2025屆高考數(shù)學一輪復習專題訓練空間向量的應用

一、選擇題

1.如圖所示，在直四棱柱中，底面ABCZ）為平行四邊形，或）_L℃6D=￡）C=1，

點E在441上，且==g，則點B到平面即6的距離為（）

A.布B巫C正D.迪

633

2.如圖，平面ABCD，平面ABEF，四邊形ABEF為正方形,四邊形ABCD為菱

形,/ZMB=60。，則直線AC9所成角的余弦值為（）

D巫

4

71

3.如圖所示直四棱柱ABCD-A4G。中，底面ABCD為菱形,AB=1,ZDAB=g=2,動點尸

在體對角線8。上,則頂點B到平面APC距離的最大值為（）

4.埃及金字塔是世界古代建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐，若金字塔p—A5CD的高

為3，AB=3亞,點E滿足詼=2麗，則點。到平面AEC的距離為（）

A.W5R4A/5c.逝D-3小

F丁V亨

5.已知直線/過點P（l,2,1）和點0（2,2,0），則點A。,—1,—1）到/的距離為（）

A3B.2夜

C-2若D.而

6.直線/的一個方向向量為（3,1,-1）,平面a的一個法向量為（6,2,-2）,則（）

A.B.///&

C.llla或luaDJ與a的位置關系不能判斷

7.在直三棱柱A5C—4月￡中，N3C4=90。，耳分別是4片，/G的中點，5C=CA=CG，

則與AK所成角的余弦值是（）.

A叵1「A/30V15

B.-C.------D.--

1021510

8.PA,PB,PC是從點尸出發(fā)的三條射線，每兩條射線的夾角均為60°,那么直線PC與平面B48

所成角的余弦值是（）.

A.1B比C.BD好

2233

二、多項選擇題

9.如圖，在棱長為2的正方體—中，E,F,G,X分別是。口，人及，CD,BC

的中點，則下列說法正確的有()

A.E,F,G,H四點共面

B.BD與EF所成角的大小為4

3

C.在線段BD上存在點M,使得Mq1平面EFG

D.在線段AXB上任取一點N,,三棱錐N-EFG的體積為定值

10.已知直線/的一個方向向量為之=(〃1,3)，平面a的一個法向量為貝女)

A.若〃/a，則2〃z—〃=3

B?若/則2〃z—〃=3

C.若/〃a,則mn+2=0

D-若I_La,則mn+2=0

11.在正三棱柱ABC—A與G中，43=4^=1,點尸滿足而=4反+〃豆瓦，其中；

則()

A.當；1=1時，Z\A男尸的周長為定值

B.當〃=1時，三棱錐P-ABC的體積為定值

C.當4時，有且僅有一個點P,使得3P

D.當〃=；時，有且僅有一個點P,使得43,平面A31P

三、填空題

12.如圖，在長方體ABC。—4用。。］中，AD=A4=1,A5=2,點E在棱A3上?若二面角

D.-EC-D的大小為巴，則AE=.

4

13.如圖，正四棱錐P-ABCD的棱長均為2,點E為側(cè)棱的中點.若點M,N分別為直線

CE上的動點，則MV的最小值為.

14.已知正方形ABCD的邊長為4,CGL平面ABCD,CG=2,E,尸分別是AB,AD的中點，則點C

到平面GEF的距離為.

四、解答題

15.如圖，在以45。,￡>,￡,尸為頂點的五面體中，平面CDEF，平面ABCD,ABHCDHEF,

DELDC,AB=AD=BC=EF=2,CD=4,CF=2百.

(1)證明：DE±BC；

⑵求直線AF與平面BDF所成角的正弦值.

16.如圖，直四棱柱ABC。—44。］。］的底面是菱形，A&=4,43=2,/氏4。=60°,后,河,汽分

別是的中點.

(2).求二面角A—MA-N的正弦值.

17.如圖，在正方體ABCD—中，AB=2，E/分別是3￡)，與。的中點?

(1)求異面直線AE與3歹所成角的余弦值；

(2)求點A1到平面BDF的距離.

18.如圖，已知在矩形ABCD中,E為邊的中點，將△ADE沿直線DE折起到△ADE

(4W平面.0￡))的位置，〃為線段A】C的中點.

⑵已知45=2a=20，當平面40￡，平面皿。。時，求直線5河與平面4。。所成角

的正弦值.

