專題21概率與統(tǒng)計常考小題歸類

目錄

01考情透視?目標導航............................................................2

02知識導圖?思維引航............................................................3

03知識梳理?方法技巧............................................................4

04真題研析?精準預測............................................................5

05核心精講?題型突破............................................................8

題型一：抽樣方法與隨機數(shù)表8

題型二：統(tǒng)計圖表及其數(shù)字特征9

題型三：傳統(tǒng)線性擬合11

題型四：非線性擬合處理12

題型五：傳統(tǒng)獨立性檢驗13

題型六：創(chuàng)新類定義統(tǒng)計14

題型七：正態(tài)分布16

題型八：超幾何分布與二項分布16

題型九：隨機變量的分布列、期望、方差17

題型十：古典概型18

題型十一：條件概率與全概率19

題型十二：概統(tǒng)結(jié)合問題20

題型十三：新賽制概率問題21

重難點突破：遞推型概率命題22

差情;奏汨?日標旦祐

概率統(tǒng)計小題乃歷年高考必考項目，主要涵蓋三大方面：一是解析統(tǒng)計圖表、計算方差及平均數(shù)，這

類題目通常要求考生能夠準確理解并應(yīng)用統(tǒng)計知識，對數(shù)據(jù)的處理能力有一定要求；二是求解古典概型問

題，這要求考生掌握古典概型的定義及計算方法，能夠準確判斷事件的等可能性，并據(jù)此求解概率；三是

涉及相互獨立事件及其概率乘法公式的應(yīng)用，這部分內(nèi)容要求考生理解獨立事件的概念，掌握概率乘法公

式的使用方法，并能夠靈活應(yīng)用于實際問題中。

此類題目多以選擇、填空的形式出現(xiàn)，難度適中，旨在檢驗考生對概率統(tǒng)計基礎(chǔ)知識的掌握程度及實

際應(yīng)用能力。

考點要求目標要求考題統(tǒng)計考情分析

2024年II卷第4題，5分

掌握統(tǒng)計圖表分2023年上海卷第14題，4分

統(tǒng)計圖表、方差、平均

析，理解方差平均2022年甲卷第2題，5分

數(shù)、中位數(shù)

數(shù)中位數(shù)2021年甲卷第2題，5分

2021年I卷第9題，5分

預測2025年高考，概

2024年I卷第14題，5分

率統(tǒng)計內(nèi)容或?qū)㈩l繁以小

2024年甲卷第16題，5分

理解古典概型定題面貌亮相，亦可能巧妙

2023年乙卷第9題，5分

古典概型義，掌握概率計算融入解答題中，呈現(xiàn)相對

2023年甲卷第4題，5分

方法

2022年I卷第5題，5分獨立性。其中：（1）選擇

2022年甲卷第6題，5分題或填空題將側(cè)重于檢驗

邏輯推理與數(shù)學運算能

相互獨立事件和相互理解獨立事件概

2022年乙卷第10題，5分

獨立事件的概率乘法念，掌握概率乘法力；（2）古典概型題目將

2021年天津卷第14題，5分

公式公式成為熱門考點，備受矚目。

掌握回歸方程應(yīng)2024年I卷第9題，6分

回歸方程、正態(tài)分布用，理解正態(tài)分布2023年天津卷第7題，5分

特性2021年II卷第5題，5分

寓2

知識導圖?思維引航

抽柱調(diào)查

簡單隨機抽任

分層抽住

頻率分布直方圖

百分位數(shù)

株本的數(shù)字特征

兩個變量的或性相關(guān)

回歸分析與回歸方程

殘差分析

獨立性檢驗

隨機事件的概率

頻率與概率的關(guān)系

事件的關(guān)系與運算

概率的基本性質(zhì)

古典概型

相互獨立事件

條件概率

相互獨立事件與條件盛率、

全概率與貝葉斯公式

全概率公式

概率貝葉斯公式

隨機變量的有關(guān)慨念

隨機變量的分布列、均值與

離散型隨機變量分布列

方差

離散型隨機變量的均值與

方差

兩點分布

二項分布

兩點分布、二項分布、超幾

何分布與正態(tài)分布

超幾何分布

正奇分布

牛nt口偏孑里?二注怙工虧

1、加強識圖能力，理解并記準頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)的關(guān)系；折線圖注意上升趨勢

以及波動性；扇形圖數(shù)據(jù)可先用表格列出，再計算、判斷.

