專題10.1分類加法計數原理與分步乘法計數原理【四大題型】

【新高考專用】

?熱點題型歸納

【題型1分類加法計數原理的應用】............................................................3

【題型2分步乘法計數原理的應用】............................................................3

【題型3涂色問題】...........................................................................4

【題型4兩個計數原理的綜合應用】............................................................5

?考情分析

1、分類加法計數原理與分步乘法計數原理

考點要求真題統計考情分析

2023年新高考I卷：第13題，

5分

⑴理解分類加法計數原從近幾年的高考情況來看，高考對

2023年新高考II卷：第3題，

理、分步乘法計數原理及兩個計數原理的考查比較穩定，多以選

5分

其意義擇題、填空題的形式出現，以考查兩個

2023年全國乙卷(理數)：第

⑵能利用計數原理解決計數原理的基本概念與步驟方法為主，

7題，5分

簡單的實際問題往往與排列組合結合考查，難度不大.

2023年全國甲卷(理數)：第

9題，5分

?知識梳理

【知識點1分類加法計數原理與分步乘法計數原理】

1.分類加法計數原理

(1)分類加法計數原理的概念

完成一件事直兩類不同方案，在第1類方案中有相種不同的方法，在第2類方案中有〃種不同的方法,

那么完成這件事共有N=m+n種不同的方法.

概念推廣：完成一件事有一類不同方案，在第1類方案中有犯種不同的方法，在第2類方案中有牝種

不同的方法，…，在第"類方案中有犯，種不同的方法，那么完成這件事共有心〃?1+優2+，”+肛,種不同

的方法.

(2)分類的原則

分類計數時，首先要根據問題的特點，確定一個適當的分類標準，然后利用這個分類標準進行分類，

分類時要注意兩個基本原則：一是完成這件事的任何一種方法必須屬于相應的類；二是不同類的任意兩種

方法必須是不同的方法，只要滿足這兩個基本原則，就可以確保計數時不重不漏.

2.分步乘法計數原理

(1)分步乘法計數原理的概念

完成一件事需要兩個步驟，做第1步有機種不同的方法，做第2步有"種不同的方法，那么完成這件

事共有N=mxn種不同的方法.

概念推廣：完成一件事需要“個步驟，做第1步有殉種不同的方法，做第2步有g種不同的方法，???，

做第w步有"2"種不同的方法，那么完成這件事共有2加1乂〃22乂...義加“種不同的方法.

(2)分步的原則

①明確題目中所指的“完成一件事”是指什么事，怎樣才能完成這件事，也就是說，弄清要經過哪幾步才

能完成這件事；

②完成這件事需要分成若干個步驟，只有每個步驟都完成了，才算完成這件事，缺少任何一步，這件

事就不可能完成；不能缺少步驟.

③根據題意正確分步，要求各步之間必須連續，只有按照這"個步驟逐步去做，才能完成這件事，各

個步驟既不能重復也不能遺漏.

3.分類加法計數原理與分步乘法計數原理的辨析

⑴聯系

分類加法計數原理和分步乘法計數原理解決的都是有關完成一件事的不同方法的種數問題.

(2)區別

分類加法計數原理每次得到的都是最后結果，而分步乘法計數原理每步得到的都是中間結果，具體區

別如下表：

區別分類加法計數原理分步乘法計數原理

①針對的是“分類”問題針對的是“分步”問題

②各種方法相互獨立各個步驟中的方法互相依存

用其中任何一種方法都可以完成這件

③只有各個步驟都完成才算完成這件事

事

(3)分類加法計數原理與分步乘法計數原理的合理選擇

分類一將問題分為互相排斥的幾類，逐類解決一分類加法計數原理；

分步一將問題分為幾個相互關聯的步驟，逐步解決一分步乘法計數原理.

在解決有關計數問題時，應注意合理分類，準確分步，同時還要注意列舉法、模型法、間接法和轉換

法的應用.

【知識點2分類、分步計數原理的解題策略】

1.分類加法計數原理的解題策略

分類標準是運用分類加法計數原理的難點所在，應抓住題目中的關鍵詞、關鍵元素和關鍵位置.

(1)根據題目特點恰當選擇一個分類標準；

(2)分類時應注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法才

是不同的方法，不能重復；

(3)分類時除了不能交叉重復外，還不能有遺漏.

2.分步乘法計數原理的解題策略

（1）利用分步乘法計數原理解決問題要按事件發生的過程合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步

必須滿足：完成一件事的各個步驟是相互依存的，只有各個步驟都完成了，才算完成這件事.

（2）分步必須滿足兩個條件：一是步驟互相獨立，互不干擾；二是步與步確保連續，逐步完成.

