第32頁（共32頁）2025年高考數學三輪復習之空間向量及其運算一．選擇題（共8小題）1．（2024秋?玉溪期末）如果向量a→，b→的夾角為θ，我們就稱a→×b→為向量a→與b→的“向量積”，a→×b→還是一個向量，它的長度為|a→×b→A．-43 B．﹣4 C．4 D2．（2024秋?信陽期末）Q是三棱錐P﹣ABC底面ABC所在平面內的一點，滿足PQ→=xPA→A．12，13 B．-12，13．（2024秋?山西期末）已知a→=(0，-1A．4 B．0 C．﹣4 D．﹣14．（2024秋?烏魯木齊期末）已知空間向量a→=(1，n，2)，b→A．5 B．7 C．3 D．415．（2024秋?濱州期末）已知E，F分別是空間四邊形ABCD的對角線AC，BD的中點，點G是線段EF的中點，P為空間中任意一點，則PA→A．PG→ B．2PG→ C．3PG6．（2024秋?海南州期末）如圖，在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱A1D1的中點，則EBA．4 B．5 C．6 D．47．（2024秋?潁州區校級期末）如圖所示，若P為平行四邊形ABCD所在平面外一點，H為PC上的點，且PHHC=12，點G在AH上，且AGAH=m．若G，BA．12 B．-34 C．348．（2024秋?拱墅區校級期末）棱長為1的正四面體ABCD中，點E是的中點，則BA→A．14 B．-14 C．34二．多選題（共4小題）（多選）9．（2025?江蘇模擬）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，點P滿足AP→=xAB→+yAD→+zA．當x＝y，y≠0，z≠0時，B1B∥平面ACP B．當x＝y＝z，z≠0時，異面直線AP與BC所成的角為45° C．當x+y＝1，z＝0時，D1P⊥A1C1 D．當x+y+z＝1時，線段AP的長度最小值為3（多選）10．（2024秋?龍崗區校級期末）關于空間向量，以下說法正確的是（）A．若對空間中任意一點O，有OP→=12OA→+13OBB．已知兩個向量a→=（1，m，3），b→=（5，﹣1，n），且a→C．若a→⊥b→，則x1x2+y1y2+z1zD．已知a→=（0，1，1），b→=（0，0，﹣1），則a（多選）11．（2024秋?邵陽期末）已知向量a→=（1，1，﹣1），b→=（1，﹣A．a→B．|a→|＝|b→C．向量a→，b→的夾角的余弦值為D．若向量m→=（2，0，0）＝xa→+yb→（x，（多選）12．（2024秋?江西校級期末）給出下列命題，其中正確的有（）A．若非零空間向量a→，b→，c→滿足a→⊥B．若三個非零向量a→，b→，c→不能構成空間的一個基底，則a→，bC．若兩個非零向量a→，b→與任何一個向量都不能構成空間的一個基底，則a→，D．已知{a→，三．填空題（共4小題）13．（2024秋?上海校級期末）已知棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1，任選2個頂點作為起點和終點所成的向量m→，與向量CC1→的數量積CC114．（2024秋?青海期末）在空間四邊形OABC中，OA→=a→，OB→=b→，OC→=c→，且AM→=215．（2025?湖北一模）O為空間中任意一點，A，B，C三點不共線，且OP→=34OA→+18OB→+tOC→，若16．（2024秋?遼寧期末）已知e1→，e2→是空間單位向量，e1→?e2→=12．若空間向量b→滿足b→?e1→=2四．解答題（共4小題）17．（2024秋?河池期末）如圖，在正四面體OABC中，點D為BC的中點，2AE→=ED→，設OA（1）試用向量a→，b→，c→（2）若AB＝2，求OE→18．（2024秋?景洪市校級期末）已知向量a→=(2，（1）求|a（2）求向量a→+2b19．（2024秋?徐匯區校級期末）已知空間中三點A（2，0，﹣2）、B（1，﹣1，﹣2）、C（3，0，﹣4），設a→=AB（1）若|c→|＝3，且c→∥BC→（2）求以a→、b→為一組鄰邊的平行四邊形的面積20．（2024秋?七里河區校級期末）已知向量a→=（2，﹣1，﹣2），b→=（1，（1）計算2a→-3b→和|2a→（2）求＜a→

