第08講多邊形內角和

01學習目標

L____

課程標準學習目標

1.了解多邊形、凸多邊形及多邊形的邊、頂點、內角、外角、對角

線等概念；會用表示頂點的字母表示多邊形；

1多邊形2.知道多邊形的內角和的計算公式，能通過不同方法探索任意多邊

2多邊形的對角線形的內角和公式，體驗歸納發現規律的思想方法.

3.會用多邊形的內角和的性質進行有關計算，解決簡單的幾何問

3多邊形內角與外角題.

學習重點：任意多邊形的內角和公式

學習難點：內角和公式的探究

*02思維導圖

01多邊形

02多邊形的對角線

03多邊形內角與外角

01多邊形內角和問題

02正多邊形的內角問題

03多邊形截角后的內角和問題

04正多邊形的外角問題

05多邊形外角和的實際應用

06多邊形內角和與外角和綜合

知識清單

知識點01多邊形

(1)多邊形的概念：在平面內,由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形.

(2)多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線.

(3)正多邊形的概念：各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形.

(4)多邊形可分為凸多邊形和凹多邊形，辨別凸多邊形可用兩種方法：①畫多邊形任何一邊所在的直線整

個多邊形都在此直線的同一側.②每個內角的度數均小于180。，通常所說的多邊形指凸多邊形.

(5)重心的定義：平面圖形中，多邊形的重心是當支撐或懸掛時圖形能在水平面處于平穩狀態，此時的支

撐點或者懸掛點叫做平衡點，或重心.

常見圖形的重心(1)線段：中點(2)平行四邊形：對角線的交點(3)三角形：三邊中線的交點(4)

任意多邊形.

【即學即練1】

1.(2023春?期末)在平面中，下列說法正確的是()

A.四個角相等的四邊形是矩形B.對角線垂直的四邊形是菱形

C.對角線相等的四邊形是矩形D.四邊相等的四邊形是正方形

【即學即練2】

2.(2023?期末)如圖1,這是由五根不可伸縮的木棍組成的一個凸五邊形，其中邊N8,BC,CD,AE

的長分別是5a〃，2cm,1cm,1cm.如圖2,當點C,。落在線段上時，點E恰好落在線段A4的延

長線上.

(1)求線段的長.

(2)如圖3,當點N,E,。在同一條直線上，點。，C,8在同一條直線上時，組成A48。；如圖4,

當點N,E,D,C在同一條直線上時，組成A43C,請分別求出這兩個三角形的面積，并比較它們的大

知識點02多邊形的對角線

(1)多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線.

(2)〃邊形從一個頂點出發可引出(?-3)條對角線.從〃個頂點出發引出(?-3)條，而每條重復一次,

所以“邊形對角線的總條數為：—12(〃23,且〃為整數)

(3)對多邊形對角線條數公："(n-3)2的理解：〃邊形的一個頂點不能與它本身及左右兩個鄰點相連成

對角線，故可連出(〃-3)條.共有"個頂點，應為"(n-3)條，這樣算出的數，正好多出了一倍，所以

再除以2.

(4)利用以上公式，求對角線條數時，直接代入邊數"的值計算，而計算邊數時，需利用方程思想，解方

程求"

【即學即練1】

3.（2021春?當涂縣期末）一個多邊形從一個頂點可引出7條對角線，那么這個多邊形的邊數是（）

A.10B.11C.12D.13

【即學即練21

4.（2023春?廬陽區校級期末）如果過多邊形的一個頂點可以引出3條對角線，那么這個多邊形的邊數是一

知識點03多邊形內角與外角

（1）多邊形內角和定理：（"-2）780°（"23且"為整數）

此公式推導的基本方法是從"邊形的一個頂點出發引出（〃-3）條對角線，將〃邊形分割為（?-2）個三

角形，這（?-2）個三角形的所有內角之和正好是〃邊形的內角和.除此方法之和還有其他幾種方法，但

這些方法的基本思想是一樣的.即將多邊形轉化為三角形，這也是研究多邊形問題常用的方法.

