試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page77頁，共=sectionpages77頁空間向量與立體幾何一、單選題1．在正四棱臺中，，高為，則該正四棱臺的外接球的體積為（

）A． B． C． D．2．已知一個圓柱形容器的軸截面是邊長為3的正方形，往容器內注水后水面高度為2，若再往容器中放入一個半徑為的實心鐵球，則此時水面的高度為（

）A． B． C． D．3．已知某圓臺的側面展開圖如圖所示，，，，則該圓臺的體積為（

）A． B． C． D．4．某同學參加綜合實踐活動，設計了一個封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：底面是邊長為2的正方形，，，，均為正三角形，且它們所在的平面都與平面垂直，則該包裝盒的容積為（

）A． B． C． D．205．已知長方體外接球的表面積為，其中為線段的中點，過點的平面與直線垂直，點在平面與底面形成的交線段上，且，則四面體外接球的體積為（

）A． B． C． D．6．如圖1的方斗杯古時候常作為盛酒的一種容器，有如圖2的方斗杯，其形狀是一個上大下小的正四棱臺，，，現往該方斗杯里加某種酒，當酒的高度是方斗杯高度的一半時，用酒，則該方斗杯可盛該種酒的總容積為（

）

A． B． C． D．7．如圖組合體是由正四棱錐與正四棱臺組合而成，，則PA與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．8．在正四棱臺中，，側棱與底面所成角的余弦值為，則該正四棱臺的表面積是（

）A．36 B．40 C．52 D．569．已知棱長為4的正方體的各個頂點均在球的表面上，點滿足，過點作與直線垂直的平面，則截球所得截面面積為（

）A． B． C． D．10．在封閉的圓錐內有一個表面積為的球，若圓錐的軸截面是一個邊長為4的等邊三角形，則該球表面積的最大值為（

）A． B． C． D．二、多選題11．已知正四棱臺上底面的邊長為2，下底面邊長為4，棱臺的體積為56，則下列說法正確的是（

）A．該四棱臺的高為3 B．該四棱臺的側棱長為C．該四棱臺的側面積為 D．該四棱臺一定不存在內切球12．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，平面，，點是棱上一點，則下列說法正確的是（

）A．存在點，使平面B．存在點，使平面C．若點為中點，則點到平面的距離為D．二面角夾角最大時，13．如圖，在直三棱柱中，，，，點為線段上動點（含線段的端點），則下列結論正確的是（

）A．當點為中點時，B．當點在線段上運動時，三棱錐的體積是定值C．點到直線距離的最小值為D．當點為中點時，直線AP與直線所成角的余弦值為14．在直三棱柱中，，，，分別是BC，的中點，在線段上，則下面說法中正確的有（

）A．平面B．直線EF與平面所成角的余弦值為C．直三棱柱的外接球半徑為D．直線BD與直線EF所成角最小時，線段長為15．在正方體中，，點分別在棱和上運動（不含端點），若，下列命題正確的是（

）A． B．平面C．線段長度的最大值為 D．三棱錐體積不變16．如圖，已知六棱錐的底面是正六邊形，平面，，則下列結論正確的是（

）A．B．平面平面C．直線BC與平面相交D．直線與平面所成的角為17．設長方體的中心為，點為棱的中點，則點到平面的距離等于（

）A．點到平面的距離 B．點到平面的距離C．點到平面的距離的 D．點到平面的距離的18．在直三棱柱中，，，，分別為棱，的動點且，點在平面上的射影為點，的中點為，則（

）A．存在一半徑為的球，使得三棱柱的所有頂點都在該球面上B．存在一半徑為2的球與三棱柱的所有側棱相切，與上、下底面也相切C．的中點在以為球心，半徑為的球面上D．點的軌跡長為19．已知正方體的棱長為2，E，F分別是棱，的中點，則（

