專題六解析幾何

微專題1直線與圓

［考情分析］考查重點是直線間的平行和垂直的條件、與距離有關的問題、直線與圓的位置關系（特別是弦

長問題），此類問題難度屬于中低檔，一般以選擇題、填空題的形式出現.

考點一直線的方程

1.已知直線/i：Aix+Biy+Ci=O,直線h：Aix+B2y+C2=0,則h//,且A1C2-A2G/）（或SC2-

&CirO）,li-L12<^AIAT.+B\BT.=0.

2.點P（xo,刈）到直線I：Ax+By+C=Q（A,3不同時為零）的距離

3.兩條平彳丁直線hAx+By+C\=0,hAx+By+C2=0（A,B不同時為零）間的距離

例1（1）（多選）（2024?安慶模擬）下列說法正確的是（）

A.直線xsina+y+2=0的傾斜角。的取值范圍是［。，U洋，底）

B.“a=-l”是“直線〃龍一產1=。與直線4沖一2=0互相垂直”的充要條件

C.過點P（l,2）且在x軸、y軸截距相等的直線方程為x+y-3=0

D.經過平面內任意相異兩點（X1，%）,（X2，m）的直線都可以用方程（%2-Xl）Cy-yi）=Cy2-yi）（X-Xl）表示

答案AD

解析對于A,直線的傾斜角為6,則tan0=-sinaG［-l,1］,

因為0<6<兀，所以昨［0,駟［乎，n）,故A正確；

對于B,當a=-l時，直線x-y+l=O與直線尤+廣2=0斜率分別為1,-1,斜率之積為-1,故兩直線相互垂直，

所以充分性成立，

若“直線/x-y+lR與直線x-qy-2=0互相垂直”,貝ijcr+a=O,

故"=0或斫一1,所以得不到所一1,故必要性不成立，故B錯誤；

對于C,當截距為0時，設直線方程為y=kx,又直線過點P(1,2),

代入直線方程可得;2,所以直線方程為y=2x,

當截距不為。時，設直線方程為,又直線過點P(1,2),

aa

代入直線方程可得斫3,所以直線方程為x+y-3=0,

所以過點P(1,2)且在％軸、y軸截距相等的直線方程為x+y-3=0或產2x，故C錯誤；

對于D,經過平面內任意相異兩點(%i,yi),(處,竺)的直線，

當斜率等于0時,yi-y2,%i#2,方程為y=yi,能用方程(x2-xi)(y-yi)=(y2-yD(x-xD表示；

當斜率不存在時，》分2,xi=x2,方程為x=xi,能用方程(x2-即)8%)=。2-丁1)(%-沏)表示；

當斜率不為。且斜率存在時，直線方程為二紅,也能用方程3-%1)。平)心2平)(%-即)表示，故D正確.

y2-y1比2一比1

(2)已知y=(x-a)2+(xlnx-a+3)2(a￡R),則y的最小值為.

答案2

解析設點P(x,%lnx)是函數4x)=jdnx圖象上的點，點Q(〃,a-3)是直線Iy=x-3上的點，

貝|J|PQ|=J(%—a)2+(%ln%-a+3》,所以y二|PQ/

因為/(x)=lnx+l,設曲線產/(x)在點M(xo,泗)處的切線/i與直線/平行,則八%0)=11140+1=1,解得的=1,

則點頌1,0),所以|尸0|的最小值為點頌1,0)到直線/的距離I=止守=&,

所以y=(x-a)2+(xlnx-a+3)2的最小值為2.

［易錯提醒］解決直線方程問題的三個注意點

(1)利用4&-431=0后，要注意代入檢驗，排除兩條直線重合的可能性.

⑵要注意直線方程每種形式的局限性.

(3)討論兩直線的位置關系時，要注意直線的斜率是否存在.

跟蹤演練1(1)(多選)已知直線/：V3x-j+l=0,下列四個說法中正確的是()

A.直線/的傾斜角為3

B.若直線m：x-V3y+l=0,則/_L〃z

C.點(遍，0)到直線/的距離為2

D.過點(2H，2),并且與直線/平行的直線方程為限乎4=0

答案CD

解析直線/的斜率h=W，傾斜角為三，A不正確；

直線m的斜率k?粵，傾斜角為！,與直線/不垂直，B不正確；

點(遮，0)到直線/的距離

步|氏氏0+11=2c正確；

2

過點(2b,2),與直線/平行的直線方程為y-2=V3(x-2V3),即信-y-4=0,D正確.

