福建省福州瑯岐中學2025屆高三下學期四校聯考試題（5月）數學試題試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．命題：存在實數，對任意實數，使得恒成立；：，為奇函數，則下列命題是真命題的是（）A． B． C． D．2．的展開式中的項的系數為（）A．120 B．80 C．60 D．403．在區間上隨機取一個實數，使直線與圓相交的概率為（）A． B． C． D．4．已知為等差數列，若，，則()A．1 B．2 C．3 D．65．已知拋物線的焦點與雙曲線的一個焦點重合，且拋物線的準線被雙曲線截得的線段長為，那么該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．6．已知是圓心為坐標原點，半徑為1的圓上的任意一點，將射線繞點逆時針旋轉到交圓于點，則的最大值為（）A．3 B．2 C． D．7．我國古代有著輝煌的數學研究成果，其中的《周髀算經》、《九章算術》、《海島算經》、《孫子算經》、《緝古算經》，有豐富多彩的內容，是了解我國古代數學的重要文獻．這5部專著中有3部產生于漢、魏、晉、南北朝時期．某中學擬從這5部專著中選擇2部作為“數學文化”校本課程學習內容，則所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的概率為（）A． B． C． D．8．設，則（）A． B． C． D．9．若復數滿足，則（其中為虛數單位）的最大值為（）A．1 B．2 C．3 D．410．甲、乙兩名學生的六次數學測驗成績(百分制)的莖葉圖如圖所示.①甲同學成績的中位數大于乙同學成績的中位數；②甲同學的平均分比乙同學的平均分高；③甲同學的平均分比乙同學的平均分低；④甲同學成績的方差小于乙同學成績的方差.以上說法正確的是（）A．③④ B．①② C．②④ D．①③④11．世紀產生了著名的“”猜想：任給一個正整數，如果是偶數，就將它減半；如果是奇數，則將它乘加，不斷重復這樣的運算，經過有限步后，一定可以得到.如圖是驗證“”猜想的一個程序框圖，若輸入正整數的值為，則輸出的的值是（）A． B． C． D．12．德國數學家萊布尼茲(1646年-1716年)于1674年得到了第一個關于π的級數展開式,該公式于明朝初年傳入我國.在我國科技水平業已落后的情況下,我國數學家?天文學家明安圖(1692年-1765年)為提高我國的數學研究水平,從乾隆初年(1736年)開始,歷時近30年,證明了包括這個公式在內的三個公式,同時求得了展開三角函數和反三角函數的6個新級數公式,著有《割圓密率捷法》一書,為我國用級數計算π開創了先河.如圖所示的程序框圖可以用萊布尼茲“關于π的級數展開式”計算π的近似值(其中P表示π的近似值),若輸入,則輸出的結果是()A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設等比數列的前項和為，若，則數列的公比是．14．已知數列滿足，則________．15．設P為有公共焦點的橢圓與雙曲線的一個交點，且，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，若，則______________.16．已知函數，若，則的取值范圍是__三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數.（1）若，解關于的不等式；（2）若當時，恒成立，求實數的取值范圍.18．（12分）為增強學生的法治觀念，營造“學憲法、知憲法、守憲法”的良好校園氛圍，某學校開展了“憲法小衛士”活動，并組織全校學生進行法律知識競賽．現從全校學生中隨機抽取50名學生，統計他們的競賽成績，已知這50名學生的競賽成績均在[50，100]內，并得到如下的頻數分布表：分數段[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]人數51515123（1）將競賽成績在內定義為“合格”，競賽成績在內定義為“不合格”．請將下面的列聯表補充完整，并判斷是否有的把握認為“法律知識競賽成績是否合格”與“是否是高一新生”有關？合格不合格合計高一新生12非高一新生6合計（2）在（1）的前提下，按“競賽成績合格與否”進行分層抽樣，從這50名學生中抽取5名學生，再從這5名學生中隨機抽取2名學生，求這2名學生競賽成績都合格的概率．參考公式及數據：，其中．19．（12分）如圖，在平行四邊形中，，，現沿對角線將折起，使點A到達點P，點M，N分別在直線，上，且A，B，M，N四點共面.（1）求證：；（2）若平面平面，二面角平面角大小為，求直線與平面所成角的正弦值.20．（12分）在三棱錐S-ABC中，∠BAC=∠SBA=∠SCA=90°,∠SAB=45°,∠SAC=60°,D為棱AB的中點，SA=2(I)證明：SD⊥BC；(II)求直線SD與平面SBC所成角的正弦值.21．（12分）設為實數,在極坐標系中,已知圓（）與直線相切,求的值．22．（10分）如圖，在長方體中，，為的中點，為的中點，為線段上一點，且滿足，為的中點.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．A【解析】

