呂梁市2024—2025學(xué)年高二第一學(xué)期期末調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題（本試題滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．答案一律寫在答題卡上）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上，認(rèn)真核對(duì)條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)，并將條形碼粘貼在答題卡的指定位置上．2．答題時(shí)使用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或碳素筆書寫，字體工整、筆跡清楚．3．請(qǐng)按照題號(hào)在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效．4．保持卡面清潔，不折疊，不破損．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知，，則的值為（）A.4 B.0 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】由題意知，.故選：C2.已知函數(shù)，則的值為（）A.6 B.12 C.24 D.0【答案】B【解析】【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，代入即可；【詳解】∵，∴，∴．故選：B3.數(shù)列為等差數(shù)列，公差為d，，，則的值為（）A. B. C.4 D.【答案】A【解析】【分析】運(yùn)用等差數(shù)列性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】∵為等差數(shù)列，，∴．故選：A4.若，則直線AB與CD位置關(guān)系是（）A.平行 B.相交 C.異面 D.相交或異面【答案】D【解析】【分析】根據(jù)垂直直線的向量表示可知直線AB與CD垂直，即可求解.【詳解】因?yàn)椋灾本€AB與CD垂直，所以AB與CD相交或異面．故選：D5.拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)拋物線的方程直接求解即可.【詳解】，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是.故選：A6.已知曲線（）和直線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則直線l的斜率為（）A. B. C. D.不存在【答案】C【解析】【分析】法一，由圓心到直線的距離等于半徑即可求解，法二，由圖像判斷斜率大于0，結(jié)合選項(xiàng)判斷即可；【詳解】易知，直線過定點(diǎn)，曲線表示圓心，半徑為2的上半圓，定點(diǎn)在半圓所在的圓外．解法一：由與有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，與半圓相切，此時(shí)圓心到直線的距離，解得，由圖知，故選：C．解法二：當(dāng)和有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，存在，且，結(jié)合選項(xiàng)，故選：C．7.數(shù)列的通項(xiàng)公式為，當(dāng)?shù)那皀項(xiàng)積最大時(shí)，n為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)等比數(shù)列的單調(diào)性判斷時(shí)，的前n項(xiàng)積越來越大，當(dāng)時(shí)，的前n項(xiàng)積越來越小，從而可得答案.【詳解】因?yàn)椋詳?shù)列是遞減數(shù)列，，，所以所以時(shí)，的前n項(xiàng)積越來越大，當(dāng)時(shí)，的前n項(xiàng)積越來越小，所以當(dāng)數(shù)列的前項(xiàng)積最大時(shí)的值為4．故選：C．8.下面四個(gè)選項(xiàng)中，正確的是（）A.雙曲線繞坐標(biāo)原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到曲線B.曲線是由雙曲線繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的C.曲線的離心率為D.曲線的漸近線方程是【答案】B【解析】【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換公式求得逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到曲線判斷A；求得旋轉(zhuǎn)后的曲線方程為雙曲線是可判斷B，進(jìn)而判斷C；利用B中結(jié)論，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)，結(jié)合對(duì)稱性可判斷D.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，設(shè)雙曲線上任一點(diǎn)，點(diǎn)繞坐標(biāo)原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到斜雙曲線C上一點(diǎn)．則：，即，代入雙曲線得：．故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，C，設(shè)為上任一點(diǎn)，點(diǎn)繞坐標(biāo)原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到雙曲線上一點(diǎn)．