(2)(2024.遂寧模擬)若點A(a,a),B(b,eb)(a,beR),則A,3兩點間距離|A8|的最小值

為.

答案f

解析點A(q,°)在直線y=x上,點B(b,e^)在曲線產e，'.上,

即求的最小值等價于求直線產尤上的點到曲線產砂上的點的距離的最小值.

過y=e*上的點(m,e171)作產e*的切線，

則切線方程為y-em=e"'(x-m),

令em=l,可得m=0,故該切線為y=x+\,

則直線產元+1與產尤的距離即為|AB|的最小值，

此時,fiP|AB|min=-y.

考點二圓的方程

1.圓的標準方程

當圓心為(a,b),半徑為r時,其標準方程為(尤-a)2+(y-6)2=，.

2.圓的一般方程

x^+y^Dx+Ey+F^,其中D2+E2-4F>0,表示以(g,-|)為圓心，也在尹為半徑的圓.

例2(1)(2024.浙江金麗衢十二校聯考)圓C：/+,2_2彳+4產0的圓心c坐標和半徑r分別為()

A.C(1,-2),T-V5B.C(1,-2),r=5

C.C(-1,2),r=V5D.C(-1,2),r=5

答案A

解析圓C：x2+y2-2x+4j=0，即C：(尤-l)2+(y+2)2=5,

它的圓心C坐標和半徑r分別為C(1,-2),r=瓜

(2)(2024.晉中模擬)已知直線/：y=x與圓T：(%-2fc)2+(y-k+1)2=1(A：GR),下列說法正確的是()

A.所有圓廠均不經過點(1,1)

B.若「關于/對稱，則上-2

C.若/與廣相交于A,B兩點,且|43|=魚，則仁-2

D.存在與x軸和y軸均相切的圓r

答案A

解析對于A,若圓廠經過點(1,1),貝U(1-2/C)2+(1-k+1)2=1,化簡整理得5%8%+4=0,

因為/=64-4x5x4=64-80=-16<0,所以方程無解，

所以所有圓〃均不經過點(1,1),所以A正確；

對于B,圓廣：(％—2/c)2+(y-k+1)2=1的圓心坐標為(2左，hl),

若「關于/對稱，則直線/過圓心，所以2gh1,得仁1,所以B錯誤；

對于C,因為/與廠相交于A,3兩點，fi|AB|=V2,所以圓心到直線的距離為仁小2_考，

又上呸出,解得卜2或k=。,所以C錯誤；

對于D,若存在與x軸和y軸均相切的圓〃，則12kl=|k—1|=1,此方程組無解，

所以不存在與x軸和y軸均相切的圓廠，所以D錯誤.

［規律方法］解決圓的方程問題一般有兩種方法

(1)幾何法：通過研究圓的性質、直線與圓、圓與圓的位置關系，進而求得圓的基本量和方程.

(2)代數法：即用待定系數法先設出圓的方程，再由條件求得各系數.

跟蹤演練2(1)(多選)已知實數x,y滿足/+/4產3=0,貝】」()

A.當今0時，2的最小值是-舊

X

B：的最大值是今

Cyx的最小值是2-V2

D.d+y2的最小值是1

答案BCD

解析由f+)/-4y+3=0,得f+Q-Zyul.該方程表示圓心為C(0,2),半徑r=l的圓.

設上4算0),則上表示圓上的點(除去點(0,1)和(0,3))與原點0(0,0)連線的斜率，

X

由產質(*0),則?！?，解得上力百或kW-W,

V一fcz+(，-l)z

由題意，y一定不等于0,

所以可以為0),

3yK3

即當中0時，^無最小值，2的最大值是"，故A錯誤，B正確；

xy3

設y-x=Z?,貝I]y=x+Z?，力表示當直線尸工+〃與圓有公共點時，直線在y軸上的截距，

則浮產1，解得2-7^^2+金,即小的最小值是2-魚，故C正確；

因為f+y2表示圓上的點到原點的距離的平方，又圓心在y軸上，

所以當x=0,y=l時，V+y2取得最小值，且最小值為1,故D正確.

