第28頁（共28頁）2025年高考數學三輪復習之直線與方程一．選擇題（共8小題）1．（2025?玄武區校級模擬）曼哈頓距離（或出租車幾何）是由十九世紀的赫爾曼?閔可夫斯基所創的詞匯，是一種使用在幾何度量空間的幾何學用語．例如，在平面上，點P（x1，y1）和點Q（x2，y2）的曼哈頓距離為LPQ＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．若點P（x，y）為C：x2+y2＝1上的一動點，Q（2，﹣1），則LPQ的取值范圍為（）A．[2，4] B．[1，5] C．[3-22，2．（2024秋?信陽期末）“a＝1”是“直線x+ay﹣1＝0與ax﹣y+5＝0垂直”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．不充分也不必要條件3．（2024秋?環縣校級期末）直線x+A．30° B．45° C．60° D．135°4．（2024秋?濱州期末）過點P（2，2）且與直線x+2y+1＝0平行的直線的方程為（）A．2x+y﹣6＝0 B．2x+y+6＝0 C．x+2y﹣6＝0 D．x+2y+6＝05．（2024秋?拱墅區校級期末）已知平行四邊形ABCD的頂點A（0，1），邊AB所在直線方程是x﹣y+1＝0，對角線的交點為M（2，2），邊CD所在直線方程為（）A．x﹣y﹣1＝0 B．x﹣y+2＝0 C．x+y﹣1＝0 D．x+y﹣3＝06．（2024秋?安徽期末）若直線l的一個方向向量為(3，-3)A．π6 B．π3 C．2π37．（2024秋?潁州區校級期末）設直線l：x﹣2y+2＝0的傾斜角為α，則cosα的值為（）A．55 B．-55 C．258．（2024秋?四川期末）已知直線x+y+m﹣1＝0與直線3x+（m+2）y+3＝0平行，則m＝（）A．1 B．3 C．﹣3 D．﹣1二．多選題（共4小題）（多選）9．（2025?重慶模擬）如圖，在棱長為4的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分別是棱B1C1，C1D1的中點，P是正方形A1B1C1D1內的動點，則下列結論正確的是（）A．若DP∥平面CEF，則點P的軌跡長度為22B．若AP=17，則點P的軌跡長度為C．若P是正方形A1B1C1D1的中心，Q在線段EF上，則PQ+CQ的最小值為52D．若P是棱A1B1的中點，三棱錐P﹣CEF的外接球球心為O，則平面A1BCD1截球O所得截面的面積為81（多選）10．（2024秋?上城區校級期末）下列說法正確的有（）A．直線傾斜角越大，斜率越大 B．過點P（x1，y1），Q（x2，y2）的直線方程是x-C．經過點（1，1）且在x軸和y軸上截距相等的直線有2條 D．直線x2-y3（多選）11．（2024秋?寧城縣期末）下列說法正確的是（）A．直線l：mx+y+2﹣m＝0恒過定點（1，﹣2） B．如果AB＜0，BC＜0，那么直線Ax+By+C＝0不經過第四象限 C．已知直線l過點P（2，3），且在x，y軸上截距相等，則直線l的方程為x+y﹣5＝0 D．若直線l沿x軸向左平移3個單位長度，再沿y軸向上平移2個單位長度后，回到原來的位置，則該直線l的斜率為-（多選）12．（2024秋?安陽期末）已知直線l1：x+ay﹣a＝0和直線l2：ax﹣（2a﹣3）y﹣1＝0，下列說法正確的是（）A．l2始終過定點(2B．若l1∥l2，則a＝1 C．若l1⊥l2，則a＝0或2 D．當a＞0時，l1始終不過第三象限三．填空題（共4小題）13．（2024秋?山西期末）一條光線從點A（3，﹣2）出發射到直線y＝﹣x上的點B，經直線y＝﹣x反射后，反射光線恰好經過點C（5，1），則入射光線所在直線的斜率為．14．（2025?南通模擬）已知點A在直線x﹣y+1＝0上，AB→=(2，0)，則原點O與B的最短距離為15．（2024秋?廊坊期末）已知直線l經過點（3，2），且與直線x+2y﹣4＝0平行，則直線l的方程為．16．（2024秋?裕安區校級期末）直線l1：ax+y+1＝0與直線l2：ax﹣y+1＝0垂直，則實數a＝．四．解答題（共4小題）17．（2024秋?裕安區校級期末）已知△ABC頂點A（1，2），B（﹣3，﹣1），C（3，﹣3）．（1）求邊BC上的高所在直線的方程；（2）若直線l過點A，且l的縱截距是橫截距的2倍，求直線l的方程．18．（2024秋?廣南縣校級期末）已知直線l：（2a+3）x+（1﹣a）y+7+3a＝0，a∈R．