【點評】本題考查的知識點：圓的一般式和頂點式的轉換，主要考查學生的運算能力，屬于基礎題.

4.(2024?河池模擬)古希臘數學家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》中有這樣一個結論：平面內與兩點

距離的比為常數4(幾21)的點的軌跡是圓，后人稱這個圓為阿波羅尼斯圓.已知點。(0,0),動點

P(x,y)滿足畋^否，若點P的軌跡與圓C:x2+y2+6x+2y=r2—io(r>o)有且僅有三條公切線，則

|PA\2

廠=()

A.-B.1C.2D.3

2

【答案】D

【考點】直線與圓的位置關系；軌跡方程

【專題】計算題；轉化思想；綜合法；直線與圓；數學運算

【分析】設P(x,y),應用兩點距離公式和已知條件求得動點P的軌跡是以(1,2)為圓心，2為半徑的圓，再

由公切線的條數判斷位置關系，結合圓心距與半徑的關系即可.

【解答】解：設P(x,y),則也?—y一,整理得(尤-Ip+(y-2)2=4,

|PA\21929

所以動點P的軌跡是以(1,2)為圓心，2為半徑的圓,

6

而圓C:d+V+6尤+2)=產-10(r>0)可化為(x+3)2+(y+1)2=r2的圓心為(-3,-1)，半徑為r,

，點P的軌跡與圓C:f+/+6尤+2y=/-10(r>0)有且僅有三條公切線，

.,.點P的軌跡與圓。:丁+尸+6；(：+2>=--10”>0)外切，

由于(1,2)和(-3,-1)的距離d=J(l+3)2+(2+l)2=5,

貝Ij5=2+r,

r=3.

故選：D.

【點評】本題考查軌跡問題，考查圓與圓的位置關系，屬于基礎題.

5.(2024?山東模擬)己知直線/:丫=辰+k-1和曲線C:/+y2-2x-2|y|=0有公共點，則實數我的取值

范圍為()

A.[2-退，2+我B.[招-2,1]C.[-1,2+我D.[-1,1]

【答案】C

【考點】直線與圓的位置關系

【分析】將曲線C:尤2+y一2無一21yl=0化為卜一D：+(yT)：=2,”0,若直線與曲線有交點，則由圖

1(X-1)2+(J+1)2=2,J<0

可求出直線與曲線相切時切線的斜率，其中用到圓心到直線的距離等于半徑求解即可.

【解答】解：因為y=履+上一1=躍%+1)-1,所以直線/恒過定點P(T,T),

曲線52+產_2》-2|丫|=0化簡即為卜一7+(〉一”=2,”0,如圖所示：

"l)2+(y+l)2=2,y<0

由圖可知，若直線/與曲線C有交點，則直線介于乙與4之間即可，

由圓心(1,1)到直線kx-y+k-l=0的距離等于半徑得d=仁上曰=&,

“2+1

整理得：k2—4k+1=0j解得左=2+或左=2—(舍)，

7

同理，由圓心到直線區-y+左-1=0的距離等于半徑得d=四坐二U=&,

VV+1

整理得％2=1,解得左=1(舍)或左=一1,所以Ze[-1,2+.

故選：C.

【點評】本題考查直線與圓的位置關系，考查方程思想，考查學生的計算能力，屬于中檔題.

6.(2024?江西模擬)若點(1,1)在圓d+y2-x_a=0的外部，則a的取值范圍為()

A.(-1,1)B.(；,1)C.(-oo,l)D.(l,+oo)

【答案】A

【考點】點與圓的位置關系

【專題】計算題；轉化思想；綜合法；直線與圓；運算求解

【分析】根據二元二次方程表示圓的條件，列式算出a然后根據點(LD在圓的外部，列式算出。<1，

4

再求交集即可得到本題的答案.

【解答】解：方程尤?+/一行”。表示圓，所以㈠)2+O2_4(F)>O,解得“>」，

4

因為點(1,1)在圓/+/-彳-。=0的外部，

所以將點(LD代入圓方程的左邊，^l2+l2-l-a>0,解得a<l.

綜上所述，-實數a的取值范圍為(-工，1).

44

故選：A.

【點評】本題主要考查二元二次方程表示圓的條件、點與圓的位置關系及其應用、不等式的解法等知識,

屬于基礎題.