頻率篝=頻率，

2、在頻率分布直方圖中，注意小矩形的高=，小矩形的面積=組距X所有小矩形的

面積之和為1.

3、求回歸方程

（1）根據(jù)散點圖判斷兩變量是否線性相關(guān)，如不是，應(yīng)通過換元構(gòu)造線性相關(guān).

（2）利用公式，求出回歸系數(shù)，.

（3）待定系數(shù)法：利用回歸直線過樣本點的中心求系數(shù)”?

4、回歸方程的擬合效果，可以利用相關(guān)系數(shù)判斷，當卜|越趨近于1時，兩變量的線性相關(guān)性越強.

5、比較幾個分類變量有關(guān)聯(lián)的可能性大小的方法

（1）通過計算K?的大小判斷：K?越大，兩變量有關(guān)聯(lián)的可能性越大.

（2）通過計算kd-用的大小判斷：卜〃-6d越大，兩變量有關(guān)聯(lián)的可能性越大.

6、獨立性檢驗的一般步驟

（1）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2x2列聯(lián)表.

n（ad-bc\

（2）根據(jù)公式K?=7_1-------------，計算K?的觀測值公.

\a+b\（a+c）（6+d）（c+d）

（3）比較上與臨界值的大小關(guān)系，進行統(tǒng)計推斷.

7、概率分布與不同知識背景結(jié)合考查對實際問題的解決能力

（1）與數(shù)列結(jié)合的實際問題

（2）與函數(shù)導數(shù)結(jié)合的實際問題

（3）與分段函數(shù)求最值、解不等式結(jié)合的實際問題

（4）與統(tǒng)計結(jié)合的實際問題

（5）與其他背景結(jié)合的實際問題

0

心真題砒標?精御皿\\

1.（2024年高考全國甲卷數(shù)學（文）真題）甲、乙、丙、丁四人排成一列，則丙不在排頭，且甲或乙在排

尾的概率是（）

A.-B.-C.4D.-

4323

2.（2024年天津高考數(shù)學真題）下列圖中，線性相關(guān)性系數(shù)最大的是（）

3.（2024年新課標全國II卷數(shù)學真題）某農(nóng)業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得

到各塊稻田的畝產(chǎn)量（單位：kg）并整理如下表

畝產(chǎn)

[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1050,1100)[1100,1150)[1150,1200)

量

頻數(shù)61218302410

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論中正確的是（）

A.100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1050kg

B.100塊稻田中畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例超過80%

C.100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300kg之間

D.100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900kg至1000kg之間

4.（2024年高考全國甲卷數(shù)學（理）真題）有6個相同的球，分別標有數(shù)字1、2、3、4、5、6,從中無放

回地隨機取3次，每次取1個球.記機為前兩次取出的球上數(shù)字的平均值，"為取出的三個球上數(shù)字的平均

值，則，"與〃之差的絕對值不大于g的概率為.

5.（2024年天津高考數(shù)學真題）某校組織學生參加農(nóng)業(yè)實踐活動，期間安排了勞動技能比賽，比賽共5個

項目，分別為整地做畦、旱田播種、作物移栽、田間灌溉、藤架搭建，規(guī)定每人參加其中3個項目.假設(shè)每

人參加每個項目的可能性相同，則甲同學參加“整地做畦”項目的概率為；已知乙同學參加的3個項目

中有“整地做畦”，則他還參加“田間灌溉”項目的概率為.

6.（2024年新課標全國I卷數(shù)學真題）甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標有一個數(shù)字，甲的卡片上

分別標有數(shù)字1,3,5,7,乙的卡片上分別標有數(shù)字2,4,6,8,兩人進行四輪比賽，在每輪比賽中，兩

人各自從自己持有的卡片中隨機選一張，并比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人

得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）.則四輪比賽后，甲的總得

分不小于2的概率為.