（1）求l恒過的定點A的坐標；（2）若l經過點B（0，1），求直線l的方程．19．（2024秋?咸陽期末）已知直線l1：ax+2y+3a＝0和直線l2：x﹣y﹣1＝0．（1）若直線l1在兩坐標軸上的截距相等，求實數a的值；（2）若l1∥l2，求直線l1與l2之間的距離．20．（2025?榆次區校級學業考試）如圖，已知橢圓C：x2a2+y2＝1（a＞1）的上頂點為A，離心率為63，若不過點A的動直線l與橢圓C相交于P（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）求證：直線l過定點，并求出該定點N的坐標．

2025年高考數學三輪復習之直線與方程參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號12345678答案DADCADCA二．多選題（共4小題）題號9101112答案ABDCDABDACD一．選擇題（共8小題）1．（2025?玄武區校級模擬）曼哈頓距離（或出租車幾何）是由十九世紀的赫爾曼?閔可夫斯基所創的詞匯，是一種使用在幾何度量空間的幾何學用語．例如，在平面上，點P（x1，y1）和點Q（x2，y2）的曼哈頓距離為LPQ＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．若點P（x，y）為C：x2+y2＝1上的一動點，Q（2，﹣1），則LPQ的取值范圍為（）A．[2，4] B．[1，5] C．[3-22，【考點】兩點間的距離公式．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；直線與圓；運算求解；新定義類．【答案】D【分析】設P（cosθ，sinθ），結合已知條件和三角恒等變換及三角函數的性質求解即可．【解答】解：由題意可設P（cosθ，sinθ），則LPQ因為-2≤2即LPQ的取值范圍為[3-故選：D．【點評】本題主要考查新定義問題，考查運算求解能力，屬于中檔題．2．（2024秋?信陽期末）“a＝1”是“直線x+ay﹣1＝0與ax﹣y+5＝0垂直”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．不充分也不必要條件【考點】直線的一般式方程與直線的垂直關系；充分條件必要條件的判斷．【專題】轉化思想；轉化法；直線與圓；運算求解．【答案】A【分析】分析可得兩直線垂直恒成立，結合充分條件與必要條件的定義可確定選項．【解答】解：∵對于任意a∈R，1?a+a?（﹣1）＝0恒成立，∴直線x+ay﹣1＝0與ax﹣y+5＝0垂直恒成立，當a＝1能推出直線x+ay﹣1＝0與ax﹣y+5＝0垂直，充分性成立，但直線x+ay﹣1＝0與ax﹣y+5＝0垂直不能推出a＝1，必要性不成立，∴“a＝1”是“直線x+ay﹣1＝0與ax﹣y+5＝0垂直”的充分不必要條件．故選：A．【點評】本題主要考查直線垂直的性質，屬于基礎題．3．（2024秋?環縣校級期末）直線x+A．30° B．45° C．60° D．135°【考點】直線的傾斜角．【專題】計算題．【答案】D【分析】求出直線的斜率，然后求出直線的傾斜角．【解答】解：直線x+y-3=0故選：D．【點評】本題是基礎題，考查直線的斜率與傾斜角的關系，考查計算能力．4．（2024秋?濱州期末）過點P（2，2）且與直線x+2y+1＝0平行的直線的方程為（）A．2x+y﹣6＝0 B．2x+y+6＝0 C．x+2y﹣6＝0 D．x+2y+6＝0【考點】兩條直線平行與傾斜角、斜率的關系．【專題】轉化思想；轉化法；直線與圓；運算求解．【答案】C【分析】設出直線方程再將點P（2，2），即可求得結果．【解答】解：由題意可設所求的直線的方程為：x+2y+C＝0，所求直線過點P（2，2），則2+2×2+C＝0，解得C＝﹣6，故直線方程為x+2y﹣6＝0．故選：C．【點評】本題主要考查直線平行的性質，屬于基礎題．5．（2024秋?拱墅區校級期末）已知平行四邊形ABCD的頂點A（0，1），邊AB所在直線方程是x﹣y+1＝0，對角線的交點為M（2，2），邊CD所在直線方程為（）A．x﹣y﹣1＝0 B．x﹣y+2＝0 C．x+y﹣1＝0 D．x+y﹣3＝0【考點】兩條直線垂直與傾斜角、斜率的關系．【專題】整體思想；綜合法；直線與圓；運算求解．【答案】A【分析】根據題意AB∥CD且A，C關于M對稱，可得點C的坐標，設CD：x﹣y+m＝0，將點C代入進而求參數，即可得直線方程．