【方法技巧與總結】

分類加法計數原理與分步乘法計數原理是解決排列組合問題的基礎，并貫穿其始終.

（1）分類加法計數原理中，完成一件事的方法屬于其中一類，并且只屬于其中一類.

（2）分步乘法計數原理中，各個步驟中的方法相互依存，步與步之間”相互獨立，分步完成”.

?舉一反三

【題型1分類加法計數原理的應用】

【例1】（2024?全國.模擬預測）從1至7這7個整數中隨機取出3個不同的數，則它們的積與和都是3的

倍數的不同取法有（）

A.9種B.12種C.20種D.30種

【變式1-1］（2024?浙江溫州?模擬預測）平面上的兩個點月），B（X2,y2）,其中橫縱坐標均為自然數,

且不大于5,則兩點之間的距離可以有多少種取值（）

A.19B.20C.25D.27

【變式1-2］（2024.安徽?模擬預測）甲、乙等6名高三同學計劃今年暑假在4B,C,D四個景點中選擇一個打

卡游玩，若每個景點至少有一個同學去打卡游玩，每位同學都會選擇一個景點打卡游玩，且甲、乙都單獨1

人去某一個景點打卡游玩，則不同游玩方法有（）

A.96種B.132種C.168種D.204種

【變式1-3］（2024?貴州黔東南?二模）在幾個數碼1,2,…,W9,neN*）的全排列人為…九中，若一個較大

的數碼排在一個較小的數碼的前面，則稱它們構成一個逆序，這個排列的所有逆序個數的總和稱為這個排

列的逆序數，記為70優…％）?例如，在3個數碼的排列312中，3與1,3與2都構成逆序，因此7（312）=2.

那么7（87542136）=（）

A.19B.20C.21D.22

【題型2分步乘法計數原理的應用】

【例2】（2024?湖北武漢.模擬預測）五一小長假前夕，甲、乙、丙三人從4B,C,。四個旅游景點中任選

一個前去游玩，其中甲到過4景點，所以甲不選4景點，則不同的選法有（）

A.64種B.48種C.36種D.24種

【變式2-1］（2024?河南鄭州?模擬預測）已知x€Z,yEZ,則滿足方程孫+2024Q-y）=8092的解（％y）

的個數為（）

A.27B.54C.108D.216

【變式2-2］（2024?湖南岳陽?三模）把5個人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人,

甲乙安排在不相鄰的兩天，乙丙安排在相鄰的兩天，則不同的安排方法數是（）

A.96種B.60種C.48種D.36種

【變式2-3］（2024?海南?模擬預測）將“1,2,2,3,4,5”這6個數字填入如圖所示的表格區域中，每個

區域填一個數字，1不在4區域且三列中只有中間一列區域的數字之和為7,若中間一列填2和5,則不同的

B.24種C.36種D.48種

【題型3涂色問題】

【例3】（2024?四川資陽?模擬預測）某社區計劃在該小區內如圖所示的一塊空地布置花卉，要求相鄰區域

布置的花卉種類不同，且每個區域只布置一種花卉，若有5種不同的花卉可供選擇，則不同的布置方案有

C.480種D.540種

【變式3-1］（2024?遼寧?模擬預測）為迎接元宵節，某廣場將一個圓形區域分成4B,C,D,E五個部分（如圖

所示），現用4種顏色的鮮花進行裝扮（4種顏色均用到），每部分用一種顏色，相鄰部分用不同顏色，則

C.24種D.12種.

【變式3-2］（2024?全國.模擬預測）如圖，A,B,C,。為四個不同的區域，現有紅、黃、藍、黑4種顏色,

對這四個區域進行涂色，要求相鄰區域涂不同的顏色（A與C不相鄰，8與。不相鄰），則使用2種顏色涂

色的概率為（）

【變式3-3］（2024.廣西南寧.模擬預測）五行是華夏民族創造的哲學思想.多用于哲學、中醫學和占卜方面

五行學說是華夏文明重要組成部分.古代先民認為，天下萬物皆由五類元素組成，分別是金、木、水、火、

土，彼此之間存在相生相克的關系.五行是指木、火、土、金、水五種物質的運動變化.所以，在中國，“五

行”有悠久的歷史淵源.下圖是五行圖，現有4種顏色可供選擇給五“行”涂色，要求五行相生不能用同一種顏

色（例如木生火，木與火不能同色，水生木，水與木不能同色），五行相克可以用同一種顏色（例如火與

水相克可以用同一種顏色），則不同的涂色方法種數有（）

韋

A.30B.120C.150D.240

【題型4兩個計數原理的綜合應用】

【例4】（23-24高二上.江西九江.期末）從1,2,3,4,5,6,7,9中，任取兩個不同的數作對數的底數

和真數，則所有不同的對數的值有（）

A.30個B.42個C.41個D.39個

【變式4-1］（2024?河北?模擬預測）用0,1,2,3,4能組成沒有重復數字且比32000小的數字（）個.