7.(2024?全國)圓龍2+(y+2)2=4與圓(尤+2y+(y-l)2=9交于A,6兩點，則直線4i的方程為()

A.2x—3y+2=0B.3x+2j+2=0C.3x+2y—2=0D.2x—3^—2=0

【答案】D

【考點】相交弦所在直線的方程

【專題】數學運算；轉化思想；轉化法；直線與圓

【分析】將兩圓的方程相減，即可求解.

【解答】解：圓一+(,+2)2=4,即f+y2+4y=0①，

圓(x+2)2+(y-1)2=9,即無2+4x+y1-2y=4(2),

②-①可得，化簡整理可得，2x-3y-2=0,

8

故直線AB的方程為2x-3y-2=0.

故選：D.

【點評】本題主要考查公共弦直線方程的求解，屬于基礎題.

8.(2024?北京)圓龍2+9一2尤+6y=0的圓心至IJx-y+2=O的距離為()

A.&B.2C.3D.3亞

【答案】D

【考點】圓的一般方程

【專題】轉化思想；直線與圓；數學運算；計算題；綜合法

【分析】求解圓的圓心坐標，利用點到直線的距離公式求解即可.

【解答】解：圓爐+]-2x+6y=0的圓心(1,—3),

圓尤2+y-2x+6y=0的圓心至！Jx-y+2=0的距離：d=9屋±2^=3忘.

VI+1

故選：D.

【點評】本題考查圓的方程的應用，點到直線的距離公式的應用，是基礎題.

9.(2024?和平區二模)過直線y=x上的點尸作圓C:(x+3)2+(y-5)2=4的兩條切線4,/?,當直線

4關于直線y="對稱時，點尸的坐標為()

A.(1,1)B.(|,|)C.(|,|)D.(|,|)

【答案】A

【考點】直線與圓的位置關系；圓的切線方程

【專題】整體思想；直線與圓；計算題；數學運算；綜合法

【分析】根據直線和圓的位置關系、兩直線的交點等知識求得正確答案.

【解答】解：圓C:(無+3)2+(y-5)2=4的圓心為C(-3,5),

直線4關于直線y=x對稱時，則直線CP與直線y=》垂直，

所以直線CP的方程為y-5=-(尤+3),x+y-2-O,

,\x+V-2=05,=f%=l

由.，解得，所以P(l,l).

口=尤[y=l

故選：A.

【點評】本題考查了直線與圓的位置關系，屬于中檔題.

10.(2024?樂山三模)已知圓。：/+丁=16,點尸(一2,：+曬)，點E是/：2x-y+16=0上的動點，過E

9

作圓。的切線，切點分別為A,B,直線鉆與EO交于點M,貝”加F|的最小值為()

.3R3A/5?5A/5n3M

2222

【答案】B

【考點】圓上的點到定點的距離及其最值

【專題】計算題；轉化思想；數學運算；綜合法；直線與圓

【分析】設動點M(x,y),利用三角形相似求出點E的坐標，然后代入直線/的方程，得到點”的軌跡方

程為圓，轉化為圓上的點到定點距離的最值進行求解即可.

【解答】解:設M(x,y),

\OA\\OM\

解：設M（無,y）,S^AOE^AMOA,可得

\OE\\OA\

\OE\\OA\21616x16y

故,所以點￡(?

\OM\|OM|2Y+/元2+y1x2+y

將點E的坐標代入直線/:2x-y+16=0,

化簡可得(x+l)2+(y-；)2=*,y不同時為0),

故點〃的軌跡是以(-1,3為圓心，逐為直徑的圓，所以|八3|的最小值即為點到圓心的距離減去半徑,

2

故I|的最大值為J(-l+2)2+(----719)2--=2A/5--=—.

V22222

故選：B.

【點評】本題考查了動點軌跡方程的求解，直線與圓位置關系的應用，要掌握常見的求解軌跡的方法：直

接法、定義法、代入法、消參法、交軌法等等，屬于中檔題.