【解答】解：由題意知AB∥CD，邊AB所在直線方程是x﹣y+1＝0，可設CD：x﹣y+m＝0且m≠1，又對角線的交點為M（2，2），A，C關于M對稱，即點M為A，C的中點，則C（4，3），由點C在直線CD：x﹣y+m＝0上，可得4﹣3+m＝0，解得m＝﹣1，所以CD：x﹣y﹣1＝0．故選：A．【點評】本題考查點關于點的對稱點的求法及兩條直線平行的性質的應用，屬于基礎題．6．（2024秋?安徽期末）若直線l的一個方向向量為(3，-3)A．π6 B．π3 C．2π3【考點】直線的傾斜角．【專題】轉化思想；綜合法；直線與圓；運算求解．【答案】D【分析】根據方向向量求斜率，再求傾斜角．【解答】解：因為直線l的一個方向向量為(3，-可得向量(3，-3)設直線l的傾斜角為θ，則tanθ=所以直線的傾斜角為5π故選：D．【點評】本題主要考查直線的傾斜角，屬于基礎題．7．（2024秋?潁州區校級期末）設直線l：x﹣2y+2＝0的傾斜角為α，則cosα的值為（）A．55 B．-55 C．25【考點】直線的傾斜角．【專題】轉化思想；綜合法；直線與圓；運算求解．【答案】C【分析】根據直線方程可得k=【解答】解：由題可知：直線l：x﹣2y+2＝0的斜率k=則tanα=sinαcosα=12＞又因為sin2α+cos2α＝1，可得cosα=由α∈(0，π2)可知cos故選：C．【點評】本題主要考查直線的傾斜角，考查計算能力，屬于基礎題．8．（2024秋?四川期末）已知直線x+y+m﹣1＝0與直線3x+（m+2）y+3＝0平行，則m＝（）A．1 B．3 C．﹣3 D．﹣1【考點】兩條直線平行與傾斜角、斜率的關系．【專題】轉化思想；轉化法；直線與圓；運算求解．【答案】A【分析】根據已知條件，結合直線平行的性質，即可求解．【解答】解：直線x+y+m﹣1＝0與直線3x+（m+2）y+3＝0平行，則1?（m+2）＝3×1，解得m＝1，經檢驗，當m＝1時，兩直線不重合，符合題意，故m＝1．故選：A．【點評】本題主要考查直線平行的性質，屬于基礎題．二．多選題（共4小題）（多選）9．（2025?重慶模擬）如圖，在棱長為4的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分別是棱B1C1，C1D1的中點，P是正方形A1B1C1D1內的動點，則下列結論正確的是（）A．若DP∥平面CEF，則點P的軌跡長度為22B．若AP=17，則點P的軌跡長度為C．若P是正方形A1B1C1D1的中心，Q在線段EF上，則PQ+CQ的最小值為52D．若P是棱A1B1的中點，三棱錐P﹣CEF的外接球球心為O，則平面A1BCD1截球O所得截面的面積為81【考點】與直線有關的動點軌跡方程；直線與平面平行．【專題】轉化思想；綜合法；立體幾何；運算求解．【答案】ABD【分析】作出相應圖形，先證明平面BDNM∥平面CEF，再結合給定條件確定動點軌跡，求出長度即可判斷A；建立空間直角坐標系，根據題意確定動點軌跡，求解長度即可判斷B，將平面CEF翻折到與平面A1B1C1D1共面，連接PC，與EF交于點Q，此時PQ+CQ取到最小值，利用勾股定理求出PQ，CQ即可判斷C，先找到球心，利用勾股定理得出半徑，進而可判斷D．【解答】解：如圖，取A1D1，A1B1的中點為N，M，則MN∥B1D1，又E，F分別是棱B1C1，C1D1的中點，所以EF∥B1D1，所以MN∥EF，又MN?平面CEF，EF?平面CEF，所以MN∥平面CEF，又NECD，且NE＝CD，所以四邊形CDNE為平行四邊形，所以ND∥∥CE，又ND?平面CEF，CE?平面CEF，所以ND∥平面CEF，又MN∩ND＝N，所以平面BDNM∥平面CEF，點P是正方形A1B1C1D1內的動點，且DP∥平面CEF，所以點P的軌跡為線段MN，又MN=22如建系如圖：則A（0，0，0），設P（x，y，4），則AP=所以x2+y2＝1，所以點P的軌跡為A1為圓心，半徑為1的14個所以點P的軌跡長度為14?2如圖，將平面CEF翻折到與平面A1B1C1D1共面，連接PC，與EF交于點Q，此時PQ+CQ取到最小值，因為CE=CF=22+4所以點Q為EF的中點，所以PQ=所以CQ=即PQ+CQ的最小值為42，所以C如圖，連接PF，交B1D1于點O1，設三棱錐P﹣CEF的外接球的半徑為R，若P是棱A1B1的中點，則∠FEP＝90°，所以FP是△PEF外接圓的一條直徑，所以O1是△PEF外接圓的圓心，過點O1作平面ABCD的垂線，則三棱錐P﹣CEF的外接球的球心O一定在該垂線上，設OO1＝t，則22+t2＝R2，12AC=所以22+t所以R2點O1到平面A1BCD1的距離為14所以球心O到平面A1BCD1的距離為24所以截面圓的半徑為414所以截面的面積為81π8，所以故選：ABD．