7.（2023年天津高考數(shù)學真題）把若干個黑球和白球（這些球除顏色外無其它差異）放進三個空箱子中，

三個箱子中的球數(shù)之比為5:4:6.且其中的黑球比例依次為40%,25%,50%.若從每個箱子中各隨機摸出一

球，則三個球都是黑球的概率為；若把所有球放在一起，隨機摸出一球，則該球是白球的概率

為.

8.（2023年高考全國乙卷數(shù)學（理）真題）設(shè)。為平面坐標系的坐標原點，在區(qū)域｛（x,y）|lVx2+y244｝內(nèi)

TT

隨機取一點，記該點為A,則直線。4的傾斜角不大于二的概率為（）

4

A.—B.—C.—D.—

8642

9.（2023年天津高考數(shù)學真題）鶯是鷹科的一種鳥，《詩經(jīng)?大雅?旱麓》日：“鶯飛戾天，魚躍余淵鶯尾花

因花瓣形如鶯尾而得名，寓意鵬程萬里、前途無量.通過隨機抽樣，收集了若干朵某品種鶯尾花的花萼長度

和花瓣長度（單位：cm）,繪制散點圖如圖所示，計算得樣本相關(guān)系數(shù)為r=0.8642,利用最小二乘法求得

相應(yīng)的經(jīng)驗回歸方程為y=Q7501x+0.6105,根據(jù)以上信息，如下判斷正確的為（）

72

6.8

花6.4

瓣6.0

長5.6

度52

4.8

4.4

4.85.25.66.06.46.8727.6

花萼長度

A.花瓣長度和花萼長度不存在相關(guān)關(guān)系

B.花瓣長度和花萼長度負相關(guān)

C.花萼長度為7cm的該品種鶯尾花的花瓣長度的平均值為5.8612cm

D.若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關(guān)系數(shù)一定是Q8642

10.（2023年新課標全國H卷數(shù)學真題）某學校為了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽

樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生，己知該校初中部和高中部分別有400名和

200名學生，則不同的抽樣結(jié)果共有（）.

A.C%C器種B.C*°-C乳種

C.GQC第種D.c：Qc鼠種

11.（多選題）（2024年新課標全國I卷數(shù)學真題）隨著“一帶一路”國際合作的深入，某茶葉種植區(qū)多措并

舉推動茶葉出口.為了解推動出口后的畝收入（單位：萬元）情況，從該種植區(qū)抽取樣本，得到推動出口后

畝收入的樣本均值于=2］，樣本方差S2=0.01,已知該種植區(qū)以往的畝收入X服從正態(tài)分布N（L8,0.12）,

假設(shè)推動出口后的畝收入y服從正態(tài)分布N（元,$2）,則（）（若隨機變量Z服從正態(tài)分布4）,

P（Z<//+cr）?0.8413）

A.P（X>2）>0.2B.尸（X>2）<0.5

C.P（Y>2）>0.5D.P（r>2）<0.8

12.（多選題）（2023年新課標全國I卷數(shù)學真題）有一組樣本數(shù)據(jù)再,4,???,天,其中看是最小值，%是最

大值，貝1J（）

A.%，工3，匕，工5的平均數(shù)等于無1，尤2,…，%的平均數(shù)

B.%，三，羽，三的中位數(shù)等于再，3，…，%的中位數(shù)

C.%,三,匕,尤5的標準差不小于網(wǎng)，了2,…，毛的標準差

D.x2,x3,x4,x5的極差不大于%,3,…，尤6的極差

13.（多選題）（2023年新課標全國H卷數(shù)學真題）在信道內(nèi)傳輸0,1信號，信號的傳輸相互獨立.發(fā)送0

時，收到1的概率為a（0<a<l）,收到。的概率為1一1；發(fā)送1時，收到0的概率為刀（0〈分<1）,收至IJ1

的概率為1-尸.考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸.單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次，三次傳輸是

指每個信號重復發(fā)送3次.收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三

次傳輸時，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1,0,1,則譯碼為1）.

