2025屆重慶市高三下學期模擬預測數學試題

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一、單選題

1.已知集合力={刈。82工<2},5={-1,1,3,5},則/口8=()

A.{1}B.{1,3}C.{-1,1,3}D.{1,3,5)

1_i

2.已知復數2=——，則22。25=()

1+1

A.-iB.iC.-1D.I

3.若函數"x)=cos(2ox+自)(0>O)的最小正周期為g,貝l|0=()

1c〃兀c

A.-B.3C.—D.3兀

33

4.已知向量。2=(3,2),OB=(2,4),OC=(-l,-3),貝U益.衣=()

A.6B.4C.-6D.-4

5.已知變量％和V的統計數據如下表.

X8090100110120

y120140a165180

若％,V線性相關，經驗回歸方程為f=L45X+7,貝!]〃=()

A.155B.158C.160D.162

l+sin20°

6.tan35°=m,則———=()

cos20

1+ml-m1

A.------B.------c.一D.m

l-m1+mm

7.已知A,B,C是球。的球面上的三個點，且/8=/C=8C=26,球心。到平面

的距離為1,則球。的表面積為（）

A.16兀B.20兀C.2471D.28兀

8.在我國古代建筑中，梁一直是很重要的組成部分，現代工程科學常用抗彎截面系數少來

刻畫梁的承重能力.若梁的截面形狀是圓,且圓形截面的半徑為，，則抗彎截面系數所

若梁的截面形狀是正方形，且正方形截面的邊長為切，則抗彎截面系數%=：加建若梁的

試卷第1頁，共4頁

截面形狀是長方形，且長方形截面的長為。，寬為6他<。<26),則抗彎截面系數%=,6/.

6

若上述三種截面形狀的梁的截面周長相同，則()

A.%<%<%B,WX<W3<W2C.W3<W2<W,D,W2<W3<WX

二、多選題

9.已知橢圓C：的離心率為交，則加的值可能為()

m3m-42

A.1B.2C.3D.4

10.已知定義在［1,+⑹上的函數/'(x)滿足Vxe［l,+8),2/(x)=/(2x),且當xe［l,2)時,

/(X)=-X2+3X-2,則下列結論正確的是()

A./⑶=g

B./(x)在［4,7］上單調遞增

C.函數戶(x)=/(x)-(z的零點從小到大依次記為占戶2戶3,…，若玉+%=6,則。的取

值范圍為

D.若函數尸3=/(可-。在［3,16］上恰有4個零點，則。的取值范圍為

11.已知aeQ,〃eN*,定義運算=」~△一1-----------.規定八=1,且當aeQ,

)nl10;

以區1時，總有(1+力",則(

C.V。￡Q,〃￡N*,

161

D.V33<---

80

試卷第2頁，共4頁

三、填空題

12.已知函數〃x)=e，-J3x,則曲線y=/(x)在點(1J⑴)處的切線方程為.

13.已知正項數列｛4｝的前"項和為且4S“=(a,+l『，貝.

22

14.已知雙曲線C:二-匕=1的左、右焦點分別為片，與，P是C右支上一點，過片作4尸月

45一

的角平分線的垂線，垂足為若N是圓E:x2+y2+6x+8y+21=0上任意一點，則眼時的

取值范圍為.

四、解答題

15.V4BC的內角A,B,C的對邊分別為。，b,c.已知3a=46,4cos/=3cosB.

⑴求C;

(2)若VABC外接圓的半徑為5,求V/3C的面積.

16.一個不透明的盒子中裝有3個紅球，3個黑球，機個白球，這些球除顏色外完全相同.

若從盒子中隨機摸出1個球，則白球被摸出的概率為

(1)求加的值；

⑵現從盒子中一次性隨機摸出4個球.

①求三種顏色的球都被摸出的概率；

②記摸出的球的顏色種類為X,求X的分布列與期望.