二.多選題(共5小題)

11.(2024?青島模擬)已知動點M,N分別在圓0：0-1)2+0-2)2=1和。2：(尤-3)2+0-4)2=3上，動

點尸在x軸上，貝")

A.圓C?的半徑為3

B.圓G和圓C2相離

10

C.|PM|+|PN|的最小值為2碗

D.過點P作圓G的切線，則切線長最短為石

【答案】BD

【考點】由圓與圓的位置關系求解圓的方程或參數

【專題】轉化思想；直線與圓；數學運算；綜合法

【分析】A項，根據圓的方程即可得；3項，計算圓心距與半徑之間的關系；C項，根據對稱性可得；D

項，利用勾股定理可得.

【解答】解：C2的半徑為班，A錯誤；

圓和圓C?圓心距為7（3-1）2+（4-2）2=2&>1+6，則圓G和圓C2相離；

C項，作G關于x軸的對稱點G，川-2），貝1」（|尸0|+|/^|）“加=02「|=2函，

所以（|PM|+|PN|）“加=2而一1一6，C錯誤；

。項，點尸到圓G的切線長最小時，GPLx軸，

?圓心到x軸的距離為2,

，切線長的最小值為："萬=退，。正確.

故選：BD.

【點評】本題考查直線與圓的位置關系，屬于中檔題.

12.（2024?金安區校級模擬）已知圓C:/+>2-4x-5=0,點尸（a,6）是圓C上的一點，則下列說法正確

的是（）

A.圓。關于直線工-3丁-2=0對稱

B.已知4（1,一2）,2（5,0）,貝/24『+|產例2的最小值為32-120

C.2a+6的最小值為2-3逐

D.的最大值為一

a+34

【答案】ABD

【考點】直線與圓的位置關系

【專題】計算題；數學運算；綜合法；轉化思想；直線與圓

【分析】利用圓心在直線上，即可判斷選項A,利用三角代換即可判斷選項3,C,利用圓上點與定點連

線的斜率的幾何意義，即可判斷選項。.

11

【解答】解：圓C:d+y2-4x-5=0,可化為(x-2)2+y2=9,圓心(2,0),半徑3,

A.顯然直線尤-3y-2=0過點(2,0),其為圓C的圓心，因此圓C關于直線x-3y-2=0對稱，因此選項

A正確.

B.點尸(a,6)是圓C上的一點，有(。-2)2+〃=9,設a=3cosa+2,Z?=3sin?.

A(l,-2),8(5,0),貝例2=?-1)2+(6+2)2+(4-5)2+3—0)2

=2a2+2b1—12。+4b+30=8a+10—12。+46+30=-4tz+4Z?+40=—4(3cosa+2)+4-(3sina)+40

=12sina-l2cosa+32=12應sina—生+32…-12應+32,因此選項3正確.

4

C.2a+b=3sina+6cosa+4...-打+62+4=4-3君,因此選項C錯誤.

D.—2/?+9=1+^^=1+2(^),叱理解成點P(a,8)與點(-3,-3)連線的斜率，

a+3a+3a+3a+3

史蘭取最大時，即為過點(-3,-3)的直線與圓(龍-2了+產=9相切時，直線的斜率，

4+3

故設過點(一3,—3)的直線為y+3=k(x+3),即依一y+3左一3=0,

圓心至ljAx—y+3左一3=0的距離d='2及；3k31=廠=3,解得左二”,或左=。(舍去)，

即“+2”+9的最大值為I+2X"=I+”=2,因此選項。正確.

a+3844

故選：ABD.

【點評】本題以命題的真假判斷為載體，考查了直線與圓位置關系的應用，與圓有關的最值問題，點到直

線距離公式的理解與應用，圓的方程的理解與應用，考查了邏輯推理能力與化簡運算能力，屬于中檔題.

13.(2024?洪山區校級模擬)已知AQ,%),B(X2,%)是圓°：/+/=1上兩點，則下列結論正確的是

()

A.若點O到直線的距離為工，則|42|=若

2

B.若AAC?的面積為占，則4408=生

43

C.若占X2+%%=。，則點O到直線AB的距離為個

D.|玉+必-1|的最大值為夜+1,最小值為應-1

【答案】AC

【考點】直線與圓的位置關系

【專題】數學運算；對應思想；定義法；直線與圓

【分析】利用弦長公式判定選項A正確；

12

先利用三角形的面積公式求出sin/AOB=走，再結合角的范圍判定選項3錯誤；

2

利用數量積的計算公式求出cosNAO3=J,進而判定三角形的形狀判定選項C正確；

2

設再=cos。，無2=sin。，且噴02乃，利用輔助角公式和三角函數的性質判定選項。錯誤.