分別判斷命題和的真假性，然后根據含有邏輯聯結詞命題的真假性判斷出正確選項.【詳解】對于命題，由于，所以命題為真命題.對于命題，由于，由解得，且，所以是奇函數，故為真命題.所以為真命題.、、都是假命題.故選：A【點睛】本小題主要考查誘導公式，考查函數的奇偶性，考查含有邏輯聯結詞命題真假性的判斷，屬于基礎題.2．A【解析】

化簡得到，再利用二項式定理展開得到答案.【詳解】展開式中的項為.故選：【點睛】本題考查了二項式定理，意在考查學生的計算能力.3．D【解析】

利用直線與圓相交求出實數的取值范圍，然后利用幾何概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】由于直線與圓相交，則，解得.因此，所求概率為.故選：D.【點睛】本題考查幾何概型概率的計算，同時也考查了利用直線與圓相交求參數，考查計算能力，屬于基礎題.4．B【解析】

利用等差數列的通項公式列出方程組，求出首項和公差，由此能求出．【詳解】∵{an}為等差數列，,∴，解得＝﹣10，d＝3，∴＝+4d＝﹣10+11＝1．故選：B．【點睛】本題考查等差數列通項公式求法，考查等差數列的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．5．A【解析】

由拋物線的焦點得雙曲線的焦點，求出，由拋物線準線方程被曲線截得的線段長為，由焦半徑公式，聯立求解.【詳解】解：由拋物線，可得，則，故其準線方程為，拋物線的準線過雙曲線的左焦點，．拋物線的準線被雙曲線截得的線段長為，，又，，則雙曲線的離心率為．故選：．【點睛】本題考查拋物線的性質及利用過雙曲線的焦點的弦長求離心率.弦過焦點時，可結合焦半徑公式求解弦長．6．C【解析】

設射線OA與x軸正向所成的角為，由三角函數的定義得，，，利用輔助角公式計算即可.【詳解】設射線OA與x軸正向所成的角為，由已知，，，所以，當時，取得等號.故選：C.【點睛】本題考查正弦型函數的最值問題，涉及到三角函數的定義、輔助角公式等知識，是一道容易題.7．D【解析】

利用列舉法，從這5部專著中選擇2部作為“數學文化”校本課程學習內容，基本事件有10種情況，所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的基本事件有9種情況，由古典概型概率公式可得結果.【詳解】《周髀算經》、《九章算術》、《海島算經》、《孫子算經》、《緝古算經》，這5部專著中有3部產生于漢、魏、晉、南北朝時期．記這5部專著分別為，其中產生于漢、魏、晉、南北朝時期．從這5部專著中選擇2部作為“數學文化”校本課程學習內容，基本事件有共10種情況，所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的基本事件有，共9種情況，所以所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的概率為．故選D．【點睛】本題主要考查古典概型概率公式的應用，屬于基礎題，利用古典概型概率公式求概率時，找準基本事件個數是解題的關鍵，基本亊件的探求方法有(1)枚舉法：適合給定的基本事件個數較少且易一一列舉出的；(2)樹狀圖法：適合于較為復雜的問題中的基本亊件的探求.在找基本事件個數時，一定要按順序逐個寫出：先，….，再，…..依次….…這樣才能避免多寫、漏寫現象的發生.8．C【解析】試題分析：，．故C正確．考點：復合函數求值．9．B【解析】

根據復數的幾何意義可知復數對應的點在以原點為圓心，1為半徑的圓上，再根據復數的幾何意義即可確定，即可得的最大值.【詳解】由知，復數對應的點在以原點為圓心，1為半徑的圓上，表示復數對應的點與點間的距離，又復數對應的點所在圓的圓心到的距離為1，所以.故選：B【點睛】本題考查了復數模的定義及其幾何意義應用，屬于基礎題.10．A【解析】

由莖葉圖中數據可求得中位數和平均數,即可判斷①②③,再根據數據集中程度判斷④.【詳解】由莖葉圖可得甲同學成績的中位數為,乙同學成績的中位數為,故①錯誤；,,則,故②錯誤,③正確；顯然甲同學的成績更集中,即波動性更小,所以方差更小,故④正確,故選:A【點睛】本題考查由莖葉圖分析數據特征,考查由莖葉圖求中位數、平均數.11．C【解析】

