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文檔簡介

2025屆福建省莆田一中等三校高三5月模擬試題數學試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.我國古代數學巨著《九章算術》中,有如下問題:“今有女子善織,日自倍,五日織五尺,問日織幾何?”這個問題用今天的白話敘述為:有一位善于織布的女子,每天織的布都是前一天的2倍,已知她5天共織布5尺,問這位女子每天分別織布多少?根據上述問題的已知條件,若該女子共織布尺,則這位女子織布的天數是()A.2 B.3 C.4 D.12.雙曲線:(,)的一個焦點為(),且雙曲線的兩條漸近線與圓:均相切,則雙曲線的漸近線方程為()A. B. C. D.3.直三棱柱中,,,則直線與所成的角的余弦值為()A. B. C. D.4.正項等比數列中,,且與的等差中項為4,則的公比是()A.1 B.2 C. D.5.若向量,則()A.30 B.31 C.32 D.336.已知平面向量,滿足,,且,則()A.3 B. C. D.57.已知定義在上的函數在區間上單調遞增,且的圖象關于對稱,若實數滿足,則的取值范圍是()A. B. C. D.8.某四棱錐的三視圖如圖所示,記為此棱錐所有棱的長度的集合,則().A.,且 B.,且C.,且 D.,且9.已知拋物線:,點為上一點,過點作軸于點,又知點,則的最小值為()A. B. C.3 D.510.的展開式中有理項有()A.項 B.項 C.項 D.項11.下列判斷錯誤的是()A.若隨機變量服從正態分布,則B.已知直線平面,直線平面,則“”是“”的充分不必要條件C.若隨機變量服從二項分布:,則D.是的充分不必要條件12.已知,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知實數,滿足則的取值范圍是______.14.若實數,滿足,則的最小值為__________.15.的展開式中的常數項為_______.16.已知一組數據1.6,1.8,2,2.2,2.4,則該組數據的方差是_______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數.(1)若曲線的切線方程為,求實數的值;(2)若函數在區間上有兩個零點,求實數的取值范圍.18.(12分)設點分別是橢圓的左,右焦點,為橢圓上任意一點,且的最小值為1.(1)求橢圓的方程;(2)如圖,直線與軸交于點,過點且斜率的直線與橢圓交于兩點,為線段的中點,直線交直線于點,證明:直線.19.(12分)這次新冠肺炎疫情,是新中國成立以來在我國發生的傳播速度最快、感染范圍最廣、防控難度最大的一次重大突發公共衛生事件.中華民族歷史上經歷過很多磨難,但從來沒有被壓垮過,而是愈挫愈勇,不斷在磨難中成長,從磨難中奮起.在這次疫情中,全國人民展現出既有責任擔當之勇、又有科學防控之智.某校高三學生也展開了對這次疫情的研究,一名同學在數據統計中發現,從2020年2月1日至2月7日期間,日期和全國累計報告確診病例數量(單位:萬人)之間的關系如下表:日期1234567全國累計報告確診病例數量(萬人)1.41.72.02.42.83.13.5(1)根據表中的數據,運用相關系數進行分析說明,是否可以用線性回歸模型擬合與的關系?(2)求出關于的線性回歸方程(系數精確到0.01).并預測2月10日全國累計報告確診病例數.參考數據:,,,.參考公式:相關系數回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:,.20.(12分)已知數列{an}的各項均為正,Sn為數列{an}的前n項和,an2+2an=4Sn+1.(1)求{an}的通項公式;(2)設bn,求數列{bn}的前n項和.21.(12分)某公司欲投資一新型產品的批量生產,預計該產品的每日生產總成本價格)(單位:萬元)是每日產量(單位:噸)的函數:.(1)求當日產量為噸時的邊際成本(即生產過程中一段時間的總成本對該段時間產量的導數);(2)記每日生產平均成本求證:;(3)若財團每日注入資金可按數列(單位:億元)遞減,連續注入天,求證:這天的總投入資金大于億元.22.(10分)已知數列的前項和為,.(1)求數列的通項公式;(2)若,為數列的前項和.求證:.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

將問題轉化為等比數列問題,最終變為求解等比數列基本量的問題.【詳解】根據實際問題可以轉化為等比數列問題,在等比數列中,公比,前項和為,,,求的值.因為,解得,,解得.故選B.【點睛】本題考查等比數列的實際應用,難度較易.熟悉等比數列中基本量的計算,對于解決實際問題很有幫助.2、A【解析】

根據題意得到,化簡得到,得到答案.【詳解】根據題意知:焦點到漸近線的距離為,故,故漸近線為.故選:.【點睛】本題考查了直線和圓的位置關系,雙曲線的漸近線,意在考查學生的計算能力和轉化能力.3、A【解析】

設,延長至,使得,連,可證,得到(或補角)為所求的角,分別求出,解即可.【詳解】設,延長至,使得,連,在直三棱柱中,,,四邊形為平行四邊形,,(或補角)為直線與所成的角,在中,,在中,,在中,,在中,,在中,.