A.采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的概率為

B.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則依次收到1,0,1的概率為￡（1-￡）2

C.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則譯碼為1的概率為夕（1-￡）2+（1-03

D.當0<?<0.5時，若發(fā)送0,則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的

概率

㈤5

孩心精說，題型突破

題型一：抽樣方法與隨機數(shù)表

【典例1-1】某廠質(zhì)檢員利用隨機數(shù)表對生產(chǎn)的600個產(chǎn)品進行抽樣調(diào)查，先將這600個產(chǎn)品進行編號：001,

002,003,600.從中抽取120個樣本，下圖是隨機數(shù)表的第2行到第3行，若從隨機數(shù)表的第2行第

5列開始從左向右讀取數(shù)據(jù)，則得到的第5個編號是（）

3212671231023702147231098147802513254608

7120345119720138471804925128023127465130

A.098B.147C.513D.310

【典例1-2】非物質(zhì)文化遺產(chǎn)是文化多樣性中最富活力的重要組成部分，是人類文明的結(jié)晶和最寶貴的共同

財富.某校為了解學生對當?shù)胤沁z文化“川居『’的了解程度，現(xiàn)從高中部抽取部分學生進行調(diào)查，已知該校高

一、高二、高三年級學生人數(shù)之比為4:3:2,若利用分層隨機抽樣的方法抽取36人進行調(diào)查，則抽取到的

高一年級學生人數(shù)比高三多（）

A.16人B.12人C.8人D.4人

【變式1-1】國內(nèi)某優(yōu)秀新能源電池制造企業(yè)在鋰電池單位能量密度技術(shù)上取得了重大突破，該制造企業(yè)內(nèi)

的某車間有兩條生產(chǎn)線，分別生產(chǎn)高能量密度鋰電池和低能量密度鋰電池，總產(chǎn)量為400個鋰電池.質(zhì)檢

人員采用分層隨機抽樣的方法隨機抽取了一個容量為80的樣本進行質(zhì)量檢測，已知樣本中高能量密度鋰電

池有35個，則估計低能量密度鋰電池的總產(chǎn)量為（）.