【點評】本題考查立體幾何的綜合應用，屬難題．（多選）10．（2024秋?上城區校級期末）下列說法正確的有（）A．直線傾斜角越大，斜率越大 B．過點P（x1，y1），Q（x2，y2）的直線方程是x-C．經過點（1，1）且在x軸和y軸上截距相等的直線有2條 D．直線x2-y3【考點】直線的截距式方程；直線的兩點式方程．【專題】轉化思想；綜合法；直線與圓；運算求解．【答案】CD【分析】根據直線傾斜角與斜率的關系可得選項A錯誤；根據直線兩點式方程的限制條件可得選項B錯誤；計算直線過原點和不過原點時的直線方程可得選項C正確；根據截距的概念可得選項D正確．【解答】解：A．當直線傾斜角為鈍角時，直線斜率k＜0，當直線傾斜角為銳角時，直線斜率k＞0，故A錯誤．B．當x1≠x2，y1≠y2時，過點P（x1，y1），Q（x2，y2）的直線方程是x-x1C．當直線不過原點時，設直線方程為xa把點（1，1）代入直線方程得1a+1a=1，解得a＝2，故直線方程為x+y當直線過原點時，由直線過點（1，1）可得直線斜率k＝1，故直線方程為y＝x．綜上得，經過點（1，1）且在x軸和y軸上截距相等的直線有2條，故C正確．D．對于直線x2-y3=1，令x＝0，得y＝﹣3，故直線x2-故選：CD．【點評】本題主要考查直線的相關知識，屬于基礎題．（多選）11．（2024秋?寧城縣期末）下列說法正確的是（）A．直線l：mx+y+2﹣m＝0恒過定點（1，﹣2） B．如果AB＜0，BC＜0，那么直線Ax+By+C＝0不經過第四象限 C．已知直線l過點P（2，3），且在x，y軸上截距相等，則直線l的方程為x+y﹣5＝0 D．若直線l沿x軸向左平移3個單位長度，再沿y軸向上平移2個單位長度后，回到原來的位置，則該直線l的斜率為-【考點】恒過定點的直線；直線的截距式方程．【專題】整體思想；綜合法；直線與圓；運算求解．【答案】ABD【分析】將直線化為l：m（x﹣1）+y+2＝0確定定點判斷A；由-AB＞0，-CB＞0，直線為y=-ABx-CB判定B；注意直線過原點的情況判斷C；根據平移得a（x+3）+b（y【解答】解：對于選項A，由l：m（x﹣1）+y+2＝0，可得m（x﹣1）＝﹣y﹣2，令x-1=0-所以直線恒過（1，﹣2），故A正確；對于選項B，由AB＜0，BC＜0，則-A而直線可化為y=-A對于選項C，若直線過原點時，直線l為y=32x，即l：3x﹣2y＝對于選項D，令原直線為ax+by+c＝0，根據平移有a（x+3）+b（y﹣2）+c＝0，所以ax+by+3a﹣2b+c＝0與ax+by+c＝0為同一直線，所以3a﹣2b+c＝c，即-ab=-故選：ABD．【點評】本題主要考查了直線的一般方程，考查了直線過定點問題，屬于基礎題．（多選）12．（2024秋?安陽期末）已知直線l1：x+ay﹣a＝0和直線l2：ax﹣（2a﹣3）y﹣1＝0，下列說法正確的是（）A．l2始終過定點(2B．若l1∥l2，則a＝1 C．若l1⊥l2，則a＝0或2 D．當a＞0時，l1始終不過第三象限【考點】兩條直線垂直與傾斜角、斜率的關系；恒過定點的直線；兩條直線平行與傾斜角、斜率的關系．【專題】轉化思想；轉化法；直線與圓；運算求解．【答案】ACD【分析】根據定點判斷A，根據直線垂直及重合求參判斷B，結合直線的定點及斜率判斷D．【解答】解：l2：a（x﹣2y）+3y﹣1＝0過定點(23，當a＝1時，l1：x+y﹣1＝0，l2：x+y﹣1＝0，故l1，l2重合，故選項B錯誤；由1×a+a×（3﹣2a）＝0，得a＝0或2，故選項C正確；當a＞0時，l1：y=-1ax故選：ACD．【點評】本題主要考查直線平行、垂直的性質，屬于基礎題．三．填空題（共4小題）13．（2024秋?山西期末）一條光線從點A（3，﹣2）出發射到直線y＝﹣x上的點B，經直線y＝﹣x反射后，反射光線恰好經過點C（5，1），則入射光線所在直線的斜率為34【考點】直線的斜率．【專題】轉化思想；綜合法；直線與圓；運算求解．【答案】34【分析】由對稱性，求得C（5，1）關于y＝﹣x的對稱點，即可求解．