相交線與平行線之“鉛筆模型，，

（模型解題技巧+例題講解+強(qiáng)化訓(xùn)練）

【模型解題技巧】

一、“鉛筆”模型

從豬蹄模型可以看出,點(diǎn)E是凹進(jìn)去了，如果點(diǎn)E是凸出來(lái)，如下圖:

那么，像這樣的模型，我們就稱為鉛筆頭模型。

模型結(jié)論：ZB+ZE+ZD=360°

二、模型證明

如圖，若AB〃CD,求證：ZB+ZE+ZD=36O°

證明一：如圖，過(guò)點(diǎn)E作FG//AB

???AB//FG,AB//CD

FG//CD

???AB//FG

NBEF+NB=180。（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）

???FG//CD

.?./D+/DEF=180。（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）

??.Z.BEF+ZB+ZD+ZDEF=36O°

z.B+zD+z.BED=360°

證明二：如圖，連接BD,

???AB//CD

???ZABD+ZBDC=18O°

在4BDE中，ZDBE+ZE+ZEDB=18O°

???ZDBE+ZE+ZEDB+ZABD+ZBDC=36O°

??.ZABD+ZDBE+ZE+ZEDB+ZBDC=36O°

??.ZABE+ZE+ZCDE=36O°

證明該模型結(jié)論的還有其他方法，這里就沒(méi)有全部寫(xiě)出來(lái)，可以自行證明。從前面學(xué)過(guò)的豬蹄模型和這里

的鉛筆頭模型我們都能看出，最簡(jiǎn)單的方法就是過(guò)點(diǎn)E作平行線，利用平行線的性質(zhì)得到結(jié)論。

三、豬蹄模型和鉛筆頭模型關(guān)系

1、將豬蹄模型轉(zhuǎn)化為鉛筆頭模型

ABEDC為豬蹄模型，F(xiàn)BEDG為鉛筆頭模型由豬蹄模型可得，zABE+zCDE=zBED

???zABE+zFBE=180°,zCDE+zGDE=180°

ZABE=18O°-ZFBE,zCDE=180°-zGDE.-.180°-Z.FBE+180°-zGDE=zBED

??.ZFBE+ZGDE+ZBED=36O°

2、將鉛筆頭模型轉(zhuǎn)化為豬蹄模型

A

BF

ABEDC為鉛筆頭模型，F(xiàn)BEDG為豬蹄模型由鉛筆頭模型得,

ZABE+ZBED+ZCDE=36O°

???ZABE+ZFBE=18O°,zCDE+zGDE=180°

ZABE=18O°-ZFBE,zCDE=180°-zGDE

.-■18O°-ZFBE+ZBED+180°-Z.GDE=360°

NFBE+NGDE=NBED

【例題講解】

Z2=140°,試求N3的度數(shù).

2.如圖，已知直線4，4與4、4分別交于點(diǎn)A、B,動(dòng)點(diǎn)P在直線4上且不與點(diǎn)A、3重合.點(diǎn)E在

4上，且位于點(diǎn)A的左側(cè)，點(diǎn)F在4上，已知=ZPFB=Z2,NEPF=Z3.

(1)當(dāng)點(diǎn)尸在點(diǎn)3的左側(cè)時(shí)，

①點(diǎn)尸在圖1的位置時(shí)，若4=25。，N2=35。，求N3的度數(shù).

②點(diǎn)尸在圖2的位置時(shí)，試說(shuō)明/I,N2,N3之間的關(guān)系.

(2)當(dāng)尸在3右側(cè)，且NEPF<180。時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出/I,Z2,N3之間可能的關(guān)系.

3.已知，MN//PQ,直線回交"N于點(diǎn)A,交尸。于點(diǎn)3,點(diǎn)C在線段上，過(guò)C作射線CE、CF分

圖1圖2圖3

(1)如圖1,當(dāng)C￡_LCF時(shí)，求N/4EC+NMC的度數(shù)；

(2)如圖2,若NMEC和NPET的角平分線交于點(diǎn)G,求NECF和NG的數(shù)量關(guān)系；

(3)如圖3,在(2)的基礎(chǔ)上，當(dāng)CE_LCF,且NABP=60。，NACE=20。時(shí)，射線FT繞點(diǎn)歹以5。每

秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒，當(dāng)射線FG與AAEC的一邊互相平行時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出r的值.

4.已知直線MN//PQ,點(diǎn)C、3分別在直線MN、P。上，點(diǎn)A在直線MN和PO之間.

(1)如圖1,求證：ACAB-ZMCA=ZPBA^

(2)如圖2,CD//AB,點(diǎn)E在直線P。上，且NMC4=NOCE,求證：AECN=NCAB；

(3)如圖3,BF平分/PBA,CG平分N4QV,且詼//CG.若NC4B=50。，直接寫(xiě)出NAFB的度數(shù).

圖2圖3

【強(qiáng)化訓(xùn)練】

5.如圖，直線PQ//AW,兩個(gè)三角形如圖①放置，其中NABC=NCDE=90。，ZACB=30°,ABAC=60°,

ZDCE=ZDEC=45°,點(diǎn)E在直線尸。上，點(diǎn)3,C均在直線上，且CE平分NACN.

（1）求ZDEQ的度數(shù)；

（2）如圖②，若將AABC繞3點(diǎn)以每秒3。的速度按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（A,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為尸，G）.設(shè)旋

圖①圖②圖③

6.綜合與探究

數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師以“一個(gè)含45。的直角三角板和兩條平行線”為背景展開(kāi)探究活動(dòng)，如圖1,已知直線〃?//〃,

直角三角板ABC中，ZACB=90°,ABAC=ZABC=45°.

