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文檔簡介
2025屆高考數學一輪復習專題訓練空間向量的應用
一、選擇題
1.如圖所示,在直四棱柱中,底面ABCZ)為平行四邊形,或)_L℃6D=£)C=1,
點E在441上,且==g,則點B到平面即6的距離為()
A.布B巫C正D.迪
633
2.如圖,平面ABCD,平面ABEF,四邊形ABEF為正方形,四邊形ABCD為菱
形,/ZMB=60。,則直線AC9所成角的余弦值為()
D巫
4
71
3.如圖所示直四棱柱ABCD-A4G。中,底面ABCD為菱形,AB=1,ZDAB=g=2,動點尸
在體對角線8。上,則頂點B到平面APC距離的最大值為()
4.埃及金字塔是世界古代建筑奇跡之一,它的形狀可視為一個正四棱錐,若金字塔p—A5CD的高
為3,AB=3亞,點E滿足詼=2麗,則點。到平面AEC的距離為()
A.W5R4A/5c.逝D-3小
F丁V亨
5.已知直線/過點P(l,2,1)和點0(2,2,0),則點A。,—1,—1)到/的距離為()
A3B.2夜
C-2若D.而
6.直線/的一個方向向量為(3,1,-1),平面a的一個法向量為(6,2,-2),則()
A.B.///&
C.llla或luaDJ與a的位置關系不能判斷
7.在直三棱柱A5C—4月£中,N3C4=90。,耳分別是4片,/G的中點,5C=CA=CG,
則與AK所成角的余弦值是().
A叵1「A/30V15
B.-C.------D.--
1021510
8.PA,PB,PC是從點尸出發的三條射線,每兩條射線的夾角均為60°,那么直線PC與平面B48
所成角的余弦值是().
A.1B比C.BD好
2233
二、多項選擇題
9.如圖,在棱長為2的正方體—中,E,F,G,X分別是。口,人及,CD,BC
的中點,則下列說法正確的有()
A.E,F,G,H四點共面
B.BD與EF所成角的大小為4
3
C.在線段BD上存在點M,使得Mq1平面EFG
D.在線段AXB上任取一點N,,三棱錐N-EFG的體積為定值
10.已知直線/的一個方向向量為之=(〃1,3),平面a的一個法向量為貝女)
A.若〃/a,則2〃z—〃=3
B?若/則2〃z—〃=3
C.若/〃a,則mn+2=0
D-若I_La,則mn+2=0
11.在正三棱柱ABC—A與G中,43=4^=1,點尸滿足而=4反+〃豆瓦,其中;
則()
A.當;1=1時,Z\A男尸的周長為定值
B.當〃=1時,三棱錐P-ABC的體積為定值
C.當4時,有且僅有一個點P,使得3P
D.當〃=;時,有且僅有一個點P,使得43,平面A31P
三、填空題
12.如圖,在長方體ABC。—4用。。]中,AD=A4=1,A5=2,點E在棱A3上?若二面角
D.-EC-D的大小為巴,則AE=.
4
13.如圖,正四棱錐P-ABCD的棱長均為2,點E為側棱的中點.若點M,N分別為直線
CE上的動點,則MV的最小值為.
14.已知正方形ABCD的邊長為4,CGL平面ABCD,CG=2,E,尸分別是AB,AD的中點,則點C
到平面GEF的距離為.
四、解答題
15.如圖,在以45。,£>,£,尸為頂點的五面體中,平面CDEF,平面ABCD,ABHCDHEF,
DELDC,AB=AD=BC=EF=2,CD=4,CF=2百.
(1)證明:DE±BC;
⑵求直線AF與平面BDF所成角的正弦值.
16.如圖,直四棱柱ABC。—44。]。]的底面是菱形,A&=4,43=2,/氏4。=60°,后,河,汽分
別是的中點.
(2).求二面角A—MA-N的正弦值.
17.如圖,在正方體ABCD—中,AB=2,E/分別是3£),與。的中點?
(1)求異面直線AE與3歹所成角的余弦值;
(2)求點A1到平面BDF的距離.
18.如圖,已知在矩形ABCD中,E為邊的中點,將△ADE沿直線DE折起到△ADE
(4W平面.0£))的位置,〃為線段A】C的中點.
⑵已知45=2a=20,當平面40£,平面皿。。時,求直線5河與平面4。。所成角
的正弦值.