17.如圖，在直四棱柱44GA中，Z5CD=120°,NADC=/ABC=90°,AD=AB,

BC=CD=1,42，的中點分別為p,Q.

⑴證明：ADVBP；

⑵若BQVPQ,求平面BPQ與平面CDD,Ct夾角的余弦值.

18.已知拋物線質/=2px(p>0)的焦點為尸，直線/：x_y+i=o與平相切.

試卷第3頁，共4頁

⑴求火的方程.

⑵過點歹且與4平行的直線與平相交于M，N兩點，求|MN|.

(3)已知點尸(4,4),直線/與少相交于/,3兩點(異于點尸)，若直線AP,AP分別和以尸

為圓心的動圓相切，試問直線/是否過定點?若是，請求出定點坐標；若不是，請說明理由.

2n

yrr

19.已知函數/(x)=ln(尤+1)-^^,g(x)=l-x+—+?--+—，??eN*.

⑴證明:f(x)>0.

⑵討論函數g(x)在［0,+s)上的零點個數.

(3)當〃=23左eN*時，證明：Vx>0,g(x)>l-ln2.

試卷第4頁，共4頁

?2025屆重慶市高三下學期模擬預測數學試題》參考答案

題號12345678910

答案BADCACBDBDAC

題號11

答案ACD

1.B

【分析】利用對數函數單調性化簡集合A,再利用交集的定義求解.

【詳解】依題意，^={x|log2x<2)=(0,4),而8={-1,1,3,5},

所以NcB={l,3}.

故選：B

2.A

【分析】根據復數代數形式的除法運算化簡z,再根據復數的乘方計算可得.

【詳解】因為=

所以Z2025=(-i)2025=-i2025=-i4￡°64/廣.i=_j

故選：A

3.D

【分析】根據最小正周期得到方程，求出口=3兀.

【詳解】因為/(X)的最小正周期為:，所以至=:，得。=3兀.

32a)3

故選：D

4.C

【分析】由向量的線性運算與數量積的坐標表示，可得答案.

【詳解】因為宓=(3,2),05=(2,4),0C=(-l,-3),所以在=(-1,2),AC=(-4,-5),

則方?衣=Tx(-4)+2x(-5)=-6.

故選：C.

5.A

【分析】根據樣本中心點在回歸直線方程上，得到歹=152,求出。=155.

80+90+100+110+120

【詳解】由表中數據可得了==100,

5

代入經驗回歸方程可得歹=L45x100+7=152,

答案第1頁，共12頁

貝Ua=152x5-120-140-165-180=155.

故選：A

6.C

【分析】利用正切的兩角差公式化為10。角正切，再利用二倍角公式也把所求的式子化為10。

角正切，從而得解.

1_+an1f)O

【詳解】tan35°=tan(45°-10°)=^^L=m,

'*7l+tanl0°

l+sin20。_l+2sinl00cosl0。______(cos10。+sin10。)________

cos20°cos2100-sin210°^osl00-sinl0°)^osl00+sinl0°)

_cos10°4-sin10°_1+tanl0°_1

cosl00-sinl0°1-tan10°m

故選：C.

7.B

【分析】根據正弦定理求解外接圓的半徑，即可根據球的性質求解球半徑，由表面積公式求

解即可.

【詳解】設球。的半徑為RV45C外接圓的半徑為八則.'=2.

2smZBAC

因為球心。到平面A8C的距離為1,所以及2=,產+1=5,從而球0的表面積為20兀.

故選：B

8.D

即可構造函數/■@)=-尤根據導數

【分析】根據題意分別得到匕,叫，匕的表達式，3+_1/,

求解函數的單調性求解。

【詳解】記這三種截面的周長為C,則C=2w==4m=2(a+Z)),從而％

i

W2=—m=-^—~,%="a?=.

2638466(2)

cC

由b<〃<2b，得一<ci<一.