【解答】解：光線從點A（3，﹣2）出發，光線從點A（3，﹣2）出發，因為點C（5，1）關于直線y＝﹣x的對稱點為C′（﹣1，﹣5），由題知，入射光線所在的直線經過點A（3，﹣2）和點C′（﹣1，﹣5），且kAC即入射光線所在直線的斜率為34故答案為：34【點評】本題主要考查直線的斜率，屬于基礎題．14．（2025?南通模擬）已知點A在直線x﹣y+1＝0上，AB→=(2，0)，則原點O與B的最短距離為【考點】兩點間的距離公式．【專題】轉化思想；綜合法；直線與圓；運算求解．【答案】22【分析】設A，B的坐標，由向量可得A，B的坐標的關系，將點A的坐標代入直線的方程，可得點B的橫縱坐標的關系，求出|OB|2的表達式，由二次函數的性質可得|OB|的最小值．【解答】解：A在直線x﹣y+1＝0上，AB→=(2，0)，設點B（x，y），A（x0可得x-x0=2y-y0=0，可得x0＝x﹣2，y0＝y所以x﹣2﹣y+1＝0，即y＝x﹣1，所以|OB|2＝x2+y2＝x2+（x﹣1）2＝2x2﹣2x+1＝2（x-12）2所以|OB|≥2即原點O與B的最短距離|OB|的最小值為22故答案為：22【點評】本題考查兩點間的距離公式的應用，屬于基礎題．15．（2024秋?廊坊期末）已知直線l經過點（3，2），且與直線x+2y﹣4＝0平行，則直線l的方程為x+2y﹣7＝0．【考點】兩條直線平行與傾斜角、斜率的關系．【專題】整體思想；綜合法；直線與圓；運算求解．【答案】x+2y﹣7＝0．【分析】法（i）設出直線l的方程，利用待定系數法求出方程；法（ii）由題意可得已知直線的斜率，設直線l的方程，將點（3，2）代入直線l的方程，可得參數的值，即求出直線l的方程．【解答】解：法（i）由直線l與直線x+2y﹣4＝0平行，設直線l的方程為x+2y﹣m＝0（m≠4），由直線l經過點（3，2），得3+2×2﹣m＝0，解得m＝7，所以直線l的方程為x+2y﹣7＝0．法（ii）因為直線x+2y﹣4＝0的斜率為-1所以設與直線x+2y﹣4＝0平行的直線l的方程為y=-12x將點（3，2）代入直線l的方程為：2=-12×3+b＝0即直線l的方程為y=-12即x+2y﹣7＝0．故答案為：x+2y﹣7＝0．【點評】本題考查與已知直線平行的直線方程的求法，屬于基礎題．16．（2024秋?裕安區校級期末）直線l1：ax+y+1＝0與直線l2：ax﹣y+1＝0垂直，則實數a＝±1．【考點】直線的一般式方程與直線的垂直關系．【專題】方程思想；定義法；直線與圓；運算求解．【答案】±1．【分析】根據已知條件，結合兩直線垂直的性質，即可求解．【解答】解：∵直線l1：ax+y+1＝0與直線l2：ax﹣y+1＝0垂直，∴a×a+1×（﹣1）＝0，解得a＝±1．故答案為：±1．【點評】本題主要考查兩直線垂直的性質，屬于基礎題．四．解答題（共4小題）17．（2024秋?裕安區校級期末）已知△ABC頂點A（1，2），B（﹣3，﹣1），C（3，﹣3）．（1）求邊BC上的高所在直線的方程；（2）若直線l過點A，且l的縱截距是橫截距的2倍，求直線l的方程．【考點】直線的截距式方程；兩條直線垂直與傾斜角、斜率的關系．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；直線與圓；運算求解．【答案】（1）3x﹣y﹣1＝0；（2）y＝2x或2x+y﹣4＝0．【分析】（1）根據B（﹣3，﹣1）、C（3，﹣3），即可得BC中點及斜率，進而可得其高線方程；（2）當直線l過坐標原點時可得直線方程；當直線l不過坐標原點時，根據直線的截距式可得解．【解答】解：（1）由△ABC頂點A（1，2），B（﹣3，﹣1），C（3，﹣3），可得kBC所以其高線斜率滿足kl?kBC＝﹣1，即kl＝3，所以邊BC的高所在直線的方程為y﹣2＝3（x﹣1），即3x﹣y﹣1＝0；（2）由直線l過點A，且l的縱截距是橫截距的2倍，可分為兩種情況討論：當直線l過坐標原點時，k=21=2，此時直線l：y當直線l不過坐標原點時，由題意設直線方程為xa由l過點A（1，2），則1a+22a所以直線l方程為x2+y4=1，即2x+y綜上所述，直線l的方程為y＝2x或2x+y﹣4＝0．【點評】本題考查了直線的方程，是基礎題．18．（2024秋?廣南縣校級期末）已知直線l：（2a+3）x+（1﹣a）y+7+3a＝0，a∈R．（1）求l恒過的定點A的坐標；（2）若l經過點B（0，1），求直線l的方程．【考點】恒過定點的直線；直線的一般式方程與直線的性質．【專題】轉化思想；轉化法；直線與圓；運算求解．