19.如圖所示,在四棱錐”—ABCD中,底面ABC。為直角梯形,BC//AD/。。4=90°,AD=4>
BC=CD=2,
⑴笳正BD上MC;
(2)若平面平面ABCD,求。至坪面高
參考答案
I.答案:C
解析:建立如圖所示的空間直角坐標系,
則D(0,0,0),A(l,-l,0),8(1,0,0),C(0,l,0),£(0,1,2),
所以西=(0/,2),瓦=(1,—1,g),瓦=(1,0,0),
設平面EDC、的法向量為m=(x,y,z),
m?DE=x—y+—z=0_5
則2,;,m=(——,—2,1)
—*--------*2
m?DC】=y+2z=0
5_
2=舊
所以點2到平面EDC、的距離d=也竺1
Im|
解析:取AB的中點。,連接0。,
四邊形ABCD為菱形,=60°,
所以
由于平面ABCD,平面ABEF,且兩平面交線為AB,DO±AB,DO^平面ABCD,
故DO_L平面ABEF,又四邊形ABEF為正方形,
故以。為坐標原點,為y軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,
不妨設正方形ABEF的邊長為2,
則A(O,-1,O),5(0,1,0),F(2,-l,0),C(0,2,我,
故就=(0,3,0),彷=(2,-2,0),
ACBF-6_R
則cos頌,麗;〉=
\AC\-\BF\2320-4
故直線AC,與所成角的余弦值逅.
4
故選:D.
3.答案:A
解析:連接AC交BD于點。,
由題意,得A。_L,03=。。=工AB=!,
~22
OA=OC=^JAB2-OB2=^l2-=當
如圖,以。為原點建立如圖所示的空間直角坐標系,
I2JV2<2JV2)
所以配=(0,如,0),M=—,0,西=(—1,0,2),設麗=2西(0<2<1}
(22J
所以?=荏+麗=通+2西=(',且o]+x(_i02)=(_/1+工立2/l],
122V'22
G
H±AC
設平面APC的一個法向量為n=(%,y,z卜則<
nlAP
n-AC=s/3y=0y=0
所以W=><取x=42>
AP=1-2+|%+y+22z=0口小'
n-z=-----
2A
則為=(440,22—1%
設頂點B到平面APC距離為d,
\AB-^
則d=^^=2422
n\“44)2+(24—1)2,20%—zU+1'
當4=o時d=o,
222
d二
當o<xwi時,V2022-4A+12";+,
所以當J_=2即X=工時點8到平面APC距離最大為2
22,V162
故選:A.
4.答案:D
解析:如圖,
連接出>設AC與3。相交于點°,連接P。,
因為金字塔p—ABCZ)可視為一個正四棱錐,
故以點0為坐標原點,Q4,OB,0P所在直線分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標系,
又由題意可得AB=3夜,P0=3,
所以OA=OB=OC=OD=OP=3,
所以0(0,0,0),A(3,0,0)(尸(0,0,3),B(0,3,0).C(-3,0,0),。(0,—3,0),
不妨設E(x,y,z),又因為屋=2麗,所以(乂%2_3)=2(_%,3_%_2),
即x=—2x,y=6-2y>z-3=—2z,解得尤=0,y=2z=l>>即E(0,2』),
AD=(-3,-3,0)-百=(6,0,0),AE=(-3,2,1)-
設平面AEC的法向量為仇=(x,y,z),則行.m=0,m-AE=01
6x=0
gpj取y=l,得身=(0,1,-2),
-3x+2y+z=0
?玩3_36
所以點O到平面AEC的距離d
\m\非5
5.答案:D
解析:由題意知,直線/的一個方向向量為而=(1,0,-1),
取直線I的一個單位方向向量為m=,0,一
\PQ\
又A(l,-1,-1)為直線外一點,且直線I過點尸(1,2,1),
..24=(0,-3,—2)
:.PAm=(0,-3,-2)/^,0,-等1=0,網=而
點A到直線1的距離為yjpA-(PA-mf=713-2=VTT
故選:c.
6.答案:A
解析:由于(6,2,-2)=2(3,1,-1),故直線的方向向量與平面法向量平行,故
故選:A
7.答案:A
解析:以點C為原點,以麗,CA,忑為x,y,z軸的正方向建立空間直角坐標系,設
BC=CA=CCX=2,則40,2,0),A(0,2,2),5(2,0,0),4(2,0,2),£>(1,1,2),£(0,0,2),
月(0,1,2),所以西=(—1,1,2),囂=(0,—1,2)所以
A耳BD-lxl+2x2屈
css〈AF\,BD、=RRj
解析:解法一:如圖,設直線PC在平面RLB的射影為
作CG_LP£>于點G,于點H,連接“G,
易得CGLB4,又C“nCG=C,S,CGu平面CHG,則24,平面CHG,
又HGu平面C8G,則K4LHG,
PH
cosZCPA=——
有《PC
PGPHPH
cosZCPDxcosZAPD
~PC~PG~~PC
故cosNCPA=cosNCPDxcosZAPD.
已知ZAPC=60°,ZAPE>=30°,
,,/「DCcosZCPAcos60°四出雨』.