A.325個B.300個C.225個D.175個

1命題預測T

1.從一個含有N個個體的總體中抽取一容量為〃的樣本，當選取抽簽法、隨機數(shù)法和分層隨機抽樣三種不

同方法時，總體中每個個體被抽中的概率分別為“，P2，P3,三者關(guān)系可能是（）

A.P\=Pz<P3B.pt=p2=p3C.Pl=P3Vp2D.P2=P3<A

題型二：統(tǒng)計圖表及其數(shù)字特征

【典例2-1】豆瓣評分是將用戶評價的一到五星轉(zhuǎn)化為0-10的分值（一星2分，二星4分，三星6分，以此

類推），以得分總和除以評分的用戶人數(shù)所得的數(shù)字，國慶愛國影片《長津湖》豆瓣得分是7.4分，截止至2021

年10月24日，共計有437181人參與評分，豆瓣評分表如圖.根據(jù)貓眼實時數(shù)據(jù)，該片的票房為53.1億元,

按照平均票價50元來計算，大約有1億人次觀看了此片，假如參與評分觀眾中有97.6%的評價不低于二星,

則下列說法錯誤的是（）

A.加的值是32%

B.隨機抽取100名觀眾，則不一定有24人評價五星

Q

C.若以頻率當作概率，記事件A為“評價是一星”，事件8為“評價不高于二星”，則尸（冏A）=5

D.若從已作評價的觀眾中隨機抽出3人，則事件“至多1人評價五星”與事件“恰有2人評價五星”是互斥

且不對立事件

【典例2-2】將某大型出版公司所有打字員每分鐘的平均打字數(shù)統(tǒng)計如下圖所示，則可以估計該公司打字員

每分鐘的平均打字數(shù)的中位數(shù)為（）

A.380B.360C.340D.320

【變式2-1】已知甲、乙兩組數(shù)可分別用圖（1）、（2）表示，記甲、乙兩組數(shù)的平均數(shù)和方差分別為不、月、

父、則它們的大小關(guān)系是（）

⑴⑵

A.\>x2,B.\=x2,s；v

C.xi<x2,s；<s；D.用=可，sf>si

命題預測J

1.某保險公司為客戶定制了5個險種：甲，一年期短期；乙，兩全保險；丙，理財類保險；丁，定期壽險；

戊，重大疾病保險.各種保險按相關(guān)約定進行參保與理賠.該保險公司對5個險種參保客戶進行抽樣調(diào)查，得

到如圖所示的統(tǒng)計圖表.則下列說法中一定錯誤的是（）

參保人數(shù)比例

不同年齡段人均參保費用

A.丁險種參保人數(shù)超過五成B.41歲以上參保人數(shù)超過總參保人數(shù)的五成

C.18—29周歲人群參保的總費用最少D.人均參保費用不超過5000元

題型三：傳統(tǒng)線性擬合

【典例3-1】已知〃個點口.(4,)(，=1,2,3”..,〃)大致呈線性分布，其中%=i,且數(shù)據(jù)(七,V)的回歸直線方

程為，則￡%的最小值為

?=1

【典例3-2】已知X和>之間的一組數(shù)據(jù)如右表；y與無線性相關(guān)，且回歸方程為夕=%+0.25,優(yōu)為X的方

差的0.6倍，則當x=8時，y=.

X0123

ymm+252m+3

【變式3-1】商家項目投資的利潤產(chǎn)生是一個復雜的系統(tǒng)結(jié)果.它與項目落地國的商業(yè)環(huán)境，政府執(zhí)政能力,

法律生態(tài)等都有重大的關(guān)聯(lián).如表所示是某項目在中國和南亞某國投資額和相應(yīng)利潤的統(tǒng)計表.

項目落地國中國南亞某國

投資額X(億元)10111213141011121314

利潤y(億元)11121416191213131415

請選擇平均利潤較高的落地國，用最小二乘法求出回歸直線方程為.參考數(shù)據(jù)和公式：

5

5,55￡(尤D5-刃

ZU-可=10,中國可(y,-刃=20,南亞某國￡(%-丁)(y-y)=7,b=『-----------

曰TW2(—)2

Z=1

a=y-bx.

\命題預測

1.某科研團隊研究發(fā)現(xiàn)向日葵花盤中所含的二菇化合物對灰葡萄抱菌具有良好的抗菌活性，能通過破壞細

胞膜完整性等方式來抑制病原菌生長，增加果蔬的保鮮時長.通過實驗得到不同濃度的二菇化合物對灰葡

萄抱菌的抑制率如下表：

二菇化合物濃度x(ug/mL)20406080100

抑制率y(%)1015182125

若尤,y呈線性相關(guān)，且滿足經(jīng)驗回歸方程為夕=治+7,則當X=12O時，抑制率y的值為

題型四：非線性擬合處理

【典例4-1】已知x,y之間的一組數(shù)據(jù):

Xi4916

yi2.985.017.01

若y與石滿足經(jīng)驗回歸方程5=+。，則此曲線必過點.

【典例4-2】害蟲防控對于提高農(nóng)作物產(chǎn)量具有重要意義.已知某種害蟲產(chǎn)卵數(shù)y(單位：個)與溫度X(單

位：。C)有關(guān)，測得一組數(shù)據(jù)(4%)(i=l,2,L,20),可用模型、=甲3'進行擬合，利用z=lny變換得到的

2020

線性回歸方程為2=0.3x+&.若=600,2lny=120,貝l]q的值為.

i=li=l

【變式4-1】為了反映城市的人口數(shù)量x與就業(yè)壓力指數(shù)y之間的變量關(guān)系，研究人員選擇使用非線性回歸

97

模型y=e下-e/對所測數(shù)據(jù)進行擬合，并設(shè)z=lny,得到的數(shù)據(jù)如表所示，則。=.

X46810

z2c56

命題預測I

1.一只紅鈴蟲產(chǎn)卵數(shù)y和溫度X有關(guān)，現(xiàn)測得一組數(shù)據(jù)a，y)(i=l,2,…,10),可用模型、=。同2工擬合，設(shè)

z=lny,其變換后的線性回歸方程為1=嬴一4，若匹+W+…+%o=3OO,=皆，e為自然常數(shù),

貝!IC1C2=.