）A．平面B．向量不共面C．平面與平面的夾角的正切值為D．平面截該正方體所得的截面面積為20．已知正方體的棱長為分別是棱的中點，則（

）A．平面B．向量不共面C．平面與平面的夾角的正切值為D．平面截該正方體所得的截面面積為三、填空題21．在正四棱臺中，，則該正四棱臺的高為；若點P在四邊形ABCD內運動，且，則點P的軌跡長度為．22．已知正三棱臺的上底面邊長是下底面邊長的一半，側棱長為2，過側棱中點且平行于底面的截面的邊長為3，則正三棱臺的體積為.23．已知體積為的球O與正四棱錐的底面和4個側面均相切，已知正四棱錐的底面邊長為，則該正四棱錐的體積是．24．在底面邊長為2的正三棱柱中，異面直線與所成角的余弦值為，則該正三棱柱的體積為．25．已知是棱長為6的正方體，分別是棱上的動點，且．當共面時，平面與平面夾角的余弦值為．26．某種游戲中，黑，黃兩個“電子狗”從棱長為1的正方體的頂點出發沿棱向前爬行，每爬完一條棱稱為“爬完一段”．黑“電子狗”爬行的路線是，黃“電子狗”爬行的路線是，它們都遵循如下規則：所爬行的第2段與第ⅰ段所在直線必須是異面直線（其中ⅰ是正整數）．設黑“電子狗”爬完2022段，黃“電子狗”爬完2023段后各自停在正方體的某個頂點處，這時黑，黃“電子狗”間的距離是．27．已知球與圓臺的上、下底面和側面都相切.若圓臺上、下底面半徑分別為、，且.若球和圓臺的體積分別為和，則的最大值為.28．如圖所示，將繪有函數部分圖像的紙片沿x軸折成鈍二面角，夾角為，此時A，B之間的距離為，則．29．如圖，平面，，，，，為的中點，為上一點，若，則點到平面的距離為.30．《九章算術·商功》中有如下類似問題：今有芻童，上廣一尺，袤二尺，下廣三尺，袤四尺，高一尺．意思如下：今有一個芻童，上底面寬1尺、長2尺，下底面寬3尺、長4尺，高1尺．芻童是上、下底面為相互平行的不相似長方形，且兩底面的中心連線與底面垂直的六面體，如圖，若A是該六面體上底面的一個頂點，點M在下底面的外接圓上，則線段AM長度的最大值為尺．關注公眾號《品數學》，獲取更多實用性資料！答案第=page3333頁，共=sectionpages2626頁《空間向量與立體幾何》參考答案題號12345678910答案CDBCCCADCB題號11121314151617181920答案BCABCBCACDACDCDACDBCACAC1．C【分析】根據正四棱臺的結構特征及其外接球半徑與兩個底面對角線的關系列方程求球心到一個底面的距離，再求球體的半徑，進而求體積.【解析】由題設及下圖，知，若是在面上投影，易知在上，且面，所以，若外接球球心到面的距離為，球體半徑為，則，且，可得（負值舍），所以，故正四棱臺的外接球的體積為.故選：C2．D【分析】根據已知條件，容器中放入鐵球后，總體積為，由此列方程求解即可.【解析】由已知可得圓柱的底面半徑為，往容器內注水后水面高度為2，此時放入一個半徑為的實心鐵球，鐵球的直徑為，所以鐵球完全沒入水中，設此時水面的高度為，則，解得.故選：D3．B【分析】根據題設求出圓臺的上，下底面半徑及圓臺的高，再利用圓臺的體積公式，即可求解.【解析】設圓臺的上，下底面半徑分別為，，則，解得，所以圓臺的上，下底面半徑分別為．如圖1，因為，所以，又由，得到，由，得到，所以圓臺的母線，設圓臺的高為，如圖2，易知，所以圓臺的體積，故選：B．4．C【分析】將幾何體補全為長方體，包裝盒的容積為，進而可得.【解析】如圖，把幾何體補全為長方體，則，，所以該包裝盒的容積為，故選：C5．C【分析】先根據長方體外接球半徑公式計算得出，再根據線面垂直判定定理得出四面體的特征計算得出外接球半徑即可求解.【解析】依題意得，解得，如圖，取線段的中點，連接，平面，平面，所以，因為，所以又平面，所以平面，因為平面過點，所以平面即為平面，所以點在線段上，因為，所以為線段的中點，且邊上的高為，故為等腰直角三角形，且其外接圓半徑.設四面體外接球的半徑為，則，故所求外接球的體積為.故選:C.

