蘭州市數學一診試卷及答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若函數f(x)=x^2-4x+3，則f(1)的值為（）A.0B.-1C.1D.22.若a,b,c是等差數列，且a+c=10，b=5，則a+b+c的值為（）A.15B.20C.25D.303.已知雙曲線x^2/a^2-y^2/b^2=1（a>0，b>0）的一條漸近線方程為y=√2x，則雙曲線的離心率為（）A.√2B.√3C.2D.34.若函數y=f(x)的圖象關于點(1,1)對稱，則函數y=f(x+1)-1的圖象關于點（）A.(0,0)B.(1,0)C.(2,0)D.(0,1)5.已知向量a=(2,-1)，b=(3,2)，則|a+b|的值為（）A.√10B.√13C.√14D.√176.已知函數f(x)=x^3-3x，若f'(x)=0，則x的值為（）A.-1B.0C.1D.27.已知等比數列{an}的前三項和為14，且a1a3=4，則a2的值為（）A.2B.4C.6D.88.若直線y=kx+b與圓x^2+y^2=1相交于兩點A和B，則|AB|的最大值為（）A.√2B.√3C.2D.√49.已知函數f(x)=x^2-2x-3，則f(-2)的值為（）A.5B.7C.9D.1110.若a,b,c是等比數列，且a+b+c=14，b^2=ac，則b的值為（）A.2B.4C.6D.811.已知函數f(x)=2^x-1/2^x，若f'(x)>0，則x的取值范圍為（）A.(-∞,0)B.(0,+∞)C.(-∞,1)D.(1,+∞)12.若直線y=2x+1與拋物線y=x^2-2x+1相交于點A和B，則|AB|的值為（）A.√2B.√3C.2D.√5二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.已知函數f(x)=x^3-3x^2+2，若f'(x)=0，則x的值為______。14.若直線y=kx+b過點(1,2)且與圓x^2+y^2=4相切，則k的值為______。15.已知等差數列{an}的前n項和為Sn，若S5=15，S10-S5=20，則a6的值為______。16.若函數f(x)=x^2-4x+3的圖象與x軸交于點A和B，則|AB|的值為______。三、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.（本題滿分12分）已知函數f(x)=x^2-4x+3，求：（1）函數f(x)的單調區間；（2）函數f(x)的極值。18.（本題滿分12分）已知等差數列{an}的前n項和為Sn，若S5=15，S10-S5=20，求：（1）數列{an}的通項公式；（2）數列{an}的前n項和Sn。19.（本題滿分12分）已知函數f(x)=x^3-3x，求：（1）函數f(x)的導數f'(x)；（2）函數f(x)的單調區間；（3）函數f(x)的極值。20.（本題滿分12分）已知等比數列{an}的前三項和為14，且a1a3=4，求：（1）數列{an}的通項公式；（2）數列{an}的前n項和Sn。21.（本題滿分12分）已知函數f(x)=2^x-1/2^x，求：（1）函數f(x)的導數f'(x)；（2）函數f(x)的單調區間；（3）函數f(x)的極值。22.（本題滿分12分）已知直線y=2x+1與拋物線y=x^2-2x+1相交于點A和B，求：（1）點A和B的坐標；（2）|AB|的值。答案1.B2.A3.A4.A5.C6.C7.B8.C9.B10.B11.B12.D13.1或214.±√315.416.417.解：（1）函數f(x)的導數為f'(x)=2x-4，令f'(x)>0，解得x>2，令f'(x)<0，解得x<2，所以函數f(x)在(-∞,2)上單調遞減，在(2,+∞)上單調遞增。（2）由（1）可知，函數f(x)在x=2處取得極小值，極小值為f(2)=-1，無極大值。18.解：（1）設等差數列{an}的公差為d，由S5=15和S10-S5=20可得5a1+10d=15和5a1+35d=20，解得a1=1，d=1，所以數列{an}的通項公式為an=n。（2）由（1）可知，數列{an}的前n項和Sn=n(n+1)/2。19.解：（1）函數f(x)的導數為f'(x)=3x^2-3。（2）令f'(x)>0，解得x>1或x<-1，令f'(x)<0，解得-1<x<1，所以函數f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上單調遞增，在(-1,1)上單調遞減。（3）由（2）可知，函數f(x)在x=-1處取得極大值，極大值為f(-1)=2，在x=1處取得極小值，極小值為f(1)=-2。20.解：（1）設等比數列{an}的公比為q，由a1a3=4可得a1^2q^2=4，由a1+a1q+a1q^2=14可得a1(1+q+q^2)=14，解得a1=2，q=2或a1=8，q=1/2，所以數列{an}的通項公式為an=2^(n-1)或an=8(1/2)^(n-1)。（2）由（1）可知，數列{an}的前n項和Sn=2(2^n-1)或Sn=8(1-(1/2)^n)/(1-1/2)。21.解：（1）函數f(x)的導數為f'(x)=2^xln2+1/2^x(-1/2^xln2)=2^xln2-1/2^xln2。（2）令f'(x)>0，解得x>0，令f'(x)<0，解得x<0，所以函數f(x)在(0,+∞)上單調遞增，在(-∞,0)上單調遞減。（3）由（2）可知，函數f(x)在x=0處取得極小值，極小值為f(0)=0，無