題型五：傳統(tǒng)獨立性檢驗

【典例5-1】下面是2x2列聯(lián)表:

必%合計

再a2173

x2222547

合計b46120

則表中。，6的值分別為（）

A.94,72B.52,50C.52,74D.74.52

【典例5-2】2020年12月26日太原地鐵2號線開通，在一定程度上緩解了市內(nèi)交通的擁堵狀況，為了了解

市民對地鐵2號線開通的關(guān)注情況，某調(diào)查機構(gòu)在地鐵開通后兩天抽取了部分乘坐地鐵的市民作為樣本，分

析其年齡和性別結(jié)構(gòu).并制作出如下等高堆積條形圖：

L09

S99

S8

S7

6.8

S.7

S5.6

4.5

O.34

3

OS.2

S12

0J

O

女性

xn3性

35歲以上35歲以下*T

匚二I男性匚二|女性匚二|35歲以下匚二|35歲以上

根據(jù)圖中信息，下列結(jié)論不一定正確的是（）

A.樣本中男性比女性更關(guān)注地鐵2號線開通

B.樣本中多數(shù)女性是35歲及以上

C.樣本中35歲以下的男性人數(shù)比35歲及以上的女性人數(shù)多

D.樣本中35歲及以上的人對地鐵2號線的開通關(guān)注度更高

【變式5-1】對于獨立性檢驗，下列說法中錯誤的是（）

A.力2的值越大，說明兩事件相關(guān)程度越大

B./的值越小，說明兩事件相關(guān)程度越小

C./W3.841時，則在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為事件A與8有關(guān)

D./>3.841時，則可以大概率認為事件A與3有關(guān)

命題預測7

1.某校團委對“學生性別和喜歡某視頻AP尸是否有關(guān)”做了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的女生人數(shù)是男生人數(shù)的

12

一半，男生喜歡該視頻APP的人數(shù)占男生人數(shù)的;，女生喜歡該視頻AP尸的人數(shù)占女生人數(shù)的;，若依據(jù)

63

小概率值c=0.050的獨立性檢驗，認為喜歡該視頻APP和性別有關(guān)，則男生至少有（）

附:

a0.0500.010

Xa3.8416.635

2

2n(ad-be),,

V—7----------77----------77----------r-7---------7，幾=6/+0+C+d

(a+Z?)(c+d)(a+c)(〃+d)

A.12人B.6人C.10人D.18人

題型六：創(chuàng)新類定義統(tǒng)計

【典例6-1】定義空間直角坐標系中的任意點尸（無,y,z）的“N數(shù)”為：在尸點的坐標中不同數(shù)字的個數(shù)，如:

Ml,1,1)=1,W,3,1)=2,N(l,2,3)=3,若點尸的坐標x,y,ze{0,1,2,3),則所有這些點P的“N數(shù)”的平均值與

最小值之差為（）

A.—B.2C.—D.-

16164

【典例6-2】一組數(shù)據(jù)知乙,￡,…,％的平均數(shù)為"現(xiàn)定義這組數(shù)據(jù)的平均差

占一引+|尤21+,-1+…+下圖是甲、乙兩組數(shù)據(jù)的頻率分布折線圖

n

甲組數(shù)據(jù)頻率分布折線圖乙組數(shù)據(jù)頻率分布折線圖

根據(jù)折線圖，判斷甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均差的大小關(guān)系是()

A.Dj<DB.D=D

212c.D,>D2D.無法確定

【變式6-1](多選題)為了估計一批產(chǎn)品的不合格品率P,現(xiàn)從這批產(chǎn)品中隨機抽取一個樣本容量為〃的

1,第，次不合格〒目「

樣本會務(wù)定義白=八給切入改,z=l,2,于TEP?=D=P，P?=O)=l-p,'=1,2,…,〃，記

0,第z次合格

Z(p)=P&=為,多=巧,…&=x“)(其中%=。或1,1=1,2,…,〃)，稱Z(p)表示P為參數(shù)的似然函數(shù).極大似然

估計法是建立在極大似然原理基礎(chǔ)上的一個統(tǒng)計方法，極大似然原理的直觀想法是：一個隨機試驗如有若

干個可能的結(jié)果A,B,C,若在一次試驗中，結(jié)果A出現(xiàn)，則一般認為試驗條件對A出現(xiàn)有利，也即

A出現(xiàn)的概率很大.極大似然估計是一種用給定觀察數(shù)據(jù)來評估模型參數(shù)的統(tǒng)計方法，即“模型已定，參數(shù)