（1）如圖1,若N2=65。，貝1/1=；（直接寫(xiě)出答案）

（2）“啟航”小組在圖1的基礎(chǔ)上繼續(xù)展開(kāi)探究：如圖2,調(diào)整三角板的位置，當(dāng)三角板ABC的直角頂點(diǎn)C

在直線〃上，直線〃7與4?,AC相交時(shí)，他們得出的結(jié)論是：Zl-Z2=135°,你認(rèn)為啟航小組的結(jié)論是否

正確，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)如圖3,受至IJ“啟航”小組的啟發(fā)，“睿智”小組提出的問(wèn)題是：在圖2的基礎(chǔ)上，繼續(xù)調(diào)整三角板的位

置，當(dāng)點(diǎn)C不在直線〃上，直線機(jī)與AC,3c相交時(shí)，4與N2有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)你用平行線的知識(shí)

說(shuō)明理由.

7.在課后學(xué)習(xí)中，小紅探究平行線中的線段與角的數(shù)量關(guān)系，如圖，直線AB//CD,點(diǎn)N在直線CD上,

點(diǎn)尸在直線至上，點(diǎn)以為平面上任意一點(diǎn)，連接MP,MN,PN.

(1)如圖1,點(diǎn)M在直線CD上，PM平分■ZAPN,試說(shuō)明=

(2)如圖2,點(diǎn)M在直線帥，CD之間，NPMN=70°,ZMNC=30°,求/4PM的度數(shù)；

(3)如圖3,N針M和NMNC的平分線交于點(diǎn)。，NPQN與NPMN有何數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由.

8.綜合與探究

已知直線AB//CD,直線￡F分別與AB,CD交于點(diǎn)G,H(0°<ZEHD<90°).將一把含30。角的直角三

角尺尸禰V按如圖1所示的方式放置，使點(diǎn)N,M分別在直線AB,CD上，且在直線EF的右側(cè).

(1)填空：ZPNB+ZPMD____ZMPN.(填“>”“〈”或“=”)

(2)若NMNG的平分線N9交直線CD于點(diǎn)O.

①如圖2,當(dāng)NO//RW〃EF時(shí)，求NEHD的度數(shù);

②如圖3,若將三角尺PMN沿直線54向左移動(dòng)，保持(點(diǎn)N不與點(diǎn)G重合)，點(diǎn)N,M分別在

直線鉆、CD上，請(qǐng)直接寫(xiě)出4/ON和之間的數(shù)量關(guān)系.

圖1圖2圖3

9.已知直線MN、P。被射線54所截，且MN//PQ,點(diǎn)。是直線MN上一定點(diǎn)，點(diǎn)C是射線54上一動(dòng)

點(diǎn)，連接CD,當(dāng)NADC/90。時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CE_LCD交直線尸。于點(diǎn)E.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)C在線段4?上時(shí)，寫(xiě)出加C和NCEB之間的數(shù)量關(guān)系，并完成下面的證明.

解：(1)NADC和NCEB之間的數(shù)量關(guān)系：ZADC+ZCEB=90°.

證明：過(guò)點(diǎn)C作CF//MV.

■.■MN//PQ,CF//MN,

.-.MN//CF//PQ(如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行)，

-,-MN//CF,

:.ZADC^(),

■：CF//PQ,

:.ZFCE=ZCEB,

.CDLCE,

:.ZDCE=(),

即ZDCF+NECF=90。,

:.ZADC+ZCEB=90°（等量代換）.

（2）當(dāng)點(diǎn)C在線段54的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出“心和NCEB之間的數(shù)量關(guān)系.（不必證明）

圖1

備用圖

10.已知AB//CD,直線EF和直線回，CD分別交于點(diǎn)A,C,并把平面分成六個(gè)區(qū)域（如圖甲），點(diǎn)P

是六個(gè)區(qū)域中（不在直線AB,CD,EF上）的任意一點(diǎn)，連接R4,PC.

（1）圖乙是點(diǎn)P在區(qū)域⑤的情況，嘉嘉猜想出NAPC,Z4,NC之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)幫她完善證明過(guò)程；

嘉嘉猜想的結(jié)論是：ZAPC=ZA+Z,C.

證明：過(guò)點(diǎn)尸作PQ//AB,

,-.zi=z（）.

■.■AB//CD,PQ//AB,

:.CD//PQ（）.

,-.Z2=Z（）.

.-.Zl+Z2=.

又N1+N2=ZAPC,

:.ZAPC=ZA+ZC.

（2）圖丙是點(diǎn)尸在區(qū)域②的情況，那么（1）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)加以證明;

（3）請(qǐng)你探索點(diǎn)P在①③④⑥區(qū)域時(shí)的情況，并直接寫(xiě)出NAPC,NA,/C之間的數(shù)量關(guān)系.

甲丙

11.如圖1,AB//CD,E,G是直線上的點(diǎn)，F(xiàn),4是直線CD上的點(diǎn)，Z.EGH=Z.EFH.

(1)求證：EF//GH.

（2）如圖2,N為ZGEF平分線上的一點(diǎn)，連接RV.

①求證：ZNFH=ZFEN-ZENF；

②若ZAEF=NENF,ZEFN=脩，求Z4EF的度數(shù).

12.【學(xué)習(xí)新知】

射到平面鏡上的光線（入射光線）和反射后的光線（反射光線）與平面鏡所夾的角相等.如圖1,AB是平

面鏡，若入射光線與水平鏡面的夾角為N1,反射光線與水平鏡面的夾角為N2,則4=N2.