【解答】解：對于A：易知圓0：d+y2=1的半徑廠=1,

因為點O到直線AB的距離d=L

2

所以|A8|=2戶彳=2，二［=6,即選項A正確；

對于B：因為AAC?的面積為迫，

4

所以』|OA||O3|sinNAOB=@,

24

即^sinNAOB=@,解得sinNAOB=正，

242

因為OcNAOB〈萬，

所以408=工或NAO3=二，即選項3錯誤；

33

對于C：因為占％+所以0402=/,

BPIOAI-IOBIcosZAOB=-,BPcosZAOB=-,

22

TT

因為0<NAOB<萬，所以/AOB=—,

3

;.AAOB是邊長為1的等邊三角形，

所以點O到直線的距離為且，即選項。正確；

2

對于￡）：由題意設％=cos。，7i=sin,且掇上2兀,貝！J|石+y_l|=|cose+sine-l|=|0sin（9+g—l|,

因為怎BIn,所以三轟收+工藝，

444

則一瑜瓦n（6>+生）1,一用啦sin（6+工）0,

44

-V2-l^!i/2sin（6>+-）-l應-1,

4

所以澈|應sin（O+4-1|A/2+I,

4

即噫也%+%-1|V2+1,即選項。錯誤.

故選：AC.

【點評】本題考查直線與圓的位置關系，是中檔題.

13

14.(2024?江西模擬)設圓。:(犬-1)2+();_1)2=3,直線/:3x+4y+3=0,P為/上的動點，過點P作圓C

的兩條切線上4、PB,切點為A、B,M、N為圓上任意兩點，則下列說法中正確的有()

A.|PA|的取值范圍為［1,+oo)

B.四邊形E4cB面積的最大值為百

C.滿足NAPS=60。的點P有兩個

D.AC鉆的面積最大值為研

4

【答案】AC

【考點】直線與圓的位置關系

【專題】綜合法；數學運算；轉化思想；圓錐曲線的定義、性質與方程；綜合題

【分析】根據切線長公式即可求解A,B,C,根據三角形的面積公式可求解。.

【解答】解：圓心C(l,l)至I直線/：3x+4y+3=0的距離"=單空掃=2,

V32+42

所以|PC|..d=2,因為圓的半徑為r=g,

根據切線長公式可得IPA|=y1\PC|2-r2..1,

當尸C，/時取得等號，所以|PA|的取值范圍為口，+oo),故A正確；

因為F4J_AC,所以四邊形R4CB的面積等于2*5“公=1尸4卜|47|=班|巳4|..若，

四邊形P4cB的最小值為6,故3錯誤；

因為NAPB=60。，所以NAPC=30。，

在直角三角形APC中，^^=sin30°=-,所以|C尸|=2若，

\CP\2

設P(a,-衛士，因為|CP|=J(a-l)2+(-^^-l)2=2y/3，

4V4

整理得25a2+10?！?27=0,

則有△=100+12700>0,所以滿足條件的點P有兩個，故C正確；

13

因為&CAB=-\CA\\CB\smZACB=-sinZACB,

所以當sinNACB=l,即NACB=90。，面積有最大值為—，

2

此時四邊形R4CB為正方形，貝1」|尸口=萬萬=布>2,滿足要求，故。錯誤，

故選：AC.

【點評】本題考查切線長定理，考查三角形的面積，考查兩點間的距離公式，屬中檔題.

15.(2024?日照模擬)已知尸(西，3),。(尤2，為)是曲線C：7f-6y+6y2+|無2+6y-3|=21上不同的兩

14

點，O為坐標原點，貝！1（）

A.尤；+皿的最小值為3

B-2襲yX+（y「l）2+Jd+（x+l）24

C.若直線y=fcc+3與曲線。有公共點，則左e（—oo,-半］［孚，+00）

D.對任意位于y軸左側且不在無軸上的點尸，都存在點Q,使得曲線C在尸，Q兩點處的切線垂直

【答案】BCD

【考點】直線與圓的位置關系

【專題】解題思想；能力層次；綜合題；解題方法；高考數學專題；數學運算；方程思想

【分析】根據題中曲線表達式去絕對值化簡，根據表達式求值判定A,根據幾何意義判斷3,根據直線與

橢圓的位置關系判斷C,根據圖形特征以及切線概念判斷。.