2025年高考數學三輪復習之空間向量及其運算參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號12345678答案DBCCDBCA二．多選題（共4小題）題號9101112答案ACDBCBCBCD一．選擇題（共8小題）1．（2024秋?玉溪期末）如果向量a→，b→的夾角為θ，我們就稱a→×b→為向量a→與b→的“向量積”，a→×b→還是一個向量，它的長度為|a→×b→A．-43 B．﹣4 C．4 D【考點】空間向量的數量積運算．【專題】計算題；整體思想；綜合法；空間向量及應用；運算求解；新定義類．【答案】D【分析】利用平面向量數量定義求出夾角的余弦值，進而可得其正弦值，再根據向量積的定義可求得結果．【解答】解：如果向量a→，b→的夾角為θ，我們就稱a→×ba→×b在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，因為BD∥B1D1，且∠AD1B1＝60°，所以AD所以|A故選：D．【點評】本題考查了向量積的定義，屬于中檔題．2．（2024秋?信陽期末）Q是三棱錐P﹣ABC底面ABC所在平面內的一點，滿足PQ→=xPA→A．12，13 B．-12，1【考點】空間向量的共線與共面；空間向量及其線性運算．【專題】計算題；整體思想；綜合法；空間向量及應用；運算求解．【答案】B【分析】利用共面向量基本定理得到x+【解答】解：Q是三棱錐P﹣ABC底面ABC所在平面內的一點，因為Q，A，B，C四點共面，所以根據共面向量基本定理得x+y+代入選項驗證，只有B選項滿足條件．故選：B．【點評】本題考查了共面向量基本定理，屬于中檔題．3．（2024秋?山西期末）已知a→=(0，-1A．4 B．0 C．﹣4 D．﹣1【考點】空間向量的數量積運算．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；空間向量及應用；邏輯思維；運算求解．【答案】C【分析】根據空間向量數量積的坐標表示即可求解．【解答】解：已知a→=(0，由題意知，a→故選：C．【點評】本題考查的知識點：向量的坐標運算，向量的數量積運算，主要考查學生的運算能力，屬于基礎題．4．（2024秋?烏魯木齊期末）已知空間向量a→=(1，n，2)，b→A．5 B．7 C．3 D．41【考點】空間向量的數量積運算．【專題】轉化思想；向量法；空間向量及應用；運算求解．【答案】C【分析】根據兩向量垂直數量積為零求出n，計算出|a【解答】解：由a→與b→垂直，可得解得n＝﹣2，所以a→所以|a故選：C．【點評】本題考查向量垂直的坐標表示，考查向量的模長公式，屬基礎題．5．（2024秋?濱州期末）已知E，F分別是空間四邊形ABCD的對角線AC，BD的中點，點G是線段EF的中點，P為空間中任意一點，則PA→A．PG→ B．2PG→ C．3PG【考點】空間向量及其線性運算．【專題】數形結合；定義法；空間向量及應用；運算求解．【答案】D【分析】根據空間向量的運算法則求解．【解答】解：∵E，F分別是空間四邊形ABCD的對角線AC，BD的中點，∴PA→+PC→=2PE又點G是線段EF的中點，則PA→故選：D．【點評】本題考查空間向量的運算，屬于基礎題．6．（2024秋?海南州期末）如圖，在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱A1D1的中點，則EBA．4 B．5 C．6 D．4【考點】空間向量的數量積運算．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；空間向量及應用；邏輯思維；運算求解．【答案】B【分析】根據EB【解答】解：在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱A1D1的中點，故EB1故選：B．【點評】本題考查的知識點：向量的數量積運算，主要考查學生的運算能力，屬于基礎題．7．（2024秋?潁州區校級期末）如圖所示，若P為平行四邊形ABCD所在平面外一點，H為PC上的點，且PHHC=12，點G在AH上，且AGAH=m．若G，BA．12 B．-34 C．34【考點】空間向量的共線與共面；空間向量基本定理及空間向量的基底．