(2)已知M(-l,1),若坐標原點0(0,0)在動直線/：mx+〃y-2m+2〃=0上的投影為點N,則|MN|的取值范

圍是()

A.[V2,2VliB.[V2,3Vli

C.[l,3V2]D.[2V2,3V2]

答案B

解析直線/：mx+ny-2m+2n=0,即(x-2)加+(y+2)"=0,

；2：X：-2,

所以動直線/恒過定點P(2,-2).

因為坐標原點0(0,0)在動直線/上的投影為點N,

故NONP=90。，所以N在以。尸為直徑的圓上,

則圓的圓心為2(1,-1),半徑J(2_0)2+(—2_0)2=/.

又—1)2+(1+1)2=2企,

所以|MQ卜rW|AW|W|MQ|+r,即71可跖\忸3迎，

即的取值范圍是[VL3V2].

考點三直線、圓的位置關系

1.直線與圓的位置關系：相交、相切和相離.

其判斷方法為：

(1)點線距離法.

22

(2)判別式法：設圓C：(XF)2+Q-6)2=，，直線I：Ax+By+C=Q(A+B^,聯立方程組

(Ax+By+C=0,

1(%—a)2+(y—b)2=r2,

消去y,得到關于x的一元二次方程，其根的判別式為/,則直線與圓相離=/<0,直線與圓相切=j=0,

直線與圓相交=/>0.

2.圓與圓的位置關系，即內含、內切、相交、外切、外離.

考向1直線與圓的位置關系

例3(多選)(2024.金華模擬)已知圓C：01)2+0-2)2=25,直線/：(2m+l)x+(m+l)y-7m-4=0,則下列命

題正確的有()

A.直線/恒過定點(3,1)

B.圓C被y軸截得的弦長為2遍

C.直線/與圓C恒相交

D.直線/被圓C截得的弦長最短時，直線/的方程為2x-y-5=0

答案ACD

解析對于A,由已知可得，圓心C(1,2),半徑-5,

直線方程可化為I:/w(2x+y-7)+x+y-4=0,

2%+y-7=0,(x-3,

由B

X+y-4=0,=1,

所以直線/恒過定點尸(3,1),A正確；

對于B,將x=0代入圓的方程有1+。-2)2=25,解得產2±2e，

弦長為J(0-0)2+(2+276-2+2遍)2=4傷,B錯誤；

因為點P(3,1)到圓心C(1,2)的距離為J(1一3>+(2-1)2=花<5=廠,

所以點尸在圓內，直線/與圓C恒相交，C正確；

當圓心C與定點尸的連線恰好與/垂直時，圓心到直線的距離最大，直線/被圓C截得的弦長最短，又

71-21

kpc=ka1

則I的斜率左應滿足kpc-k=-l,所以k=2,

代入點斜式方程有y-l=2(x-3),

即2x-y-5=0,D正確.

考向2圓與圓的位置關系

例4(1)(2024?聊城模擬)若圓G：/+9=1與圓。2：O〃)2+(y-〃)2=4恰有一條公切線，則下列直線一定

不經過點(。，A)的是()

A.2x+y-V^=0B.2x-y+2=0

C.x+y-y/2=0D.x-y+2=0

答案D

解析圓Ci:f+y2=l的圓心Ci(0,0),半徑-1,圓G：(x-a)2+(y-b)2=4的圓心Q(〃,b),半徑r?=2,

若圓G與圓G恰有一條公切線，則兩圓內切，

所以|。1。21二島—Ql，fiPVa2+b2=l,所以點(Q,Z?)的軌跡為0d+y2=i,

對于A,圓心(0,0)到直線2x+y-魚=0的距離為嗎四=半<1,則該直線與圓相交，過點(a"),故A不

V55

符合；

對于B,圓心(0,0)到直線2x-j+2=0的距離為^^=等<1,則該直線與圓相交，過點(a,6),故B不符合；

對于C,圓心(0,0)到直線x+y-魚=0的距離為號g=1,則該直線與圓相切,過點5,V)，故C不符合；

對于D,圓心(0,0)到直線尤->2=0的距離為此詈=e>1,則該直線與圓相離，不過點(a,加，故D符合.