(1)【初步應(yīng)用】

生活中我們可以運(yùn)用“激光”和兩塊相交的平面鏡進(jìn)行測(cè)距.如圖2當(dāng)一束“激光”0a射到平面鏡AB上，

被平面鏡至反射到平面鏡3C上，又被平面鏡反射后得到反射光線2E,回答下列問(wèn)題：

①當(dāng)//EQNAOQ=30。(即4=30。)時(shí)，求NOQzE的度數(shù)；

②當(dāng)NB=90。時(shí)，任何射到平面鏡AB上的光線0a經(jīng)過(guò)平面鏡AB和3c的兩次反射后，入射光線與反射

光線總是平行的.請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)知識(shí)及新知說(shuō)明理由.

(提不：三角形的內(nèi)角和等于180。)

(2)【拓展探究】

如圖3,有三塊平面鏡他，BC,CD,入射光線經(jīng)過(guò)三次反射，得到反射光線C尸已知4=/6=35。，

若要使EOJ/O.F,請(qǐng)直接寫(xiě)出ZB的度數(shù)；

E

1

AB，

\r

入射藕、^光線

A0BB02c

圖1圖2圖3

13.如圖1,點(diǎn)Af在射線54,CD之間，0。<//團(tuán)/<30。，連接3”,過(guò)點(diǎn)Af作ME，5似交射線CD于

點(diǎn)、E,5.ZMED-ZB=90°.

(1)求證：AB//CD；

(2)過(guò)點(diǎn)C作NEQV=/3,交直線ME于點(diǎn)N,先按要求畫(huà)圖，再解決下列問(wèn)題.

①當(dāng)&V在CD上方，滿足NQVE=5N3時(shí)，在圖2中畫(huà)圖，求NB的度數(shù);

②作NfiME的角平分線交射線CD于點(diǎn)K,交NECN的角平分線于點(diǎn)尸，請(qǐng)直接寫(xiě)出NMKC與NMFC之

圖2圖3

14.已知AB//CD,點(diǎn)/，N分別在直線AB,CD上,在平行線AB,CD之間有一動(dòng)點(diǎn)E(點(diǎn)E在直線

的左側(cè)).

(1)如圖1,請(qǐng)寫(xiě)出NE,44ME1和NCVE■之間的等量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(2)如圖2,與NOME的角平分線相交于點(diǎn)P,請(qǐng)直接寫(xiě)出NE與NF之間的等量關(guān)系；

(3)如圖3,在(2)的條件下，N4ME和NQVE的角平分線相交于點(diǎn)后,NfiMF和ND/VF的角平分線相

交于點(diǎn)冗，NAME；和NCNg的角平分線相交于點(diǎn)馬，N加鳴和乙以明的角平分線相交于點(diǎn)與，…，以此

類(lèi)推，則NE,+2/月=(用含〃的代數(shù)式表示).

圖1圖2圖3

15.綜合與實(shí)踐

數(shù)學(xué)社團(tuán)的同學(xué)以“兩條平行線AB,CD和一塊含45°角的直角三角尺EFG(NEFG=90。)”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)

活動(dòng)，已知點(diǎn)E,廠不可能同時(shí)落在直線鉆和CD之間.

探究：(1)如圖1,把三角尺的45。角的頂點(diǎn)E,G分別放在鉆，8上，若N3EG=150。，求NFGC的度

數(shù)；

類(lèi)比：(2)如圖2,把三角尺的銳角頂點(diǎn)G放在CD上，且保持不動(dòng)，若點(diǎn)E恰好落在和CD之間，且

至與。所夾銳角為25。，求NFGC的度數(shù)；

遷移：(3)把三角尺的銳角頂點(diǎn)G放在CD上，且保持不動(dòng)，旋轉(zhuǎn)三角尺，若存在

ZFGC=5ZDGE(ZDGE<45°),直接寫(xiě)出射線GF與AB所夾銳角的度數(shù).

A------------------B

C----------------D

G

備用圖

16.(1)如圖①，直線AB〃CD,E是AB與DC之間的一點(diǎn)，連接BE,CE,求證：ZB+ZC=ZBEC.

圖①圖②圖③

(2)如果點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到圖②所示的位置，其他條件不變，求證：ZB+ZC+ZBEC=360°.

(3)如圖③，AB//DC,其他條件不變，則44、ZAEC、NECD有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫(xiě)出，不需

證明.

17.如圖，直線AC//RD,連接AB,直線AC、及線段AB把平面分成①、②、③、④四個(gè)部分，規(guī)

定：線上各點(diǎn)不屬于任何部分.當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在某個(gè)部分時(shí)，連接上4,PB,構(gòu)成SIC,ZAPB,ZPBD

三個(gè)角.（提示：有公共端點(diǎn)的兩條重合的射線所組成的角是0。角）

（1）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第①部分時(shí)，ZAPB,ZPAC.NPBZ）之間滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明；

（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第②部分時(shí)，ZAPB,ZPAC.々8。之間又滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明；

（3）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)尸落在第③部分時(shí)且在直線至右側(cè)時(shí)，APAC,ZAPB,NPBD之間又滿足怎樣的關(guān)系，直

接寫(xiě)出最后的結(jié)論.

圖1圖2

18.如圖，直線AB//CD,連接EF,直線至，CD及線段砂把平面分成①②③④四個(gè)部分，規(guī)定：線

上各點(diǎn)不屬于任何部分.當(dāng)動(dòng)點(diǎn)G落在某個(gè)部分時(shí)，連接GE,GF,構(gòu)成NEGF,Z.GEB,NGED三個(gè)角.