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；空間向量及應用；邏輯思維；運算求解．【答案】C【分析】以{AB→，AD→，AP→}為基底，表示向量AG→=【解答】解：因為AG→由G，B，P，D四點共面，所以2m整理得：m=故選：C．【點評】本題考查的知識點：向量的線性運算，共面向量的充要條件，主要考查學生的運算能力，屬于中檔題．8．（2024秋?拱墅區校級期末）棱長為1的正四面體ABCD中，點E是的中點，則BA→A．14 B．-14 C．34【考點】空間向量的數量積運算．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；空間向量及應用；邏輯思維；運算求解．【答案】A【分析】根據向量線性運算法則和數量積的性質可得BA→【解答】解：長為1的正四面體ABCD中，點E是的中點，因為CE→所以BA→所以BA→故選：A．【點評】本題考查的知識點：向量的線性運算，向量的數量積運算，主要考查學生的運算能力，屬于基礎題．二．多選題（共4小題）（多選）9．（2025?江蘇模擬）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，點P滿足AP→=xAB→+yAD→+zAA．當x＝y，y≠0，z≠0時，B1B∥平面ACP B．當x＝y＝z，z≠0時，異面直線AP與BC所成的角為45° C．當x+y＝1，z＝0時，D1P⊥A1C1 D．當x+y+z＝1時，線段AP的長度最小值為3【考點】空間向量的數量積運算；異面直線及其所成的角；直線與平面平行．【專題】轉化思想；綜合法；空間向量及應用；運算求解．【答案】ACD【分析】建立空間直角坐標系，得到點的坐標，A選項由空間向量證明線面平行；B選項由空間向量的夾角公式求得線線角；C選項由空間向量的數量積為0證明線線垂直；D選項由基本不等式求得AP→的模長的【解答】解：在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，以A為坐標原點，AB，AD，AA1所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，則A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），A1（0，0，1），B1（1，0，1），C1（1，1，1），D1（0，1，1），因為AP→=xAB→+yAD→A選項：AP→=(x所以AP→?BD→=-又BB1→=(0，0，1)，則BB選項：設x＝y＝z＝a≠0，則AP→=(a設異面直線AP與BC所成的角為α，則cosα=|AP→?BC→C選項：設x＝a，則P（a，1﹣a，0），即D1P→則D1P→?A1C1→=a-D選項：|AP因為x+y+z＝1，則x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz＝1，則1＝（x+y+z）2＝x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz≤x2+y2+z2+x2+y2+x2+z2+y2+z2＝3（x2+y2+z2），即x2+y2+z2所以|AP→|=故選：ACD．【點評】本題考查立體幾何中的線線關系和線面關系，考查利用空間向量求解幾何問題，屬中檔題．（多選）10．（2024秋?龍崗區校級期末）關于空間向量，以下說法正確的是（）A．若對空間中任意一點O，有OP→=12OA→+13OBB．已知兩個向量a→=（1，m，3），b→=（5，﹣1，n），且a→C．若a→⊥b→，則x1x2+y1y2+z1zD．已知a→=（0，1，1），b→=（0，0，﹣1），則a【考點】空間向量的投影向量與投影；空間向量的共線與共面．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；空間向量及應用；邏輯思維；運算求解．【答案】BC【分析】直接利用向量共面的充要條件，向量的共線，向量垂直的充要條件．向量的投影向量求出結果．