A.212B.213C.224D.225

【變式4-2］（24-25高三上?江蘇南京?開學考試）甲、乙、丙、丁共4名同學參加某知識競賽，已決出了第

1名到第4名（沒有并列名次），甲、乙、丙三人向老師詢問成績，老師對甲和乙說：“你倆名次相鄰“，對

丙說：“很遺憾，你沒有得到第1名”，從這個回答分析，4人的名次排列情況種數為（）

A.4B.6C.8D.12

【變式4-3]（2024高二?全國?專題練習）從正十五邊形的頂點中選出3個構成鈍角三角形，則不同的選法

有（）.

A.105種B.225種C.315種D.420種

?過關測試

一、單選題

1.（2024?陜西商洛?三模）甲、乙、丙、丁、戊5名大學生實習時，有A,B,C三家企業可供選擇，若去

C企業最多一人，則不同分配種數是（）

A.112B.80C.64D.32

2.（2024?陜西西安?三模）方程孫=2160的非負整數解的組數為（）

A.40B.28C.22D.12

3.（2024?山東淄博?一模）小明設置六位數字的手機密碼時，計劃將自然常數e=2.71828…的前6位數字

2,7,1,8,2,8進行某種排列得到密碼.若排列時要求相同數字不相鄰，且相同數字之間有一個數字，則

小明可以設置的不同密碼種數為（）

A.24B.16C.12D.10

4.（2024.山東泰安.模擬預測）某市人民醫院急診科有3名男醫生和4名女醫生，內科有4名男醫生和4名女

醫生，現從該醫院急診科和內科各選派1名男醫生和1名女醫生組成4人組，參加省人民醫院組織的交流會，

則所有不同的選派方案有（）

A.192種B.180種C.29種D.15種

5.（2024?四川成都?模擬預測）《第二十條》、《熱辣滾燙》、《飛馳人生2》三部賀歲片引爆了2024年

春節電影市場.某電影院同時段播放這三部電影，小李和小明每人只能選擇看其中的一場電影，則兩位同

學選擇的電影不相同的概率為（）

A.-B.-C.-D.-

6233

6.（2024?重慶沙坪壩?模擬預測）用a代表紅球，6代表藍球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，從1

個紅球和1個藍球中取出若干個球的所有取法可由（l+a”（l+b）的展開式1+a+b+ab表示出來,

如：“1”表示一個球都不取、“a”表示取出一個紅球，而“ab”表示把紅球和藍球都取出來，以此

類推，下列各式中，其展開式可用來表示從3個無區別的紅球、3個無區別的藍球、2個有區別的黑

球中取出若干個球，且所有藍球都取出或都不取出的所有取法的是（）

A.(1+a+a2+a3)(l+b3)(l+c)2

B.(1+a3)(l+b+b2+b3)(l+c)2

C.(1+a)3(l+b+。2+。3)(1+02)

D.(1+a3)(l+fe)3(l+c+c2)

7.（23-24高二上.山東德州.階段練習）中國是世界上最早發明雨傘的國家，傘是中國勞動人民一個重要的

創造.如圖所示的雨傘，其傘面被傘骨分成8個區域，每個區域分別印有數字1,2,3,8.現準備給該傘

面的每個區域涂色，要求每個區域涂一種顏色，相鄰兩個區域所涂顏色不能相同，對稱的兩個區域（如區域1

與區域5）所涂顏色相同.若有6種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有（）

A.550種B.630種

C.720種D.840種

8.（2024?四川南充?模擬預測）距高考30天之際，高三某班級五位同學打算利用周末親近大自然，陶冶情

操，釋放壓力.這五位同學準備星期天在凌云山景區，印象嘉陵江濕地公園，西山風景區三個景點中選擇一

個去游玩，已知每個景點至少有一位同學會選，五位同學都會進行選擇并且只能選擇其中一個景點，若學

生甲和學生乙準備選同一個景點，則不同的選法種數為（）

A.18B.36C.48D.32

二、多選題

9.（23-24高三下?全國?強基計劃）某城市內有若干街道，所有街道都是正東西或南北向，某人站在某段正

中央開始走，每個點至多經過一次，最終回到出發點.已知向左轉了100次，則可能向右轉了（）次.

A.96B.98C.104D.102

10.（23-24高二下?湖北武漢.階段練習）數學中蘊含著無窮無盡的美，尤以對稱美最為直觀和顯著.回文數

是對稱美的一種體現，它是從左到右與從右到左讀都一樣的正整數，如22,121,3443,94249等，顯然兩

位回文數有9個：位22,33,....99；三位回文數有90個：101,111,121,191,202,999.