未知”，通過若干次試驗，觀察其結(jié)果，利用試驗結(jié)果得到某個參數(shù)值能夠使樣本出現(xiàn)的概率為最大.根據(jù)

以上原理，下面說法正確的是()

A.有外形完全相同的兩個箱子，甲箱有99個白球1個黑球，乙箱有1個白球99個黑球.今隨機地抽

取一箱，再從取出的一箱中抽取一球，結(jié)果取得白球，那么該球一定是從甲箱子中抽出的

B.一個池塘里面有鯉魚和草魚，打撈了100條魚，其中鯉魚80條，草魚20條，那么推測鯉魚和草魚

的比例為4:1時，出現(xiàn)80條鯉魚、20條草魚的概率是最大的

C力"”一春

'L(p)=p"(1-p),-1(%=0或1,，=1,2,…

1n

D.〃P)達到極大值時，參數(shù)P的極大似然估計值為-Z%

〃/=1

命題預測T

1.某批零件的尺寸X服從正態(tài)分布N(8,b2)(b>0),且P(X>1°)=號規(guī)定伍-8歸2時零件合格,

從這批產(chǎn)品中抽取〃件，若要保證抽取的合格零件不少于2件的概率不低于0.9,則〃的最小值為.

題型七：正態(tài)分布

【典例7-1】某同學進行投籃訓練，每次投籃次數(shù)為小”eN*,n>20,每次投籃的命中率都為小隨機變

態(tài)分布N(0,l),已知該同學每次投籃的命中率均為0.5,每次投籃命中得2分，不中得0分.若〃=40,則

該同學投中次數(shù)的期望為次；若保證該同學n次投籃總得分在區(qū)間(0.8n,1.2?)的概率不低于0.8,

則n的最小值為.

附：〃~N(0,l),則P(〃<1.28)=0.9,P(?7<0.84)=0.8.

【典例7-2】已知隨機變量且正數(shù)滿足P〔X4g〕=P(X26),則」9的最小值

<4)<2Ja+bb

為.

【變式7-1］若隨機變量X?N(2,，)，p^X<\)=m,P(2<X<3)=n,則工+±的最小值為.

mn

命題預測

1.某項實驗的隨機誤差為實驗次數(shù).要求%|>巳的概率低于0.0027,則至少需做次

實驗(X~N(〃,〃)，在該實驗的誤差估計中，可認為P(〃-3bWX(〃+3b)=0.9973).

題型八：超幾何分布與二項分布

【典例8-1】某班班主任為了解班級學生每周的體育鍛煉情況進行了調(diào)查，發(fā)現(xiàn)班級中有20人每周的體育

鍛煉時長超過6小時，若從班級學生中隨機抽取的15人中有7人每周的體育鍛煉時長超過6小時，估計班

級學生的總?cè)藬?shù)為.(記X為抽取的每周的體育鍛煉時長超過6小時的學生人數(shù)，以使得P(X=7)最

大的班級學生的總?cè)藬?shù)為估計值)

【典例8-2】某校在一次“二項分布的性質(zhì)”為主題的探究活動中，該校數(shù)學第一小組的學生同學表現(xiàn)優(yōu)異,

探究數(shù)學的奧秘.設(shè)隨機變量X~B（〃,p）,記p）"4#=l,2,3,…，在探究

Pk=C；pk（l_p）i#=L2,3,…的最大值時，小組同學發(fā)現(xiàn)：當（〃+1）P為正整數(shù)，則％=5+1）P,PLPi,

此時這兩項概率均為最大值；當5+1）。為非整數(shù)，上取（〃+1）。的整數(shù)部分，P?是唯一的最大值.以此為理

論依據(jù)，有同學重復投擲一枚大小均勻的骰子實時記錄點數(shù)6出現(xiàn)的次數(shù).當投擲第20次時，記錄到此時點

數(shù)6出現(xiàn)5次，再進行80次投擲實驗，當投擲到100次時，點數(shù)6總共出現(xiàn)的次數(shù)為的概率最大.

