北京市順義一中2025屆高三3月聯(lián)合檢測試題（數(shù)學(xué)試題理）試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知命題：是“直線和直線互相垂直”的充要條件；命題：對任意都有零點；則下列命題為真命題的是（）A． B． C． D．2．“是函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．設(shè)等比數(shù)列的前項和為，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知復(fù)數(shù)，則（）A． B． C． D．25．已知為虛數(shù)單位，實數(shù)滿足，則()A．1 B． C． D．6．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的，則輸出的()A．9 B．31 C．15 D．637．展開項中的常數(shù)項為A．1 B．11 C．-19 D．518．已知雙曲線的中心在原點且一個焦點為，直線與其相交于，兩點，若中點的橫坐標(biāo)為，則此雙曲線的方程是A． B．C． D．9．已知雙曲線：（，）的焦距為.點為雙曲線的右頂點，若點到雙曲線的漸近線的距離為，則雙曲線的離心率是（）A． B． C．2 D．310．若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)的值為()A．或 B． C． D．或11．集合中含有的元素個數(shù)為（）A．4 B．6 C．8 D．1212．要排出高三某班一天中，語文、數(shù)學(xué)、英語各節(jié)，自習(xí)課節(jié)的功課表，其中上午節(jié)，下午節(jié)，若要求節(jié)語文課必須相鄰且節(jié)數(shù)學(xué)課也必須相鄰（注意：上午第五節(jié)和下午第一節(jié)不算相鄰），則不同的排法種數(shù)是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知集合U＝{1,3,5,9}，A＝{1,3,9}，B＝{1,9}，則?U(A∪B)＝________.14．已知向量=（－4，3），=（6，m），且，則m=__________.15．設(shè)是定義在上的函數(shù)，且，對任意，若經(jīng)過點的一次函數(shù)與軸的交點為，且互不相等，則稱為關(guān)于函數(shù)的平均數(shù)，記為.當(dāng)_________時，為的幾何平均數(shù).（只需寫出一個符合要求的函數(shù)即可）16．若，則的展開式中含的項的系數(shù)為_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為：（為參數(shù)），以為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為：.（1）求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線與曲線交于，兩點，與曲線交于，兩點，求取得最大值時直線的直角坐標(biāo)方程.18．（12分）如圖，已知拋物線：與圓：（）相交于，，，四個點，（1）求的取值范圍；（2）設(shè)四邊形的面積為，當(dāng)最大時，求直線與直線的交點的坐標(biāo).19．（12分）已知函數(shù)有兩個極值點，.（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）證明：.20．（12分）已知動點到定點的距離比到軸的距離多.（1）求動點的軌跡的方程；（2）設(shè)，是軌跡在上異于原點的兩個不同點，直線和的傾斜角分別為和，當(dāng)，變化且時，證明：直線恒過定點，并求出該定點的坐標(biāo).21．（12分）底面為菱形的直四棱柱，被一平面截取后得到如圖所示的幾何體.若，.（1）求證：；（2）求二面角的正弦值.22．（10分）2019年入冬時節(jié)，長春市民為了迎接2022年北京冬奧會，增強身體素質(zhì)，積極開展冰上體育鍛煉.現(xiàn)從速滑項目中隨機選出100名參與者，并由專業(yè)的評估機構(gòu)對他們的鍛煉成果進行評估打分（滿分為100分）并且認為評分不低于80分的參與者擅長冰上運動，得到如圖所示的頻率分布直方圖：（1）求的值；（2）將選取的100名參與者的性別與是否擅長冰上運動進行統(tǒng)計，請將下列列聯(lián)表補充完整，并判斷能否在犯錯誤的概率在不超過0.01的前提下認為擅長冰上運動與性別有關(guān)系？擅長不擅長合計男性30女性50合計1000.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（，其中）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．A【解析】

先分別判斷每一個命題的真假，再利用復(fù)合命題的真假判斷確定答案即可.【詳解】當(dāng)時，直線和直線，即直線為和直線互相垂直，所以“”是直線和直線互相垂直“的充分條件，當(dāng)直線和直線互相垂直時，，解得.所以“”是直線和直線互相垂直“的不必要條件.：“”是直線和直線互相垂直“的充分不必要條件，故是假命題．當(dāng)時，沒有零點，所以命題是假命題．所以是真命題，是假命題，是假命題，是假命題．故選：．【點睛】本題主要考查充要條件的判斷和兩直線的位置關(guān)系，考查二次函數(shù)的圖象，考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.2．C【解析】，令解得當(dāng)，的圖像如下圖當(dāng)，的圖像如下圖由上兩圖可知，是充要條件【考點定位】考查充分條件和必要條件的概念，以及函數(shù)圖像的畫法.3．C【解析】