①①

圖一圖二

(1)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)G落在第③部分時(shí)，如圖一,試說(shuō)明：ZEGF,ZGEB,NGFD三者的關(guān)系;

(2)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)G落在第②部分時(shí)，如圖二,思考(1)中三者關(guān)系是否仍然成立若不成立，說(shuō)明理由.

19.【閱讀學(xué)習(xí)】閱讀下面的解題過(guò)程:

(1)如圖①，AB//CD,過(guò)點(diǎn)/作EP//AB,由平行線的傳遞性可得FP//CD,利用平行線的性質(zhì)，我們

不難發(fā)現(xiàn)：/EFG與NAEF、NCGF之間的數(shù)量關(guān)系是.；/EFG與NBEF、NDGF之間的數(shù)量關(guān)

系是.

【知識(shí)運(yùn)用】利用上面的結(jié)論解決下列問(wèn)題:

(2)如圖②，AB//CD,點(diǎn)M是4B￡F和NDG尸的平分線的交點(diǎn)，NEFG=130。，則N￡MG的度數(shù)是

(3)如圖③，AB//CD,GM平分NZX牙，EMYGM,EF平分ZAEM,若NEFG比NDGF大15。，求

/DGF的度數(shù).

①②③

20.【問(wèn)題情景】(1)如圖1,AB//CD,ZPAB=135°,ZPCD=115°,求NAPC的度數(shù);

【問(wèn)題遷移】（2）如圖2,已知NMON,AO//3C,點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P在A,3兩點(diǎn)之間運(yùn)

動(dòng)時(shí)，連接PD,PC,ZADP=Za,/BCP=N?,求NCPD與Na,/月之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

【知識(shí)拓展】（3）在（2）的條件下，若將“點(diǎn)尸在A,3兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)”改為“點(diǎn)尸在A,3兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)

（點(diǎn)P與點(diǎn)A,B,O三點(diǎn)不重合）”其他條件不變，請(qǐng)直接寫(xiě)出NCPD與Na,N"之間的數(shù)量關(guān)系.

B

D

圖1圖2備用圖

21.如圖,AQ//BP,ABLBP,E、C、。分別是線段AQ、AB.3P上的點(diǎn)，且滿足EC_LCD.EF

是NGEC的角平分線與3P交于點(diǎn)在EQ上截一點(diǎn)G,連接G尸，令GF=FE.

圖1

⑴如圖1,若NAEC=40。，求NCD3的度數(shù).

(2)如圖1,連接GP,若GP//￡F,H是線段FP上的一點(diǎn)（F〃<"P）,連接GH,使得2NGHP=3NAEC,

求ZFGH和ZCDB的數(shù)量關(guān)系.

（3）如圖2,在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)。作垂足為N是線段GP上的一點(diǎn)，且滿足

3

ZQNM=|NGEF.求ZGQN和Z.CEF的數(shù)量關(guān)系.

22.如圖1,AB//CD,ZPAB=135°,ZPCD=125°,求NAPC度數(shù).

小明的思路是：過(guò)P作PE7/AB,如圖2,通過(guò)平行線性質(zhì)來(lái)求NAPC.

(1)按小明的思路，易求得NAPC的度數(shù)為一;請(qǐng)說(shuō)明理由；

(2)如圖3,AD〃3C,點(diǎn)尸在射線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P在A、3兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，ZADP=Aa,ZBCP=A(3,

則NCPD、Ne、之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)在(2)的條件下，如果點(diǎn)P在A、3兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)(點(diǎn)尸與點(diǎn)A、B、。三點(diǎn)不重合)，請(qǐng)你直接

寫(xiě)出NCPD、Na、N夕間的數(shù)量關(guān)系.

23.如圖，已知AB//CD,M,N分別是直線9，CD上的一點(diǎn)，點(diǎn)E在直線CD之間，ZBME=a,

4DNE=B.

A-------M?----------B

cND

（1）直接寫(xiě)出NMEN的度數(shù)為（用含。、6的式子表示）；

（2）如圖，若NF平■分■ZEND,MG平分/4ME,直線NF與直線MG相交于點(diǎn)G,當(dāng)NMEN=90。時(shí)，求

NMGF的度數(shù)；

（3）如圖，若NBME=120。，將旌繞M點(diǎn)以1。/秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，繞N點(diǎn)以4。/秒的速度逆時(shí)

針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)肋E；旋轉(zhuǎn)了120。時(shí)，兩者同時(shí)停止，則在整個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，t=秒時(shí)，ME//ND.