【答案】（1）A（﹣2，﹣1）；（2）x﹣y+1＝0．【分析】（1）整理直線方程，得到關于實數x，y的方程組，求解方程組即可；（2）根據直線過點，將點代入直線方程，求出a，得到直線方程．【解答】解：（1）由l：（2a+3）x+（1﹣a）y+7+3a＝0，a∈R可得a（2x﹣y+3）+3x+y+7＝0，由2x-y+3=03x+y+7=0解得x（2）若l經過點B（0，1），直線l：（2a+3）x+（1﹣a）y+7+3a＝0，a∈R，所以1﹣a+7+3a＝0，解得a＝﹣4，所以直線l的方程為x﹣y+1＝0．【點評】本題主要考查恒過定點的直線，屬于基礎題．19．（2024秋?咸陽期末）已知直線l1：ax+2y+3a＝0和直線l2：x﹣y﹣1＝0．（1）若直線l1在兩坐標軸上的截距相等，求實數a的值；（2）若l1∥l2，求直線l1與l2之間的距離．【考點】兩條平行直線間的距離．【專題】整體思想；綜合法；直線與圓；運算求解．【答案】（1）a＝2；（2）22【分析】（1）求出l1在x軸和y軸的截距，利用截距相等構造方程求得結果；（2）由l1∥l2求出a＝﹣2，再由兩平行線的距離求解即可．【解答】解：（1）因為直線l1在兩坐標軸上的截距相等，所以a≠0，直線l1在x軸的截距為﹣3，在y軸的截距為-3則-3=解得a＝2；（2）若l1∥l2，則-a2=1，得a此時直線l1：﹣2x+2y﹣6＝0，即x﹣y+3＝0，又直線l2：x﹣y﹣1＝0，所以直線l1與l2之間的距離d=【點評】本題主要考查了直線的截距的定義，考查了平行線間的距離公式，屬于基礎題．20．（2025?榆次區校級學業考試）如圖，已知橢圓C：x2a2+y2＝1（a＞1）的上頂點為A，離心率為63，若不過點A的動直線l與橢圓C相交于P（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）求證：直線l過定點，并求出該定點N的坐標．【考點】恒過定點的直線；橢圓的標準方程．【專題】圓錐曲線的定義、性質與方程．【答案】見試題解答內容【分析】（Ⅰ）由橢圓的解析式得到b＝1，再利用橢圓的性質a2+b2＝c2列出關系式，與e=ca=63（Ⅱ）由AP→?AQ→=0，利用平面斜率數量積為0時兩向量垂直得到AP與AQ垂直，可得出AP與坐標軸不垂直，由A的坐標設出直線AP的方程為y＝kx+1，根據兩直線垂直時斜率的乘積為﹣1表示出直線AQ的方程，將y＝kx+1代入橢圓方程，消去y得到關于x的一元二次方程，求出方程的解得到x的值，表示出P的坐標，將直線AQ方程代入橢圓方程，同理表示出Q的坐標，由P與Q的坐標，表示出直線l的兩點式方程，整理后可得出直線l恒過定點N（0【解答】解（Ⅰ）依題意有：e=ca=63①，a2﹣c2＝b聯立①②解得：a=3，c=則橢圓C的方程為x23+y2（Ⅱ）證明：由AP→?AQ→=0，得到AP⊥AQ由A（0，1）可設直線AP的方程為y＝kx+1，得到直線AQ的方程為y=-1kx+1（k將y＝kx+1代入橢圓C的方程x23+y2＝1中，并整理得：（1+3k2）x2+6kx解得：x＝0或x=-∴P的坐標為（-6k1+3k2，-6將上式中的k換成-1k，同理可得Q（6k∴直線l的方程為y=k2-3k2整理得：直線l的方程為y=k2-則直線l過定點N（0，-1【點評】此題考查了恒過定點的方程，以及橢圓的標準方程，涉及的知識有：橢圓的基本性質，平面向量的數量積運算，以及直線的兩點式方程，其計算性較大，是一道綜合性較強的試題．

考點卡片1．充分條件必要條件的判斷【知識點的認識】1、判斷：當命題“若p則q”為真時，可表示為p?q，稱p為q的充分條件，q是p的必要條件．2、充要條件：如果既有“p?q”，又有“q?p”，則稱條件p是q成立的充要條件，或稱條件q是p成立的充要條件，記作“p?q”．p與q互為充要條件．【解題方法點撥】充要條件的解題的思想方法中轉化思想的依據；解題中必須涉及兩個方面，充分條件與必要條件，缺一不可．證明題目需要證明充分性與必要性，實際上，充分性理解為充分條件，必要性理解為必要條件，學生答題時往往混淆二者的關系．判斷題目可以常用轉化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判斷充要條件的方法是：①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的既不充分也不必要條件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關系．