下列說法正確的是（）

A.四位回文數有45個B.四位回文數有90個

C.2n（neN*）位回文數有1。"個D.2n+1（neN*）位回文數有9x10rl個

11.（2024?重慶?模擬預測）如圖，16枚釘子釘成4x4的正方形板，現用橡皮筋去套釘子，則下列說法正確

的有（不同的圖形指兩個圖形中至少有一個頂點不同）（）

A.可以圍成20個不同的正方形

B.可以圍成24個不同的長方形（鄰邊不相等）

C.可以圍成516個不同的三角形

D.可以圍成16個不同的等邊三角形

三、填空題

12.（2024.湖南岳陽?模擬預測）甲、乙、丙、丁、戊5名大學生實習時，有A,B,C三家企業可供選擇，

若去C企業最多一人，則不同分配種數是.

13.（2024?河南濮陽?模擬預測）對一個四棱錐各個頂點著色，現有5種不同顏色供選擇，要求同一條棱連

接的兩個頂點不能著相同的顏色，則不同的著色方法有種（用數字作答）.

14.（2024.江蘇連云港.模擬預測）某排球賽共有三個組：第一、二組各有6個隊，第三組有7個隊，首先

各組進行單循環賽，然后各小組的第一名共3個隊分主客場進行決賽，最終決出冠、亞軍，則該排球比賽

一共需要比賽場.

四、解答題

15.（2024高三.全國?專題練習）分別編有1,2,3,4,5號碼的人與椅，其中i號人不坐i號椅（i=1,2,

3,4,5）的不同坐法有多少種？

16.（24-25高二上?全國?課后作業）將三個分別標有A,B,C的球隨機放入編號為1,2,3,4的四個盒子

中.求：

（1）1號盒中無球的不同放法種數；

(2)1號盒中有球的不同放法種數.

17.(23-24高二下?青海西寧?期中)由0,1,2,3,4這五個數字.

(1)能組成多少個無重復數字的五位數？

(2)能組成多少個無重復數字的五位偶數？

(3)組成無重復數字的五位數中比21034大的數有多少個？

18.(23-24高二下?安徽合肥?期中)如圖，從左到右有5個空格.

(1)若向這5個格子填入0,1,2,3,4五個數，要求每個數都要用到，且第三個格子不能填0,則一共有多

少不同的填法？(用數字作答)

(2)若給這5個空格涂上顏色，要求相鄰格子不同色，現有紅黃藍3顏色可供使用，問一共有多少不同的涂

法？(用數字作答)

(3)若把這5個格子看成5個企業，現安排3名校長與5個企業洽談，若每名校長與2家企業領導洽談，每

家企業至少接待1名校長，則不同的安排方法共有多少種(用數字作答).

19.(23-24高二下.廣東茂名.期中)某校高二年級開設了《數學建模》、《電影賞析》、《經典閱讀》、

《英語寫作》四門校本選修課程，甲、乙、丙三位同學打算在上述四門課程中隨機選擇一門進行學習，已

知三人選擇課程時互不影響，且每人選擇每一門課程都是等可能的.

(1)三人共有多少種不同的課程選擇種數?

(2)求三位同學選擇的課程互不相同的概率；

(3)若至少有兩位同學選擇《數學建?！?，則三人共有多少種不同的選課種數?

專題10」分類加法計數原理與分步乘法計數原理【四大題型】

【新高考專用】

?熱點題型歸納

【題型1分類加法計數原理的應用】............................................................3

【題型2分步乘法計數原理的應用】............................................................3

【題型3涂色問題】...........................................................................4

【題型4兩個計數原理的綜合應用】............................................................5

?考情分析

1、分類加法計數原理與分步乘法計數原理

考點要求真題統計考情分析

2023年新高考I卷：第13題，

5分

⑴理解分類加法計數原從近幾年的高考情況來看，高考對

2023年新高考II卷：第3題，

理、分步乘法計數原理及兩個計數原理的考查比較穩定，多以選

5分

其意義擇題、填空題的形式出現，以考查兩個

2023年全國乙卷(理數)：第

⑵能利用計數原理解決計數原理的基本概念與步驟方法為主，

7題，5分

簡單的實際問題往往與排列組合結合考查，難度不大.

2023年全國甲卷(理數)：第

9題，5分

?知識梳理

【知識點1分類加法計數原理與分步乘法計數原理】

1.分類加法計數原理

(1)分類加法計數原理的概念

完成一件事直兩類不同方案，在第1類方案中有相種不同的方法，在第2類方案中有〃種不同的方法,

那么完成這件事共有N=m+n種不同的方法.

