第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年廣東省東源中學高二下學期段考一數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.函數f(x)=x?lnx的單調減區間是(

)A.12,+∞ B.0,12 C.2.已知函數f(x)=sinπx，則f′1A.?π B.0 C.π D.13.已知直線y=kx是曲線y=lnx的切線，則切點坐標為(

)A.(1e,?1) B.(e,1) C.(4.某物體的運動路程s(單位：m)與時間t(單位：s)的關系可用函數st=t2+t+1表示，則該物體在A.0m/s B.1m/s C.2m/s D.3m/s5.函數f(x)=x3?3x(|x|<1)A.有最值，但無極值 B.有最值，也有極值

C.既無最值，也無極值 D.無最值，但有極值6.已知f′x是fx的導函數，f′x的圖象如圖所示，則fx的圖象只可能是(

)A.B.C.D.7.已知函數f(x)=(2?a)x+a,x<0ex+ax2,x≥0在A.(0,1] B.?e2,1 C.?8.函數f(x)=2x3?ax2+2在0,2上的最大值為2A.[4,6) B.[6,+∞) C.(0,4) D.[4,+∞)二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.(多選)下列函數中，在區間1,+∞上為增函數的是(

)A.y=sinx B.y=xex C.10.用數字0，1，2，3，4，5組成沒有重復數字的四位偶數，下列正確的選項有(

)A.如果個位數是0，則前3位有A53種排列

B.如果個位是2或4，則前3位有A41A42種排列

C.符合題意的四位偶數共有11.如圖，c為函數fx的極小值點，已知直線gx=kxk>0與曲線y=fx相切于A、B兩點，設A，B兩點的橫坐標分別為a，b，函數FxA.Fx有極大值，也有極小值 B.x=a是Fx的極小值點

C.x=b是Fx的極大值點 D.x=c三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若曲線f(x)=alnx?x?2在x=1處有最值，則實數a的值為

13.已知函數f(x)=lnx?ax?2在區間(1,2)上不單調，則實數a的取值范圍為

．14.瑞士著名數學家歐拉在1765年證明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上，這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”.已知平面直角坐標系中?ABC為直角三角形，其直角頂點C在x軸上，點Dπ4,1是斜邊AB上一點，其“歐拉線”是正切曲線y=tanx以點Dπ4四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分若fx=1(1)fx(2)fx在0,2上的最小值和最大值．16.(本小題15分已知首項為1的等差數列an滿足：a(1)求數列an(2)若數列bn滿足：a1bn+a2b17.(本小題15分)如圖，在四棱錐P?ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA=AD=PD=2AB=2，PB=(1)證明：直線AB⊥平面PAD；(2)若CD=CA=2，求直線PC與平面PAB所成角的正弦值．18.(本小題17分已知函數fx(1)若曲線y=f(x)在x=1處的切線與直線x+2y=2垂直，求實數a的值；(2)若函數g(x)=f(x)?x在區間1,+∞上為增函數，求實數a的取值范圍(3)若f(x)在定義域內有兩個零點，求實數a的取值范圍．19.(本小題17分已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0(1)求橢圓C的方程；(2)求證：直線AB恒過定點；(3)求?PAB面積的最大值．

參考答案1.D

2.A

3.B

4.D

5.C

6.D

7.B

8.D

9.BC

10.ABC

11.AB

12.1

13.1214.π?2415.(1)f由f′x>0解得fx的增區間為?∞,?3(2)f′x=x2+2x?3=0，x=?3(f1=1f2fxmax

16.【詳解】(1)設an公差為d，又a所以a2又a1=1，即1+d2=2+2d，解得而d=?1時，不滿足a1,a所以an(2)令Dn所以Dn+1兩式相減有：Dn+1所以數列bn的前n+1項和為2?3n又D1=a所以Tn

17.【詳解】(1)取AD的中點O，連接PO，因為PA=AD=PD，所以PO⊥AD，因為平面PAD⊥平面ABCD，PO?平面PAD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PO⊥平面ABCD，又AB?平面ABCD，所以PO⊥AB，又PB=5，PA=2,AB=1，所以所以PA⊥AB，又PA∩PO=P，PA,PO?平面PAD，所以AB⊥平面PAD．(2)連接OC，因為CD=CA=2，所以CO⊥AD，又PO⊥AD，所以∠COP是二面角P?AD?C的平面角，又平面PAD⊥平面ABCD，所以PO⊥OC，以O為坐標原點，OC,OA,OP所在直線為坐標軸建立如圖所示的空間直角坐標系，由(1)知，AB⊥平面PAD，又AD?平面PAD，所以AB⊥AD，且AB=1，則C(則AB=(1,0,0),設平面PAB的一個法向量為n=(x,y,z)則n?AB=x=0n?所以平面PAB的一個法向量為n=(0,設直線PC與平面PAB所成的角為θ，所以sinθ=所以直線PC與平面PAB所成角的正弦值為2

18.【詳解】(1)f′x=1因為切線與直線x+2y=2垂直，所以1?a×?1(2)gx=lngx在1,+∞上單調遞增，所以1x?ax?1≥0在1,+∞令1x=t∈0,1，則a≤t2?tmin，當t=(3)當a≤0時，f′x>0，則當a>0時，0<x<1a時，f′x>0；x>1a時，f1a=ln1a?12>0，解得0<a<1e，此時，f1=?12a<0，f所以?a所以有兩個零點，故0<a<

19.【詳解】(1)依題意有b=1,ca=∴橢圓C的方程為x2(2)如圖，當直線AB的傾斜角為90設直線AB的方程為：y=kx+mm≠1聯立y=kx+m,x24+y∴Δ=64k2m∴x∵∠APB=90°又∵PA∴x∴k即k2∴5m2?2m?3