天津市薊州區2024-2025學年數學高二下期末調研試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．圓截直線所得的弦長為，則（）A． B． C． D．22．已知點和，若某直線上存在點P，使得，則稱該直線為“橢型直線”，現有下列直線：①；②；③；④．其中是“橢型直線”的是（）A．①③ B．①② C．②③ D．③④3．若滿足，則的最大值為()A．8 B．7 C．2 D．14．已知實數，滿足，則與的關系是（）A． B． C． D．5．宋元時期數學名著《算學啟蒙》中有關于“松竹并生”的問題：松長五尺，竹長兩尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而長等.如圖是源于其思想的一個程序框圖，若輸入的a，b分別為5，2，則輸出的（）A．5 B．4 C．3 D．96．下列函數既是奇函數又在（﹣1，1）上是減函數的是（）A． B．C．y＝x﹣1 D．y＝tanx7．某地區一次聯考的數學成績近似地服從正態分布，已知，現隨機從這次考試的成績中抽取個樣本，則成績小于分的樣本個數大約為（）A． B． C． D．8．若向量，滿足，與的夾角為，則等于（）A． B． C．4 D．129．設復數z=1+i（i是虛數單位），則復數z+1A．12 B．12i C．10．雙曲線的焦點坐標是A． B． C． D．11．下列有關統計知識的四個命題正確的是（）A．衡量兩變量之間線性相關關系的相關系數越接近，說明兩變量間線性關系越密切B．在回歸分析中，可以用卡方來刻畫回歸的效果，越大，模型的擬合效果越差C．線性回歸方程對應的直線至少經過其樣本數據點中的一個點D．線性回歸方程中，變量每增加一個單位時，變量平均增加個單位12．設集合,,,則集合中元素的個數為()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．記曲線與直線，所圍成封閉圖形的面積為，則________．14．若曲線與直線滿足：①與在某點處相切；②曲線在附近位于直線的異側，則稱曲線與直線“切過”．下列曲線和直線中，“切過”的有________．（填寫相應的編號）①與②與③與④與⑤與15．已知棱長為1的正四面體，的中點為D，動點E在線段上，則直線與平面所成角的取值范圍為____________；16．事件相互獨立，若，，則____.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知直線的極坐標方程為，曲線的參數方程為（為參數）（Ⅰ）求直線的直角坐標方程和曲線的普通方程;（Ⅱ）若過且與直線垂直的直線與曲線相交于兩點，，求.18．（12分）在中，角，，的對邊分別為，，，且．（1）求．（2）若，求面積的最大值．19．（12分）設等差數列的前項和為，且，．（1）求數列的通項公式；（2）設數列，求的前項和．20．（12分）如圖，四邊形為矩形，平面平面，，，，，點在線段上.（1）求證：平面；（2）若二面角的余弦值為，求的長度.21．（12分）在平面直角坐標系中，曲線C:，直線：，直線：以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系.（1）寫出曲線C的參數方程以及直線，的極坐標方程；（2）若直線與曲線C分別交于O、A兩點，直線與曲線C交于O、B兩點，求△AOB的面積.22．（10分）已知的展開式中，末三項的二項式系數的和等于121；(1)求n的值；(2)求展開式中系數最大的項；

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

將圓的方程化為標準方程,結合垂徑定理及圓心到直線的距離,即可求得的值.【詳解】圓,即則由垂徑定理可得點到直線距離為根據點到直線距離公式可知,化簡可得解得故選:A本題考查了圓的普通方程與標準方程的轉化,垂徑定理及點到直線距離公式的應用,屬于基礎題.2、C【解析】

先確定動點的軌跡為橢圓，再考慮各選項中的直線與橢圓是否有公共點后可得正確的選項.【詳解】由橢圓的定義知，點P的軌跡是以M，N為焦點的橢圓，其方程為．對于①，把代入，整理得，由，知不是“橢型直線”；對于②，把代入，整理得，所以是“橢型直線”；對于③，把代入，整理得，由，知是“橢型直線”；對于④，把代入，整理得，由，知不是“橢型直線”．故②③是“橢型直線”．故：C．本題考查直線與橢圓的位置關系，此類問題一般聯立直線方程和橢圓方程，消去一個變量后通過方程的解的個數來判斷位置關系，本題屬于基礎題.3、B【解析】試題分析：作出題設約束條件可行域，如圖內部（含邊界），作直線，把直線向上平移，增加，當過點時，為最大值．故選B．考點：簡單的線性規劃問題．4、C【解析】