故選:A.【點睛】本題考查異面直線所成的角,要注意幾何法求空間角的步驟“做”“證”“算”缺一不可,屬于中檔題.4、D【解析】

設等比數列的公比為q,,運用等比數列的性質和通項公式,以及等差數列的中項性質,解方程可得公比q.【詳解】由題意,正項等比數列中,,可得,即,與的等差中項為4,即,設公比為q,則,則負的舍去,故選D.【點睛】本題主要考查了等差數列的中項性質和等比數列的通項公式的應用,其中解答中熟記等比數列通項公式,合理利用等比數列的性質是解答的關鍵,著重考查了方程思想和運算能力,屬于基礎題.5、C【解析】

先求出,再與相乘即可求出答案.【詳解】因為,所以.故選:C.【點睛】本題考查了平面向量的坐標運算,考查了學生的計算能力,屬于基礎題.6、B【解析】

先求出,再利用求出,再求.【詳解】解:由,所以,,,故選:B【點睛】考查向量的數量積及向量模的運算,是基礎題.7、C【解析】

根據題意,由函數的圖象變換分析可得函數為偶函數,又由函數在區間上單調遞增,分析可得,解可得的取值范圍,即可得答案.【詳解】將函數的圖象向左平移個單位長度可得函數的圖象,由于函數的圖象關于直線對稱,則函數的圖象關于軸對稱,即函數為偶函數,由,得,函數在區間上單調遞增,則,得,解得.因此,實數的取值范圍是.故選:C.【點睛】本題考查利用函數的單調性與奇偶性解不等式,注意分析函數的奇偶性,屬于中等題.8、D【解析】

首先把三視圖轉換為幾何體,根據三視圖的長度,進一步求出個各棱長.【詳解】根據幾何體的三視圖轉換為幾何體為:該幾何體為四棱錐體,如圖所示:所以:,,.故選:D..【點睛】本題考查三視圖和幾何體之間的轉換,主要考查運算能力和轉換能力及思維能力,屬于基礎題.9、C【解析】

由,再運用三點共線時和最小,即可求解.【詳解】.故選:C【點睛】本題考查拋物線的定義,合理轉化是本題的關鍵,注意拋物線的性質的靈活運用,屬于中檔題.10、B【解析】

由二項展開式定理求出通項,求出的指數為整數時的個數,即可求解.【詳解】,,當,,,時,為有理項,共項.故選:B.【點睛】本題考查二項展開式項的特征,熟練掌握二項展開式的通項公式是解題的關鍵,屬于基礎題.11、D【解析】

根據正態分布、空間中點線面的位置關系、充分條件與必要條件的判斷、二項分布及不等式的性質等知識,依次對四個選項加以分析判斷,進而可求解.【詳解】對于選項,若隨機變量服從正態分布,根據正態分布曲線的對稱性,有,故選項正確,不符合題意;對于選項,已知直線平面,直線平面,則當時一定有,充分性成立,而當時,不一定有,故必要性不成立,所以“”是“”的充分不必要條件,故選項正確,不符合題意;對于選項,若隨機變量服從二項分布:,則,故選項正確,不符合題意;對于選項,,僅當時有,當時,不成立,故充分性不成立;若,僅當時有,當時,不成立,故必要性不成立.因而是的既不充分也不必要條件,故選項不正確,符合題意.故選:D【點睛】本題考查正態分布、空間中點線面的位置關系、充分條件與必要條件的判斷、二項分布及不等式的性質等知識,考查理解辨析能力與運算求解能力,屬于基礎題.12、C【解析】

利用誘導公式得,,再利用倍角公式,即可得答案.【詳解】由可得,∴,∴.故選:C.【點睛】本題考查誘導公式、倍角公式,考查函數與方程思想、轉化與化歸思想,考查邏輯推理能力和運算求解能力,求解時注意三角函數的符號.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