43

令/(耳=一/則/)

,^<X<y,"(X=-3一+(Jx-—x(3x_C)，

顯然/'(x)>0在［5。］上恒成立，故/⑴在(

上單調遞增，

因為了。備個?所以IT%C3

<-----.

324

因為32兀2<324,所以%〈唯〈所.

答案第2頁，共12頁

故選:D

9.BD

【分析】根據橢圓的性質判斷焦點位置，再結合橢圓離心率公式列出關于"，的方程，進而

求解加的值.

37

【詳解】因為加之一(3加一4)=m2-3m+4=(m--)2+—>0,則加？〉3加一4恒成立，

所以由C的離心率為得"f+4=L解得加=2或=4.

2m22

故選：BD

10.AC

【分析】直接代入即可求解A,根據Vxe［l,+e),2/(尤)=/(2x)作出函數的圖象，即可結

合選項逐一求解.

【詳解】由題可知，/(3)=2/^=2^-1+|-2^|=1,A正確.

由Vx?l,+8),2/(x)=/(2x)可作出/(無)的部分圖象，可知/(x)在［4,6)上單調遞增，在

［6,7］上單調遞減，B不正確.

由尸(x)=0,得f(x)=a,根據函數的對稱性可知，當國+馬=6時，可知為，馬是方程

/(x)=a的兩個不同的根，且4，%€(2,4),根據/3的圖象可知，°的取值范圍為',，，

C正確.

當函數尸(元在［3,16］上恰有4個零點時，根據/'(x)的圖象可知，°的取值范圍為

【分析】由已知運用定義計算即可判斷A；令Z,E。，由已知可判斷B；由已知將〃

答案第3頁，共12頁

根據公式變形即可求解c；根據公式利用放縮法即可求解.

5x4x…x(5-6+l)

【詳解】由題可知,-------二------0,A正確;

o!

10

當〃eN*,且“Nil時,=0,

n

1010101010101010

所以+++…++H■…斗

01220242JU9

令x=l,<7=10，

aaaaa

則由(1x)"+Xx2xn\xn-fl

012n

10101010

可得++???+=210=1024^2024,B不正確;

0122024

l)(aa-n+1)

因為

n\

所以

—u—ci(-a-l)(-a-2)---(-a-n+l)(-1)"a(a+l)(a+2)---(a+n-1^

nn\n\

(T)"(〃+〃—+〃―1—1)…(a+〃—1—〃+1)(])“a+n-1

,c正確;

n\n

1+擊+...>P[+f[xL駛

WUJ160160

,,-e-f161Y165”5/77161

從而I>=33,即nt1s/33<----,D正確A.

80J580

故選：ACD.

【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是充分理解新定義的運算，對于B,利用所給的展開

式通過賦值法求解.

12.2x+v=0

【分析】先根據函數解析式求出切點坐標，繼續對函數求導，切點處的導數值就是切線的斜

率，最后根據點斜式寫出直線方程.

答案第4頁，共12頁

【詳解】因為/■(x)=ei-3無，所以/⑴=e°-3=-2,所以/'(尤)=e，"-3,貝|/'(1)=一2,

從而曲線了=/(x)在點(1,-2)處的切線方程為y+2=-2(x-1),整理得2x+y=0.

13.2500

[S,.n=1,、

【分析】根據。”=\°、.作差得到凡是以1為首項，2為公差的等差數列，再由

電-S“T，〃N2

等差數列求和公式計算可得.

【詳解】由4s“=(%+1)2,當〃=1得4q=(°]+1)2,解得%=1；

當〃>2時，由4S.=(%+1『，得4S,T=(《I+1)2,

兩式相減得4%=片-片_1+2%,-2a,整理得(見+%—)2)=0.

因為%>0,所以a“-4--2=0,所以｛4｝是以1為首項，2為公差的等差數列，

從而Sso=5O+5°X；X2=2500

故答案為：2500

14.[1,9]

【分析】根據已知條件結合雙曲線的性質，確定M在以。為圓心，2為半徑的圓上，根據

圓的標準方程，確定N在以￡(-3,-4)為圓心，2為半徑的圓上，將問題轉化成兩圓上兩動

點距離問題即可求解.