(2)(多選)已知圓Ci：(x-l)2+(y-2a)2=9,圓C?：x2'+y2-8x+2ay+a2+12=0,a6R,則下列選項正確的是

()

A.直線CC2恒過定點(3,0)

B.當圓C1和圓C2外切時，若P,。分別是圓Cl,C2上的動點，則|PQmax=10

C.若圓Cl和圓C2共有2條公切線，則

D.當時，圓G與圓C2相交弦的弦長為呼

答案ABD

解析對于A,由圓G：(X-1)2+(J-2?)2=9，0C2：x1+y1-8x+2ay+a2+12=0,,

可知G(1,2a),半徑n=3,Q(4,-a),半徑歸2,

故直線的方程為丁+。=-。(%-4),

即y=-a(x-3),所以直線GQ恒過定點(3,0),A正確;

對于B,當圓G和圓C2外切時，

|CiC2|=n+r2,即J(1-4/+(2a+a)2=3+2,

解得。=±1,

當時，如圖所示，當尸，C1,C2,。共線時，

22

|PeU=|CiC2|+n+r2=J(l-4)+(|+1)+5=10；

同理求得當。=q時，|PQ|max=10,B正確；

對于C,若圓G和圓C2共有2條公切線，則兩圓相交，

貝U歷-r21Vlec2|〈門+―2,

即1<，(1-4)2+(2a+a)2<5,解得-[<〃<],C錯誤；

對于D,當時，兩圓相交，

Cl:(x-l)2+(y-1)=9,

C2：(x-4)2+(y+=4,

將兩方程相減可得公共弦方程6尤-2y-g=0,

則G(l,|國6x-2理=0的距離為工廣手，則圓G與圓C?相交弦的弦長為2小-(鐺之考，D

正確.

［規律方法］(1)與圓的弦長有關的問題常用幾何法，即利用圓的半徑r,圓心到直線的距離d,及半弦長J

構成直角三角形的三邊，利用其關系來處理.

(2)兩圓相交公共弦的方程可通過兩圓方程相減求得，進而在一個圓內，利用垂徑定理求公共弦長.

跟蹤演練3(1)(2024?婁底模擬)已知圓C：(『1戶+。+2)2=16,過點。(0,1)的動直線/與圓C相交于",

N兩點，當1MM=2A/正時，直線/的方程為()

A.4x+3y-3=0

B.3x-4y+4=0

C.x=0或4x+3y-3=0

D.4x+3y-3=0或3x-4y+4=0

答案c

解析當直線/與X軸垂直時，易知直線/的方程為x=0,

C:(x-1)2+0+2)2=16中，令x=0得(y+2)2=15,解得y=±屁-2,

故此時也0|=底2(-6耳2)=2e，符合題意；

當直線/與x軸不垂直時，設直線/的斜率為左，則直線/的方程為產丘+1,

即fcr-y+l=0,又圓心C(1,-2),半徑/-4,

則圓心(1,-2)到直線/的距離為?=需答,X\MN\=2<r2-d2=2V16-d2=2V15,

.?"弋|券=1,解得仁.則直線/的方程為y=A+l,即4元+3y-3=0.

綜上可知，直線/的方程為x=0或4尤+3y-3=0.

(2)(多選)(2024?泉州模擬)已知直線/：fcr+y+2hl=0與圓C：f+y2-6y-7=0相交于A,3兩點，下列說法

正確的是()