【變式8-1】口袋中裝有兩個紅球和三個白球，從中任取兩個球，用X表示取出的兩個球中白球的個數(shù)，則

X的數(shù)學期望E（X）=.

1命題預測J

1.二項分布和正態(tài)分布是兩類常見的分布模型，在實際運算中二項分布可以用正態(tài)分布近似運算.即：若隨

機變量X~B（〃,0）,當〃充分大時，x可以用服從正態(tài)分布的隨機變量y近似代替，其中x,y的期望值和

方差相同，一般情況下當叩25,”（1-025時，就有很好的近似效果.該方法也稱為棣莫佛——拉普拉斯極

限定理.如果隨機拋一枚硬幣100次，設(shè)正面向上的概率為0.5,貝仁正面向上的次數(shù)大于50、小于60”的概率

近似為.（結(jié)果保留三位小數(shù).參考數(shù)據(jù)：若X~N3b2）,則尸（〃-。三三〃+。卜0.6827,

P（//-2cr＜x＜〃+2cr）?0.9545,P（//-3CT＜X＜〃+3b）q0.9973

題型九：隨機變量的分布列、期望、方差

【典例9-1】“四書”是《大學》、《中庸》、《論語》、《孟子》的合稱，又稱“四子書”，在世界文化、思想史上

地位極高，所載內(nèi)容及哲學思想至今仍具有積極意義.為弘揚中國優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某校計劃開展“四書”經(jīng)典

誦讀比賽活動，某班有4位同學參賽，每人從《大學》、《中庸》、《論語》、《孟子》這4本書中選取1本進

行準備，且各自選取的書均不相同，比賽時有以下兩種方案：（1）這四位同學從這4本書中有放回隨機抽

取1本選擇其中的內(nèi)容背誦，記抽到自己準備的書的人數(shù)為的人數(shù)X,（2）這四位同學從這4本書中不放回

隨機抽取一本選擇其中的內(nèi)容背誦，記抽到自己準備的書的人數(shù)為的人數(shù)匕則有（）

A.E（X）^E（Y）,D（X）=D（Y）B.E（X）＞E（Y）,D（X）＜D（Y）

C.E（X）＜E（Y）,D（X）＞D（Y）D.E（X）=E（Y）,D（X）＜D（Y）

【典例9-2】飛行棋是一種家喻戶曉的競技游戲，玩家根據(jù)骰子（骰子為均勻的正六面體）正面朝上的點數(shù)

確定飛機往前走的步數(shù)，剛好走到終點處算“到達”，如果玩家投擲的骰子點數(shù)超出到達終點所需的步數(shù)，則

飛機須往回走超出點數(shù)對應(yīng)的步數(shù).在一次游戲中，飛機距終點只剩3步（如圖所示），設(shè)該玩家到達終點

時投擲骰子的次數(shù)為X,則EX=（

歸

一

。

A.5B.6C.7D.8

【變式9-1】拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣,一直到出現(xiàn)正面向上時或拋滿100次時結(jié)束，設(shè)拋擲的次數(shù)為X,

則隨機變量X的數(shù)學期望E（X）（）

A.大于2B.小于2C.等于2D.與2的大小無法確定

命題預測［

1.a、b、〃均為正整數(shù)，袋子中有a個白球，b個黑球（大小質(zhì)地均相同），從中依次有放回

的摸出幾個球，記摸出球中白球的數(shù)目為X；8袋子中有。張數(shù)字卡牌，6張字母卡牌（大小質(zhì)地均相同），

從中一次性摸出“張卡牌，記摸出卡牌中數(shù)字卡牌的數(shù)目為Y.下列選項中一定成立的是（）

A.p(x=o)=p(y=o)B.P(X=/i)=P(y=n)

C.E（X）=E（Y）D.D（X）=D（Y）

題型十：古典概型

【典例10-1］如圖，有一個觸屏感應(yīng)燈，該燈共有9個燈區(qū)，每個燈區(qū)都處于“點亮”或“