19.如圖所示，在四棱錐”—ABCD中，底面ABC。為直角梯形,BC//AD/。。4=90°，AD=4>

BC=CD=2,

⑴笳正BD上MC；

（2）若平面平面ABCD，求。至坪面高

參考答案

I.答案：C

解析：建立如圖所示的空間直角坐標系,

則D(0,0,0),A(l,-l,0),8(1,0,0),C(0,l,0),￡(0,1,2),

所以西=(0/,2)，瓦=(1,—1,g)，瓦=(1,0,0)，

設平面EDC、的法向量為m=(x,y,z),

m?DE=x—y+—z=0_5

則2,；,m=(——,—2,1)

—*--------*2

m?DC】=y+2z=0

5_

2=舊

所以點2到平面EDC、的距離d=也竺1

Im|

解析：取AB的中點。，連接0。,

四邊形ABCD為菱形,=60°,

所以

由于平面ABCD，平面ABEF，且兩平面交線為AB，DO±AB,DO^平面ABCD,

故DO_L平面ABEF,又四邊形ABEF為正方形,

故以。為坐標原點,為y軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,

不妨設正方形ABEF的邊長為2,

則A(O,-1,O),5(0,1,0)，F(xiàn)(2,-l,0),C(0,2,我,

故就=(0,3,0)，彷=(2,-2,0),

ACBF-6_R

則cos頌，麗;〉=

\AC\-\BF\2320-4

故直線AC,與所成角的余弦值逅.

4

故選：D.

3.答案：A

解析：連接AC交BD于點。，

由題意，得A。_L，03=。。=工AB=!，

~22

OA=OC=^JAB2-OB2=^l2-=當

如圖，以。為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，

I2JV2<2JV2)

所以配=(0,如,0),M=—,0，西=(—1,0,2),設麗=2西(0<2<1}

(22J

所以?=荏+麗=通+2西=(',且o]+x(_i02)=(_/1+工立2/l],

122V'22

G

H±AC

設平面APC的一個法向量為n=(%,y,z卜則<

nlAP

n-AC=s/3y=0y=0

所以W=><取x=42>

AP=1-2+|%+y+22z=0口小'

n-z=-----

2A

則為=(440,22—1%

設頂點B到平面APC距離為d,

\AB-^

則d=^^=2422

n\“44)2+(24—1)2,20%—zU+1'

當4=o時d=o,

222

d二

當o<xwi時，V2022-4A+12"；+，

所以當J_=2即X=工時點8到平面APC距離最大為2

22,V162

故選：A.

4.答案：D

解析：如圖,

連接出>設AC與3。相交于點°，連接P。，

因為金字塔p—ABCZ)可視為一個正四棱錐，

故以點0為坐標原點，Q4，OB，0P所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系,

又由題意可得AB=3夜，P0=3,

所以OA=OB=OC=OD=OP=3，

所以0（0,0,0），A（3,0,0）（尸（0,0,3），B（0,3,0）.C（-3,0,0），。（0,—3,0）,

不妨設E（x,y,z），又因為屋=2麗，所以（乂％2_3）=2（_%,3_%_2），

即x=—2x，y=6-2y>z-3=—2z,解得尤=0，y=2z=l>>即E（0,2』），

AD=（-3,-3,0）-百=（6,0,0）,AE=（-3,2,1）-

設平面AEC的法向量為仇=(x,y,z)，則行.m=0，m-AE=01

6x=0

gpj取y=l，得身=(0,1,-2)，

-3x+2y+z=0

?玩3_36

所以點O到平面AEC的距離d

\m\非5

5.答案：D

解析：由題意知,直線/的一個方向向量為而=(1,0,-1),

取直線I的一個單位方向向量為m=,0,一

\PQ\

又A(l,-1,-1)為直線外一點，且直線I過點尸(1,2,1)，

..24=（0,-3,—2）

:.PAm=（0,-3,-2）/^,0,-等1=0,網(wǎng)=而

點A到直線1的距離為yjpA-（PA-mf=713-2=VTT

故選:c.

6.答案：A

解析：由于(6,2,-2)=2(3,1,-1)，故直線的方向向量與平面法向量平行，故

故選:A

7.答案：A

解析：以點C為原點，以麗，CA,忑為x,y,z軸的正方向建立空間直角坐標系，設

BC=CA=CCX=2,則40,2,0),A(0,2,2),5(2,0,0),4(2,0,2),￡>(1,1,2),￡(0,0,2),

月(0,1,2),所以西=(—1,1,2),囂=(0,—1,2)所以

A耳BD-lxl+2x2屈

css〈AF\,BD、=RRj

解析：解法一：如圖，設直線PC在平面RLB的射影為

作CG_LP￡>于點G,于點H,連接“G,

易得CGLB4,又C“nCG=C,S,CGu平面CHG,則24,平面CHG,

又HGu平面C8G,則K4LHG,

PH

cosZCPA=——

有《PC

PGPHPH

cosZCPDxcosZAPD

~PC~PG~~PC

故cosNCPA=cosNCPDxcosZAPD.

已知ZAPC=60°,ZAPE>=30°,

,,/「DCcosZCPAcos60°四出雨』.