故cosZCPD=-------------=-------=——為所求.
cosZAPDcos3003
解法二:
如圖所示,把出,PB,PC放在正方體中,PA,PB,PC的夾角均為60°.
建立如圖所示的空間直角坐標系,設正方體棱長為1,
則尸(1,0,0),C(0,0,l),A(l,l,l),3(0,1,0),
所以定=(—1,0,1),PA=(0,l,l),PC=(-1,1,0),
n?PA-y+z=0
設平面的法向量〃=(x,y,z),貝叫_,'
n-PB=-x+y=0
令x=l,則y=l,z=-l,所以〃=(1,1,-1),
所以cos(PC,〃〉=23cli=-2=巫
\PC\-\n\V2xV33
設直線PC與平面所成角為e,所以sin,=1cos〈定,〃〉|=豐,所以cos,=Jl—sir?9=與
故選C.
9.答案:AD解析:以A為原點,以AB,AD,A4所在直線分別為x軸、y軸、z軸,
建立如圖所示的空間直角坐標系,
則4(0,0,0),5(2,0,0),C(2,2,0)>Z>(0,2,0),耳(2,0,2),"(0,2,2),灰0,2,1),尸(1,0,2),
G(l,2,0),7/(2,1,0),
設麗:7荏+^^痔
則(2,1,0)=%(0,2,1)+y(l50,2)+z(l,2,0),
x=-1,
y+z=2,
1
所以J2x+2z=1,解得v
x+2y=0,
3
Z=2,
故x+y+z=1,
即£,F,G,"四點共面,故A正確;
因為麗=(—2,2,0),EF=(1,-2,1)-
6拒
所以|cosM,EF)|=_呼.”
\BD\-\EF\瓜x底一2
所以BD與所所成角的大小為二,故B錯誤;
6
假設在線段BD上存在點M,符合題意.設麗7=2SD(0<2<1)>
則詼(=反>麗=及"2防=(242-242),
若平面EFG,則宙?麗=0,㈣.反二°.
因為喬=(1,—2,1),EG=(l,0,-l)-
2彳-4+42+2=0,、工口〃口土Q
所以J此u萬程組無解,
22-2=0,
所以在線段8。上不存在點使得MC],平面EFG,故C錯誤;
因為菊=(2,0,—2)=2西,
所以A3//EG,又482平面后打;,£3匚平面或燈,
所以\BH平面EFG,故A8上的所有點到平面EFG的距離即為B到平面EFG的距離,
是定值,
又的面積是定值,
所以在線段AB上任取一點N,三棱錐N-EFG的體積為定值,故D正確.
故選AD
10.答案:AD
解析:直線/的一個方向向量為商=(m,1,3),
平面a的一個法向量為5=(—2,,
當〃/a時,則有£,力因此£啰=-2m+〃+3=0,即2機—〃=3,A正確,C錯誤;
當/J_a時,則有因此g=,=:,則加〃+2=0,根=—6,〃=;,B錯誤’D正確.
故選:AD
11.答案:BD
解析:易知點尸在矩形BCG與內部(含邊界).
對于A,當4=1時,BP=BC+//B^=BC+//Cq,即此時Pe線段CC「當〃=0時,點尸與
點c重合,止匕時AAgP的周長為M+AC+4c=2&+1;當〃=;時,點尸為線段cq的中
△AB】P的周長為
4與+&「+57=&+岑+岑=應+6.所以44片p的周長不是定值,
故A錯誤;
對于B,當〃=1時,而=4被+的=函+4耳。,故此時尸點軌跡為線段用£,而用CJ/3C,
又用GU平面ABC,BCu平面ABC,所以5cl〃平面ABC,則有點P到平面ABC的距離為
定值,又△ABC的面積為定值,所以三棱錐P-ABC的體積為定值,故B正確.
對于c,當幾=|■時,而=g反+〃函■,取BC,AG的中點分別為。,H,則麗=詼+〃。方,
所以點P軌跡為線段。“,不妨建立如圖所示的空間直角坐標系,
則A苧,0,1,尸(。,。,〃),5(0,1,0),0,〃一1,BP={Q-1
則v=12
715'〃
乖?麗=〃(〃—1)=0,所以〃=0或〃=1.故點H,。均滿足,故C錯誤;
對于D,當〃=g時,麗=2阮+g甌,取BB-CC]的中點分別為M,N,則麗=麗7+彳麗,
所以點尸軌跡為線段MN.設《0,%,),因為Aj#,O,o],所以Q=(—,,為1),
—■fV31、
A,B=,-,-1,因為平面ABP,所以45,AP,所以
(22J}
—..3111
APA,B=—+—y——=0=>y=——,此時點尸與點N重合,故D正確.故選BD.