AMB

CND

參考答案與試題解析

相交線與平行線之，，鉛筆模型，，

（模型解題技巧+例題講解+強(qiáng)化訓(xùn)練）

【模型解題技巧】

一、“鉛筆”模型

從豬蹄模型可以看出，點(diǎn)E是凹進(jìn)去了，如果點(diǎn)E是凸出來(lái)，如下圖：

AB

那么，像這樣的模型，我們就稱為鉛筆頭模型。

模型結(jié)論：ZB+ZE+ZD=36O°

二、模型證明

如圖，若AB〃CD,求證：NB+NE+ND=360°

證明一：如圖，過(guò)點(diǎn)E作FG//AB

???AB//FG,AB//CD

FG//CD

???AB//FG

NBEF+NB=180。（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）

???FG//CD

ND+ZDEF=180。（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）

Z.BEF+zB+zD+zDEF=360°

z.B+zD+z.BED=360°

證明二：如圖，連接BD,

AB

???AB//CD

??.ZABD+ZBDC=18O°

在ZkBDE中，ZDBE+ZE+ZEDB=18O°

??.ZDBE+ZE+ZEDB+ZABD+Z.BDC=36O°

??.ZABD+ZDBE+ZE+ZEDB+ZBDC=36O°

??.ZABE+ZE+ZCDE=36O°

證明該模型結(jié)論的還有其他方法，這里就沒(méi)有全部寫(xiě)出來(lái)，可以自行證明。從前面學(xué)過(guò)的豬蹄模型和這里

的鉛筆頭模型我們都能看出，最簡(jiǎn)單的方法就是過(guò)點(diǎn)E作平行線，利用平行線的性質(zhì)得到結(jié)論。

三、豬蹄模型和鉛筆頭模型關(guān)系

1、將豬蹄模型轉(zhuǎn)化為鉛筆頭模型

ABEDC為豬蹄模型，F(xiàn)BEDG為鉛筆頭模型由豬蹄模型可得，zABE+zCDE=zBED

???ZABE+ZFBE=18O°,zCDE+zGDE=180°

Z.ABE=18O°-ZFBE,ZCDE=18O°-Z.GDE/.180°-zFBE+180°-zGDE=zBED

???ZFBE+ZGDE+ZBED=36O°

2、將鉛筆頭模型轉(zhuǎn)化為豬蹄模型

ABF

ABEDC為鉛筆頭模型，F(xiàn)BEDG為豬蹄模型由鉛筆頭模型得,

ZABE+ZBED+ZCDE=36O°

???ZABE+ZFBE=180°,ZCDE+ZGDE=180°

???ZABE=18O°-ZFBE,ZCDE=18O°-ZGDE

180°-zFBE+zBED+180°-zGDE=360°

???zFBE+zGDE=zBED

【例題講解】

1.（炎陵縣期末）如圖所示，Nl=105。，Z2=140°,試求N3的度數(shù).

【分析】過(guò)點(diǎn)A作A3//4,從而利用平行線的性質(zhì)可得N4=75。，再根據(jù)平行于同一條直線的兩條直線平

行可得AB/4，然后再利用平行線的性質(zhì)可得N5=4O。，最后利用平角定義進(jìn)行計(jì)算，即可解答.

【解答】解：如圖：過(guò)點(diǎn)A作AB/4,

/.Z4=180o-Zl=75°,

?.R/〃2，

:.AB//l2,

/.Z5=180o-Z2=40°,

.\Z3=180o-Z4-Z5=65°,

Z3的度數(shù)為65°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

2.（禪城區(qū)期中）如圖，已知直線A與4、4分別交于點(diǎn)A、B,動(dòng)點(diǎn)尸在直線4上且不與點(diǎn)A、

3重合.點(diǎn)E在4上，且位于點(diǎn)A的左側(cè)，點(diǎn)/在上，已知NAEP=N1,ZPFB=Z2,ZEPF=Z3.

（1）當(dāng)點(diǎn)尸在點(diǎn)3的左側(cè)時(shí)，

①點(diǎn)尸在圖1的位置時(shí)，若/1=25。，Z2=35°,求/3的度數(shù).

②點(diǎn)尸在圖2的位置時(shí)，試說(shuō)明Nl,N2,N3之間的關(guān)系.

【分析】（1）在圖1和圖2中分別過(guò)點(diǎn)尸作輔助線，利用平行線的性質(zhì)解題即可.

（2）根據(jù)題意，點(diǎn)P的位置有三種，4上方、乙和4之間、以及4下方，注意分類(lèi)討論.

【解答】解：（1）①如圖，過(guò)點(diǎn)尸作尸C/4，可得NEPC=N1=25。，

*/4/〃2，

:.l2//PC,

.\ZFPC=Z2=35°,

.?.Z3=ZEPC+Z77>C=25o+35°=60°.

②如圖，過(guò)點(diǎn)P作PD/〃i，可得ZEPD=/1,NFPD=N3+NEPD

,/II/4，

/.l2//PD,

.-.ZFPD=Z2,

/.Z2=Z1+Z3.

情況1（如備用圖1）,過(guò)點(diǎn)尸作PG///,,得ZAEP二ZEPG,即N1=ZEPG.

???4/〃2，

：.I2//PG,

:.ZGPF^-ZPFB=180°,即NGPF+N2=180。.

???N3=ZEPF=NGP產(chǎn)+ZEPG=180。-N2+N1,

/.Z3+Z2-Zl=180°.

情況2（如備用圖2）,過(guò)點(diǎn)P作尸G///「得ZAEP=ZEPG,即N1=ZEPG.

,/4/〃2，

:.l2//PG,

ZGPF+ZPFB=180°,即NGP尸+N2=1800.

???/GPF=ZEPG+/EPF=Z1+4

/.Zl+Z2+Z3=180°.

情況3（如備用圖3）,過(guò)點(diǎn)尸作PG//l2,得ZPFB+NFPG180°,即

N2+NFPG=N2+ZEPF+ZEPG=N2+N3++ZEPG=180。.

4//z2，

I,//PG,

:.ZAEP=ZEPG,BPZ1=ZEPG.

.-.Zl+Z2+Z3=180o.

圖1圖2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，利用分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵.

3.(武漢期末)已知，MN//PQ,直線AB交于點(diǎn)A,交P。于點(diǎn)3,點(diǎn)C在線段AB上，過(guò)C作射線

CE、CF分別交直線MN、PQ于點(diǎn)E、F.

GT

圖1圖2圖3

(1)如圖1,當(dāng)CE_LCF時(shí)，求Z4EC+NBFC的度數(shù)；

(2)如圖2,若NMEC和NPFT的角平分線交于點(diǎn)G,求NECF和NG的數(shù)量關(guān)系；

(3)如圖3,在(2)的基礎(chǔ)上，當(dāng)CE_LCF,且NABP=60。，NACE=20。時(shí)，射線口繞點(diǎn)廠以5。每

秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒，當(dāng)射線bG與AAEC的一邊互相平行時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出f的值.