列出循環的每一步，可得出輸出的的值.【詳解】，輸入，，不成立，是偶數成立，則；，不成立，是偶數成立，則；，不成立，是偶數成立，則；，不成立，是偶數不成立，則；，不成立，是偶數成立，則；，不成立，是偶數成立，則；，不成立，是偶數成立，則；，不成立，是偶數成立，則；，成立，跳出循環，輸出的值為.故選：C.【點睛】本題考查利用程序框圖計算輸出結果，考查計算能力，屬于基礎題.12．B【解析】

執行給定的程序框圖，輸入，逐次循環，找到計算的規律，即可求解.【詳解】由題意，執行給定的程序框圖，輸入，可得：第1次循環：；第2次循環：；第3次循環：；第10次循環：，此時滿足判定條件，輸出結果，故選：B.【點睛】本題主要考查了循環結構的程序框圖的計算與輸出，其中解答中認真審題，逐次計算，得到程序框圖的計算功能是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．.【解析】

當q=1時，.當時，，所以.14．【解析】

項和轉化可得，討論是否滿足，分段表示即得解【詳解】當時，由已知，可得，∵，①故，②由①-②得，∴．顯然當時不滿足上式，∴故答案為：【點睛】本題考查了利用求，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數學運算，分類討論的能力，屬于中檔題.15．【解析】設根據橢圓的幾何性質可得,根據雙曲線的幾何性質可得，,即故答案為16．【解析】

根據分段函數的性質，即可求出的取值范圍.【詳解】當時，，，當時，，所以，故的取值范圍是.故答案為：.【點睛】本題考查分段函數的性質，已知分段函數解析式求參數范圍，還涉及對數和指數的運算，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）（2）【解析】

（1）利用零點分段法將表示為分段函數的形式，由此求得不等式的解集.（2）對分成三種情況，求得的最小值，由此求得的取值范圍.【詳解】（1）當時，，由此可知，的解集為（2）當時，的最小值為和中的最小值，其中，.所以恒成立.當時，，且，不恒成立，不符合題意.當時，，若，則，故不恒成立，不符合題意；若，則，故不恒成立，不符合題意.綜上，.【點睛】本小題主要考查絕對值不等式的解法，考查根據絕對值不等式恒成立求參數的取值范圍，考查分類討論的數學思想方法，屬于中檔題.18．（1）見解析；（2）【解析】

（1）補充完整的列聯表如下：合格不合格合計高一新生121426非高一新生18624合計302050則的觀測值，所以有的把握認為“法律知識競賽成績是否合格”與“是否是高一新生”有關．（2）抽取的5名學生中競賽成績合格的有名學生，記為，競賽成績不合格的有名學生，記為，從這5名學生中隨機抽取2名學生的基本事件有：，共10種，這2名學生競賽成績都合格的基本事件有：，共3種，所以這2名學生競賽成績都合格的概率為．19．（1）證明見解析；（2）【解析】

（1）根據余弦定理，可得，利用//，可得//平面，然后利用線面平行的性質定理，//，最后可得結果.（2）根據二面角平面角大小為，可知N為的中點，然后利用建系，計算以及平面的一個法向量，利用向量的夾角公式，可得結果.【詳解】（1）不妨設，則，在中,，則，因為，所以，因為//，且A、B、M、N四點共面，所以//平面.又平面平面，所以//.而，.（2）因為平面平面，且，所以平面，，因為，所以平面，，因為，平面與平面夾角為，所以，在中，易知N為的中點，如圖，建立空間直角坐標系，則，，，，，，，，設平面的一個法向量為，則由，令，得.設與平面所成角為，則.【點睛】本題考查線面平行的性質定理以及線面角，熟練掌握利用建系的方法解決幾何問題，將幾何問題代數化，化繁為簡，屬中檔題.20．(I)證明見解析；(II)1【解析】

(I)過D作DE⊥BC于E，連接SE，根據勾股定理得到SE⊥BC，DE⊥BC得到BC⊥平面SED，得到證明.(II)過點D作DF⊥SE于F，證明DF⊥平面SBC，故∠ESD為直線SD與平面SBC所成角，計算夾角得到答案.【詳解】(I)過D作DE⊥BC于E，連接SE，根據角度的垂直關系易知：AC=1，AB=SB=2，CS=CB=3，故DE=BDsin∠CBD=6根據余弦定理：13+SE2-2故SE⊥BC，DE⊥BC，SE∩DE=E，故BC⊥平面SED，SD?平面SED，故SD⊥BC.(II)過點D作DF⊥SE于F，BC⊥平面SED，DF?平面SED，故DF⊥BC，DF⊥SE，BC∩SE=E，故DF⊥平面SBC，故∠ESD