【命題方向】充要條件是學生學習知識開始，或者沒有上學就能應用的，只不過沒有明確定義，因而幾乎年年必考內容，多以小題為主，有時也會以大題形式出現，中學階段的知識點都相關，所以命題的范圍特別廣．2．直線與平面平行【知識點的認識】1、直線與平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和這個平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行．用符號表示為：若a?α，b?α，a∥b，則a∥α．2、直線與平面平行的判定定理的實質是：對于平面外的一條直線，只需在平面內找到一條直線和這條直線平行，就可判定這條直線必和這個平面平行．即由線線平行得到線面平行．1、直線和平面平行的性質定理：如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行．用符號表示為：若a∥α，a?β，α∩β＝b，則a∥b．2、直線和平面平行的性質定理的實質是：已知線面平行，過已知直線作一平面和已知平面相交，其交線必和已知直線平行．即由線面平行?線線平行．由線面平行?線線平行，并不意味著平面內的任意一條直線都與已知直線平行．正確的結論是：a∥α，若b?α，則b與a的關系是：異面或平行．即平面α內的直線分成兩大類，一類與a平行有無數條，另一類與a異面，也有無數條．3．直線的傾斜角【知識點的認識】1．定義：當直線l與x軸相交時，取x軸作為基準，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．2．范圍：[0，π）（特別地：當直線l和x軸平行或重合時，規定直線l的傾斜角為0°）3．意義：體現了直線對x軸正方向的傾斜程度．4．斜率與傾斜角的區別和聯系（1）區別：①每條直線都有傾斜角，范圍是[0，π），但并不是每條直線都有斜率．②傾斜角是從幾何的角度刻畫直線的方向，而斜率是從代數的角度刻畫直線的方向．（2）聯系：①當a≠π2時，k＝tanα；當α②根據正切函數k＝tanα的單調性：當α∈[0，π2）時，k＞0且tanα隨α的增大而增大，當α∈（π2，π）時，k＜0且tanα隨【解題方法點撥】直線的傾斜角常結合直線的斜率進行考查．直線傾斜角和斜率是解析幾何的重要概念之一，是刻畫直線傾斜程度的幾何要素與代數表示，也是用坐標法研究直線性質的基礎．在高考中多以選擇填空形式出現，是高考考查的熱點問題．【命題方向】（1）直接根據直線斜率求傾斜角例：直線3x+y﹣1＝0的傾斜角是（）A.30°B.60°C.120°D.150°分析：求出直線的斜率，然后求解直線的傾斜角即可．解答：因為直線3x+y﹣1＝0的斜率為：-3直線的傾斜角為：α．所以tanα=-α＝120°故選C．點評：本題考查直線的傾斜角的求法，基本知識的應用．（2）通過條件轉換求直線傾斜角例：若直線經過A（0，1），B（3，4）兩點，則直線AB的傾斜角為（）A．30°B.45°C．60°D．120°分析：由直線經過A（0，1），B（3，4）兩點，能求出直線AB的斜率，從而能求出直線AB的傾斜角．解答：∵直線經過A（0，1），B（3，4）兩點，∴直線AB的斜率k=4-13-0∴直線AB的傾斜角α＝45°．故選B．點評：本題考查直線的傾斜角的求法，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．4．直線的斜率【知識點的認識】1．定義：當直線傾斜角α≠π2時，其傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率．用小寫字母k表示，即k＝tan2．斜率的求法（1）定義：k＝tanα（α≠π（2）斜率公式：k=y3．斜率與傾斜角的區別和聯系（1）區別：①每條直線都有傾斜角，范圍是[0，π），但并不是每條直線都有斜率．②傾斜角是從幾何的角度刻畫直線的方向，而斜率是從代數的角度刻畫直線的方向．（2）聯系：①當α≠π2時，k＝tanα；當α②根據正切函數k＝tanα的單調性：當α∈[0，π2）時，k＞0且隨α的增大而增大，當α∈（π2，π）時，k＜0且隨【解題方法點撥】直線的斜率常結合直線的傾斜角進行考查．直線傾斜角和斜率是解析幾何的重要概念之一，是刻畫直線傾斜程度的幾何要素與代數表示，也是用坐標法研究直線性質的基礎．在高考中多以選擇填空形式出現，是高考考查的熱點問題．