【分析】(1)過(guò)點(diǎn)、C作CHUMN,根據(jù)已知條件證明NECF=90。，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)證明

ZAEC^Zl,NBFC=N2,通過(guò)等量代換即可；

(2)先根據(jù)已知條件證明N1=N2=N5,ZECF=90°,/尸"=2/3,然后利用四邊形的內(nèi)角和是360。

進(jìn)行代換即可；

⑶分三種情況進(jìn)行解答，①PT/ME,@PT'//CE,③PT//AC,求出旋轉(zhuǎn)的角度就能算出答案.

■.■MN//PQ,

:.CH//PQ,

:.NBFC=N2,

-：CF±CE,

.-.Zl+Z2=90°,

ZAEC+ZBFC=90°；

(2)如圖所示:

?.?EG平分ZMEC,FG平外ZPFT,

「.N1=N2,ZPFT=2Z3,

???ZPFT+ZPFC=180。，

/.ZPFC=180°-ZPEF=180°-2Z3,

?.?MN//PQ,

/.Z1=Z5=Z2,

?.?N5=N3+NG,Z2+Z5+ZECF+ZPFC=360°,

/.2Z5+ZECF+180°-2Z3=360°,

二.2(Z3+ZG)+ZECF-2Z3=180。，

/.2ZG+ZECF=180°；

(3)如圖所示：

圖1圖2圖3

分三種情況：

①如圖1所示：當(dāng)FG旋轉(zhuǎn)到FT時(shí)，F(xiàn)T11AE,

???CF_LC￡,

ZECF=90°,

?,-ZACE=20°,ZABP=60°,ZACE+ZABP+ZBCF=180°,

..ZBCF=100°,

?/ZBCF+ZABP+ZBFC=180°,ZABP=60°,

ZBFC=1800-ZBCF-ZABP=50°,

ZrFT=ZBFC=50°,

,;FG平分NPFT,FT繞點(diǎn)/旋轉(zhuǎn)的速度每秒5。，

:.ZT'FG=-ZG'FT=25°,FG繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)的速度為每秒2.5°,

2

.」=25°+2.5°=10秒；

②如圖2所示：當(dāng)FG旋轉(zhuǎn)到FT時(shí)，F(xiàn)T'IICE,

■：CFYCE,

:.ZECF=90。,

■：FT'/ICE,

:.NTFT'=NECF=90。,

-.-ZACE=20°,ZABP=60°,ZACE+ZABP+ZBCF=180°,

:.ZBCF=100°,

:.ZTFP=ZBCF=50°

?.，F(xiàn)G平分"FT,

NGFT=L/PFT=25。,

2

ZGFT'=ZTFT'-ZGFT=65°,

「1=65°+2.5°=26秒；

③如圖3所示：當(dāng)尸G旋轉(zhuǎn)到FT時(shí)，F(xiàn)T'IIAC,

:.ZPFT'=ZABP=60°,

?.?①已證ZPET=NBR7=50。，F(xiàn)G平分"FT,

ZGFT=-NPFT=25°=NPFG

2

ZGFT'=ZPFG+ZPFT=250+60°=85°,

."=85°+2.5°=34秒；

當(dāng)射線FG與AAEC的一邊互相平行時(shí)，f的值為10或26或34秒.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是正確的識(shí)別圖形，熟練掌握平行線的性質(zhì).

4.(巴南區(qū)月考)已知直線MN//PQ,點(diǎn)C、3分別在直線MN、PQ上，點(diǎn)A在直線和PO之間.

(1)如圖1,求證：NCAB-ZMCA=NPBA；

(2)如圖2,CO//AB,點(diǎn)E在直線PQ上，且4/C4=NDCE,求證：ZECN=NCAB；

(3)如圖3,BF平分/PBA,CG平分ZACN,且AF//CG.若NC4B=50。，直接寫(xiě)出NAFB的度數(shù).

圖2圖3

【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NC4B=NMC4+NPB4即可得證.

(2)由CD/MB得出NC4B+NEQV=180。，結(jié)合NMC4=NOCE即可得證.

（3）由平行線的性質(zhì)得到NE4B=130。-NGC4,再由角平分線的定義及平行線的性質(zhì)得出

ZGCA-ZABF=50°,最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可求解.

【解答】（1）證明：過(guò)點(diǎn)A作如圖:

圖1

:.AH//MN//PQ,

,\ZMCA=ZCAH,ZPBA=ZBAH,

ACAB=Z.CAH+ZBAH=ZMCA+ZPBA,

::ZCAB-ZMCA=ZPBA.

(2)證明：\-ZMCA=ZDCE.

:.ZACD=ZMCE,

CDIIAB,

:.ZCAB-i-ZACD=180°,

/.ZCAB=180°-ZACD=180°-ZMCE,=ZECN,

.\ZECN=ZCAB.

(3)解：-.AF//CG.

.?.NGG4+NE4C=180。，

???NG4B=50。，

ZGCA+ZCAB+ZFAC=180°,

.\ZFAB=1300-ZGCAf

???BF平分ZPBA,CG平%ZACN,

:.ZACN=2NGCA,ZABP=2ZABF,

y.-.-ZMCA=180°-ZACN,

ZCAB=180°-2ZGCA+2ZABF=50°,

ZGCA-ZABF=65°,

■.■ZABF+ZAFB+ZFAB=180°,

：.ZAFB=180°-ZABF-ZFAB

=180°-（130°-ZGCA）-ZABF

=50°+ZGCA-ZABF

=50o+65°=115°.