（2）多邊形的外角和等于360。.

①多邊形的外角和指每個頂點處取一個外角，則"邊形取"個外角，無論邊數是幾，其外角和永遠為

360°.

②借助內角和和鄰補角概念共同推出以下結論：外角和=180°?-（力-2）780°=360°.

【即學即練1】

5.（2023春?蕭縣期末）如圖，正五邊形ZBCDE和正方形的邊CZ＞重合，連接斯，則/DFE1的度

數為（）

【即學即練2】

6.（2023春?蜀山區期末）如圖，四邊形4BCD中，AD//BC,ZC=125°,若沿圖中虛線剪去ND,則

04題型精講

LM

題型01多邊形內角和問題

1.（23-24八年級下?安徽六安?階段練習）在六邊形ABCDEF中，NC=/尸=100。，N4="=120°,ZB=130°,

則/￡=（）

A.150°B.160°C.170°D.100°

2.（22-23八年級下?安徽淮北?階段練習）若〃邊形的每個內角都是108。，則邊數〃為

3.（21-22八年級下?安徽滁州?階段練習）在五邊形48CDE中，乙4=60。，且ZB：NC：〃：Z￡=4：5：7：8,

求以，乙C,乙D,ZE的度數.

題型02正多邊形的內角問題

4.（22-23八年級下?安徽馬鞍山?期末）正八邊形的每一個內角的度數是（）

A.60°B.120°C.135°D.150°

5.（20-21八年級下?安徽合肥?期末）如圖，正八邊形和正五邊形按如圖方式拼接在一起，則

ZCAB=

6.（22-23八年級下?安徽蚌埠?階段練習）（1）正八邊形的每個內角是每個外角的m倍，求加的值;

（2）一個多邊形的外角和是內角和的”，求這個多邊形的邊數.

6

題型03多邊形截角后的內角和問題

7.（22-23八年級下?安徽池州?期末）一個多邊形截去一個角后，得到的新多邊形內角和為540。，則原多邊

形邊數為（）

A.4B.6C.4或6D.4或5或6

8.（八年級?安徽淮南?期中）如圖，在正方形/BCD中，截去后，Zl、N2、N3、N4的和為

9.（22-23八年級下?安徽滁州?階段練習）（1）如圖1,這是一個五角星，則N/+N8+NC+NO+NE=

（2）如圖2,將五角星截去一個角后多出一個角，求//+NB+NC+ND+/E+/G的度數.

（3）如圖3,將五角星的每個角都截去，求4+/B+NC+/D+NE+/P+/G+/H+//+/J的度數.

圖2

題型04正多邊形的外角問題

10.（21-22八年級下,安徽安慶?期末）若一正多邊形的一個外角為40。，則這個正多邊形的邊數為（）

A.9B.10C.11D.12

11.（22-23八年級下?安徽池州?期末）若一個多邊形的每個外角都等于它相鄰的內角，則這個多邊形的每個

外角的度數是—.

12.（23-24八年級下?安徽六安?期末）已知一個多邊形的每個內角都比與它相鄰的外角的4倍多30。，求這

個多邊形的邊數.

題型05多邊形外角和的實際應用

13.（20-21八年級下?安徽亳州?期末）正〃邊形的一個外角等于30。，則〃的值為（）

A.12B.16C.8D.15

14.（21-22八年級下?安徽合肥?期末）如圖，在六邊形中，若Nl+N2+N3=140。，貝I]N4+Z.5+N6=

題型06多邊形內角和與外角和綜合

15.（23-24八年級下,安徽六安?期末）一個多邊形所有內角與外角的和為1440。，則這個多邊形的邊數是

（）

A.7B.8C.9D.10

16.（21-22八年級下?期末）如圖，將等邊三角形、正方形和正五邊形按如圖所示的位置擺

放./1=/2=30。，則/3=—.