【命題方向】（1）已知傾斜角范圍求斜率的范圍；（2）已知斜率求傾斜角的問題．（3）斜率在數形結合中的應用．5．兩條直線平行與傾斜角、斜率的關系【知識點的認識】兩直線平行與傾斜角、斜率的關系：①如果兩條直線的斜率存在，設這兩條直線的斜率分別為k1，k2，傾斜角分別為α1，α2，則有：兩直線平行?傾斜角α1＝α2?斜率k1＝k2②如果兩條直線的斜率都不存在，那么這兩條直線的傾斜角都為90°，這兩條直線平行．6．兩條直線垂直與傾斜角、斜率的關系【知識點的認識】在同一個平面中，直線的關系可能是相交、平行、重合；這個知識點中我們探討的是相交直線的一個特例，直線垂直．顧名思義，直線垂直就是兩條直線的夾角為90°．兩條直線垂直與傾斜角、斜率的關系：①當一條直線的斜率為0，另一條直線的斜率不存在時，這兩條直線互相垂直；②當兩條直線的斜率都存在時，設斜率分別為k1，k2，若兩條直線互相垂直，則它們的斜率互為負倒數；反之，若兩條直線的斜率互為負倒數，則它們互相垂直．l1⊥l2?k2=-1k1?k1?k【解題方法點撥】例：設A、B為x軸上兩點，點P的橫坐標為2，且|PA|＝|PB|，若直線PA的方程為x﹣2y+1＝0，則直線PB的方程是．解：根據|PA|＝|PB|得到點P一定在線段AB的垂直平分線上，根據x﹣2y+1＝0求出點A的坐標為（﹣1，0），由P的橫坐標是2代入x﹣2y+1＝0求得縱坐標為32，則P（2，32），P在x軸上的投影為Q（2，0），又因為Q為A與B的中點，所以得到B（5，0），所以直線PB的方程為：y﹣0=32-02-5（x﹣5）化簡后為故答案為：x+2y﹣5＝0．7．直線的兩點式方程【知識點的認識】直線的兩點式方程：經過直線上兩點P1（x1，y1），P2（x2，y2）（其中x1≠x2，y1≠y2）的直線方程叫做直線的兩點式方程，簡稱兩點式．y-y1y2-y1=x-x1#注意：兩點式適用于與兩坐標軸不垂直的直線．特別地：①當x1＝x2時，直線l的方程為x＝x1；②當y1＝y2時，直線l的方程為y＝y1．8．直線的截距式方程【知識點的認識】直線的截距式方程：若直線l與x軸交點為（a，0），與y軸交點為（0，b），其中a≠0，b≠0，a為直線l在x軸上的截距，b為直線l在y軸上的截距，由兩點式：y-0b#注意：斜截式適用于與兩坐標軸不垂直且不過原點的直線．9．直線的一般式方程與直線的性質【知識點的認識】直線方程表示的是只有一個自變量，自變量的次數為一次，且因變量隨著自變量的變化而變化．直線的一般方程的表達式是ay+bx+c＝0．1、兩條直線平行與垂直的判定對于兩條不重合的直線l1、l2，其斜率分別為k1、k2，有：（1）l1∥l2?k1＝k2；（2）l1⊥l2?k1?k2＝﹣1．2、直線的一般式方程：（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同時為0．直線一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化為斜截式方程y=-ABx-CB，表示斜率為-（2）與直線l：Ax+By+C＝0平行的直線，可設所求方程為Ax+By+C1＝0；與直線Ax+By+C＝0垂直的直線，可設所求方程為Bx﹣Ay+C1＝0．（3）已知直線l1，l2的方程分別是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同時為0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同時為0），則兩條直線的位置關系可以如下判別：①l1⊥l2?A1A2+B1B2＝0；②l1∥l2?A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0；③l1與l2重合?A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0；④l1與l2相交?A1B2﹣A2B1≠0．如果A2B2C2≠0時，則l1∥l2?A1A2=B1B2≠C1C2；l1與l210．直線的一般式方程與直線的垂直關系【知識點的認識】1、兩條直線平行與垂直的判定對于兩條不重合的直線l1、l2，其斜率分別為k1、k2，有：（1）l1∥l2?k1＝k2；（2）l1∥l2?k1?k2＝﹣1．2、直線的一般式方程：（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同時為0．直線一