:.ZAFB=U5°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟記平行線的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理是解題關(guān)鍵.

【強(qiáng)化訓(xùn)練】

5.（遂寧期末）如圖，直線尸Q//MV,兩個(gè)三角形如圖①放置，其中NABC=NCDE=90。，ZACB=30°,

NS4c=60。，ZDCE=ZDEC=45。,點(diǎn)E在直線PQ上，點(diǎn)、B,C均在直線MN上，且CE平分Z4CN.

（1）求NDEQ的度數(shù)；

（2）如圖②，若將AABC繞3點(diǎn)以每秒3。的速度按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（A,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為P,G）.設(shè)旋

轉(zhuǎn)時(shí)間為f秒，當(dāng)，=10時(shí)，邊3G與CD有何位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖①圖②圖③

【分析】（1）先根據(jù)平角定義，求出入4QV,然后根據(jù)已知條件求出NECV,ZCEQ,從而求出答案;

（2）先求出3c轉(zhuǎn)動(dòng)的度數(shù)，即NCBD,再求出NDCN的度數(shù)，利用平行線的判定證明即可.

【解答】解：⑴-1?ZACB=30°,

ZACN=180°-ZACB=150°,

?;CE平分ZACN,

:./ECN=15°,

■：PQ//MN,

NECN+NCEQ=180°,

.-.ZCEQ=105°,

■.■ZDEC=45°,

ZDEQ=ZCEQ-ZDEC=60°；

（2）BG//CD,理由如下：

當(dāng)f=10時(shí)，BC轉(zhuǎn)動(dòng)了3x10。=30°,即NCBG=30°,

由（1）可知NECN=75°,ZDCE=45°,

ZDCN=ZECN-Z.DCE=30°,

:.ZCBG=ZDCN,

:.BG//CD.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理和平行線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是識(shí)別圖形，找出角與角之間的關(guān)

系.

6.（孝義市期末）綜合與探究

數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師以“一個(gè)含45。的直角三角板和兩條平行線”為背景展開(kāi)探究活動(dòng)，如圖1,已知直線機(jī)//〃,

直角三角板ABC中，ZACB=90°,ABAC=ZABC=45°.

（2）“啟航”小組在圖1的基礎(chǔ)上繼續(xù)展開(kāi)探究：如圖2,調(diào)整三角板的位置，當(dāng)三角板的直角頂點(diǎn)C

在直線〃上，直線機(jī)與AB,AC相交時(shí)，他們得出的結(jié)論是：Nl-/2=135。，你認(rèn)為啟航小組的結(jié)論是否

正確，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）如圖3,受至U“啟航”小組的啟發(fā)，“睿智”小組提出的問(wèn)題是：在圖2的基礎(chǔ)上，繼續(xù)調(diào)整三角板的位

置，當(dāng)點(diǎn)C不在直線〃上，直線加與AC,3c相交時(shí)，/I與N2有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)你用平行線的知識(shí)

說(shuō)明理由.

【分析】（1）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，求出4+NABC的度數(shù)，由已知條件可求出答案；

（2）過(guò)點(diǎn)3作比）//加，證明Nl+NA5￡>=180。，ZCBD=Z2,最后根據(jù)和NCBD的關(guān)系可得答案；

(3)過(guò)點(diǎn)C作斯//根，根據(jù)平行線的性質(zhì)證明Nl=NACE,N2=NBCF,再根據(jù)平角定義和已知條件求

出答案.

【解答】解：(1)?.?直線機(jī)//〃，

.-.Z1+ZABC=Z2=65°,

?.?ZABC=45°,

Zl=20°,

故答案為：20°；

(2)正確，理由如下：

如圖所示：過(guò)點(diǎn)3作BD//相,

.-.Zl+ZABD=180o,

:.ZABD=180°-Z1,

mlIn,

/.BD/In,

:.NCBD=N2,

?/ZABC=45°,

..ZABC=ZABD+NCBD=45°

.?.180。—Nl+N2=45。,

.-.Zl-Z2=135°；

(3)Zl+Z2=90°,理由如下:

如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作￡F//m,

:.Z1=ZACE,N2=NBCF,

ZACB=90°,

ZACE+NBCF=180°-ZACB=180°-90°=90°,

.-.Zl+Z2=90o.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)，找出角與角之間的關(guān)系.

7.(安化縣期末)在課后學(xué)習(xí)中，小紅探究平行線中的線段與角的數(shù)量關(guān)系，如圖，直線AB//CD,點(diǎn)N

在直線CD上，點(diǎn)P在直線上，點(diǎn)M為平面上任意一點(diǎn)，連接MP,MN,PN.

圖1圖2

(1)如圖1,點(diǎn)M在直線CD上，PM平濟(jì)ZAPN,試說(shuō)明=

(2)如圖2,點(diǎn)M在直線AB,CD之間，NPMN=?0°,ZMNC=30°,求/針M的度數(shù);

(3)如圖3,和NMNC的平分線交于點(diǎn)。，NPQN與NRVW有何數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由.

【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)證明=再由角平分線定義得=進(jìn)行代換即

可;

(2)過(guò)點(diǎn)M作利用平行公理的推論證明ME//CD,再根據(jù)平行線的性質(zhì)，證明有關(guān)角與角之

間的關(guān)系，進(jìn)行代換即可;

(3)由(2)的方法求出NPQN和ZPMN,再根據(jù)已知條件證明即可.

【解答】M：(1)-.-AB/ICD,

:.ZAPM=ZPMN.