概念推廣：完成一件事有〃類不同方案，在第1類方案中有犯種不同的方法，在第2類方案中有加2種

不同的方法，…，在第w類方案中有〃7“種不同的方法，那么完成這件事共有N=〃％+加2+…+加”種不同

的方法.

(2)分類的原則

分類計數時，首先要根據問題的特點，確定一個適當的分類標準，然后利用這個分類標準進行分類，

分類時要注意兩個基本原則：一是完成這件事的任何一種方法必須屬于相應的類；二是不同類的任意兩種

方法必須是不同的方法，只要滿足這兩個基本原則，就可以確保計數時不重不漏.

2.分步乘法計數原理

(1)分步乘法計數原理的概念

完成一件事需要兩個步驟，做第1步有％種不同的方法，做第2步有〃種不同的方法，那么完成這件

事共有N=mxn種不同的方法.

概念推廣：完成一件事需要〃個步驟，做第1步有犯種不同的方法，做第2步有嗎種不同的方法，…，

做第"步有機"種不同的方法，那么完成這件事共有N=的x%2X...x加“種不同的方法.

(2)分步的原則

①明確題目中所指的“完成一件事”是指什么事，怎樣才能完成這件事，也就是說，弄清要經過哪幾步才

能完成這件事；

②完成這件事需要分成若干個步驟，只有每個步驟都完成了，才算完成這件事，缺少任何一步，這件

事就不可能完成；不能缺少步驟.

③根據題意正確分步，要求各步之間必須連續，只有按照這"個步驟逐步去做，才能完成這件事，各

個步驟既不能重復也不能遺漏.

3.分類加法計數原理與分步乘法計數原理的辨析

⑴聯系

分類加法計數原理和分步乘法計數原理解決的都是有關完成一件事的不同方法的種數問題.

(2)區別

分類加法計數原理每次得到的都是最后結果，而分步乘法計數原理每步得到的都是中間結果，具體區

別如下表：

區別分類加法計數原理分步乘法計數原理

①針對的是“分類”問題針對的是“分步”問題

②各種方法相互獨立各個步驟中的方法互相依存

用其中任何一種方法都可以完成這件

③只有各個步驟都完成才算完成這件事

事

(3)分類加法計數原理與分步乘法計數原理的合理選擇

分類-將問題分為互相排斥的幾類，逐類解決一分類加法計數原理；

分步一將問題分為幾個相互關聯的步驟，逐步解決一分步乘法計數原理.

在解決有關計數問題時，應注意合理分類，準確分步，同時還要注意列舉法、模型法、間接法和轉換

法的應用.

【知識點2分類、分步計數原理的解題策略】

1.分類加法計數原理的解題策略

分類標準是運用分類加法計數原理的難點所在，應抓住題目中的關鍵詞、關鍵元素和關鍵位置.

(1)根據題目特點恰當選擇一個分類標準；

(2)分類時應注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法才

是不同的方法，不能重復；

(3)分類時除了不能交叉重復外，還不能有遺漏.

2.分步乘法計數原理的解題策略

(1)利用分步乘法計數原理解決問題要按事件發生的過程合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步

必須滿足：完成一件事的各個步驟是相互依存的，只有各個步驟都完成了，才算完成這件事.

(2)分步必須滿足兩個條件：一是步驟互相獨立，互不干擾；二是步與步確保連續，逐步完成.

【方法技巧與總結】

分類加法計數原理與分步乘法計數原理是解決排列組合問題的基礎，并貫穿其始終.

(1)分類加法計數原理中，完成一件事的方法屬于其中一類，并且只屬于其中一類.

(2)分步乘法計數原理中，各個步驟中的方法相互依存，步與步之間”相互獨立，分步完成”.

?舉一反三

【題型1分類加法計數原理的應用】

【例1】(2024?全國?模擬預測)從1至7這7個整數中隨機取出3個不同的數，則它們的積與和都是3的

倍數的不同取法有()

A.9種B.12種C.20種D.30種

【解題思路】

根據題意分3個不同的數中不含3和6,取出的3個不同的數中含有3不含有6,取出的3個不同的數中含

有6不含有3,取出的3個不同的數中含有3和6時四種情況研究即可.

【解答過程】

①當取出的3個不同的數中不含3和6時，顯然它們的積不可能是3的倍數，不符合題意；

②當取出的3個不同的數中含有3不含有6時，它們的積一定是3的倍數，

但只有當另外2個數是(1,2),(1,5),(2,4),(2,7),(4,5),(5,7)時，

它們的和才是3的倍數，共有6種取法；、

③當取出的3個不同的數中含有6不含有3時，它們的積一定是3的倍數，

但只有當另外2個數是(1,2),(1,5),(2,4),(2,7),(4,5),(5,7)時，

它們的和才是3的倍數，也有6種取法；

④當取出的3個不同的數中含有3和6時，它們的積一定是3的倍數，

但它們的和一定不是3的倍數，不符合題意.