6．C【分析】設線段、、、的中點分別為、、、，利用臺體的體積公式計算出棱臺與棱臺的體積之比，即可得該方斗杯可盛該種酒的總容積.【解析】設線段、、、的中點分別為、、、，如下圖所示：易知四邊形為等腰梯形，因為線段、的中點分別為、，則，設棱臺的高為，體積為，則棱臺的高為，設其體積為，則，則，所以，，所以，該方斗杯可盛該種酒的總容積為.故選：C.7．A【分析】根據已知，將幾何體補全為正八面體，得到且，即可確定異面直線的夾角.【解析】延長，，，交于Q，易知：，故是正八面體，故，，∠APD即為所求異面直線所成角，余弦值為.故選：A8．D【分析】過點作，垂足為H，則.結合條件“側棱與底面所成角的余弦值為”，求出，還有高，進而求出表面積.【解析】過點作，垂足為H，則.因為側棱與底面所成角的余弦值為，所以，所以，則梯形的高，故該正四棱臺的表面積是.故選：D.9．C【分析】先證明線面垂直，再根據點到平面距離及得出，結合球的性質即可得出求出截面面積.【解析】如圖，連接，平面，平面，平面，則直線垂直于平面，則為過點且與平面平行的平面，點在平面內，點到平面的距離就是平面與平面的距離，又，所以，球的半徑，所以截球所得截面圓的半徑，該圓面積為．故選:C．10．B【分析】根據題意球體與圓錐內部相切時球表面積的最大，根據圓錐軸截面求球體的半徑，進而求其表面積.【解析】要使球表面積的最大，只需球體與圓錐內部相切，此時圓錐軸截面如下，所以球體半徑，即最大面積為.故選：B11．BC【分析】利用正四棱臺的結構特征，結合體積公式、側面積公式，計算判斷ABC；結合球的結構特征判斷D.【解析】對于A，設該四棱臺的高為，則，解得，A錯誤；對于B，該四棱臺的側棱長，B正確；對于C，該四棱臺的斜高為，側面積為，C正確；對于D，若該四棱臺有內切球，內切球必與兩底相切，球的直徑為四棱臺的高6，而該球的直徑一定小于正四棱臺下底邊長4，矛盾，因此該四棱臺不存在內切球，D錯誤.故選：BC12．ABC【分析】根據特殊位置即可根據線線平行求解A，建立空間直角坐標系，求解向量垂直的坐標關系即可求解B，求解平面法向量，即可根據空間距離求解C，根據法向量的夾角即可求解D.【解析】對于A，當位于時，此時平面，平面，故平面，A正確，對于B，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，由于，故，設，則，則，要使平面，則，解得，故存在點，當時，，結合，平面，故平面，B正確，對于C，點為中點，此時，設平面的法向量為，故，，，令，則，則點到平面的距離為，故C正確，對于D，設平面的法向量為，設平面的法向量為，故，，，令，則，設平面的法向量為，故，令，則，，顯然時，此時并不是最值，此時二面角夾角不是最大，故D錯誤，故選：ABC13．BC【分析】A選項，由勾股定理逆定理證明出，建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，求出；B選項，證明線面垂直，得到到平面的距離為，等體積法求出三棱錐的體積等于，B正確；C選項，設，利用點到直線的向量距離公式計算出，求出最小值；D選項，利用異面直線的夾角向量公式求出答案.【解析】因為直三棱柱中，，，，由勾股定理逆定理得，以所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，則，當點為中點時，，故，A錯誤；B選項，當點在線段上運動時，為定值，取的中點，連接，因為為等腰直角三角形，所以⊥，又⊥平面，平面，所以⊥，因為，平面，所以⊥平面，且，又到平面的距離為，故三棱錐的體積等于，B正確；C選項，，設，，，則，，點到直線距離為，故當時，取得最小值，最小值為，C正確；D選項，當點為中點時，，，，則，設直線AP與直線所成角的大小為，則，D錯誤.故選：BC14．ACD【分析】利用空間向量法可判斷線面平行，求解線面角，線線角結合二次函數值域分別判斷A，B，D，再根據正方體外接球計算外接球半徑即可判斷C.【解析】直三棱柱中，，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系如圖，，、分別是、的中點，在線段上，、、、、、，對于A，為平面的一個法向量，，則，又平面，平面，故A正確；對于B，為平面的一個法向量，，設直線與平面所成角為，則，，故B錯誤；對于C，三棱柱是直棱柱，，，所以直三棱柱的外接球半徑等于邊長為4的正方體的外接球的半徑，所以，所以，故C正確；對于D，設，則，，設直線與直線所成角為，則，當即時，取最大值，此時直線與直線所成角最小，，，故D正確．故選：ACD．15．ACD【分析】建立如圖空間直角坐標系，設，由可得.根據即可判斷A；根據即可判斷B；根據和二次函數的圖象與性質即可判斷C；根據等體積法計算即可判斷D.【解析】在正方體中，以點D為原點，射線分別為x，y，z軸非負半軸，建立空間直角坐標系，如圖：