【解答】解：對于A：若對空間中任意一點O，有OP→=12OA→+13OB→+14OC對于B：由于向量a→=（1，m，3），b→=（5，﹣1，n），且a→∥b→，故對于C：由于a→=(x1，y1，z1)，b→=(x2，y2，z2)對于D：已知a→=（0，1，1），b→=（0，0，﹣1），則a→在b→上的投影向量為|a→|?a→?b→|a→故選：BC．【點評】本題考查的知識點：向量共面的充要條件，向量的共線，向量垂直的充要條件．向量的投影向量，主要考查學生的運算能力，屬于中檔題．（多選）11．（2024秋?邵陽期末）已知向量a→=（1，1，﹣1），b→=（1，﹣A．a→B．|a→|＝|b→C．向量a→，b→的夾角的余弦值為D．若向量m→=（2，0，0）＝xa→+yb→（x，【考點】空間向量的共線與共面．【專題】對應思想；定義法；空間向量及應用；運算求解．【答案】BC【分析】根據向量平行判斷A，根據向量的模判斷B，根據向量的夾角公式判斷C，根據向量坐標運算法則判斷D．【解答】解：向量a→=（1，1，﹣1），b→=（1，﹣對于A，11≠-11對于B，|a→|＝|b→|=3對于C，cos＜a∴向量a→，b→的夾角的余弦值為-1對于D，若向量m→=（2，0，0）＝xa→+yb→則（2，0，0）＝（x，x，﹣x）+（y，﹣y，y）＝（x+y，x﹣y，﹣x+y），∴x＝y＝1，∴xy＝1，故D錯誤．故選：BC．【點評】本題考查命題真假的判斷，考查向量平行、向量的模、夾角公式、向量坐標運算法則等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．（多選）12．（2024秋?江西校級期末）給出下列命題，其中正確的有（）A．若非零空間向量a→，b→，c→滿足a→⊥B．若三個非零向量a→，b→，c→不能構成空間的一個基底，則a→，bC．若兩個非零向量a→，b→與任何一個向量都不能構成空間的一個基底，則a→，D．已知{a→，【考點】空間向量的共線與共面；空間向量基本定理及空間向量的基底．【專題】對應思想；定義法；空間向量及應用；邏輯思維．【答案】BCD【分析】舉反例否定選項A；利用空間向量基底定義判斷選項B，C，D．【解答】解：當非零空間向量滿足a→⊥b→，b→⊥c由基底的概念可知，若三個非零向量a→，b→，則它們必共面，故B正確；能構成空間的一個基底的向量必須是不共面的三個向量，由于非零向量a→，b即向量a→，b→與任何一個向量均共面，則a→，b若c→，a→+b→可知a→，b→，c→故c→，a故選：BCD．【點評】本題考查空間向量的共面與共線定理，屬基礎題．三．填空題（共4小題）13．（2024秋?上海校級期末）已知棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1，任選2個頂點作為起點和終點所成的向量m→，與向量CC1→的數量積CC1【考點】空間向量的數量積運算．【專題】轉化思想；綜合法；空間向量及應用；運算求解．【答案】3．【分析】討論當m→的起點和終點分別為正方體上相鄰的兩個頂點、正方體側面上對角的兩個頂點、正方體底面上對角的兩個頂點、正方體體對角線的兩端點時，C【解答】解：①當m→|m→|=1，C若CC1→∥m→，且則CC若CC1→∥m→，且則CC若CC1→則CC②當m→|m→|=2，CC1→若CC1→與m→的夾角為則CC若CC1→與m→的夾角為則CC③當m→|m→|=2，CC則CC④當m→|m→|=3，若cos?CC則CC若cos?CC則CC綜上：m→與向量CC1→的數量積CC1→?m故答案為：3．【點評】本題考查空間向量數量積的運算，屬中檔題．14．（2024秋?青海期末）在空間四邊形OABC中，OA→=a→，OB→=b→，OC→=c→，且AM→=2【考點】空間向量及其線性運算．【專題】轉化思想；向量法；平面向量及應用；運算求解．【答案】45【分析】根據向量減法的幾何意義和向量的數乘運算即可得解．【解答】解：∵AM→=2MC∴OM→∵ON→=4NB∴ON→∴MN→故答案為：45【點評】本題考查了向量減法的幾何意義，向量的數乘運算，是基礎題．15．（2025?湖北一模）O為空間中任意一點，A，B，C三點不共線，且OP→=34OA→+18OB→+tOC→，若【考點】空間向量的共線與共面．【專題】計算題；對應思想；定義法；平面向量及應用；運算求解．【答案】見試題解答內容【分析】利用空間向量基本定理，及向量共面的條件，即可得到結論．