綜上，它們的積與和都是3的倍數的不同取法有6+6=12(種)，

故選：B.

【變式1-1](2024?浙江溫州?模擬預測)平面上的兩個點A(久1，%)，B(X2,y2),其中橫縱坐標均為自然數,

且不大于5,則兩點之間的距離可以有多少種取值()

A.19B.20C.25D.27

【解題思路】依題先確定勺,犯，力，月中任意兩個數的差的絕對值的所有可能值有0,123,4,5共6個，推得

（與-久2產與（乃-為/的可能的取值都分別有0,1,4,9,16,25共6個，再結合兩點間距離公式，考慮|ZB|的不

同取值即得.

【解答過程】依題意，x1,x2,y1,y2GN,且刀1，刀2，為，〉2均不大于5，

將其中任意兩個數的差的絕對值記為dr則叢可能的值有0,1,2,3,4,5共6個，

而%），B（x2,、2）之間的距離為I力B|=501-刀2）2+01-%）2,

而01-冷）2與01—%）2的可能的取值都分別有0,1,4,9,16,25共6個，

故|48|的不同取值可分成五類：

①|石一町1與1%-力沖有一個取。，另一個可取0,1,2,3,4,5六個數,則|AB|的不同取值有：0,123,4,5；

②出—與從一光1中有一個取1，另一個可取123,4,5五個數，則|4司的不同取值有：

V2,A/5,V10,V17,V26；

③%-亞1與-、2沖有一個取2,另一個可取2,3,4,5四個數，則|AB|的不同取值有：2a,舊,2低包;

④出一句與仇-、2l中有一個取3,另一個可取3,5兩個數，貝的不同取值有：3vx后，

⑤出一切與I%—沖有一個取%另一個可取4,5兩個數，則|4司的不同取值有：4V2,V41；

@|xi-。與1%-%1均取5時,則兇兇的不同取值有5立;

由分類加法計數原理可得，不同的取值共有6+5+4+2+2+1=20個.

故選：B.

【變式1-2]（2024?安徽?模擬預測）甲、乙等6名高三同學計劃今年暑假在4B,C,D四個景點中選擇一個打

卡游玩，若每個景點至少有一個同學去打卡游玩，每位同學都會選擇一個景點打卡游玩，且甲、乙都單獨1

人去某一個景點打卡游玩，則不同游玩方法有（）

A.96種B.132種C.168種D.204種

【解題思路】根據題意，剩下4人去其他兩個景點游玩，由此按游玩的人數分2種情況討論，結合分類加

法計數原理，即可求解.

【解答過程】由題意，甲、乙都單獨1人去某一個景點打卡游玩，

則剩下的4人去其他兩個景點游玩，有兩種情況：

①若3位同學去一個景點，1位同學去另一個景點，有A：熊=96種不同游玩方法；

②分別都是2位同學去一個景點，有A〃嬰?A'=72種不同游玩方法，

由分類計數原理得，共有96+72=168種.

故選：C.

【變式1-3](2024.貴州黔東南.二模)在幾個數碼1,2,…,W9,n6N*)的全排列九力…九中，若一個較大

的數碼排在一個較小的數碼的前面，則稱它們構成一個逆序，這個排列的所有逆序個數的總和稱為這個排

列的逆序數，記為TO"?…%).例如，在3個數碼的排列312中，3與1,3與2都構成逆序，因此7(312)=2.

那么7(87542136)=()

A.19B.20C.21D.22

【解題思路】根據題意，結合數字8,7,5,4,2都構成逆序，結合分類計數原理，即可求解.

【解答過程】由題意，對于八位數87542136,可得8與后面每個數字都構成逆序，

7與后面每個數字都構成逆序，5與4,2,1,3都構成逆序，4與2,1,3都構成逆序，

2與1構成逆序，所以7(87542136)=7+6+4+3+1=21.

故選：C.

【題型2分步乘法計數原理的應用】

【例2】(2024?湖北武漢?模擬預測)五一小長假前夕，甲、乙、丙三人從力，B,C,。四個旅游景點中任選

一個前去游玩，其中甲到過4景點，所以甲不選4景點，則不同的選法有()

A.64種B.48種C.36種D.24種

【解題思路】由分步乘法計數原理求解即可.

【解答過程】因甲不選A景點，應該分步完成：

第一步，先考慮甲在B,C,D三個景點中任選一個，有3種選法；

第二步，再考慮乙和丙，從4,8,中分別任選一個景點，有4x4=16中選法.

由分步乘法計數原理，可得不同選法有：3X16=48種.

故選：B.