17.（20-21八年級下?安徽阜陽?期中）一個多邊形的內角和是外角和的3倍.

（1）求這個多邊形的邊數；

（2）這個多邊形一共有多少條對角線？

05強化訓練

一、單選題

1.一個多邊形的內角和比四邊形內角和多360。，則這個多邊形是（）

A.五邊形B.六邊形C.七邊形D.八邊形

2.若正多邊形的一個外角等于45。，則這個正多邊形的內角和的度數為（）

A.1080°B.1260°C.1350°D.1440°

3.一個多邊形的每個外角都等于72。，則這個多邊形的邊數為（）

A.5B.6C.7D.8

4.已知一正"邊形的內角和等于1440。，則這個正多邊形的每個外角等于（）

A.36°B.45°C.60°D.72°

5.如圖，小華從操場上點/出發，沿直線前進10m后向左轉45。，再沿直線前進10m后，又向左轉45。,

照這樣走下去，她第一次回到出發地，所走的路程為（）

A.60mB.80mC.120mD.140m

6.若一個正n邊形的每個內角為156。，則這個正n邊形的邊數是（）

A.13B.14C.15D.16

7.如圖，一束太陽光線平行照射在放置于地面的正六邊形上，若Nl=19。，則/2的度數為（）

8.如圖，設三角形紙片N2C的內角和為0,外角和為6,將該紙片剪掉一角得四邊形2cDE,設四邊形5CDE

的內角和為"2，外角和為小則下列結論正確的是（）

A.m=a,n=bB.m=a+l80°,n=b+l80°

C.rn=a,n=6+180°D.m=?+180°,n=b

9.如圖，A4BC中，AB=AC,￡分別為45、4C上的點，N5OE、NCEQ的平分線分別交5。于點尸、G,

若N5GE=100。，則/力的度數為（）

R

A.18°B.20°C.25°D.30°

10.邊長為。的等邊三角形，記為第1個等邊三角形，取其各邊的三等分點，順次連接得到一個正六邊形,

記為第1個正六邊形，取這個正六邊形不相鄰的三邊中點，順次連接又得到一個等邊三角形，記為第2個

等邊三角形，取其各邊的三等分點，順次連接又得到一個正六邊形，記為第2個正六邊形（如圖），…，按

此方式依次操作，則第6個正六邊形的邊長為（）

二、填空題

11.一個多邊形的一個內角和是540。，則它是邊形.

12.〃邊形有個頂點，條邊，有個角，有個不共頂點外角.

13.△OAB是以正多邊形相鄰的兩個頂點A,B與它的中心。為頂點的三角形，若△OAB的一個內角為70。,

則該正多邊形的邊數為一.

14.如圖，正六邊形444444內部有一個正五邊形耳與反用線，且4433四，直線/經過與、員，則

直線/與44的夾角a=。.

A弓-------6

三、解答題

15.一個多邊形的內角和等于它外角和的2倍，它是幾邊形?

16.圖中的各個圖形，是否是多邊形？如果是，說出是幾邊形.

17.是否存在一個多邊形，它的每個外角都等于相鄰內角的（？簡述你的理由.

18.如圖，求/1+N2+N3+N4+N5+/6+N7的度數.

4

19.分別確定一般三角形、四邊形、五邊形、六邊形……的內角和，以及正三角形、正四邊形、正五邊形、

正六邊形……內角的度數，并填入下表：

邊數3456

多邊形的內角和

正多邊形內角的度數

20.請根據對話回答問題:

我把一個凸多邊形的什么？不可能!你看，

全部內角加起來，你錯把一個外角當作內

和是2024。角加在一起了！

小紅小剛

⑴多加的外角是°；這個凸多邊形的邊數是

(2)求這個多邊形的內角和及其對角線條數.

21.如圖，以五邊形的每個頂點為圓心，以1為半徑畫圓，求圓與五邊形重合的面積.

22.R