第八章空間解析幾何與向量代數第一節向量及其線性運算第二節數量積向量積*混合積第三節曲面及其方程第四節空間曲線及其方程第五節平面及其方程第六節空間直線及其方程第1頁一、向量概念二、向量線性運算三、空間直角坐標系四、利用坐標作向量線性運算五、向量模、方向角、投影§8.1向量及其運算第2頁表示法:向量模:向量大小,一、向量概念向量:(又稱矢量).現有大小,又有方向量稱為向量向徑(矢徑):自由向量:與起點無關向量.起點為原點向量.單位向量:模為1向量,零向量:模為0向量,有向線段

第3頁要求:零向量與任何向量平行

;若向量a與b大小相等,方向相同,則稱a與b相等,記作a＝b;若向量a與b方向相同或相反,則稱a與b平行,

a∥b;與a

模相同,但方向相反向量稱為a

負向量,記作因平行向量可平移到同一直線上,故兩向量平行又稱兩向量共線

.若k(≥3)個向量經平移可移到同一平面上,則稱此k個向量共面

.記作－a;第4頁二、向量線性運算1.向量加法三角形法則:平行四邊形法則:運算規律:交換律結合律三角形法則可推廣到多個向量相加.第5頁第6頁2.向量減法三角不等式第7頁3.向量與數乘法

是一個數,

與a

乘積是一個新向量,記作尤其:第8頁結合律運算律:分配律所以第9頁定理1.

設

a

為非零向量,則(

為唯一實數)a∥b．．OiPxx點P實數x軸上點P坐標為x充分必要條件是

直線上點坐標平面上點坐標OQpMxyij點M向量

平面上點M坐標為（x，y）充分必要條件是

向量第10頁證實:

假設存在唯一實數,使得由向量與數乘法定義可知與平行.與平行假設與同向，取若則與同向，與同向.從而而,故第11頁下面證唯一性：假設存在兩個實數與反向，取若則與反向，與同向.從而而,故使以上兩式相減，得故第12頁定理1.

設

a

為非零向量,則(

為唯一實數)a∥b．．OiPxx點P實數x軸上點P坐標為x充分必要條件是

直線上點坐標平面上點坐標OQpMxyij點M向量

平面上點M坐標為（x，y）充分必要條件是

向量第13頁ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ三、空間直角坐標系由三條相互垂直數軸按右手規則組成一個空間直角坐標系.

坐標原點

坐標軸x軸(橫軸)y軸(縱軸)z

軸(豎軸)過空間一定點O,

坐標面

卦限(八個)zox面1.空間直角坐標系基本概念Ⅰ第14頁向徑在直角坐標系下坐標軸上點P,Q,R;坐標面上點A,B,C點

M特殊點坐標:有序數組稱有序數組為點M坐標,記為

M原點O(0,0,0);第15頁坐標軸:坐標面:第16頁2.向量坐標表示在空間直角坐標系下,設點

M

則沿三個坐標軸方向分向量.坐標為此式稱為向量

r

坐標分解式

,任意向量r可用向徑OM表示.第17頁四、利用坐標作向量線性運算設則平行向量對應坐標成百分比:第18頁例2.求解以向量為未知元線性方程組解:

①②2×①－3×②,得代入②得第19頁例3.

已知兩點在AB直線上求一點M,使解:

設M

坐標為如圖所表示及實數得即故第20頁說明:

由得定比分點公式:點

M為AB

中點,于是得中點公式:第21頁五、向量模、方向角、投影

1.向量模與兩點間距離公式則有由勾股定理得因得兩點間距離公式:對兩點與第22頁例4.

求證以證:即為等腰直角三角形.三角形是等腰直角三角形.為頂點第23頁例5.

在z

軸上求與兩點等距解:

設該點為解得故所求點為及思索:(1)怎樣求在

xoy

面上與A,B

等距離之點軌跡方程?(2)怎樣求在空間與A,B

等距離之點軌跡方程?離點.第24頁提醒:(1)設動點為利用得(2)設動點為利用得且例6.

已知兩點和解:求第25頁2.方向角與方向余弦設有兩非零向量任取空間一點O,稱

=∠AOB(0≤

≤

)

為向量

夾角.

類似可定義向量與軸,

軸與軸夾角.與三坐標軸夾角

,

,

為其方向角.方向角余弦稱為其方向余弦.

記作第26頁方向余弦性質:第27頁例7.

已知兩點和模、方向余弦和方向角.解:計算向量第28頁例8.

設點A

位于第一卦限,解:

已知角依次為求點A

坐標.則因點A

在第一卦限,故于是故點A

坐標為向徑OA

與x

軸，y軸夾第29頁3.向量投影概念空間一點在軸上投影第30頁過點

作一平面與軸垂直，該平面與軸交于一點，則稱為向量在

軸上分向量，設

則稱數為在軸上投影，記作

或向量在軸上投影：