【變式2-1](2024?河南鄭州?模擬預測)已知xeZ,yEZ,則滿足方程孫+2024Q-y)=8092的解(x,y)

的個數為()

A.27B.54C.108D.216

【解題思路】由已知可得(x-2024)(y+2024)=-20222,又2022=2x3x337,結合分步乘法計數原理

求結論.

【解答過程】由題設，得2024)(y+2024)=-20222,

又2022=2X3x337,其中2,3,337都為質數，

所以(x-2024)0+2024)=-22X32X3372,

因為x,y&Z,所以x-2024可能為(一1嚴2a3b337%k6{0,1},a.b.cE[0,1,2),

所以x-2024的取值個數為2X3X3x3=54,

方程xy+2024（%-y）=8092的整數解（x,y）的個數為54.

故選：B.

【變式2-2]（2024?湖南岳陽?三模）把5個人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人,

甲乙安排在不相鄰的兩天，乙丙安排在相鄰的兩天，則不同的安排方法數是（）

A.96種B.60種C.48種D.36種

【解題思路】根據分步乘法計數原理，結合相鄰問題和不相鄰問題的方法即可求得.

【解答過程】依題意，設這五個人分別為甲乙丙丁戊.

第一步，將乙丙看成一個整體，考慮2人之間的順序，有A5=2種情況，

第二步，將這個整體與丁戊全排列，有Ag=6種安排方法，

第三步，排好后產生4個空位，因甲乙不相鄰，則只能從3個空中任選1個安排甲，有A^=3種安排方法.

則由分步乘法計數原理，不同的方案共有2X6X3=36種.

故選：D.

【變式2-3]（2024.海南.模擬預測）將“1,2,2,3,4,5”這6個數字填入如圖所示的表格區域中，每個

區域填一個數字，1不在4區域且三列中只有中間一列區域的數字之和為7,若中間一列填2和5,則不同的

【解題思路】根據給定條件，利用分步乘法計數原理列式計算即得.

【解答過程】求不同填法需要4步，填中間一列有2種方法，再填1有3種方法，

與1同列的只能是3或4,有2種方法，最后兩個區域，填兩個數字有2種方法，

所以不同填法種數是2X3X2x2=24.

故選：B.

【題型3涂色問題】

【例3】（2024?四川資陽?模擬預測）某社區計劃在該小區內如圖所示的一塊空地布置花卉，要求相鄰區域

布置的花卉種類不同，且每個區域只布置一種花卉，若有5種不同的花卉可供選擇，則不同的布置方案有

A.360種B.420種C.480種D.540種

【解題思路】利用要求根據區域依次討論計算即可.

【解答過程】如圖，先在區域A布置花卉，有5種不同的布置方案，再在區域E布置花卉，有4種不同的

布置方案，

再在區域Z）布置花卉，有3種不同的布置方案.

若區域B與區域E布置同一種花卉，則區域C有3種不同的布置方案；

若區域8與區域E布置不同的花卉，則區域B有2種不同的布置方案，區域C有3種不同的布置方案.

故不同的布置方案有5x4x3x（3+2x3）=540種.

故選：D.

【變式3-1］（2024?遼寧?模擬預測）為迎接元宵節，某廣場將一個圓形區域分成4B,C,D,E五個部分（如圖

所示），現用4種顏色的鮮花進行裝扮（4種顏色均用到），每部分用一種顏色，相鄰部分用不同顏色，則

該區域鮮花的擺放方案共有（）

A.48種B.36種C.24種D.12種.

【解題思路】滿足條件的涂色方案可分為區域同色，且和其它區域不同色和C,E區域同色兩類，且和其

它區域不同色，結合分步乘法計數原理，分類加法計數原理求解即可

【解答過程】滿足條件的擺放方案可分為兩類，

第一類8,。區域同色，且和其它區域不同色的擺放方案，

滿足條件的方案可分四步完成，

第一步，先擺區域4有4種方法，

第二步，擺放區域有3種方法，

第三步，擺放區域C有2種方法，

第四步，考慮到區域不同色，且4種顏色都要用到，擺放區域E有1種方法，

由分步乘法計數原理可得第一類中共有4x3x2x1=24種方案，

第二類，區域同色兩類，且和其它區域不同色的擺放方案，

滿足條件的方案可分四步完成，

第一步，先擺區域4有4種方法，

第二步，擺放區域B有3種方法，

第三步，擺放區域C,E有2種方法，

第四步，考慮到區域不同色，且4種顏色都要用到，擺放區域。有1種方法，

由分步乘法計數原理可得第一類中共有4x3x2x1=24種方案，

根據分步加法計數原理可得該區域鮮花的擺放方案共有48種，

故選：A.

