天津市十二區縣重點中學2025屆招生全國統一考試考試說明跟蹤卷（二）數學試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．“是函數在區間內單調遞增”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．已知函數，，，，則，，的大小關系為（）A． B． C． D．3．已知向量與向量平行，，且，則（）A． B．C． D．4．框圖與程序是解決數學問題的重要手段，實際生活中的一些問題在抽象為數學模型之后，可以制作框圖，編寫程序，得到解決，例如，為了計算一組數據的方差，設計了如圖所示的程序框圖，其中輸入，，，，，，，則圖中空白框中應填入（）A．， B． C．， D．，5．函數與在上最多有n個交點，交點分別為（，……，n），則（）A．7 B．8 C．9 D．106．函數在的圖象大致為（）A． B．C． D．7．已知雙曲線的離心率為，拋物線的焦點坐標為，若，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B．C． D．8．已知函數，若函數有三個零點，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．9．由實數組成的等比數列{an}的前n項和為Sn，則“a1>0”是“S9>S8”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件10．將函數圖象上每一點的橫坐標變為原來的2倍，再將圖像向左平移個單位長度，得到函數的圖象，則函數圖象的一個對稱中心為（）A． B． C． D．11．空間點到平面的距離定義如下：過空間一點作平面的垂線，這個點和垂足之間的距離叫做這個點到這個平面的距離．已知平面，，兩兩互相垂直，點，點到，的距離都是3，點是上的動點，滿足到的距離與到點的距離相等，則點的軌跡上的點到的距離的最小值是（）A． B．3 C． D．12．設為虛數單位，復數，則實數的值是（）A．1 B．-1 C．0 D．2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數的圖象向右平移個單位后，與函數的圖象重合，則_____．14．設函數，則滿足的的取值范圍為________.15．點到直線的距離為________16．已知等差數列滿足，，則的值為________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某企業質量檢驗員為了檢測生產線上零件的質量情況，從生產線上隨機抽取了個零件進行測量，根據所測量的零件尺寸（單位：mm），得到如下的頻率分布直方圖：（1）根據頻率分布直方圖，求這個零件尺寸的中位數（結果精確到）；（2）若從這個零件中尺寸位于之外的零件中隨機抽取個，設表示尺寸在上的零件個數，求的分布列及數學期望；（3）已知尺寸在上的零件為一等品，否則為二等品，將這個零件尺寸的樣本頻率視為概率.現對生產線上生產的零件進行成箱包裝出售，每箱個.企業在交付買家之前需要決策是否對每箱的所有零件進行檢驗，已知每個零件的檢驗費用為元.若檢驗，則將檢驗出的二等品更換為一等品；若不檢驗，如果有二等品進入買家手中，企業要向買家對每個二等品支付元的賠償費用.現對一箱零件隨機抽檢了個，結果有個二等品，以整箱檢驗費用與賠償費用之和的期望值作為決策依據，該企業是否對該箱余下的所有零件進行檢驗？請說明理由.18．（12分）在平面直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數），以原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（Ⅰ）設直線與曲線交于，兩點，求；（Ⅱ）若點為曲線上任意一點，求的取值范圍.19．（12分）電視傳媒公司為了解某地區觀眾對某體育節目的收視情況，隨機抽取了100名觀眾進行調查，其中女性有55名，下面是根據調查結果繪制的觀眾日均收看該體育節目時間的頻率分布直方圖：將日均收看該體育節目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”．(1)根據已知條件完成下面的列聯表，并據此資料你是否認為“體育迷”與性別有關？非體育迷體育迷合計男女1055合計(2)將上述調查所得到的頻率視為概率．現在從該地區大量電視觀眾中，采用隨機抽樣方法每次抽取1名觀眾，抽取3次，記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數為X.若每次抽取的結果是相互獨立的，求X的分布列，期望E(X)和方差D(X)．附：.P(K2≥k)0.050.01k3.8416.63520．（12分）在中國，不僅是購物，而且從共享單車到醫院掛號再到公共繳費，日常生活中幾乎全部領域都支持手機支付.出門不帶現金的人數正在迅速增加。中國人民大學和法國調查公司益普索合作，調查了騰訊服務的6000名用戶，從中隨機抽取了60名，統計他們出門隨身攜帶現金（單位：元）如莖葉圖如示，規定：隨身攜帶的現金在100元以下（不含100元）的為“手機支付族”，其他為“非手機支付族”.（1）根據上述樣本數據，將列聯表補充完整，并判斷有多大的把握認為“手機支付族”與“性別”有關？（2）用樣本估計總體，若從騰訊服務的用戶中隨機抽取3位女性用戶，這3位用戶中“手機支付族”的人數為，求隨機變量的期望和方差；（3）某商場為了推廣手機支付，特推出兩種優惠方案，方案一：手機支付消費每滿1000元可直減100元；方案二：手機支付消費每滿1000元可抽獎2次，每次中獎的概率同為，且每次抽獎互不影響，中獎一次打9折，中獎兩次打8.5折.如果你打算用手機支付購買某樣價值1200元的商品，請從實際付款金額的數學期望的角度分析，選擇哪種優惠方案更劃算？附：0.0500.0100.0013.8416.63510.82821．（12分）已知函數.（Ⅰ）當時，求不等式的解集；（Ⅱ）若存在滿足不等式，求實數的取值范圍.22．（10分）設拋物線過點.（1）求拋物線C的方程；（2）F是拋物線C的焦點，過焦點的直線與拋物線交于A，B兩點，若，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】，令解得當，的圖像如下圖當，的圖像如下圖由上兩圖可知，是充要條件【考點定位】考查充分條件和必要條件的概念，以及函數圖像的畫法.2．B【解析】