“4202020
12.答案:2—6
解析:以D為原點,以次,友,函*為x,yz軸的正方向,建立空間直角坐標系,設AE=2(0<2<2),
平面D.EC的法向量為五=(x,%z)
由題可知,D(0,0,1),C(0,2,0),E(l,2,0),^C=(0,2,-l),CE=(l,2-2,0)
?.?平面AECD的一個法向量為Z軸,可取平面AECZ)的法向量為力=(0,0,1)
m=(x,y,z)為平面DXEC的法向量,
./?竺=2y—z=°令y=i,則租=(2一%1,2)
m-CE=x+(2-2)y=0
?.?二面角2—EC—。的大小為彳
7T即浮2
cos—
47(2-2)2+1+22
解得2=2-當,4=2+6(舍去)
AE=2-拒
故答案為2—6
解析:建系如圖,
則有:A(-1,-1,O),5(1,-1,0),C(1,1,0),D(-l,l,0),P(0,0,V2),EJ_J,"
55,
"_3_1
可得:CE_9.9
22
設加(石,-1,0),且N(%2,y2,Z2),
則有:CN=ACE,
(3]歷、
可得:N1--A,1——2,-2
222
則有:MN=i-±2-x},2——Z,—2,
222)
故I麗1=—^彳―"J+12—gx]+[^2]=3_白一石]+》2—2「+4,
則當且僅當;I=9,西=—1時,|加|=辿,
1
3Imin3
2瓜
故答案為:
亍
14.答案:6VH
11
解析:
15.答案:(1)證明見解析
y/6
⑵~9~
解析:⑴:平面CD£F_L平面ABCD,平面CDE^Cl平面ABCD=CD,DE_LDC,
.,.QE1平面ABC。,
又BCu平面ABCD,
:.DEIBC.
(2)如圖,過F作FO//ED交DC于點、。,作。PLAB于點P.
由⑴得QE1平面ABCD,
FO//DE,F01平面ABCD,
,OP,OC,C萬兩兩垂直,
故以0為原點,OP,OC,。尸所在直線分別為4,y,Z軸建立空間直角坐標系,
由條件可得-1,0),3(石J0),D(0,-2,0),F(0,0,2吟,
???AF=(-V3,1,2V2),DB=(V3,3,O),DF=(0,0,272).
設平面BDF的法向量為n=(x,y,z),
n-DB=A/3X+3V=0,
則彳______
n?DF=2y+2及z=0,
可取n=(—V2,1^.
設直線Ab與平面BQ廠所成的角為e,
cosg)■邛,
貝ijsin0=
即直線AF與平面BDF所成角的正弦值為
9
16.答案:(1)證明見解析
⑵畫
5
解析:⑴.連結
因為分別為8耳,8。的中點,
所以ME//B。,且ME=LgC.
121
又因為N為4。的中點,且4。〃男。,
:.ND//B】C且ND」B\C
121
由題設知4片〃。。,
可得用。〃4。,故MEUND,
因此四邊形MNDE為平行四邊形,MNHED-
又MNa平面ED。,
所以MN〃平面
(2).由已知可得DE1DA
以£)為坐標原點,五5的方向為x軸由正方向,
建立如圖所示的空間直角坐標系。一燈Z,
則A(2,0,0),A(2,0,4),M(1,62),N(1,0,2),不=(0,0,-4),=(-1,6,-2)
=(-1,0,-2),W=(0,-A0).
設比=(%,y,z)為平面A{MA的法向量,
m-AM=0
則X
m-A[A=0
—x+-2z=0,
所以4
-4z=0.
可取m=(百,1,0b
設為=/廠)為平面A[MN的法向量,
n-MN-0,
則4
n-AXN-0.
—此=0,可取同=(2,0,T).
所以,
-p-2r=0.
m-n2A/3\/15
于是cos(沅,元)
|m||n|2x755
所以二面角A—M4j—N的正弦值為畫.
17.答案:(1)1;
6
3
解析:(1)以。為原點,04,00,。。1所在的直線分別為工軸、y軸、z軸,
建立如圖所示的空間直角坐標系,則4(2,0,2),E(l,1,0),5(2,2,0),歹(1,2,1),
乖=(-1,1,-2),訪=(-1,0,1),
萍京
所以直線4E與BF所成角的余弦值為卜05(卒,而,=
明前6
(2)設平面瓦星的法向量為1=(x,y,z),加=(2,2,0),
n-DB=0,,sin/'取xT'則、=一1'z=l'
則4____W<
n-BF=0,
得平面BDF的一個法向量為n=(1,-1,1)>
\AE-n\|—1—1—2|4>73
所以點A到平面BDF的距離為「r'-,
H#+(_i『+F3
18.答案:(1)證明
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