A.若圓C關于直線/對稱，則上1

B.|AB|的最小值為4V2

C.當；3時，對任意見?R,曲線W：爐+'2+3a+(九6)尹5”7=0恒過直線/與圓C的交點

D.若A,B,C,0(0為坐標原點)四點共圓，則上］

答案BCD

解析對于A,若圓C關于直線/對稱，則直線/過圓C的圓心(0,3),即3+2hl=0,得k=-l,故A錯誤；

對于B,I:kx+y+2k-l=0,整理得依計2)+y-l=0,不管人為何值,直線/始終過點。(-2,1),當點。是線段

A3的中點時，此時弦長|A8|最短，

圓C:V+(y-3)2=16,圓心C(0,3),半徑r=4,

圓心C和點D的距離是2段，所以最短弦長|43|=2,是-(2/)2=4/，故B正確；

對于C,當k=3時，直線I:3x+y+5=0,

22

曲線W:f+y2+3Ax+(%-6)y+52-7=0,即x+y-6>y-7+A(3x+y+5)=0,

所以曲線卬為過直線/與圓。交點的曲線方程，故C正確；

對于D，若A,3,C,。四點共圓,設此圓為圓石,圓心石(〃,b),

OC的中點為(0,|),所以OC的垂直平分線方程為h:y=|,所以6=|,

3

-

2

圓E的方程為(尤-a)2+(y—|)=〃+[,整理得一+了2-20%-3、=0,

因為直線A3是圓C與圓E的交線，將圓C與圓E的方程相減得2ax-3y-7=0,

所以直線A3的方程是2ax-3y-l=0,

將直線/所過的定點。(-2,1)代入上式得-4小3-7=0,得。=微，

所以直線A8,即直線/的斜率為吆=金,§P-k=--，則,故D正確.

3333

專題強化練

(分值：84分)

10素養提升

一、單項選擇題(每小題5分，共40分)

1.已知直線/傾斜角的余弦值為-E，且經過點(2,1),則直線/的方程為()

A.2x+y-5=0B.2x-y-3=0

C.x-2y=0D.x+2y-4=0

答案A

解析設直線/的傾斜角為06[0,兀），

由cos，可得sin0=71-cos20=受,

則直線/的斜率Qtan。=嗎=-2,

且直線/經過點（2,1）,

所以直線I的方程為y-l=-2（x-2）,即2x+y-5=0.

2.（2024?新鄉模擬）已知直線A：2x+my-l=0,（m+l）x+3y+l=0,則“根=2"是的（

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案C

解析當m=2時，直線Zi：2x+2y-l=Q,h:3%+3y+l=0,則/i〃/2,

當/i〃/2時，高專好,解得m=2,

所以“加=2”是“八〃/2”的充要條件.

3.（2024.北京）圓x2+y2-2x+6y=0的圓心到直線x-y+2=0的距離為（）

A.V2B.2

C.3D.3V2

答案D

解析將圓的方程化為標準方程，

得01）2+6+3）2=10,

所以該圓的圓心（1,-3）到直線x-y+2=0的距離為^^^=/=3加.

4.直線y=?x-5）-2（左GR）與圓（尤-3）2+（丫+1）2=6的位置關系為（）

A.相離B.相交

C.相切D.無法確定

答案B

解析直線產%(x-5)-2恒過定點(5,-2),將定點(5,-2)代入圓的方程，

發現(5-3)2+(-2+1)2=5<6,則定點(5,-2)在圓(.*3)2+8+1)2=6的內部,

所以直線與圓必相交.

5.(2024.聊城模擬)已知圓C與兩坐標軸及直線x+y-2=0都相切，且圓心在第二象限，則圓C的方程為(

2

A.(x+V2)2+(y—V2)=V2

B.(x-V2)2+(y+V2)=2

C.(x-V2)2+(y+V2)=V2

D.(x+V2)2+(y-V2)=2

答案D

解析由題意設所求圓的方程為(無也)2+紂6)2=/(°<0,6>0),

[\a\=\b\=r,(b——a=r,

則(|a+b-2|即2

(b=V2,

解得，a=—V2,

Ir=V2,

所以圓C的方程為(x+V2)2+(y-V2)2=2.

6.(2024.蘇錫常鎮調研)萊莫恩(Lemoine)定理指出：過△ABC的三個頂點A,B,C作它的外接圓的切線，

分別和3C,CA,A3所在直線交于點尸，Q,R,則P,Q,R三點在同一條直線上，這條直線被稱為三角

形的Lemoine線.在平面直角坐標系。孫中，若三角形的三個頂點坐標分別為A(0,1),3(2,0),C(0,

-4),則該三角形的Lemoine線的方程為()

A.2x-3y-2=0B.2x+3y-8=0

C.3x+2y-22=0D.2x-3y-32=0

答案B

解析設/XABC的外接圓方程為.F+V+Dx+Ey+QO,D2+E2-4F>0,

1+E+F=0,(0=0,

二4+2。+F=0,解得E=3,

,16—4E+F=0,kF=-4,

2

外接圓方程為f+y2+3y-4=0,即f+(y+|)=/.

易知外接圓在A(0,1)處的切線方程為產1,

又BC:|+^=1,令y=l,得%=|,

.??仁1）.