設，，則，對進行平方展開化簡得，代入得，兩式相加即可.【詳解】設，，則且，等式兩邊同時平方展開得：，即令等式中，化簡后可得：兩式相加可得故選：C本題考查了代數式的計算化簡求值，考查了換元法，屬于中檔題5、B【解析】

由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環結構計算并輸出，分析循環中各變量的變化情況，可得答案.【詳解】當時，，，滿足進行循環的條件；當時，，，滿足進行循環的條件；當時，，，滿足進行循環的條件；當時，，，不滿足進行循環的條件；故選：B本題主要考查程序框圖，解題的關鍵是讀懂流程圖各個變量的變化情況，屬于基礎題.6、B【解析】

對各選項逐一判斷即可，利用在上為增函數，在上為減函數,即可判斷A選項不滿足題意，令，即可判斷其在遞增，結合復合函數的單調性判斷法則即可判斷B選項滿足題意對于C,D，由初等函數性質，直接判斷其不滿足題意.【詳解】解：根據題意，依次分析選項：對于A，在上為增函數，在上為減函數,所以y（3x﹣3﹣x）在R上為增函數，不符合題意；對于B，，所以是奇函數，令，則由，兩個函數復合而成又，它在上單調遞增所以既是奇函數又在（﹣1，1）上是減函數，符合題意，對于C，y＝x﹣1是反比例函數，是奇函數，但它在（﹣1，1）上不是減函數，不符合題意；對于D，y＝tanx為正切函數，是奇函數，但在（﹣1，1）上是增函數，不符合題意；故選：B．本題主要考查了函數奇偶性的判斷，還考查了復合函數單調性的判斷法則及初等函數的性質，屬于中檔題。7、A【解析】分析：根據正態分布的意義可得即可得出結論.詳解：由題可得：又對稱軸為85，故，故成績小于分的樣本個數大約為100x0.04=4故選A.點睛：本題考查正態曲線的特點及曲線所表示的意義，是一個基礎題，解題關鍵是要知道.8、B【解析】

將平方后再開方去計算模長，注意使用數量積公式.【詳解】因為，所以，故選：B.本題考查向量的模長計算，難度一般.對于計算這種形式的模長，可通過先平方再開方的方法去計算模長.9、A【解析】由z=1+i，得z+1z=1+i+10、C【解析】分析：由題意求出，則，可得焦點坐標詳解：由雙曲線，可得，故雙曲線的焦點坐標是選C.點睛：本題考查雙曲線的焦點坐標的求法，屬基礎題.11、A【解析】分析：利用“卡方”的意義、相關指數的意義及回歸分析的適用范圍，逐一分析四個答案的真假，可得答案．詳解：A.衡量兩變量之間線性相關關系的相關系數越接近，說明兩變量間線性關系越密切，正確；B.在回歸分析中，可以用卡方來刻畫回歸的效果，越大，模型的擬合效果越差，錯誤對分類變量與的隨機變量的觀測值來說，越大，“與有關系”可信程度越大;故B錯誤；C.線性回歸方程對應的直線至少經過其樣本數據點中的一個點，錯誤，回歸直線可能不經過其樣本數據點中的任何一個點；D.線性回歸方程中，變量每增加一個單位時，變量平均增加個單位，錯誤，由回歸方程可知變量每增加一個單位時，變量平均增加個單位.故選A.點睛：本題考查回歸分析的意義以及注意的問題．是對回歸分析的思想、方法小結．要結合實例進行掌握.12、A【解析】

由題意可得出：從,,任選一個；或者從,任選一個；結合題中條件,確定對應的選法，即可得出結果．【詳解】解：根據條件得：從,,任選一個,從而,,任選一個,有種選法；或時,,有兩種選法；共種選法；C中元素有個．故選A．本題主要考查列舉法求集合中元素個數，熟記概念即可，屬于基礎題型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由曲線與直線聯立，求出交點，以確定定積分中的取值范圍，最后根據定積分的幾何意義表示出區域的面積，根據定積分公式即可得到答案。【詳解】聯立，得到交點為，故曲線與直線，所圍成封閉圖形的面積；故答案為本題考查利用定積分求面積，確定被積區間與被積函數是解題的關鍵，屬于基礎題。14、①④⑤【解析】