則：，∴∴……①又……②把①②代入得：，∴∴∴∴∴∴，所以雙曲線是所以此雙曲線的離心率，即曲線的離心率為，故B正確，C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)榈臐u近線為，設(shè)漸近線上一點(diǎn)繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后為，則，同理可得漸近線繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的漸近線為和，因?yàn)榕c關(guān)于y軸對(duì)稱，所以漸近線也關(guān)于y軸對(duì)稱，故漸近線為和．故D錯(cuò)誤，故選：B．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵有兩個(gè)：一是對(duì)旋轉(zhuǎn)變換公式的理解與靈活應(yīng)用；二是在解析過程中，對(duì)復(fù)雜的計(jì)算一定細(xì)心.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列說法正確的是（）A.曲線表示圓B.過點(diǎn)作圓的切線，其切線長(zhǎng)為C.過圓與可作4條公切線D.直線的傾斜角范圍是【答案】BCD【解析】【分析】將曲線方程配方可判斷A；利用切線長(zhǎng)公式求出切線的長(zhǎng)可判斷B；判斷兩圓的位置關(guān)系可判斷C；求出斜率的范圍，可得傾斜角的范圍，從而可判斷D.【詳解】對(duì)A選項(xiàng)，曲線可化為，不是圓，所以A錯(cuò)誤；對(duì)B選項(xiàng)，切線長(zhǎng)為，所以B正確；對(duì)C選項(xiàng)，因?yàn)閳A的圓心坐標(biāo)為，半徑為2，的圓心坐標(biāo)為，半徑為1，所以兩圓圓心距為大于兩半徑之和，所以兩圓相離，可作4條公切線，所以C正確；對(duì)D選項(xiàng)，設(shè)直線的傾斜角的傾斜角為，，因?yàn)橹本€的斜率，所以傾斜角范圍．所以D正確，故選：BCD.10.通常把導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，記作，類似地，函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)，記為．若，則下面選項(xiàng)正確的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】由n階導(dǎo)數(shù)的概念求導(dǎo)找規(guī)律，逐個(gè)判斷即可；【詳解】解析：由，，，，，依此類推：，所以，，，，故選：BC11.沿著下面左圖紙帶寬的三等分線（虛線）剪開，不能得到的剪開圖是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】可以實(shí)際操作一下即可得到正確選項(xiàng)【詳解】解：因?yàn)榧垘怯梢粋€(gè)長(zhǎng)方形紙條一端扭曲180°后粘貼而成封閉環(huán)，沿著三等分線剪開時(shí)，會(huì)一次性剪完紙帶的所有三等分線．所以剪開圖是兩個(gè)套在一起的環(huán)，并且兩個(gè)環(huán)的寬度是原紙帶環(huán)寬度的.正確剪開圖是B．故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.一條光線從點(diǎn)出發(fā)射到直線上的點(diǎn)B，經(jīng)直線反射后，反射光線恰好經(jīng)過點(diǎn)，則入射光線所在直線的斜率為______．【答案】【解析】【分析】由對(duì)稱性，求得關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，即可求解；【詳解】點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，由題知，入射光線所在的直線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，且．故答案為：．13.設(shè)數(shù)列滿足，，，則______．【答案】【解析】【分析】運(yùn)用累加，結(jié)合等比數(shù)列求和計(jì)算即可.【詳解】∵，∴且，當(dāng)時(shí)，有，則，①∴，②①－②得：∴當(dāng)時(shí)也符合上式，∴，∴故答案為：.14.已知曲線，兩條直線，均過坐標(biāo)原點(diǎn)O，和C交于M，N兩點(diǎn)，和C交于P，Q兩點(diǎn)，若△OPN的面積為，則四邊形PNOM的面積為______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)雙曲線及直線的對(duì)稱性結(jié)合面積公式即可求解.【詳解】因?yàn)榍€C為，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，P、Q兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，M，N兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以，，所以，所以.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知圓，直線．（1）判斷直線l與圓C的位置關(guān)系；（2）求圓C上的點(diǎn)到直線l距離的最大值和最小值；（3）圓心為的圓與圓C相切，求圓的方程．【答案】（1）相離（2）最大值為，最小值為（3）或【解析】【分析】(1)判斷圓心到直線的距離與半徑的大小即可；(2)由(1)可知直線與圓相離，此時(shí)圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為，最小值為，利用公式即可求解；(3)圓與圓相切，分為內(nèi)切和外切兩種情況去求出半徑，再寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可.