【解答】解：因為7爐_6了+6y2+|龍2+6”3|=21,

22

所以①當尤?+6y-3..0時，曲線C的方程為：8尤2+69=24,即土+&=1,

34

此時f=3x（1-匕），所以3-士+6y-3..0,解得噫68,則此時騏62,

44

所以曲線C是上半橢圓；

②當彳2+6>-3<0時，曲線C的方程為：6犬+6/-12>-18=0,

即x2+(y-1)2=4,

將/=4一（>-1）2代入％2+6丫-3<0,解得y>2或y<0,貝U此時一L,y<0,

曲線C是以（0,1）為圓心，2為半徑的圓在y軸下側的部分,

+y；=3+J..3,當％=0時取最小值3,

當y<0時，耳+父=4_（弘_1）2+才=2%+3,當芳=-1時取最小值1,則才+y；的最小值為1,故A錯

15

誤；

選項5：因為+(%—1)-+4心+(%+1)-表小點(X[,%)與點(0,1)和點(0,-1)的距禺之和，

22

當y..。時，點(0,1)和點(0,-1)為橢圓(+1=1的焦點，

由橢圓定義可知J旬+(%—I)?+商+(%+1)2=4,

當y<0時，點(0,1)為圓爐+(,-1)2=4的圓心，點(0,-1)在圓V+0-1)2=4上，所以

+(J]-I)2+J才+(%+1)2=2+Jk+(%+1)2,

當點P在(-區0)或(省,0)時戰+(弘+1)2最大,且為2,所以2轟Wk+(%-1)2+戰+(%+1)24,故3

正確；

選項C：直線y=fcc+3過定點(0,3),當直線經過(-3,0)或(6,0)時，直線斜率％=±若，

區+工=1

聯立43一，化簡得(4+3左2)/+18丘+15=0,因直線>=依+3與曲線C有公共點，即4

y=kx+3

=(18^)2-4(4+3^2)X15..0,解得長..姮或鼠,

33

所以直線>=區+3與曲線C有公共點時左e(-00,-孚1，[乎,+oo),故C正確；

選項。：當點尸在橢圓上時，對任意位于y軸左側且不在x軸上的點P,則曲線C在點P處的切線斜率可

以取任何非零正實數，

曲線C在y軸右側橢圓部分切線斜率也可以取到任何非零負實數，使得兩切線斜率為負倒數，

同理，當點P在圓上時，對任意位于y軸左側且不在x軸上的點尸，

則曲線C在點P處的切線斜率可以取任何非零負實數，曲線C在y軸右側圓部分切線斜率也可以取到任何

非零正實數，使得兩切線斜率為負倒數，

所以對任意位于y軸左側且不在x軸上的點P,都存在點。，使得曲線C在尸，。兩點處的切線垂直，故

。正確.

故選：BCD.

【點評】本題考查解析幾何的綜合問題，屬中檔題.

三.填空題(共5小題)

16.(2024?蓮湖區校級三模)已知點A(8,-6)與圓C:f+;/=25,尸是圓C上任意一點，貝U|AP|的最小

值是5.

【考點】J5：點與圓的位置關系

16

【專題】11：計算題；29：規律型；35：轉化思想；5B：直線與圓

【分析】求出點4（8,-6）與圓C的圓心（0,0）的距離，用此距離減去半徑即為所求.

【解答】解：點4（8,-6）與圓C的圓心（0,0）的距離等于7（8-0）2+（-6-0）2=10,

故|AP|的最小值是10減去半徑5,等于5,

故答案為：5.

【點評】本題考查點與圓的位置關系，圓外一點與圓上的點間的最小距離等于點與圓心的距離減去半徑.

17.（2024?撫州模擬）若直線/:y=2x與圓。:9+/一？尤一3=0交于A,3兩點，則|筋|=_半_.

【考點】直線與圓的位置關系

【專題】直線與圓；數學運算；計算題；轉化思想；綜合法

【分析】首先確定圓心和半徑，應用點到直線距離公式求圓心到直線/的距離，再由幾何法求弦長即可.