【解答】解：由題意得，OP→=34OA→+18∴34+1∴t=1故答案為：18【點評】本題考查空間向量基本定理，考查用向量表示四點共面的條件，屬于簡單題．16．（2024秋?遼寧期末）已知e1→，e2→是空間單位向量，e1→?e2→=12．若空間向量b→滿足b→?e1→【考點】空間向量的數量積運算．【專題】整體思想；綜合法；平面向量及應用；運算求解．【答案】2；22【分析】由題意可得|b→-(xe1→+ye2→【解答】解：已知e1又e1由于0≤?所以?e對于任意x，y∈R，|b即|b→-(xe1→+ye2→又|=|=|=|=|=|則x0解得x0故答案為：2；22【點評】本題考查了平面向量數量積的運算，重點考查了含有多個平方的代數式的最小值問題，屬中檔題．四．解答題（共4小題）17．（2024秋?河池期末）如圖，在正四面體OABC中，點D為BC的中點，2AE→=ED→，設OA（1）試用向量a→，b→，c→（2）若AB＝2，求OE→【考點】空間向量的數量積運算；空間向量基底表示空間向量．【專題】計算題；整體思想；綜合法；空間向量及應用；運算求解．【答案】（1）OE→（2）﹣1．【分析】（1）由2AE→=ED→得AE（2）由（1）得OE→=23a→+16b→+16c→，AC→=OC→-【解答】解：（1）在正四面體OABC中，點D為BC的中點，2AE→=ED→，設OA因為點D為BC的中點，所以OD→因為2AE→=則OE→所以OE→（2）由（1）得OE→AC→由正四面體OABC可知∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝60°，OA＝OB＝OC＝AB＝2，根據平面向量數量積公式，可得OE=2=1=1=1-＝﹣1，所以可得OE→?AC【點評】本題考查了空間向量數量積的計算，屬于中檔題．18．（2024秋?景洪市校級期末）已知向量a→=(2，（1）求|a（2）求向量a→+2b【考點】空間向量的夾角與距離求解公式．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；空間向量及應用；邏輯思維；運算求解．【答案】（1）9；（2）-3【分析】（1）根據a→⊥b→，可得m＝（2）結合（1）可得a→-b【解答】（1）解：因為a→所以a→?b→=2-4+所以a→則a→所以|a（2）解：向量a→|a(a設向量a→+2b→與所以cosθ=所以向量a→+2b→與【點評】本題考查的知識點：向量的線性運算，向量的坐標運算，向量的數量積運算，向量的夾角運算，主要考查學生的運算能力，屬于中檔題．19．（2024秋?徐匯區校級期末）已知空間中三點A（2，0，﹣2）、B（1，﹣1，﹣2）、C（3，0，﹣4），設a→=AB（1）若|c→|＝3，且c→∥BC→（2）求以a→、b→為一組鄰邊的平行四邊形的面積【考點】空間向量的共線與共面．【專題】計算題；方程思想；轉化思想；綜合法；空間向量及應用；運算求解．【答案】見試題解答內容【分析】（1）根據題意，求出BC→的坐標，由向量平行的坐標表示方法，可以設c→=tBC→=（2t，t，﹣（2）根據題意，求出AB→、AC→的坐標，由數量積的計算公式可得cosA，進而求出sinA，又由S＝|AB→||AC→|【解答】解：（1）根據題意，B（1，﹣1，﹣2）、C（3，0，﹣4），則BC→=（2，1，﹣若c→∥BC→，設c→=tBC→=（2t又由|c→|＝3，則4t2+t2+4t2＝9t2＝9，解可得t＝±1故c→=（2，1，﹣2）或（﹣2，﹣1，（2）根據題意，a→=AB→=（﹣1，﹣1，0），b→=則|AB→|=1+1+0=2，|AC→|=1+4則cosA＝cos＜AB→，AC→＞=故S＝|AB→||AC→|×sinA=【點評】本題考查向量數量積的計算，涉及空間向量的平行，屬于基礎題．20．（2024秋?七里河區校級期末）已知向量a→=（2，﹣1，﹣2），b→=（1，（1）計算2a→-3b→和|2a→（2）求＜a→【考點】空間向量的數量積運算．【專題】轉化思想；綜合法；空間向量及應用．【答案】（1）310；（2）π4【分析】（1）利用向量的坐標運算性質、模的計算公式即可得出．（2）利用向量夾角公式即可得出．【解答】解：（1）2a→-3b→=2（2，﹣1，﹣2）﹣3（1，1，﹣4）＝（4，﹣2，﹣4）﹣（3，3，﹣12）＝（1，﹣|2a→-3b→|=（2）∵cos＜a→，＜a→，b→＞∈[0∴＜a→，【點評】本題考查了向量的坐標運算性質、模的計算公式、向量夾角公式、數量積運算性質，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．