可判斷函數在上單調遞增，且，所以.【詳解】在上單調遞增，且，所以.故選：B【點睛】本題主要考查了函數單調性的判定，指數函數與對數函數的性質，利用單調性比大小等知識，考查了學生的運算求解能力.3．B【解析】

設，根據題意得出關于、的方程組，解出這兩個未知數的值，即可得出向量的坐標.【詳解】設，且，，由得，即，①，由，②，所以，解得，因此，.故選：B.【點睛】本題考查向量坐標的求解，涉及共線向量的坐標表示和向量數量積的坐標運算，考查計算能力，屬于中等題.4．A【解析】

依題意問題是，然后按直到型驗證即可.【詳解】根據題意為了計算7個數的方差，即輸出的，觀察程序框圖可知，應填入，，故選：A.【點睛】本題考查算法與程序框圖，考查推理論證能力以及轉化與化歸思想，屬于基礎題.5．C【解析】

根據直線過定點，采用數形結合，可得最多交點個數，然后利用對稱性，可得結果.【詳解】由題可知：直線過定點且在是關于對稱如圖通過圖像可知：直線與最多有9個交點同時點左、右邊各四個交點關于對稱所以故選：C【點睛】本題考查函數對稱性的應用，數形結合，難點在于正確畫出圖像，同時掌握基礎函數的性質，屬難題.6．B【解析】

先考慮奇偶性，再考慮特殊值，用排除法即可得到正確答案.【詳解】是奇函數，排除C，D；，排除A.故選：B.【點睛】本題考查函數圖象的判斷，屬于常考題.7．A【解析】

求出拋物線的焦點坐標，得到雙曲線的離心率，然后求解a，b關系，即可得到雙曲線的漸近線方程．【詳解】拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點坐標為（1，0），則p＝2，又e＝p，所以e2，可得c2＝4a2＝a2+b2，可得：ba，所以雙曲線的漸近線方程為：y＝±．故選：A．【點睛】本題考查雙曲線的離心率以及雙曲線漸近線方程的求法，涉及拋物線的簡單性質的應用．8．B【解析】

根據所給函數解析式，畫出函數圖像.結合圖像，分段討論函數的零點情況：易知為的一個零點；對于當時，由代入解析式解方程可求得零點，結合即可求得的范圍；對于當時，結合導函數，結合導數的幾何意義即可判斷的范圍.綜合后可得的范圍.【詳解】根據題意，畫出函數圖像如下圖所示：函數的零點，即.由圖像可知，，所以是的一個零點，當時，，若，則，即，所以，解得；當時，，則，且若在時有一個零點，則，綜上可得，故選：B.【點睛】本題考查了函數圖像的畫法，函數零點定義及應用，根據零點個數求參數的取值范圍，導數的幾何意義應用，屬于中檔題.9．C【解析】

根據等比數列的性質以及充分條件和必要條件的定義進行判斷即可.【詳解】解：若{an}是等比數列，則，

若，則，即成立，

若成立，則，即，

故“”是“”的充要條件，

故選：C.【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用等比數列的通項公式是解決本題的關鍵.10．D【解析】

根據函數圖象的變換規律可得到解析式，然后將四個選項代入逐一判斷即可.【詳解】解：圖象上每一點的橫坐標變為原來的2倍,得到再將圖像向左平移個單位長度，得到函數的圖象，故選：D【點睛】考查三角函數圖象的變換規律以及其有關性質，基礎題.11．D【解析】