【小問1詳解】圓可化為，圓心為，半徑，圓心到直線的距離，直線與圓相離；【小問2詳解】由(1)可知圓心到直線的距離，圓上的點(diǎn)到直線距離的最大值為，最小值為；【小問3詳解】設(shè)圓的半徑為，兩圓相切，且，當(dāng)圓與圓外切時(shí)，，當(dāng)圓與圓內(nèi)切時(shí)，，圓心為，圓的方程為或.16.已知數(shù)列中，，且滿足（）．（1）證明：數(shù)列等比數(shù)列；（2）求的通項(xiàng)公式；（3）令，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，證明：．【答案】（1）證明見解析（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）由題意，可得，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可證明；（2）由（1），根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算即可求解；（3）由（2）可得，利用裂項(xiàng)相消求和法可得，結(jié)合作差法即可證明.【小問1詳解】由題意知，所以，由于，故，故，故數(shù)列是以3為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列；【小問2詳解】由（1）可知是以3為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，所以，故【小問3詳解】由（2）知．所以，故，由于，故，又，故，所以17.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的解析式；（2）設(shè)，求曲線的斜率為的切線方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）先對(duì)給定函數(shù)求導(dǎo)，然后將代入導(dǎo)函數(shù)求出的值，進(jìn)而得到函數(shù)的解析式.（2）先求出的表達(dá)式，再對(duì)求導(dǎo)，根據(jù)切線斜率求出切點(diǎn)坐標(biāo)，最后利用點(diǎn)斜式求出切線方程.【小問1詳解】對(duì)求導(dǎo)，可得.把代入，得到.解得.把代入，得到.【小問2詳解】已知，把代入可得.對(duì)求導(dǎo)，可得.因?yàn)榍€切線斜率為，所以令，即.解得或.當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，.當(dāng)切點(diǎn)為，切線方程為，整理得.當(dāng)切點(diǎn)為，切線方程為，整理得.綜上所得，的斜率為的切線方程為或.18.已知橢圓（）的左頂點(diǎn)為A，左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，P為橢圓上任一點(diǎn)，且的面積的最大值為．（1）求C的方程；（2）若直線l與C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)M，N（均不與點(diǎn)A重合），且，判斷直線l是否恒過一個(gè)定點(diǎn)，若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由；（3）在（2）的條件下，求△AMN面積的最大值．【答案】（1）（2）存在定點(diǎn)（3）【解析】【分析】（1）利用三角形面積與橢圓性質(zhì)，及離心率公式與基本關(guān)系式計(jì)算.（2）利用直線于橢圓聯(lián)立方程，韋達(dá)定理與向量的數(shù)量積.（3）利用點(diǎn)到直線距離，與弦長(zhǎng)公式，三角形面積公式，換元法與函數(shù)最值，求出最大值.【小問1詳解】設(shè)橢圓C的焦距為．當(dāng)P在短軸的端點(diǎn)處時(shí)，的面積最大，所以，又C的離心率，所以，結(jié)合，得，，所以橢圓C的方程為．【小問2詳解】解法一：由題意知直線的斜率不為0，否則，所以可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，所以，，所以，，由（1）知，因，所以，所以，即，即，解得或（舍去），又滿足，故存在定點(diǎn).解法二：將橢圓方程向右平移2個(gè)單位，得，即①，設(shè)直線MN方程為，代入（1）得：，即，，兩邊同時(shí)除以得：②，設(shè)，，、是②式的兩根，得，，平移回去（向左平移2個(gè)單位），得直線過定點(diǎn).【小問3詳解】解法一：由（2）知，，，所以A到的距離，所以面積，令，，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，此時(shí)，滿足，故．18題圖解法二：，其余同上.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：知識(shí)點(diǎn)綜合利用，解決直線與橢圓相交問題，坐標(biāo)平移變換橢圓方程，通過點(diǎn)到直線距離公式和弦長(zhǎng)公式得出三角形面積表達(dá)式，綜合運(yùn)算.19.已知邊長(zhǎng)為6的菱形ABCD（如圖1），，AC與BD相交于點(diǎn)O，E為線段AO上一點(diǎn)，且，將三角形ABD沿BD折疊成三棱錐（如圖2）．（1）證明：BD⊥AC；（2）當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，（ⅰ）求三棱錐外接球的表面積；（ⅱ）求平面BCE與平面ACD的夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）（ⅰ）；（ⅱ）【解析】【分析】（1）先利用線面垂直的判定定理證明平面ACO，再由線面垂直的性質(zhì)得；（2）（i）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)外接球的球心為，利用空間距離公式可得外接球半徑，則表面積可求；（ii）利用平面與平面所成角的向量解法求解即可.【小問1詳解】因?yàn)樗倪呅蜛B