，設，則，而，所以，.對于A選項：，則，即，故A正確；對于B選項：，，即CM與MN不垂直，從而MN與平面不垂直，故B不正確；對于C選項：，則線段BN長度，當且僅當時取“=”，故C正確；對于D選項：不論點M如何移動，點M到平面的距離均為3，而，所以三棱錐體積為定值，故D正確．故選：ACD16．CD【分析】利用線面垂直判定性質來判定A；過點A作垂直于，垂足為M，連接，借助余弦定理求出，得到與不垂直，來判定B；運用與直線相交，判定C；找出線面角，求出大小來判定D.【解析】對于選項A，若，已知平面，平面，.又因為，且平面，所以平面.又平面，可知，這與已知條件矛盾，所以選項A錯誤.判斷選項B，過點作垂直于，垂足為M，連接，在中，設，因為，根據勾股定理可得.可得，即，解得.再根據勾股定理可得.已知，，同理可得.在中，根據余弦定理，可求出.在中，根據余弦定理，可求出.在中，根據余弦定理，可求出，所以，即與不垂直，選項B錯誤.對于選項C，因為在棱錐的底面內，直線與直線相交，所以與平面相交，選項C正確.對于選項D，因為平面ABC，所以就是直線與平面所成的角.在中，，因為，所以，即直線與平面所成的角為，選項D正確.故選：CD.17．ACD【分析】根據長方體中線面關系,把點到面的距離轉化為平行直線到面的距離,判斷選項的正誤.【解析】連，取中點，由點為棱的中點，可得，易證平面，點到平面的距離相等，又線段的中點在平面上，所以點到平面的距離相等；因為，所以點到平面的距離相等，而，，且點都在平面上，所以點到平面的距離等于點到平面的距離的；過作交于，延長至點，使得，延長至點，使得，則三點共線，，且，所以，，且點都在平面上，所以點到平面的距離等于點到平面的距離的，即點到平面的距離等于點到平面的距離的.故選：ACD18．BC【分析】根據給定條件，結合直棱柱的結構特征及球的結構特征依次判斷ABC；確定點位置并求出長，進而求出軌跡長判斷D.【解析】對于A，在直三棱柱中，，則，的外接圓半徑為，三棱柱的外接球半徑，A錯誤；對于B，分別是的中點，則以的中點為球心，2為半徑的球，球心到三條側棱的距離都等于2，且到上下底面距離也都為2，滿足題意，B正確；對于C，，令的中點為，在直角中，，即的中點在以為球心，半徑為的球面上，C正確；對于D，平面，則平面，而平面，則，且點在上，則，，，在直角中，，則點在以為圓心，半徑為的圓上，當點與重合時，點與重合，點為的中點；當點與重合時，點為中點，而四邊形為正方形，則，因此點的軌跡所對圓角為，軌跡長為，D錯誤．故選：BC19．AC【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量求解判斷ABC；作出截面，結合余弦定理、三角形面積公式計算判斷D.【解析】在棱長為2的正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標系，，對于A，，則，即，而平面，因此平面，A正確；對于B，，則向量共面，B錯誤；對于C，設平面的法向量，，則，取，得，平面的法向量，設平面與平面的夾角為，則，，因此平面與平面的夾角的正切值為，C正確；對于D，連接并延長交的延長線于，連接交于，交延長線于，連接交于，則五邊形即為所求截面，，，則，，，為的中位線，則，，因此截面面積小于，D錯誤.故選：AC【點睛】關鍵點點睛：正確作出截面是求解判斷D選項的關鍵.20．AC【分析】對A選項，可以用向量法得到平面的法向量與共線；對B選項，可以利用坐標法，得到三個向量共平面；對于C選項，先求兩個向量的法向量，兩個法向量所在直線的夾角即為兩個平面的夾角，然后求出所求的正切值即可；對于D選項，可做出截面計算面積.【解析】如圖以為坐標原點，，,為，和軸正向建立坐標系：，，，，，，對于選項A，可以設平面的一個法向量，根據線面垂直的判定可知，，可令得，，可得與共線，即平面，選項A正確；對B選項，，，，可利用坐標計算得到，三個向量共面，B選項錯誤；對C選項，可設平面的一個法向量為平面的一個法向量為，由，得到，令，，可設與得夾角為，則，由題意兩平面夾角為銳角，設兩平面夾角為，則與互補，，，，選項C正確;對選項D，如圖做出截面：過在平面內做的平行線，交于點，連接，過點做的平行線，交于點，根據平面平行的性質，易證和為平面與立方體外表面的交線，連接，可得五邊形即為所求截面.，，，可求得，，，結合圖可知截面五邊形面積小于，選項D錯誤.故選：AC21．【分析】根據正四棱臺的結構特征，結合已知條件計算出高，再判斷確定點的軌跡，再應用弧長公式求出軌跡長度.【解析】

