空間幾何解答題鞏固練習四1．（2023·黑龍江哈爾濱·哈師大附中統考三模）如圖，四邊形是圓柱的軸截面，點是母線的中點，圓柱底面半徑.(1)求證：平面；(2)當三棱錐的體積最大時，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)見解析；(2)【解析】（1）證明：連接，，則，且，，連接，，由圓柱的性質可得，所以四邊形是平行四邊形，，所以為中點，所以易知，平面，平面，所以平面；（2）設，則，，當且僅當時取等，如圖所示，建立空間直角坐標系，，，設平面的法向量為，所以，令，，所以，取平面的法向量為，所以平面與平面夾角的余弦值，所以平面與平面夾角的余弦值為.2（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學校?？既＃┮阎比庵校瑐让鏋檎叫危?，E，F分別為AC和的中點，D為棱上的動點..

(1)證明：；(2)求平面與平面DEF所成的二面角正弦值的最小值及此時點D的位置.【答案】(1)證明見解析；(2)最小值為，點為靠近的的四等分點【解析】（1）因為三棱柱是直三棱柱，所以底面，又底面，所以，，又因為，，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，即兩兩垂直，以為原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系，設，則

，，，，，，，，設，所以，，因為，所以，即.（2）設平面的法向量為，因為，，所以，令，則，平面的一個法向量為，設平面與平面DEF所成的二面角為，則，當時，取最小值為，此時取得最大值，所以，所以平面與平面DEF所成的二面角正弦值的最小值為，此時點為靠近的的四等分點.3．（2023·遼寧撫順·?？寄M預測）如圖，在三棱錐中，，點分別是棱的中點，平面.

(1)證明：平面平面；(2)過點作的平行線交的延長線于點，，點是線段上的動點，問：點在何處時，平面與平面夾角的正弦值最小，并求出該最小正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2)【解析】（1）由可知，又，故（三線合一），又平面，平面，故，又，平面，故平面，又平面，故平面平面（2）

在平面中，過作，垂足為，不妨設，由于，則，以所在直線為坐標軸建立如圖所示的空間直角坐標系.則，設，則，，，.設平面的法向量，由，即，則是其中一條法向量；設平面的法向量，由，即，則是其中一條法向量.設平面與平面夾角為，則，當時，取到最大值，此時正弦值取到最小值為.4.（2023·內蒙古赤峰·校聯考三模）如圖，為圓錐的頂點，是圓錐底面的圓心，四邊形是圓的內接四邊形，為底面圓的直徑，在母線上，且，，．

(1)求證：平面平面；(2)設點為線段上動點，求直線與平面所成角的正弦值的最大值．【答案】(1)證明見解析；(2)1【解析】（1）如圖，設交于點，連接，由已知可得，又，所以四邊形為菱形，所以，∵，，，∴，∴，∴，又，所以，因為為的中點，∴，．由余弦定理可得，∴，所以，即，又平面，，∴平面．又平面，∴平面平面．

（2）由已知平面，平面，所以，又，，平面，∴平面，又平面，∴．由（1）知，，平面，所以平面，∴，又點為的中點，所以．以點為坐標原點，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系

則，，，，，，設，則，∴，，設平面的法向量為，則，即，令，則，所以為平面的一個法向量．設直線與平面所成的角為，則，構建，則，當時，，函數在上單調遞增，當時，，函數在上單調遞減，∴時，取到最大值4．此時，取到最大值1.另解：由，知，當時，，此時平面，設直線與平面所成的角為，因為，當時，取到最大值1．5．（2023·湖北武漢·統考三模）如圖，四棱錐中，底面是平行四邊形，側面是等邊三角形，平面平面，，．(1)證明：；(2)點Q在側棱上，，過B，Q兩點作平面，設平面與，分別交于點E，F，當直線時，求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析；(2)0【解析】（1）證明：在中，設，因為，由余弦定理可知：，解得，所以，所以．又因為平面平面，平面平面，，平面，所以平面．由平面，所以.（2）連交于點M，連接，，設交于點H．在中，過P作的平行線交的延長線于N，由，有，則，所以點H為線段中點．在中，因為直線平面，平面平面，所以直線直線，且直線過點H，所以點E為線段中點．以點A為坐標原點，分別為軸，軸，過點A垂直于平面的直線為軸，建立如圖所示的空間直