根據約束條件畫出可行域,即可由直線的平移方法求得的取值范圍.【詳解】.由題意,畫出約束條件表示的平面區域如下圖所示,令,則如圖所示,圖中直線所示的兩個位置為的臨界位置,根據幾何關系可得與軸的兩個交點分別為,所以的取值范圍為.故答案為:【點睛】本題考查了非線性約束條件下線性規劃的簡單應用,由數形結合法求線性目標函數的取值范圍,屬于中檔題.14、【解析】

由約束條件先畫出可行域,然后求目標函數的最小值.【詳解】由約束條件先畫出可行域,如圖所示,由,即,當平行線經過點時取到最小值,由可得,此時,所以的最小值為.故答案為.【點睛】本題考查了線性規劃的知識,解題的一般步驟為先畫出可行域,然后改寫目標函數,結合圖形求出最值,需要掌握解題方法.15、【解析】

寫出展開式的通項公式,考慮當的指數為零時,對應的值即為常數項.【詳解】的展開式通項公式為:,令,所以,所以常數項為.

故答案為:.【點睛】本題考查二項展開式中指定項系數的求解,難度較易.解答問題的關鍵是,能通過展開式通項公式分析常數項對應的取值.16、0.08【解析】

先求解這組數據的平均數,然后利用方差的公式可得結果.【詳解】首先求得,.故答案為:0.08.【點睛】本題主要考查數據的方差,明確方差的計算公式是求解的關鍵,側重考查數據分析的核心素養.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)或【解析】

(1)根據解析式求得導函數,設切點坐標為,結合導數的幾何意義可得方程,構造函數,并求得,由導函數求得有最小值,進而可知由唯一零點,即可代入求得的值;(2)將解析式代入,結合零點定義化簡并分離參數得,構造函數,根據題意可知直線與曲線有兩個交點;求得并令求得極值點,列出表格判斷的單調性與極值,即可確定與有兩個交點時的取值范圍.【詳解】(1)依題意,,,設切點為,,故,故,則;令,,故當時,,當時,,故當時,函數有最小值,由于,故有唯一實數根0,即,則;(2)由,得.所以“在區間上有兩個零點”等價于“直線與曲線在有兩個交點”;由于.由,解得,.當變化時,與的變化情況如下表所示:30+0極小值極大值所以在,上單調遞減,在上單調遞增.又因為,,,,故當或時,直線與曲線在上有兩個交點,即當或時,函數在區間上有兩個零點.【點睛】本題考查了導數的幾何意義應用,由切線方程求參數值,構造函數法求參數的取值范圍,函數零點的意義及綜合應用,屬于難題.18、(1)(2)見解析【解析】

(1)設,求出后由二次函數知識得最小值,從而得,即得橢圓方程;(2)設直線的方程為,代入橢圓方程整理,設,由韋達定理得,設,利用三點共線,求得,然后驗證即可.【詳解】解:(1)設,則,所以,因為.所以當時,值最小,所以,解得,(舍負)所以,所以橢圓的方程為,(2)設直線的方程為,聯立,得.設,則,設,因為三點共線,又所以,解得.而所以直線軸,即.【點睛】本題考查求橢圓方程,考查直線與橢圓相交問題.直線與橢圓相交問題,采取設而不求思想,設,設直線方程,應用韋達定理,得出,再代入題中需要計算可證明的式子參與化簡變形.19、(1)可以用線性回歸模型擬合與的關系;(2),預測2月10日全國累計報告確診病例數約有4.5萬人.【解析】

(1)根據已知數據,利用公式求得,再根據的值越大說明它們的線性相關性越高來判斷.(2)由(1)的相關數據,求得,,寫出回歸方程,然后將代入回歸方程求解.【詳解】(1)由已知數據得,,,所以,,所以.因為與的相關近似為0.99,說明它們的線性相關性相當高,從而可以用線性回歸模型擬合與的關系.(2)由(1)得,,,所以,關于的回歸方程為:,2月10日,即代入回歸方程得:.所以預測2月10日全國累計報告確診病例數約有4.5萬人.【點睛】本題主要考查線性回歸分析和回歸方程的求解及應用,還考查了運算求解的能力,屬于中檔題.20、(1)an=2n+1;(2)2.【解析】

(1)根據題意求出首項,再由(an+12+2an+1)﹣(an2+2an)=4an+1,求得該數列為等差數列即可求得通項公式;(2)利用錯位相減法進行數列求和.【詳解】(1)∵an2+2an=4Sn+1,∴a12+2a1=4S1+1,即,解得:a1=1或a1=﹣1(舍),又∵an+12+2an+1=4Sn+1+1,∴(an+12+2an+1)﹣(an2+2an)=4an+1,整理得:(an+1﹣an)(an+1+an)=2(an+1+an),又∵

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