根據(jù)等比數(shù)列的前項和公式，判斷出正確選項.【詳解】由于數(shù)列是等比數(shù)列，所以，由于，所以，故“”是“”的充分必要條件.故選：C【點睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查等比數(shù)列前項和公式，屬于基礎(chǔ)題.4．C【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)模的性質(zhì)即可求解.【詳解】,,故選：C【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)模的性質(zhì)，屬于容易題.5．D【解析】，則故選D.6．B【解析】

根據(jù)程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)的運算，直至滿足條件退出循環(huán)體，即可得出結(jié)果.【詳解】執(zhí)行程序框；；；；；，滿足，退出循環(huán)，因此輸出，故選:B.【點睛】本題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)輸出結(jié)果，模擬程序運行是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.7．B【解析】

展開式中的每一項是由每個括號中各出一項組成的，所以可分成三種情況.【詳解】展開式中的項為常數(shù)項，有3種情況：（1）5個括號都出1，即；（2）兩個括號出，兩個括號出，一個括號出1，即；（3）一個括號出，一個括號出，三個括號出1，即；所以展開項中的常數(shù)項為，故選B.【點睛】本題考查二項式定理知識的生成過程，考查定理的本質(zhì)，即展開式中每一項是由每個括號各出一項相乘組合而成的.8．D【解析】

根據(jù)點差法得，再根據(jù)焦點坐標(biāo)得，解方程組得，，即得結(jié)果.【詳解】設(shè)雙曲線的方程為，由題意可得，設(shè)，，則的中點為，由且，得，，即，聯(lián)立，解得，，故所求雙曲線的方程為．故選D．【點睛】本題主要考查利用點差法求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，考查基本求解能力，屬于中檔題.9．A【解析】

由點到直線距離公式建立的等式，變形后可求得離心率．【詳解】由題意，一條漸近線方程為，即，∴，，即，，．故選：A．【點睛】本題考查求雙曲線的離心率，掌握漸近線方程與點到直線距離公式是解題基礎(chǔ)．10．C【解析】試題分析：因為復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，所以且，因此注意不要忽視虛部不為零這一隱含條件.考點：純虛數(shù)11．B【解析】解：因為集合中的元素表示的是被12整除的正整數(shù)，那么可得為1，2,3,4，6，,12故選B12．C【解析】

根據(jù)題意，分兩種情況進行討論：①語文和數(shù)學(xué)都安排在上午；②語文和數(shù)學(xué)一個安排在上午，一個安排在下午.分別求出每一種情況的安排方法數(shù)目，由分類加法計數(shù)原理可得答案．【詳解】根據(jù)題意，分兩種情況進行討論：①語文和數(shù)學(xué)都安排在上午，要求節(jié)語文課必須相鄰且節(jié)數(shù)學(xué)課也必須相鄰，將節(jié)語文課和節(jié)數(shù)學(xué)課分別捆綁，然后在剩余節(jié)課中選節(jié)到上午，由于節(jié)英語課不加以區(qū)分，此時，排法種數(shù)為種；②語文和數(shù)學(xué)都一個安排在上午，一個安排在下午.語文和數(shù)學(xué)一個安排在上午，一個安排在下午，但節(jié)語文課不加以區(qū)分，節(jié)數(shù)學(xué)課不加以區(qū)分，節(jié)英語課也不加以區(qū)分，此時，排法種數(shù)為種.綜上所述，共有種不同的排法.故選：C．【點睛】本題考查排列、組合的應(yīng)用，涉及分類計數(shù)原理的應(yīng)用，屬于中等題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．{5}【解析】易得A∪B＝A＝{1,3,9}，則?U(A∪B)＝{5}．14．8.【解析】

利用轉(zhuǎn)化得到加以計算，得到.【詳解】向量則.【點睛】本題考查平面向量的坐標(biāo)運算、平面向量的數(shù)量積、平面向量的垂直以及轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用.屬于容易題.15．【解析】

由定義可知三點共線，即，通過整理可得，繼而可求出正確答案.【詳解】解：根據(jù)題意，由定義可知：三點共線.故可得：，即，整理得：，故可以選擇等.故答案為:.【點睛】本題考查了兩點的斜率公式，考查了推理能力，考查了運算能力.本題關(guān)鍵是分析出三點共線.16．【解析】

首先根據(jù)定積分的應(yīng)用求出的值,進一步利用二項式的展開式的應(yīng)用求出結(jié)果.【詳解】，根據(jù)二項式展開式通項：，令，解得，所以含的項的系數(shù).故答案為：【點睛】本題考查定積分，二項式的展開式的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的運算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）曲線，曲線.（2）.【解析】