考點卡片1．異面直線及其所成的角【知識點的認識】1、異面直線所成的角：直線a，b是異面直線，經過空間任意一點O，作直線a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我們把直線a′和b′所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角．異面直線所成的角的范圍：θ∈（0，π2]．當θ＝902、求異面直線所成的角的方法：求異面直線的夾角關鍵在于平移直線，常用相似比，中位線，梯形兩底，平行平面等手段來轉移直線．3、求異面直線所成的角的方法常用到的知識：2．直線與平面平行【知識點的認識】1、直線與平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和這個平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行．用符號表示為：若a?α，b?α，a∥b，則a∥α．2、直線與平面平行的判定定理的實質是：對于平面外的一條直線，只需在平面內找到一條直線和這條直線平行，就可判定這條直線必和這個平面平行．即由線線平行得到線面平行．1、直線和平面平行的性質定理：如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行．用符號表示為：若a∥α，a?β，α∩β＝b，則a∥b．2、直線和平面平行的性質定理的實質是：已知線面平行，過已知直線作一平面和已知平面相交，其交線必和已知直線平行．即由線面平行?線線平行．由線面平行?線線平行，并不意味著平面內的任意一條直線都與已知直線平行．正確的結論是：a∥α，若b?α，則b與a的關系是：異面或平行．即平面α內的直線分成兩大類，一類與a平行有無數條，另一類與a異面，也有無數條．3．空間向量及其線性運算【知識點的認識】1．空間向量：在空間內，我們把具有大小和方向的量叫做向量，用有向線段表示．2．向量的模：向量的大小叫向量的長度或模．記為|AB→|，|a特別地：①規定長度為0的向量為零向量，記作0→②模為1的向量叫做單位向量；3．相等的向量：兩個模相等且方向相同的向量稱為相等的向量．4．負向量：兩個模相等且方向相反的向量是互為負向量．如a→的相反向量記為-5．平行的向量：兩個方向相同或相反的向量稱為平行的向量．6．注意：①零向量的方向是任意的，規定0→②單位向量不一定相等，但單位向量的模一定相等且為1；③方向相同且模相等的向量稱為相等向量，因此，在空間，同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向量；④空間任意兩個向量都可以通過平移成為共面向量；⑤一般來說，向量不能比較大小．1．加減法的定義：空間任意兩個向量都是共面的，它們的加、減法運算類似于平面向量的加減法．空間向量和平面向量一樣滿足三角形法則和平行四邊形法則．2．加法運算律：空間向量的加法滿足交換律及結合律．（1）交換律：a（2）結合律：(a3．推廣：（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量：A1（求空間若干向量之和時，可通過平移將它們轉化為首尾相接的向量）（2）首尾相接的若干向量若構成一個封閉圖形，則它們的和為：零向量A11．空間向量的數乘運算實數λ與空間向量a→的乘積λ①當λ＞0時，λa→與②當λ＜0時，λa→與③當λ＝0時，λa④|λa→|＝|λ|?|aλa→的長度是a→的長度的|λ2．運算律空間向量的數乘滿足分配律及結合律．（1）分配律：①λ②（λ+μ）a（2）結合律：λ注意：實數和空間向量可以進行數乘運算，但不能進行加減運算，如λ±4．空間向量的共線與共面【知識點的認識】1．