建立平面直角坐標系，將問題轉化為點的軌跡上的點到軸的距離的最小值，利用到軸的距離等于到點的距離得到點軌跡方程，得到，進而得到所求最小值.【詳解】如圖，原題等價于在直角坐標系中，點，是第一象限內的動點，滿足到軸的距離等于點到點的距離，求點的軌跡上的點到軸的距離的最小值．設，則，化簡得：，則，解得：，即點的軌跡上的點到的距離的最小值是.故選：.【點睛】本題考查立體幾何中點面距離最值的求解，關鍵是能夠準確求得動點軌跡方程，進而根據軌跡方程構造不等關系求得最值.12．A【解析】

根據復數的乘法運算化簡，由復數的意義即可求得的值.【詳解】復數，由復數乘法運算化簡可得，所以由復數定義可知，解得，故選：A.【點睛】本題考查了復數的乘法運算，復數的意義，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

根據函數圖象的平移變換公式求得變換后的函數解析式,再利用誘導公式求得滿足的方程,結合題中的范圍即可求解.【詳解】由函數圖象的平移變換公式可得,函數的圖象向右平移個單位后,得到的函數解析式為,因為函數，所以函數與函數的圖象重合,所以,即,因為,所以.故答案為:【點睛】本題考查函數圖象的平移變換和三角函數的誘導公式;誘導公式的靈活運用是求解本題的關鍵;屬于中檔題.14．【解析】

當時，函數單調遞增，當時，函數為常數，故需滿足，且，解得答案.【詳解】，當時，函數單調遞增，當時，函數為常數，需滿足，且，解得.故答案為：.【點睛】本題考查了根據函數單調性解不等式，意在考查學生對于函數性質的靈活運用.15．2【解析】

直接根據點到直線的距離公式即可求出。【詳解】依據點到直線的距離公式，點到直線的距離為。【點睛】本題主要考查點到直線的距離公式的應用。16．11【解析】

由等差數列的下標和性質可得，由即可求出公差，即可求解；【詳解】解：設等差數列的公差為，，又因為，解得故答案為：【點睛】本題考查等差數列的通項公式及等差數列的性質的應用，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）；（2）分布列見詳解，期望為；（3）余下所有零件不用檢驗，理由見詳解.【解析】

（1）計算的頻率，并且與進行比較，判斷中位數落在的區間，然后根據頻率的計算方法，可得結果.（2）計算位于之外的零件中隨機抽取個的總數，寫出所有可能取值，并計算相對應的概率，列出分布列，計算期望，可得結果.（3）計算整箱的費用，根據余下零件個數服從二項分布，可得余下零件個數的期望值，然后計算整箱檢驗費用與賠償費用之和的期望值，進行比較，可得結果.【詳解】（1）尺寸在的頻率：尺寸在的頻率：且所以可知尺寸的中位數落在假設尺寸中位數為所以所以這個零件尺寸的中位數（2）尺寸在的個數為尺寸在的個數為的所有可能取值為1，2，3，4則，，所以的分布列為（3）二等品的概率為如果對余下的零件進行檢驗則整箱的檢驗費用為（元）余下二等品的個數期望值為如果不對余下的零件進行檢驗，整箱檢驗費用與賠償費用之和的期望值為（元）所以，所以可以不對余下的零件進行檢驗.【點睛】本題考查頻率分布直方圖的應用，掌握中位數，平均數，眾數的計算方法，中位數的理解應該從中位數開始左右兩邊的頻率各為0.5，考驗分析能力以及數據處理，屬中檔題.18．（Ⅰ）6（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）化簡得到直線的普通方程化為，，是以點為圓心，為半徑的圓，利用垂徑定理計算得到答案.（Ⅱ）設，則，得到范圍.【詳解】（Ⅰ）由題意可知，直線的普通方程化為，曲線的極坐標方程變形為，所以的普通方程分別為，是以點為圓心，為半徑的圓，設點到直線的距離為，則，所以.（Ⅱ）的標準方程為，所以參數方程為（為參數），設，，因為，所以，所以.【點睛】本題考查了參數方程，極坐標方程，意在考查學生的計算能力和應用能力.19．(1)無關；(2)，.【解析】

(1)由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，“體育迷”有25人，從而可得列聯表如下：非體育迷體育迷合計男301545女451055合計7525100將22列聯表中的數據代入公式計算，得.因為3.030<3.841，所以我們沒有充分理由認為“體育迷”與性別有關．(2)由頻率分布直方圖知抽到“體育迷”的頻率為0.25，將頻率視為概率，即從觀眾中抽取一名“體育迷”的概率.由題意知X～B(3，)，從而X的分布列為X0123PE(X)＝np＝＝.D(X)＝np(1－p)＝20．（1）列聯表見解析，99%；（2），；（3）第二種優惠方案更劃算.【解析】

（1）根據已知數據得出列聯表，再根據獨立性檢驗得出結論；（2）有數據可知，女性中“手機支付族”的概率為，知服從二項分布，即，可求得其期望和方差；（3）若選方案一，則