（1）用和消去參數(shù)即得的極坐標(biāo)方程；將兩邊同時乘以，然后由解得直角坐標(biāo)方程.（2）過極點的直線的參數(shù)方程為，代入到和：中，表示出即可求解.【詳解】解：由和，得，化簡得故：將兩邊同時乘以，得因為，所以得的直角坐標(biāo)方程.（2）設(shè)直線的極坐標(biāo)方程由，得，由，得故當(dāng)時，取得最大值此時直線的極坐標(biāo)方程為：，其直角坐標(biāo)方程為：.【點睛】考查直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的互相轉(zhuǎn)化以及應(yīng)用圓的極坐標(biāo)方程中的幾何意義求距離的的最大值方法；中檔題.18．（1）（2）點的坐標(biāo)為【解析】

將拋物線方程與圓方程聯(lián)立,消去得到關(guān)于的一元二次方程,拋物線與圓有四個交點需滿足關(guān)于的一元二次方程在上有兩個不等的實數(shù)根,根據(jù)二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)即可得到關(guān)于的不等式組,解不等式即可.不妨設(shè)拋物線與圓的四個交點坐標(biāo)為，，，，據(jù)此可表示出直線、的方程,聯(lián)立方程即可表示出點坐標(biāo),再根據(jù)等腰梯形的面積公式可得四邊形的面積的表達式,令,由及知,對關(guān)于的面積函數(shù)進行求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性和最值,即可求出四邊形的面積取得最大值時的值,進而求出點坐標(biāo).【詳解】（1）聯(lián)立拋物線與圓的方程消去，得.由題意可知在上有兩個不等的實數(shù)根.所以解得，所以的取值范圍為.（2）根據(jù)（1）可設(shè)方程的兩個根分別為，（），則，，，，且，，所以直線、的方程分別為，,聯(lián)立方程可得,點的坐標(biāo)為，因為四邊形為等腰梯形,所以，令，則，所以，因為,所以當(dāng)時,；當(dāng)時,，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即當(dāng)時，四邊形的面積取得最大值，因為,點的坐標(biāo)為,所以當(dāng)四邊形的面積取得最大值時,點的坐標(biāo)為.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值與最值、拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程及直線與圓錐曲線相關(guān)的最值問題；考查運算求解能力、轉(zhuǎn)化與化歸能力和知識的綜合運用能力;利用函數(shù)的思想求圓錐曲線中面積的最值是求解本題的關(guān)鍵;屬于綜合型強、難度大型試題.19．（1）（2）證明見解析【解析】

（1）先求得導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)兩個極值點可知有兩個不等實根，構(gòu)造函數(shù)，求得；討論和兩種情況，即可確定零點的情況，即可由零點的情況確定的取值范圍；（2）根據(jù)極值點定義可知，，代入不等式化簡變形后可知只需證明；構(gòu)造函數(shù)，并求得，進而判斷的單調(diào)區(qū)間，由題意可知，并設(shè)，構(gòu)造函數(shù)，并求得，即可判斷在內(nèi)的單調(diào)性和最值，進而可得，即可由函數(shù)性質(zhì)得，進而由單調(diào)性證明，即證明，從而證明原不等式成立.【詳解】（1）函數(shù)則，因為存在兩個極值點，，所以有兩個不等實根.設(shè)，所以.①當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，至多有一個零點，不符合題意.②當(dāng)時，令得，0減極小值增所以，即.又因為，，所以在區(qū)間和上各有一個零點，符合題意，綜上，實數(shù)的取值范圍為.（2）證明：由題意知，，所以，.要證明，只需證明，只需證明.因為，，所以.設(shè)，則，所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).因為，不妨設(shè)，設(shè)，，則，當(dāng)時，，，所以，所以在上是增函數(shù)，所以，所以，即.因為，所以，所以.因為，，且在上是減函數(shù)，所以，即，所以原命題成立，得證.【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點，由導(dǎo)數(shù)證明不等式，構(gòu)造函數(shù)法的綜合應(yīng)用，極值點偏移證明不等式成立的應(yīng)用，是高考的常考點和熱點，屬于難題.20．（1）或；（2）證明見解析，定點【解析】

（1）設(shè)，由題意可知，對的正負分情況討論，從而求得動點的軌跡的方程；（2）設(shè)其方程為，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理得到，所以，所以直線的方程可表示為，即，所以直線恒過定點．【詳解】（1）設(shè)，動點到定點的距離比到軸的距離多，，時，解得，時，解得.動點的軌跡的方程為或（2）證明：如圖，設(shè)，，由題意得（否則）且，所以直線的斜率存在，設(shè)其方程為，將與聯(lián)立消去，得，由韋達定理知，，①顯然，，，，將①式代入上式整理化簡可得：，所以，此時，直線的方程可表示為，即，所以直線恒過定點.【點睛】本題主要考查了動點軌跡，考查了直線與拋物線的綜合，是中檔題．21．（1）見解析；（2）【解析】

（1）先由線面垂直的判定定理證明平面，再證明線線垂直即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的