定義（1）共線向量與平面向量一樣，如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，記作a→∥b（2）共面向量平行于同一平面的向量叫做共面向量．2．定理（1）共線向量定理對于空間任意兩個向量a→、b→（b→≠0），a→（2）共面向量定理如果兩個向量a→、b→不共線，則向量p→與向量a→、b→共面的充要條件是存在唯一的有序實數對（x【解題方法點撥】空間向量共線問題：（1）判定向量共線就是充分利用已知條件找到實數λ，使a→=λb→（2）a→∥b→表示空間向量共面問題：（1）利用向量法證明點共面、線共面問題，關鍵是熟練地進行向量表示，恰當應用向量共面的充要條件，解題過程中注意直線與向量的相互轉化．（2）空間一點P位于平面MAB內的充要條件是存在有序實數對（x，y），使MP→=xMA→+yMB→證明三個向量共面的常用方法：（1）設法證明其中一個向量可表示成另兩個向量的線性組合；（2）尋找平面α，證明這些向量與平面α平行．【命題方向】1，考查空間向量共線問題例：若a→=（2x，1，3），b→=（1，﹣2y，9），如果A．x＝1，y＝1B．x=12，y=-12C．x=16，y=-分析：利用共線向量的條件b→=λa→解答：∵a→=（2x，1，3）與b→=（1，﹣2故有2x∴x=16，y故選C．點評：本題考查共線向量的知識，考查學生計算能力，是基礎題．2．考查空間向量共面問題例：已知A、B、C三點不共線，O是平面ABC外的任一點，下列條件中能確定點M與點A、B、C一定共面的是（）A．OM→=OA→+OB→+OC→B分析：根據共面向量定理OM→=m?OA→+n?解答：由共面向量定理OM→說明M、A、B、C共面，可以判斷A、B、C都是錯誤的，則D正確．故選D．點評：本題考查共線向量與共面向量，考查學生應用基礎知識的能力．是基礎題．5．空間向量的數量積運算【知識點的認識】1．空間向量的夾角已知兩個非零向量a→、b→，在空間中任取一點O，作OA→=a→，OB→=b→，則∠2．空間向量的數量積（1）定義：已知兩個非零向量a→、b→，則|a→||b→|cos＜a→，b→＞叫做向量a→與b→的數量積，記作a→?b→（2）幾何意義：a→與b→的數量積等于a→的長度|a→|與b→在a→的方向上的投影|b→|cosθ的乘積，或b→的長度|b→|與3．空間向量的數量積運算律空間向量的數量積滿足交換律和分配律．（1）交換律：(λa→)?b→=λa（2）分配律：a→4．數量積的理解（1）書寫向量的數量積時，只能用符號a→?b→（2）兩向量的數量積，其結果是個實數，而不是向量，它的值為兩向量的模與兩向量夾角的余弦值的乘積，其符號由夾角的余弦值決定．（3）當a→≠0→時，由a→?b→=0不能推出【解題方法點撥】利用數量積求直線夾角或余弦值的方法：利用數量積求兩點間的距離：利用向量的數量積求兩點間的距離，可以轉化為求向量的模的問題，其基本思路是先選擇以兩點為端點的向量，將此向量表示為幾個已知向量的和的形式，求出這幾個已知向量的兩兩之間的夾角以及它們的模，利用公式|a→|=利用數量積證明垂直關系：（1）向量垂直只對非零向量有意義，在證明或判斷a→⊥b→時，須指明（2）證明兩直線的垂直可以轉化為證明這兩直線的方向向量垂直，將兩個方向向量表示為幾個已知向量a→，b→，c→【命題方向】求直線夾角或余弦值、兩點間的距離、證明垂直關系等問題最基本的是掌握數量積運算法則的應用，任何有關數量積計算問題都離不開運算律的運用．例：已知2a→+b→=（2，﹣4，1），且b→=（0，2，﹣1分析：通過2a→+b→=（2，﹣4，1），且b→=（0解答：∵2a→+b→=（2，﹣4，1），且b→=∴a→=（1，﹣3，∴a→?b→=1×0+2×（﹣3）+1×（﹣1故答案為：﹣7．點評：本題考查了空間向量的數量積的坐標運算，屬于基礎題．6．空間向量的夾角與距離求解公式【知識點的認識】1．空間向量的夾角公式設空間向量a→=（a1，a2，a3），b→=（b1，b2cos＜注意：（1）當cos＜a→，b→＞（2）當cos＜a→，b→＞（3）當cos＜a→，b→＞2．空間兩點的距離公式設A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），則AB→dA，B＝|AB→|=【解題思路點撥】1．求空間兩條直線的夾角建系→寫