第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年廣東省深圳市南方科技大學附中高一（下）第一次月考數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.下列說法不正確的是(

)A.向量的模是一個非負實數

B.任何一個非零向量都可以平行移動

C.兩個有共同起點且共線的向量終點也必相同

D.長度不相等而方向相反的兩個向量一定是共線向量2.已知向量a=(1,2)，b=(x,3)，若a⊥(a+A.?4 B.?11 C.11 D.43.已知sin2α=cos(π2+α)，α∈(πA.?3 B.?1 C.?4.如圖，點O是△ABC的重心，點D是邊BC上一點，且BC=4DC，OD=mABA.15

B.?14

C.?5.已知定義在R上的奇函數f(x)滿足①f(2)=0；②?x1，x2∈(0,+∞)，且x1≠x2A.(?∞,?2)∪(2,+∞) B.(?2,0)∪(0,2)

C.(?∞,?2)∪(0,2) D.(?2,0)∪(2,+∞)6.等腰梯形ABCD中，AB平行于CD，AB=2，CD=1，∠DAB=π4，P為腰AD所在直線上任意一點，則PC?PBA.3 B.1 C.32 7.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知ccosA?3csinA?b+a=0，則C=A.π6 B.π3 C.2π38.函數f(x)=cosωx?3sinωx(ω>0)的部分圖象如圖所示，則下列選項不正確的是A.函數f(x)的圖象關于點(7π12,0)中心對稱

B.函數f(x)的單調增區間為[kπ?2π3,kπ?π6](k∈Z)

C.函數f(x)的圖象可由y=2sinωx的圖象向左平移5π6個單位長度得到

D.函數二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知向量a=(x,1),b=(4,2)，則A.若a//b，則x=2

B.若a⊥b，則x=12

C.若x=3，則向量a與向量b的夾角的余弦值為7210

10.已知角A，B，C是△ABC的三個內角，下列結論一定成立的有(

)A.若sin2A=sin2B，則△ABC一定是等腰三角形

B.若sinA>sinB，則A>B

C.若△ABC是銳角三角形，則sinA>cosB

D.若0<tanA?tanB<1，則11.“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標志得來，是平面向量中一個非常優美的結論.奔馳定理與三角形四心(重心、內心、外心、垂心)有著神秘的關聯.它的具體內容是：已知M是△ABC內一點，△BMC，△AMC，△AMB的面積分別為SA，SB，SC，且SA?A.若SA：SB：SC=1：1：1，則M為△ABC的重心

B.若M為△ABC的內心，則BC?MA+AC?MB+AB?MC=0

C.若M為△ABC的垂心，3MA+4MB+5MC=0，則tan∠BAC：三、填空題：本題共3小題，共15分。12.設向量a,b的夾角的余弦值為?13，|a|=2，|13.已知正數a，b滿足a+b=5，則2a+1+114.在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且b=4，C=2A，3a=2c，則cosA=

；a=

．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

在△ABC中，內角A，B，C所對邊分別為a，b，c，已知sin2A=sinB?cosC+cosB?sinC．

(1)求角A的大小；

(2)若b=2c，△ABC的面積為16.(本小題15分)

已知a，b的夾角為60°，且|a|=1,|b|=2，設m=3a?b，n=ta+2b．

(1)若m⊥n，求實數t的取值；

(2)t=2時，求17.(本小題15分)

已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且1?cos2Bsin2B=sinC+cosCsinC?cosC．

(1)求A的大??；

(2)設AD是BC邊上的高，且18.(本小題17分)

在銳角△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足a2?b2=bc．

(1)求證：A=2B；

(2)若b=1，求a邊的范圍；19.(本小題17分)

已知向量m=(sin2x,cos2x)，n=(32,12)，函數f(x)=m?n．

(1)求函數f(x)的解析式和單調遞增區間；

(2)若a，b，c分別為△ABC三個內角A，B，C的對邊，f(A)=1，b=2，a∈[12,52]，試判斷這個三角形解的個數，并說明理由；

(3)參考答案1.C

2.B

3.A

4.C

5.A

6.C

7.C

8.C

9.AC

10.BCD

11.ABC

12.23

13.3414.34

；4或15.解：(1)因為sin2A=sinB?cosC+cosB?sinC=sin(B+C)=sinA，

在△ABC中，2A+A=π，即A=π3；

(2)由(1)知，A=π3，

所以S△ABC=12bcsinA=12×2c216.解：∵a，b的夾角為60°，且|a|=1,|b|=2，

∴a?b=|a||b|cos60°=1×2×12=1．

(1)由m⊥n，得m?n=(3a?b)?(ta+2b)=3t|a|2+(6?t)a?b?2|b|2

=3t+6?t?8=0，解得t=1；

(2)t=217.解：(1)依題意得sinBcosB=sinC+cosCsinC?cosC，

所以sinBsinC?sinBcosC=cosBsinC+cosBcosC，所以sin(B+C)+cos(B+C)=0，

所以tan(B+C)=?1，即tanA=1，又因為0<A<π，所以A=π4；

(2)由S△ABC=12a×2=12bcsinπ4，所以a=24bc，18.解：(1)證明：因為a2=b2+c2?2bccosA=b2+bc，

所以c?b=2bcosA，

由正弦定理可得sinC?sinB=2sinBcosA，

又因為sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，

代入可得sinAcosB?cosAsinB=sinB，

所以sin(A?B)=sinB，

因為0<A，B<π，

所以sinB>0，

所以0<A?B<π，

所以A?B=B或A?B+B=π，

所以A=2B或A=π(舍去)，

所以A=2B．

(2)因為△ABC為銳角三角形，A=2B，

所以C=π?3B，

因為0<B<π20<2B<π20<π?3B<π2，解得B∈(π6,π4)，

又b=1，

故a=bsinAsinB=2cosB∈(2,319.解：(1)由題意知f(x)=m?n=(sin2x,cos2x)?(32,12)=32sin2x+12cos2x=sin(2x+π6)，

令?π2+2kπ?2x+π6?π2+2kπ，解得：?π3+kπ?x?π6+kπ，

∴f(x)的單調遞增區間為[?π3+kπ,π6+kπ](k∈Z)．

(2)∵f(A)=sin(2A+π6)=1，∴2A+π6=π2+2kπ,k∈Z，

即A=π6+kπ,k∈Z，又∵A∈(0,π)，∴A=π6．

假設三角形存在，由正弦定理可得asinA=bsinB，∴sinB=bsinAa，

①a∈[12,1)時，sinB=1a>1，