【解答】解:由圓C:（x-1）2+丁=4,故圓心C（l,0）,半徑為r=2,直線/:2x-y=0,

故圓心到直線I的距離為八i=-I=2,

#+（-D2小

【點評】本題考查直線與圓的綜合運用，考查運算求解能力，屬于基礎題.

18.（2024?浦東新區二模）已知圓G：尤2+9一2℃+。2-1=0（。>0）,圓C2：f+;/-4y-5=0,若兩圓相

交，則實數。的取值范圍為_（0,2百）

【答案】（0,26）.

【考點】圓與圓的位置關系及其判定

【專題】數學運算；轉化思想；計算題；直線與圓；綜合法

【分析】由已知結合兩圓位置關系的條件建立關于。的不等式，即可分別求解.

【解答】解：因為圓G'X2+V一2辦+/_]=0（〃>0）可化為（九一〃）2+,2=],圓心6（々,0）,半徑為1,

圓C2：x2+y2-4y_5=0可化為/+（y-2）2=9,圓心C2Q2）,半徑為3,|81=，，+4,

若兩圓相交，則3-l<|CC|<1+3,BP0<a<2A/3.

故答案為：（0,26）.

【點評】本題主要考查了兩圓位置關系的應用，屬于基礎題.

17

19.(2024?武清區校級模擬)已知直線x+y-5=0與圓C:x?+y2-4x+2y+〃z=0相交于A,3兩點，且

\AB\=4,則實數〃z=_-7_.

【答案】-7.

【考點】直線與圓的位置關系

【專題】綜合法；方程思想；數學運算；直線與圓

【分析】利用垂徑定理列方程求解即可.

【解答】解：根據題意，圓龍2+;/-4x+2y+/"=0,

即(x-2)2+(y+l)2=5-〃z,其圓心為(2,-1),半徑廠=j5-7〃,〃z<5,

若|AB|=4,則圓心到直線I即AB的距離d=一(號ly=75-m-4=,

又由圓心到直線x+y—5=0的距離d==20,

V1+1

則有VT7荷=2應，

解可得：m=-n.

故答案為：-7.

【點評】本題考查直線與圓的位置關系，考查運算求解能力，屬于基礎題.

20.(2024?和平區模擬)已知圓C以點(1,1)為圓心，且與直線-丫-2m=0(〃2?氏)相切，則滿足以上條

件的圓C的半徑最大時，圓C的標準方程為_(x-l)2+(y-l)2=2_.

【答案】(x-l)2+(y-l)2=2.

【考點】直線與圓的位置關系；圓的標準方程

【專題】計算題；轉化思想；直線與圓；綜合法；數學運算

【分析】確定直線過定點，可得最大半徑，求出所求圓的標準方程，即可得出結論.

【解答】解：直線mx-y-2〃z=0,可化為租(x-2)-y=0,

x—2=0且—y=0,

x=2,y=0,

直線過定點(2,0),

當圓C半徑最大時,半徑7(2-1)2+(0-1)2=0,

所求圓的標準方程為(x-Ip+(y-1)?=2.

故答案為：(x-l)2+(y-l)2=2.

18

【點評】本題考查圓的方程，考查直線過定點，考查學生的計算能力，屬于中檔題.

四.解答題（共5小題）

21.（2024?黑龍江模擬）已知圓C:x?+2（2-相）y+m-1=0,meR.

（1）證明：圓C過定點；

（2）當加=0時，點尸為直線1上的動點，過尸作圓C的兩條切線，切點分別為A,B,求四邊

63

形PACB面積最小值，并寫出此時直線4?的方程.

【答案】（1）證明見解析.

（2）面積最小值為56，2x+4y+3=0.

【考點】切點弦及所在直線的方程

【專題】綜合法；數學運算；計算題；直線與圓；轉化思想

【分析】（1）依題意改寫圓的方程，令參數的系數為0即可；

（2）依題意表示出所求面積，再用點到直線的距離公式即可求解.

【解答】解：（1）依題意，將圓C的方程f-〃zx+y2+2（2-機）y+〃?-l=0化為

x2+y2+4y—1+(1—x—2y)m=0,

令1一元一2y=0,即x=l—2y,貝！I(l—2y)2+/+4y-l=0恒成立,

解得x=l,y=0,即圓C過定點(1,0).

(2)當〃z=0時，圓C:f+(y+2)2=5,

直線

63