【變式3-2］（2024?全國.模擬預測）如圖，A,B,C,。為四個不同的區域，現有紅、黃、藍、黑4種顏色,

對這四個區域進行涂色，要求相鄰區域涂不同的顏色（A與C不相鄰，8與。不相鄰），則使用2種顏色涂

色的概率為（）

【解題思路】由排列組合以及分類加法計數原理求解個數，即可由古典概型概率公式求解.

【解答過程】使用4種顏色給四個區域涂色，有A1=24種涂法；

使用3種顏色給四個區域涂色，共有2出禺A5=48種涂法；

（使用3種顏色給四個區域涂色有兩類情況：①區域A與區域C涂同一種顏色，區域2與區域。涂另外2

種顏色；

②區域B與區域。涂同一種顏色，區域A與區域C涂另外2種顏色）

使用2種顏色給四個區域涂色，共有A：=12種不同的涂法.

所以所有的涂色方法共有24+48+12=84（種），故使用2種顏色給四個區域涂色的概率為珠="

847

故選：B.

【變式3-3］（2024.廣西南寧.模擬預測）五行是華夏民族創造的哲學思想.多用于哲學、中醫學和占卜方面.

五行學說是華夏文明重要組成部分.古代先民認為，天下萬物皆由五類元素組成，分別是金、木、水、火、

土，彼此之間存在相生相克的關系.五行是指木、火、土、金、水五種物質的運動變化.所以，在中國，“五

行”有悠久的歷史淵源.下圖是五行圖，現有4種顏色可供選擇給五“行”涂色，要求五行相生不能用同一種顏

色（例如木生火，木與火不能同色，水生木，水與木不能同色），五行相克可以用同一種顏色（例如火與

水相克可以用同一種顏色），則不同的涂色方法種數有（）

韋

A.30B.120C.150D.240

【解題思路】依次填涂“火”、“土”、“金”、“水”、“木”，分別確定每個區域的涂色方法種數，結合分類加法

分步乘法計數原理可得結果.

【解答過程】由題意可知，要求五行相生不能用同一種顏色（例如木生火，木與火不能同色，水生木，水

與木不能同色），

五行相克可以用同一種顏色（例如火與水相克可以用同一種顏色），

不妨設四種顏色分別為4、B、C、D,

先填涂區域“火”，有4種選擇，不妨設區域“火”填涂的顏色為4

接下來填涂區域“土”，有3種選擇，分別為8、C、D,

若區域“土”填涂的顏色為B,則區域“金”填涂的顏色分別為4、C、D；

若區域“土”填涂的顏色為C,則區域“金”填涂的顏色分別為4、B、D；

若區域“土”填涂的顏色為D,則區域“金”填涂的顏色分別為力、B、C.

綜上所述,區域“金”填涂4、B、C、。的方案種數分別為3、2、2、2種，

接下來考慮區域“水”的填涂方案:

若區域“金”填涂的顏色為4則區域“水”填涂的顏色可為B、C、D；

若區域“金”填涂的顏色為8,則區域“水”填涂的顏色可為力、C、D；

若區域“金”填涂的顏色為C,則區域“水”填涂的顏色可為4、B、D；

若區域“金”填涂的顏色為D,則區域“水”填涂的顏色可為力、B、C.

則區域“水”填涂2的方案種數為2x3=6種，填涂B的方案種數為3+2x2=7種,

填涂C的方案種數為3+2X2=7種，填涂。的方案種數為3+2X2=7種.

從區域“火”、“土”、“金”填涂至區域“水”，填涂區域“水”的方案還和填涂區域“木”有關，

當區域“水”填涂的顏色為4時，區域“木”填涂的顏色可為B、C、D；

若區域“水”填涂的顏色為B時，區域“木”填涂的顏色可為C、D；

若區域“水”填涂的顏色為C時，區域“木”填涂的顏色可為B、D；

若區域“水”填涂的顏色為。時，區域“木”填涂的顏色可為B、C.

所以，當區域“火”填涂顏色力時，填涂方案種數為6x3+7x2x3=60種.

因此，不同的涂色方法種數有4X60=240種.

故選：D.

【題型4兩個計數原理的綜合應用】

【例4】（23-24高二上.江西九江.期末）從1,2,3,4,5,6,7,9中，任取兩個不同的數作對數的底數

和真數，則所有不同的對數的值有（）

A.30個B.42個C.41個D.39個

【解題思路】分是否取1兩類，當不取1時，排除重復的即可得解.

【解答過程】當取1時，貝也只能為真數，此時這個對數值為0,

當不取1時，底數有7種，真數有6種，

其中log24=log39=2,log42=log93=|,log23=log49,log32=log94,

故此時有7x6-4=38個，

所以共有38+1=39個.

故選：D.

【變式4-1］（2024.河北.模擬預測）用0,1