故cosZCPD=-------------=-------=——為所求.

cosZAPDcos3003

解法二：

如圖所示，把出，PB,PC放在正方體中，PA,PB,PC的夾角均為60°.

建立如圖所示的空間直角坐標系，設正方體棱長為1,

則尸(1,0,0),C(0,0,l),A(l,l,l),3(0,1,0),

所以定=(—1,0,1),PA=(0,l,l),PC=(-1,1,0),

n?PA-y+z=0

設平面的法向量〃=(x,y,z),貝叫_,'

n-PB=-x+y=0

令x=l,則y=l,z=-l,所以〃=(1,1,-1),

所以cos(PC,〃〉=23cli=-2=巫

\PC\-\n\V2xV33

設直線PC與平面所成角為e，所以sin，=1cos〈定,〃〉|=豐，所以cos，=Jl—sir?9=與

故選C.

9.答案：AD解析：以A為原點，以AB,AD,A4所在直線分別為x軸、y軸、z軸,

建立如圖所示的空間直角坐標系,

則4(0,0,0)，5(2,0,0)，C(2,2,0)>Z>(0,2,0),耳(2,0,2)，"(0,2,2)，灰0,2,1),尸(1,0,2),

G(l,2,0)，7/(2,1,0)，

設麗:7荏+^^痔

則(2,1,0)=%(0,2,1)+y(l50,2)+z(l,2,0)，

x=-1,

y+z=2,

1

所以J2x+2z=1,解得v

x+2y=0,

3

Z=2,

故x+y+z=1，

即￡,F,G,"四點共面，故A正確；

因為麗=(—2,2,0)，EF=(1,-2,1)-

6拒

所以|cosM,EF)|=_呼.”

\BD\-\EF\瓜x底一2

所以BD與所所成角的大小為二，故B錯誤；

6

假設在線段BD上存在點M,符合題意.設麗7=2SD(0<2<1)>

則詼(=反>麗=及"2防=(242-242)，

若平面EFG,則宙?麗=0，㈣.反二°.

因為喬=(1,—2,1)，EG=(l,0,-l)-

2彳-4+42+2=0,、工口〃口土Q

所以J此u萬程組無解,

22-2=0,

所以在線段8。上不存在點使得MC],平面EFG,故C錯誤;

因為菊=(2,0,—2)=2西，

所以A3//EG,又482平面后打;，￡3匚平面或燈,

所以\BH平面EFG,故A8上的所有點到平面EFG的距離即為B到平面EFG的距離,

是定值，

又的面積是定值，

所以在線段AB上任取一點N,三棱錐N-EFG的體積為定值，故D正確.

故選AD

10.答案：AD

解析：直線/的一個方向向量為商=(m,1,3)，

平面a的一個法向量為5=(—2,，

當〃/a時，則有￡,力因此￡啰=-2m+〃+3=0,即2機—〃=3,A正確，C錯誤；

當/J_a時,則有因此g=，=：,則加〃+2=0,根=—6,〃=；,B錯誤’D正確.

故選：AD

11.答案：BD

解析：易知點尸在矩形BCG與內(nèi)部(含邊界).

對于A,當4=1時，BP=BC+//B^=BC+//Cq,即此時Pe線段CC「當〃=0時，點尸與

點c重合，止匕時AAgP的周長為M+AC+4c=2&+1；當〃=；時，點尸為線段cq的中

△AB】P的周長為

4與+&「+57=&+岑+岑=應+6.所以44片p的周長不是定值,

故A錯誤;

對于B,當〃=1時，而=4被+的=函+4耳。，故此時尸點軌跡為線段用￡,而用CJ/3C,

又用GU平面ABC,BCu平面ABC,所以5cl〃平面ABC,則有點P到平面ABC的距離為

定值，又△ABC的面積為定值，所以三棱錐P-ABC的體積為定值，故B正確.

對于c,當幾=|■時，而=g反+〃函■，取BC,AG的中點分別為。，H,則麗=詼+〃。方，

所以點P軌跡為線段。“，不妨建立如圖所示的空間直角坐標系，

則A苧，0，1，尸(。,。,〃)，5(0,1,0),0,〃一1,BP={Q-1

則v=12

715'〃

乖?麗=〃(〃—1)=0,所以〃=0或〃=1.故點H,。均滿足，故C錯誤；

對于D,當〃=g時，麗=2阮+g甌，取BB-CC]的中點分別為M,N,則麗=麗7+彳麗，

所以點尸軌跡為線段MN.設《0,%,),因為Aj#,O,o],所以Q=(—，,為1)，

—■fV31、

A,B=,-,-1,因為平面ABP,所以45，AP，所以

(22J}

—..3111

APA,B=—+—y——=0=>y=——，此時點尸與點N重合，故D正確.故選BD.