?：PM平濟(jì)ZAPN,

:.ZAPM=ZMPN,

:.ZPMN=ZMPN；

(2)如圖，過(guò)點(diǎn)M作ME7/CD,

圖1圖2圖3

:.ZEMN=ZMNC=3Q°,

AB//CD,ME//CD,

:.ME//AB,

:.ZAPM^ZPME,

ZPMN=ZPME+ZEMN=ZAPM+ZMNC,

ZPMN=70°,

ZAPM=ZPMN-ZMNC=70°-30°=40°；

（3）2ZPQN=ZPMN,理由如下：

由（2）可知NPMN=ZAPM+ZMNC,

同理可得：ZPQN=ZAPQ+ZQNC,

■：PQ和NQ分別是ZAPM和ZMNC的平分線，

ZAPQ=~ZAPM,ZQNC=|ZMNC,

ZPQN=ZAPQ+ZQNC,

=-ZAPM+-ZMNC=-ZPMN,

222

:.2ZPQN=ZPMN.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)應(yīng)用，解題關(guān)鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)，找出角與角之間的關(guān)系.

8.（大同期末）綜合與探究

已知直線AB//CD,直線分別與鉆，8交于點(diǎn)G,〃（0。</￡?0<90。）.將一把含30。角的直角三

角尺按如圖1所示的方式放置，使點(diǎn)N,M分別在直線AB,CD上，且在直線EF的右側(cè).

（1）填空：ZPNB+ZPMD_=_NMPN.（填“〈”或“=”）

（2）若NMNG的平分線M?交直線CD于點(diǎn)O.

①如圖2,當(dāng)NO//RW〃EF時(shí)，求NEHD的度數(shù)；

②如圖3,若將三角尺PMN沿直線54向左移動(dòng)，保持〃砂（點(diǎn)N不與點(diǎn)G重合），點(diǎn)N,"分別在

直線鉆、CD上，請(qǐng)直接寫(xiě)出4/ON和NEED之間的數(shù)量關(guān)系.

圖1圖2圖3

【分析】（1）過(guò)點(diǎn)尸作尸K//AB,利用平行公理的推論證明PK//CD,再利用平行線的性質(zhì)證明即可；

（2）①根據(jù)已知條件證明NMM9=NN0M,ZEHD=ZNOMZPMD,再由平角定義把NM/O用

表示出來(lái)，然后根據(jù)AMON的內(nèi)角和是180。，求出NNOM通過(guò)代換即可；

②根據(jù)已知條件證明NMM9=N/VOM,ZEHD=ZNOM=ZPMD,再由平角定義把NNMO用4WD表示

出來(lái)，然后根據(jù)AMON的內(nèi)角和是180。，通過(guò)代換即可求得.

【解答】解：（1）如圖所示：過(guò)點(diǎn)尸作尸K//AB,

圖1圖2圖3

:.ZPNB=ZNPK,

?:ABIICD,

:.PK//CD,

:.ZKPM=ZPMD,

/.ZPNB+ZPMD=ZNPK+ZKPM=ZMPN,

故答案為：=；

(2)①由題意可知：ZMNP=30。,ZMPN=90。,

.\ZNMP=60°,

???ZMNG的平分線NO交直線CD于點(diǎn)O,

:.ZANO^ZMNO,

?/AB//CD,

:.ZANO=ZNOM,

:.ZMNO=ZNOM,

\-NOI/PM//EF,

,\ZEHD=ZNOM=ZPMD,

???ZNMO+ZNMP+ZPMD=180°,

ZNMO=180O-ZPMD-60°=l20°-ZPMD,

???ZONM+ZNOM-^-ZNMO=180°,

2ZNOM+120°-ZPMD=180°,

:.ZNOM=“0,

ZEHD=ZNOM=60°；

②由題意可知：ZMNP=30。,ZMPN=90°,

,\ZNMP=6O°f

?/ZMNG的平分線NO交直線CD于點(diǎn)O,

:.ZANO=ZMNO,

\AB//CD,

:.ZANO=ZMON,

:.ZMON=ZONM,

???ZMON+ZNMO+ZONM=180°,

/.ZNMO=180°-2ZMON,

-.?EF//PM,

/.ZEHD+ZNMO+ZNMP=180°,

/.ZEHD+180°-2ZMON+60°=180°,

/.ZEHD+60°=2ZMON.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，解題關(guān)鍵是識(shí)別圖形，找出平行線所截的角

與角的關(guān)系.

9.（望花區(qū)期末）已知直線腦V、PQ被射線所截，且MN//PQ,點(diǎn)。是直線上一定點(diǎn)，點(diǎn)。是射

線班上一動(dòng)點(diǎn)，連接CD,當(dāng)NADCW90。時(shí)，過(guò)點(diǎn)。作CE_LCD交直線尸。于點(diǎn)石.

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)C在線段上時(shí)，寫(xiě)出Z4DC和NCEB之間的數(shù)量關(guān)系，并完成下面的證明.

解：（1）NADC和NCEB之間的數(shù)量關(guān)系：ZADC+NCEB=90。.

證明：過(guò)點(diǎn)。作CF//MN.

-/MN//PQ,CF//MN,

:.MN//CF//PQ（如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行），

?：MNIICF,

.\ZADC=_ZDCF_（）,

\-CF//PQ,

..ZFCE=NCEB,

■：CD^CE,

:.ZDCE=（）,

即ZDCF+ZECF^90°,

:.ZADC+ZCEB=90°（等量代換）.

（2）當(dāng)點(diǎn)C在線段54的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出/4OC和NCEB之間的數(shù)量關(guān)系.（不必證明）

備用圖

【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，證明NADC=NOCF,再由垂直的性質(zhì)可得答

案；

（2）根據(jù)已知條件和平行線的性質(zhì)證明"CD=NC^