在C（0,-4）處的切線方程為y=-4,

又AB:|+y=l,令y=-4,得x=10,

.\7?（10,-4）.

則三角形的Lemoine線的方程為昔，蕓募,即2x+3y-8=0.

2

7.（2024?全國甲卷）已知》是a,c的等差中項，直線ax+6y+c=0與圓f+/+4”=0交于A,8兩點，貝U|A3|的

最小值為（）

A.lB.2

C.4D.2V5

答案C

解析因為。是a,c的等差中項，

所以2b=a+c,c=2b-a,

代入直線方程ax+by+c=0得ax+by+2b-a=0,

即a(x-l)+Z?(y+2)=0,

八.-1=0,彳口儼=1,

噸+2=0以y=—2,

故直線恒過(1,-2),設P(1,-2),

圓化為標準方程得/+(尹2)2=5,

設圓心為C,畫出直線與圓的圖形，如圖，

由圖可知，當PCLAB,|AB|最小,

又|PC|=1,|AC|=JI,

止匕時|AB|=2HP|=2jMC|2-

=2V5-1=4.

8.已知圓O：/+尸=4上兩點+（用,yD，3（x2，"）滿足沏忿+92=0,則昆+V5yl+6|+昆+遮丫2+6|的最

小值為（）

A.3V2-2B.6-2V2

C.6V2-4D.12-4V2

答案D

解析由制為+%竺=0得01?加=0,即35,而,貝IIOA±OB,|AB|=V2|OA|=2V2,

因為|久1+b月+6|+|久2+V3y2+6|=2與絲辿+氏產+61

\J1+(V3)2J1+CV3)2

所以由點到直線的距離公式，可知|久1+V3yx+6|+|久2+V3y2+6|表示A,B兩點到直線I：x+V3y+6=0的

距離之和的2倍.

如圖所示，過A,8分別作直線/的垂線，垂足分別為D,F,

設AB,。尸的中點分別為M,E,則ME是梯形AO尸3的中位線，可得HD|+|3R=2|ME|,

則忸++6|+|%2+V3y2+6|=2（|AD|+|BF］）=4|ME|,即點M到直線/的距離的4倍.

因為△AOB是直角三角形，所以［0河］=引8|=，2&,

則點M在圓^+/=2上運動，半徑r=<2.

由圖可知，當O,M,E三點共線時，|ME|最小，

又原點。到直線/的距離d=1°+0+61=3,\ME\^d-r=3-y/2,

jl+(V3)2

所以氏1++6|+|%2+V3y2+6|=4|ME|的最小值為4(3-V2)=l2-472.

二、多項選擇題（每小題6分，共18分）

9.下列說法正確的是（）

A.直線y=ax-2a+4（aCR）必過定點（2,4）

B.直線y+l=3尤在y軸上的截距為1

C.直線昌+3y+5=0的傾斜角為120°

D.過點G2,3）且垂直于直線x-2y+3=0的直線方程為2x+y+l=0

答案AD

解析對于A選項，直線方程可化為?(x-2)+(4-y)=0，由《二j二軻得仁Z4

所以直線產QX-2Q+4(〃￡R)必過定點(2,4),A正確；

對于B選項，直線方程可化為產3/1,故直線尹1二3%在〉軸上的截距為-1,B錯誤；

對于C選項，直線、&+3y+5=0的斜率為-苧,該直線的傾斜角為150。，C錯誤；

對于D選項，過點(-2,3)且垂直于直線x-2y+3=0的直線方程可設為2x+y+c=0,

則2x(-2)+3+c=0，可得c=l,

所以過點(-2,3)且垂直于直線x-2y+3=0的直線方程為2x+y+l=0,D正確.