“4202020

12.答案：2—6

解析：以D為原點，以次，友，函*為x,yz軸的正方向,建立空間直角坐標系，設AE=2(0<2<2),

平面D.EC的法向量為五=(x,%z)

由題可知,D(0,0,1),C(0,2,0),E(l,2,0),^C=(0,2,-l)，CE=(l,2-2,0)

?.?平面AECD的一個法向量為Z軸,可取平面AECZ)的法向量為力=(0,0,1)

m=(x,y,z)為平面DXEC的法向量,

./?竺=2y—z=°令y=i,則租=(2一％1,2)

m-CE=x+(2-2)y=0

?.?二面角2—EC—。的大小為彳

7T即浮2

cos—

47(2-2)2+1+22

解得2=2-當,4=2+6（舍去）

AE=2-拒

故答案為2—6

解析：建系如圖,

則有：A（-1,-1,O）,5（1,-1,0）,C（1,1,0）,D（-l,l,0）,P（0,0,V2）,EJ_J,"

55,

"_3_1

可得：CE_9.9

22

設加（石,-1,0）,且N（%2，y2，Z2），

則有：CN=ACE,

（3]歷、

可得：N1--A,1——2,-2

222

則有：MN=i-±2-x},2——Z,—2,

222)

故I麗1=—^彳―"J+12—gx]+[^2]=3_白一石]+》2—2「+4,

則當且僅當;I=9,西=—1時，|加|=辿，

1

3Imin3

2瓜

故答案為:

亍

14.答案：6VH

11

解析：

15.答案：（1）證明見解析

y/6

⑵~9~

解析：⑴：平面CD￡F_L平面ABCD,平面CDE^Cl平面ABCD=CD,DE_LDC,

.,.QE1平面ABC。，

又BCu平面ABCD,

：.DEIBC.

（2）如圖，過F作FO//ED交DC于點、。,作。PLAB于點P.

由⑴得QE1平面ABCD,

FO//DE,F01平面ABCD,

，OP,OC,C萬兩兩垂直，

故以0為原點，OP,OC,。尸所在直線分別為4,y,Z軸建立空間直角坐標系,

由條件可得-1,0）,3（石J0）,D（0,-2,0）,F（0,0,2吟,

???AF=(-V3,1,2V2),DB=(V3,3,O),DF=(0,0,272).

設平面BDF的法向量為n=(x,y,z),

n-DB=A/3X+3V=0,

則彳______

n?DF=2y+2及z=0,

可取n=(—V2,1^.

設直線Ab與平面BQ廠所成的角為e，

cosg)■邛,

貝ijsin0=

即直線AF與平面BDF所成角的正弦值為

9

16.答案：(1)證明見解析

⑵畫

5

解析：⑴.連結

因為分別為8耳,8。的中點，

所以ME//B。，且ME=LgC.

121

又因為N為4。的中點，且4。〃男。，

:.ND//B】C且ND」B\C

121

由題設知4片〃。。，

可得用。〃4。,故MEUND，

因此四邊形MNDE為平行四邊形，MNHED-

又MNa平面ED。，

所以MN〃平面

(2).由已知可得DE1DA

以￡)為坐標原點，五5的方向為x軸由正方向,

建立如圖所示的空間直角坐標系。一燈Z,

則A（2,0,0），A（2,0,4）,M（1,62）,N（1,0,2）,不=（0,0,-4）,=（-1,6,-2）

=（-1,0,-2）,W=（0,-A0）.

設比=(%,y,z)為平面A{MA的法向量,

m-AM=0

則X

m-A[A=0

—x+-2z=0,

所以4

-4z=0.

可取m=（百,1,0b

設為=/廠)為平面A[MN的法向量,

n-MN-0,

則4

n-AXN-0.

—此=0，可取同=(2,0,T).

所以，

-p-2r=0.

m-n2A/3\/15

于是cos（沅，元）

|m||n|2x755

所以二面角A—M4j—N的正弦值為畫.

17.答案：（1）1；

6

3

解析：（1）以。為原點，04,00，。。1所在的直線分別為工軸、y軸、z軸,

建立如圖所示的空間直角坐標系，則4（2,0,2）,E（l,1,0）,5（2,2,0）,歹（1,2,1），

乖=(-1,1,-2)，訪=(-1,0,1)，

萍京

所以直線4E與BF所成角的余弦值為卜05（卒,而，=

明前6

（2）設平面瓦星的法向量為1=（x,y,z）,加=（2,2,0），

n-DB=0,,sin/'取xT'則、=一1'z=l'

則4____W<

n-BF=0,

得平面BDF的一個法向量為n=（1,-1,1）>

\AE-n\|—1—1—2|4>73

所以點A到平面BDF的距離為「r'-,

H#+（_i『+F3

18.答案：（1）證明