理解新定義的意義，借助導數的幾何意義逐一進行判斷推理，即可得到答案。【詳解】對于①，，所以是曲線在點處的切線，畫圖可知曲線在點附近位于直線的兩側，①正確；對于②，因為，所以不是曲線：在點處的切線，②錯誤；對于③，,，在的切線為，畫圖可知曲線在點附近位于直線的同側，③錯誤；對于④，，在點處的切線為，畫圖可知曲線：在點附近位于直線的兩側，④正確；對于⑤，，，在點處的切線為，圖可知曲線：在點附近位于直線的兩側，⑤正確．本題以新定義的形式對曲線在某點處的切線的幾何意義進行全方位的考查，解題的關鍵是已知切線方程求出切點，并對初等函數的圖像熟悉，屬于中檔題。15、；【解析】

當與重合時，直線與平面所成角為0最小，當從向移動時，直線與平面所成角逐漸增大，到達點時角最大．【詳解】如圖，是在底面上的射影，是在底面上的射影，由于是中點，則是中點，正四面體棱長為1，則，，，，，∴，，∴．．∴所求角的范圍是．故答案為．本題考查直線與平面所成的角，解題時首先要作出直線與平面所成的角，同時要證明所作角就是要求的角，最后再計算，即一作二證三計算．16、【解析】

由于事件為對立事件，故，代入即得解.【詳解】由于事件為對立事件，，且，故故答案為：本題考查了互斥事件的概率求法，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數學運算的能力，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ），（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）根據極坐標與直角坐標的互化公式，即可求得直線的直角坐標方程，消去參數，即可求得曲線的普通方程；（Ⅱ）求得直線的參數方程，代入橢圓的方程，利用直線參數的幾何意義，即可求解．【詳解】（Ⅰ）由直線極坐標方程為，根據極坐標與直角坐標的互化公式，可得直線直角坐標方程：，由曲線的參數方程為（為參數），則，整理得，即橢圓的普通方程為．（Ⅱ）直線的參數方程為，即（為參數）把直線的參數方程代入得：，故可設，是上述方程的兩個實根，則有又直線過點，故由上式及的幾何意義得：.本題主要考查了極坐標方程與直角坐標方程，以及參數方程與普通方程的互化，以及直線參數的應用，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．18、（1）；（2）．【解析】

（1）根據正弦定理得到，再由余弦定理得到，根據特殊角的三角函數值得到結果；（2）根據余弦定理可知：，根據重要不等式和a=4得到，即，再由面積，最終得到結果.【詳解】（1）根據正弦定理可知：，整理得，由余弦定理的推論得，，．（2）根據余弦定理可知：，且，，即.面積，當且僅當時等號成立．故面積的最大值為．1．解三角形的應用中要注意與基本不等式的結合，以此考查三角形中有關邊、角的范圍問題.利用正弦定理、余弦定理與三角形的面積公式，建立如“”之間的等量關系與不等關系，通過基本不等式考查相關范圍問題;2．注意與三角函數的圖象與性質的綜合考查，將兩者結合起來，既考查解三角形問題，也注重對三角函數的化簡、計算及考查相關性質等;3．正、余弦定理也可能結合平面向量及不等式考查面積的最值或求面積，此時注意應用平面向量的數量積或基本不等式進行求解.19、（1）；（2）．【解析】試題分析：（1）將已知條件轉化為數列的首項和公差表示，通過解方程組可得到基本量的值，從而求得通項公式；（2）借助于（1）可求得的通項公式，結合特點利用列項求和法求和試題解析：（1）由已知有，則（2），則考點：數列求通項公式就和20、（1）見解析；（2）【解析】

（1）先證明，又平面平面，即得平面；（2）以為原點，以，，為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，由題得，解方程即得解.【詳解】（1）證明：∵，∴，又平面平面，平面平面，平面，∴平面.（2）以為原點，以，，為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，∴，，由題知，平面，∴為平面的一個法向量，設，則，∴，設平面的一個法向量為，則，∴，令，可得，∴，得或（舍去），∴.本題主要考查空間垂直關系的證明，考查二面角的求法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.21、（1）：，：.（2）【解析】分析：（1）直接根據圓的參數方程求出曲線C的參數方程，利用極坐標公式求出直線，的極坐標方程.(2)先求出OA,OB,再利用三角形面積公式求的面積.詳解：（1）依題意，曲線：，故曲線的參數方程是（為參數），因為直線：，直線：，故，的極坐標方程為：，：.（2）易知曲線的極坐標方程為，把代入，得，所以.把代入，得，所以.所以.點睛：（1）本題主要考查直角坐標方