取正方形的中心為，正方形ABCD的中心為O，連接，則平面ABCD．過點作于點H，則，所以平面ABCD，且四邊形為矩形，，．在中，，即該正四棱臺的高為．

連接PH，在中，，點P的軌跡為以H為圓心，為半徑的圓在正方形ABCD內的部分，即．過點H作于點E，過H作于點F，則．在中，．同理，，的長度為，故點P的軌跡長度為.故答案為：；.22．/【分析】將該正三棱臺補成正三棱錐，結合題意可得三棱臺的上、下底面邊長，則可得正三棱錐的側棱長，再計算出三棱錐的高后結合體積公式計算即可得解.【解析】如圖，延長三棱臺的側棱交于一點O，可以得到正三棱錐，設三棱臺的上底面邊長為，下底面邊長為，則有，即，則正三棱錐的側棱長為，過點O作平面ABC，交平面于點，記的中點為，則，故三棱錐的高為，故三棱臺的體積為.故答案為：.23．/【分析】由正四棱錐的內切球作圖，根據勾股定理、三角形相似，求出四棱錐的高即可.【解析】如圖，設正四棱錐的內切球的半徑為R，H為底面中心，由內切球的體積為，得．連接PH．由題意得平面ABCD，球心O在PH上，，取CD的中點F，連接HF，PF．設點O在側面PCD上的投影為點Q，則點Q在PF上，且，．設O到P的距離為h，所以，即，解得，所以．故答案為：##..24．【分析】建立空間直角坐標系，利用異面直線所成角的向量求法求出三棱柱的高，再利用體積公式即可求得答案。【解析】設正三棱柱的高為h，以A為坐標原點，在底面內過點A作的垂線為x軸，以所在直線為軸，建立空間直角標系，則，則，因為異面直線與所成角的余弦值為，故，由于，即，解得，故該正三棱柱的體積為，故答案為：25．/【分析】可以先建立空間直角坐標系，求出兩個平面的法向量，，平面夾角的余弦值即為兩個法向量所成角的余弦值的絕對值，代入坐標公式計算即可.【解析】解析：以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，如圖所示，易知當取點和點分別為棱的中點時，，坐標為：，，四點共面．設平面的法向量為，依題意得：，令，可取，同理可得平面的一個法向量為．故平面與平面夾角的余弦值為．

故答案為：26．1【分析】由題意確定黑、黃狗的爬行路線，確定最