【詳解】

\IV/

F？/XO\/\\

(x+3)25n2=4\

延長片M,PF2,使之交于點。，因為9平分4尸8，PMLMF\,

所以"=|尸0|,M為耳。的中點,又坐標原點。為片巴的中點，

答案第5頁，共12頁

所以|。叫=；|￡。|=；（盧。|-盧司）=上尸用-戶用）=2，

故W在以。為圓心，2為半徑的圓上，

由/+產+6x+8y+21=0,得：（x+3『+（y+4）2=4,

則N在以E（T-4）為圓心，2為半徑的圓上，因為|。閔=5,

^\OE\-2-2<\MN\<\OE\+2+2,

即pW|的取值范圍為[1,9].

故答案為：[1,9]

【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵在于利用雙曲線的定義將問題轉化為兩圓上動點間距離的范

圍問題.

兀

15.d）C=-

（2）24

【分析】（1）先邊化角然后把兩式相乘通過倍角公式得到兩角的關系進而求出角C的值.

（2）通過正弦定理得到c邊的值再結合勾股定理及已知條件分別求出。，6再用面積公式即

可.

【詳解】（1）因為3a=46,所以3sin/=4sin2.

又4cos/=3cosB,所以12sin/cos/=12sin_8cosB,則sin2/=sin23

TT

則24=22,即/=5或2/+28=兀，即/+2=—

2

TT71

因為awb,所以則/+5=—.從而。=大.

22

（2）因為V/8C外接圓的半徑為5,所以三=2x5=10

sine

jr

由（1）可得sinC=l,則。=10.由。=7,得/=力+從

2

,25A2,

因為3〃=46,所以----二100,得6=6,則。=8,

9

故VABC的面積S=-ab=24.

2

16.（1）5

⑵①三；②分布列見解析，等

1166

【分析】（1）由古典概型的的概率計算公式求解即可；

答案第6頁，共12頁

（2）①先求出從盒子中一次性隨機摸出4個球的所有取法，再求出三種顏色的球都被摸出

的不同取法，即可求解；②列出X的所有可能取值，分別求解概率即可得到分布列，再求

解期望即可.

【詳解】（1）由題可知，從盒子中隨機摸出1個球，白球被摸出的概率月=二二=二

6+m11

所以加=5；

（2）①從盒子中一次性隨機摸出4個球，不同的取法共有C；=330種,

三種顏色的球都被摸出的不同取法共有2C；C；C"C；C；C；=18（^,

故三種顏色的球都被摸出的概率6=詈=：；

②由題可知，X的取值可能為1,2,3,

16

且尸（…飛=，"=3）/=1r

17.（1）證明見解析

【分析】（1）根據線面垂直的判定定理先證平面PBE,再利用線面垂直得到線線垂直;

（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量的方法求平面與平面的夾角.

答案第7頁，共12頁

連接AD,因為8C=CD=1,ZBCD=120°,

所以BD2=BC2+CD2-IBC-CDcosNBCD=3,貝i|8。=G.

因為a4￡>C=//3C=90。，所以/B4D=60。.

又AD=4B,所以△4BZ)為等邊三角形.

取的中點E,連接BE,PE,則

又尸是4A的中點，四棱柱N8CD-《BC。為直四棱柱，所以

因為BEu平面尸BE,PEU平面PBE,PEcBE=E,所以40_L平面尸BE,

因為8Pu平面P3E,所以4D_L8P.