10.(2024?哈爾濱模擬)已知圓C：(x-2)2+;/=4,直線/：(加+1)尤+2y-3=0gGR),貝!J()

A.直線/恒過定點(1,1)

B.存在實數相，使得直線/與圓C沒有公共點

C.當〃--3時，圓C上恰有兩個點到直線/的距離等于1

D.圓C與圓爐+/2%+8>1=0恰有兩條公切線

答案ACD

解析對于A,直線/的方程可化為m(x-l)+x+2y-3=0,由｛:"=。得仁二:

直線/過定點(1,1),A正確；

對于B,又(1-2)2+12=2<4,即定點(1,1)在圓C內，則直線/與圓C相交，有兩個交點，B錯誤；

對于C,當m=-3時，直線/：x-y=0,圓心CQ,0)到直線/的距離為d聿著短,

而圓C半徑為2,且2-魚<1,因此恰有2個點到直線/的距離等于1,C正確；

對于D,圓C的半徑n=2,圓x2+y2-2x+8y+l=0(x-l)2+(y+4)2^16,

圓心為(1,-4),半徑々=4,

兩圓圓心距為d'=J(l—2乃+(—4-0)2=g,

,

貝r2-ri<6?<r2+ri,

兩圓相交，因此它們有兩條公切線，D正確.

11.在平面直角坐標系O孫中，方程d+|y|=2對應的曲線為E,貝U()

A.曲線E是封閉圖形，其圍成的面積小于8魚

B.曲線E關于原點中心對稱

C.曲線E上的點到直線x+y=4距離的最小值為平

8

D.曲線E上的點到原點距離的最小值為四

答案ABC

解析當y>0時，y=-f+2,當y<0時，y=f-2,當y=0時，x=±V2,

所以曲線E的圖象如圖所示，其中%e[-V2,V2],

對于A,分別過A,C作x軸的垂線，過B,。作y軸的垂線，則圍成矩形EFG”,

因為A(-V2,0),C(V2,0),B(0,-2),￡)(0,2),所以|EF|=|4C|=2a,\EH\=\BD\=4,

所以矩形EFGH的面積為2岳4=8五,

由圖可知，曲線E是封閉圖形，且在矩形EFGH內，

所以曲線E圍成的面積小于8企，所以A正確；

對于B,因為點(x,y)和點(-x,-y)均滿足方程./+加=2,

所以曲線E關于原點中心對稱，所以B正確；

對于C,由圖可知,曲線E上到直線x+y=4距離最小的點位于第一象限,

此時y>0,則y=-x2+2,設(x,y)為y=-xi+2上任意一點，

則此點到直線x+y=4的距離為

冷空部=上山=『=喧云2公，當且僅當X』時取等號，

V2V2V2V282

所以曲線E上的點到直線x+y=4距離的最小值為新，所以C正確；

對于D,設(x,y)為曲線E上任意一點，則其到原點的距離為勤發+產,

V%2+y2=V2-lyl+y2=J(lyl+|y>當且僅當回三時取等號，

所以曲線E上的點到原點距離的最小值為了，所以D錯誤.

三、填空題(每小題5分，共15分)

12.(2024.杭州質檢)寫出與圓r+/=l相切且方向向量為(1,遮)的一條直線的方程.

答案y=VWx+2或產乃x-2(寫出一個即可)

解析因為切線的方向向量為(1,遍)，

所以切線的斜率為百,

故可設切線方程為y=y/3x+b.

因為直線y=V3x+b與圓x2+y2=l相切，

又圓丁+產1的圓心坐標為(0,0),半徑為1,

圓心(0,0)到直線y=VIx+6的距離為產°-°+川粵

J(V3)2+(-l)2

所以3=1,解得b=2或b=-2.

所以與圓^+^=1相切且方向向量為(1,V5)的直線方程為y=J9x+2或y=?x-2(寫出一"^即可).

13.(2024?海口調研)已知圓C：/+紂2)2=16,點P在直線/：x+2y+6=0上，過點尸作C的兩條切線，切點分

別為A,A當NAP8最大時，cosZAPB=

答案-|

解析如圖所示，易知/AP3=2NAPC,若NAP8最大時，則/APC最大.

由題意知圓C的圓心C(0,2),半徑『4,

在Rt^APC中，sinZAPC=^~,則當/APC最大時，|PC|取得最小值，

顯然由點到直線的距離公式，

可知|PC|min」)：2%=2Z,

則此時sinNAPC=e,

貝ljcosZAPB=1-2sin2ZAPC=-|.

14」曼哈頓距離］人臉識別在現今生活中應用非常廣泛，主要是測量面部五官之間的距離，稱為“曼哈頓距

離”.其定義如下：設A=(xi，%),3=(x2，及)，則A,B兩點間的曼哈頓距離"(A,B)=\xr-x2\+\y±-y2\-

已知M=(l,2),若點尸滿