(2)由題易知DC,DA,兩兩垂直，

故以。為坐標原點，DC,DA,。，所在直線分別為x,y,z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標系，

Z八

D\_P_AX

->

A/E/4y

*xB

(3萬、，P，。(。，。，5]，

設Z)A=a,則B

(22Jk2J'2)

苑=|T一字小司=k-^,-d

I22)

a

因為5。，尸。，所以士—巴-=0,解得a=V3，

44

..(36V3

從而。=~PO-[Q封

8I22J

\7

設平面8尸。的法向量為玩二=(x,y,z),

_[_3K；6n

BQm=0,~2X~^2-yd-----z=0,

由上得<2

PQm=0,J36n'

i------V————z=0.

2,2

答案第8頁，共12頁

令y=G，得湯=(-2,若,-6).

易知平面CDD&的一個法向量為為=(0,1,0),cos而，萬=白若=2=吧,

\m\\n\\1010

故平面BPQ與平面CQAG夾角的余弦值為叵.

10

18.(1)/=4%

(2)8

⑶直線N3恒過定點

【分析】(1)通過聯立直線與拋物線方程，利用判別式為0求出。的值，進而得到拋物線方

程；

(2)先求出直線4的方程，再聯立直線4與拋物線方程，利用拋物線的焦點弦長公式求出

\MN\-

(3)設出直線/的方程，聯立直線/與拋物線方程，根據直線N尸,2尸分別和以下為圓心的動

圓相切，同構得到。，6是一元二次方程(16-/)/+(8-2/卜+1-2/=。的兩個實數根，

借助韋,,達定理求出>=-?31，％：7即可.

63

【詳解】(1)聯立廠=2PX，整理得丁-20+20=0.

[x-v+l=0,

因為4與少相切，所以(-2p『-8p=0,解得。=2或。=0(舍去)，

故印的方程為/=4x.

(2)由(1)可知尸(1,0).

因為所以4的方程為尤-?T=O.

設N(x2,y2).

(y2=4x

聯立〈:整理得「一4p一4=0,貝!]必+%=4,yxy2=-4,

1％—y—1=0,

|=X]+%+夕=必+1+>2+1+2=8.

(3)設/(4/,4a),B(4b2,4b),貝！)直線/的方程為x=(a+b)y-4M,①

答案第9頁，共12頁

直線工尸的方程為x=(a+l)y-4%直線第的方程為x=(b+l)y-46.

l+4a

設動圓尸的半徑為r,re(0,4)u(4,5).因為直線工尸和圓尸相切，所以而荷法="

整理得(16-產)02+(8-2/)°+1-2/=0,

同理可得(16-產+(8-2/,+1-2/=0,

所以0,6是一元二次方程(16-r2)x2+(8-2r2)x+l-2/=0的兩個實數根,

2/一81—2/2(8+2標一(89+4)

貝!U+b=ab=L^!_,代入①式整理得X二

16-r216-r216—r2

由鬻“，得"心止匕時x=［故直線3恒過定點［二影?

【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下:

(1)設直線方程和交點坐標;

(2)聯立直線與圓錐曲線的方程，得到一元二次方程、注意根的判斷;

(3)列出韋達定理;

(4)將所求問題或題中的關系轉化為與韋達定理相關的式子;

(5)代入韋達定理求解.

19.(1)證明見解析

(2)答案見解析

(3)證明見解析

【分析】(1)求導，即可根據函數的單調性求解最值得解，

(2)求導，對〃分奇偶，根據函數的單調性求解，

(3)根據(2)的結論可得g(x)1n^=8(1)=：!-+…-7T二+上，將問題轉化為證明

232K-12K

1工+「二+…+［<ln2,根據(1)的結論可得111山>工，即可利用對數的運算性質

化簡求解.

y11Y

【詳解】⑴因為〃x)=ln(x+l)-17rx>-1,所以八、)=有一^=。?

當xe(-1,0)時，f'(x)<0,〃x)單調遞減，

當xe(0,+s)時，r(x)>0,/(x)單調遞增,

從而/口焉=/(0)=0,則7(x)20.

答案第10頁，共12頁

,2

(2)因為g(x)=l-x+土+…+(-1)"二，"eN*,